DIFFERENTIAL CALCULUS OF SEVERAL VARIABLES WITH

Algunas ideas acerca del uso de los CAS
para la enseñanza del Cálculo Diferencial
en varias variables
Gerardo Rodríguez
Universidad de Salamanca
1. Introducción
Durante los últimos 20 años, los diferentes CAS (Computer Algebra System) se han
utilizado en España como un complemento docente para la enseñanza de las matemáticas
en las escuelas de ingeniería. Sin embargo, en general, este uso no se ha visto acompañado
de los necesarios cambios en los métodos de enseñanza para obtener mayores beneficios
de estas herramientas. Lo que sucede habitualmente es que los profesores usan el
ordenador para hacer lo mismo que hacen con lápiz y papel. El verdadero propósito de los
CAS (es decir, ofrecer una herramienta para hacer y aprender matemáticas) es
reemplazado por una situación en la que los estudiantes pueden convertirse en expertos en
el uso de un determinado CAS pero sin entender las matemáticas que están haciendo.
El propósito de este capítulo es mostrar un uso más integrado y armónico de un CAS
(Maple, Mathematica o cualquier otro) dentro de nuestra práctica docente cotidiana. El
ejemplo elegido para mostrar las posibilidades de uso de un CAS es un curso de Cálculo
Diferencial en Varias Variables. La propuesta es el resultado de nuestra experiencia como
profesores de matemáticas en las escuelas de ingeniería de diferentes universidades
españolas donde usamos Mathematica o Maple.
2. El punto de partida
En las Escuelas de Ingeniería, el curso de Cálculo Diferencial en Varias Variables suele
explicarse tras un cuatrimestre de Cálculo en una variable. Los contenidos habituales de
un curso de estas características son: Nociones básicas en R2 y R3, Límites, Derivadas
parciales y direccionales, Funciones Homogéneas, Regla de la cadena, Derivación de
funciones implícitas, Funciones Inversas, Fórmula de Taylor, Máximos y mínimos y
método de los Multiplicadores de Lagrange.
Habitualmente se destinan a este apartado 30 horas de clase (teóricas y prácticas) y se
considera que el número de horas de trabajo del alumno debe ser el mismo.
Los objetivos principales de esta material son conseguir que los alumnos sean capaces
de entender razonablemente los conceptos impartidos, que adquieran un manejo básico de
los cálculos que aparecen en las diferentes situaciones prácticas que se pueden presentar
dentro de los distintas especialidades de ingeniería y, además, que conozcan cuándo y
cómo deben usar un CAS para resolver un determinado problema matemático.
Finalmente, es preciso decir que los alumnos a los que se dirige el curso ya poseen un
conocimiento básico del CAS que se va a utilizar (Mathematica o Maple, según la
Universidad). Finally, it should be stressed that students should gain a basic knowledge of
the CAS to be used (Mathematica or Maple, depending on the University).
Además, dada la pérdida de horas en el tiempo dedicado a la enseñanza de estos
contenidos, es necesario un cambio metodológico si se quieren alcanzar los objetivos
expuestos anteriormente.
3. El material
Para llevar a cabo nuestra propuesta metodológica, hemos elaborado el material
docente adecuado para un curso de Cálculo en Varias Variables. Este material consiste en
un libro de texto en el que se incluyen de manera sistemática los conceptos teóricos
utilizados y una colección de problemas resueltos y propuestos (véase García, A., López,
A., Romero, S., Rodríguez, G., de la Villa, A., 2002), junto con un CD en el que se
incluyen problemas resueltos con la ayuda de un CAS.
Una descripción del material contenido en el CD referente al Cálculo Diferencial en
Varias Variables se presenta más adelante a la vez que se explica la estrategia seguida en
su creación. Hay que hacer constar que el CD contiene dos directorios que desarrollan los
mismos contenidos: unos desarrollados con Maple y el otro con Mathematica. De acuerdo
con esto, los ejemplos que siguen utilizan uno de los dos sistemas.
El material docente elaborado puede ser usado por el profesor en función de las
necesidades docentes. Puede ser utilizado como material de clase o como una guía para el
trabajo personal de los alumnos, de acuerdo con las características de los estudiantes y el
tiempo real disponible para desarrollar los diferentes apartados.
Además, este material viene a paliar la escasez de material docente para la enseñanza
del Cálculo en varias variables, al menos en español, si se compara con la gran variedad de
libros existentes para la enseñanza del Cálculo en Una Variable.
4. La propuesta metodológica
La propuesta metodológica se articula mediante la integración de clases tradicionales
de teoría y problemas (con la introducción de los diferentes conceptos y la realización de
ejercicios de pizarra) junto con las clases de laboratorio en las que se usará Mathematica
para reforzar los conceptos teóricos y resolver problemas.
Por eso presentamos una propuesta metodológica consistente en que los estudiantes
dediquen aproximadamente la tercera parte del tiempo de trabajo en la asignatura (tanto en
horas de clase como de trabajo personal) al uso reglado de Mathematica, siguiendo las
instrucciones del profesor, de acuerdo con los siguientes objetivos:
4.1. Mejorar la visualización
La posibilidad de obtener, de modo inmediato, la representación gráfica de una superficie
permite abordar el estudio de una función de dos variables de una forma más intuitiva, haciendo
conjeturas sobre las propiedades de la función, extremos, acotación, etc. Así, las siguientes figuras,
obtenidas con una instrucción elemental de Maple, ilustran conceptos como el de la no
derivabilidad y los extremos relativos.
También las capacidades gráficas pueden ser utilizadas por el profesor para realizar
presentaciones que ayuden a la introducción de diferentes conceptos matemáticos. No
obstante, hay que señalar que, con frecuencia, se necesita un gran número de instrucciones
para la realización de gráficas “brillantes” y el profesor debe valorar el coste de su
realización.
4.2. Experimentación
La posibilidad de realizar cálculos complicados con rapidez y precisión permite
introducir nuevas estrategias en la resolución de problemas, contrastando las técnicas
numéricas, analíticas y gráficas.
Así, por ejemplo, con un CAS es sencillo poder conocer las variables que pueden ser
elegidas como dependientes en el teorema de la función implícita. Para ello, supuesto que
se verifican el resto de las hipótesis de dicho teorema, sólo es necesario comprobar si el
determinante de la matriz jacobiana es nulo o no, lo cual se reduce a un cálculo automático
por muy complicado que sea el sistema de funciones implícitas.
También, para poder tener una primera impresión acerca de la existencia de límite de
una función se puede hacer una gráfica o bien construir una tabla de valores de dicha
función barriendo puntos cercanos al límite.
Por ejemplo, para estudiar la existencia del límite de la función f ( x, y) 
xy
en el
x  y2
2
origen de coordenadas, la instrucción de Mathematica
TableForm[Table[f[a + j h, b + k h], {j, 1, n}, {k, 1, n}]]
con a=b=0, h=0.001, k=0.001, n=5 genera la siguiente tabla:
0.5
0.4
0.3
0.235294
0.192308
0.4
0.5
0.461538
0.4
0.344828
0.3
0.461538
0.5
0.48
0.441176
0.235294
0.4
0.48
0.5
0.487805
0.192308
0.344828
0.441176
0.487805
0.5
La dispersión de los datos nos permite sospechar que el límite no existe, cosa que
podemos probar usando la estrategia de encontrar dos subconjuntos sobre los que el límite
es diferente, por ejemplo, y = x e y =2x.
Como parte de la estrategia docente, ante cualquier problema debemos incentivar que el
alumno experimente en sentido general. Hay que evitar la pereza en el uso de diferentes
ensayos, ya que los procesos mecánicos los realiza el ordenador.
4.3. Liberación del trabajo mecánico.
No debemos renunciar a que los estudiantes dominen técnicas básicas de cálculo. Una
vez que se ha comprobado que el alumno ha asimilado los conceptos y es capaz de hacer
manualmente “operaciones” en casos de cálculos no excesivamente complicados, puede
entonces usar un CAS como calculadora avanzada, para cálculos laboriosos. Así, por
ejemplo, el cálculo de derivadas parciales de funciones compuestas sólo exige hallar las
matrices jacobianas de las funciones componentes multiplicándolas posteriormente en el
orden adecuado. La obtención de la diferencial de la función compuesta de dos funciones
f : R 5  R 6 y g : R 6  R 4 con funciones componentes que no sean lineales, por ejemplo,
exige un ímprobo esfuerzo “a mano”, pero se puede automatizar usando un CAS.
Creemos que un CAS, entendido como “calculadora avanzada” puede ser usado en la
mayoría de los tópicos de cálculo diferencial.
También es innegable su utilidad en cálculos intermedios, relativos a conceptos que se
han analizado con anterioridad y que son necesarios en una etapa posterior del
aprendizaje. Por ejemplo, las hipótesis de existencia de función inversa pueden ser
analizadas usando un CAS, pues son cálculos rutinarios los que involucran la
comprobación de dichas hipótesis.
De esta manera, la utilización de un CAS permite ahorrar el tiempo que se dedica a
cálculos rutinarios, dedicándolo a modelar problemas que involucran situaciones reales
tratando de interpretar, en cada paso del proceso, los resultados obtenidos.
Como ejemplo, consideremos los siguientes problemas: (extraídos del libro García, A.,
López, A., Romero, S., Rodríguez, G., de la Villa, A., 2002):
La temperatura de una placa en un punto cualquiera (x,y) viene dada por la función
T(x,y) = 25 + 4x2 – 4xy+y2. Una alarma térmica, situada sobre los puntos de la
circunferencia x2 + y2 = 25 se dispara a temperaturas superiores a 180ºC o inferiores a
20ºC. ¿Se disparará la alarma?
Para resolver este problema, los estudiantes necesitan optimizar T(x,y) con la
restricción x2 + y2 = 25 . Podemos usar por tanto el método de los multiplicadores de
Lagrange. Realizando los cálculos con el ordenador se obtienen los puntos
{-2 5 , 5 }, {2 5 ,- 5 },{- 5 ,-2 5 }, { 5 ,2 5 }
como posibles soluciones. Los estudiantes deben evaluar la función T en esos puntos para
encontrar los valores extremos e interpretar el resultado. Puesto que el máximo de esos
valores es menor que 180 y el mínimo es mayor que 20, debemos concluir que no se
disparará la alarma.
Además, las capacidades de cálculo simbólico de un CAS permiten trabajar de forma
eficiente con expresiones formales, como las relativas a las propiedades de los operadores
diferenciales. Por ejemplo, es trivial, usando Mathematica, probar que div(grad f )=  f.
Después de haber cargado el paquete Calculus`VectorAnalysis` la entrada
Div[Grad[f[x,y,z],Cartesian[x,y,z]]]Laplacian[f[x,y,z],Cartesian[x,y,z]]
devuelve 0 como salida.
Es posible también establecer propiedades generales en un problema real, como
muestra el siguiente ejemplo (tomado de Marsden, J. and Weinstein, A., 1985):
El volumen V, presión P, y temperatura T de un gas están relacionados por la ecuación
Van der Waals P 
RT
a
 2 , donde a, b, R son positivos. R es la constante universal
V b V
de los gases, b representa las moléculas de gas en estado líquido (b<<V) y
a
representa
V2
la presión interna producida por la interacción de las moléculas. Demostrar que
          1
P  V 
 T 
.
 P   V   T 
Los estudiantes, usando el teorema de las funciones implícitas, pueden probar que
cualquiera par de variables V, P, o T pueden ser consideradas como variables
          1
independientes y comprobar que  T  
P  V 
 P   V   T 
En este caso, el CAS se utiliza para comprobar las hipótesis del teorema de las
funciones implícitas y para realizar los cálculos simbólicos necesarios.
4.4. Distinción entre procesos algorítmicos y no algorítmicos.
La utilización de un CASno es la panacea que permite resolver todos los problemas de
contenido matemático que se nos presentan. En este sentido, es importante que los
estudiantes distingan los procesos que son algorítmicos de los que no lo son.
Cuando un proceso se puede “algoritmizar”, debemos incentivar al alumno a que realice
un procedimiento sencillo consistente en traducir al lenguaje del CAS el proceso
matemático.
Dentro de los procesos algorítmicos es conveniente distinguir dos tipos:
 Algoritmos con respuesta segura.
En este tipo de algoritmos siempre se consigue información. Por ejemplo, puede ser
muy sencillo para un alumno hacer un procedimiento con Maple que devuelva el plano
tangente en un punto a una superficie definida implícitamente por una ecuación del tipo
F(x,y,z)=0. Basta conocer la definición y escribir las instrucciones para hallar el vector
gradiente y la ecuación del plano tangente. Una posible solución es:
> Tang_Plane:=proc(F,a,b,c)
local gr;
gr:=subs({x=a,y=b,z=c}, linalg[grad](F(x,y,z),[x,y,z]));
simplify(gr[1]*(x-a)+gr[2]*(y-b)+gr[3]*(z-c)=0)
end:
Para usar este procedimiento en problemas posteriores, el estudiante deberá
previamente verificar que se satisfacen las hipótesis del teorema de la función implícita.
También puede mejorar el procedimiento, incluyendo, en el interior del mismo, las
instrucciones necesarias para ver si se verifican dichas hipótesis y haciendo que
devuelva un mensaje de error en caso contrario. Así mismo, puede añadir una
instrucción para que se dibuje la superficie junto con el plano tangente. La tendencia
general del estudiante es ir mejorando el procedimiento hasta conseguir que sea lo más
completo posible.
 Algoritmos que pueden presentar dificultades de cálculo.
En este tipo de algoritmos la respuesta viene condicionada a procesos intermedios
que pueden ser irrealizables por problemas tales como la imposibilidad de resolución
de una ecuación, requerimientos excesivos del sistema, etc.
Así por ejemplo, para el cálculo de extremos condicionados, el algoritmo de los
multiplicadores de Lagrange, requiere en uno de sus apartados la resolución de un
sistema de ecuaciones, lo cual no siempre está garantizado. De hecho, es inmediato
poner ejemplos en los que Mathematica no puede resolver o no encuentra todas las
posibles soluciones del sistema planteado.
También hay procesos no algorítmicos, como por ejemplo el cálculo de límites. Para
estos procesos, el uso interactivo de un CAS ha de ser controlado. Podemos diseñar
alternativas utilizando criterios negativos, como el cálculo de límites reiterados o
límites según ciertos subconjuntos, o algún criterio positivo como puede ser el paso a
polares, que debe ser usado cuidadosamente (véase el apartado siguiente). Así la
función f(x,y), después del cambio a polares x = a + r cos , y = b + r sin , se
transforma en la función F(r, ). Si esta función tiene límite uniforme en la variable 
cuando r0, entonces existe el límite de f(x,y) en el punto (a, b).
4.5. Fomentar el espíritu crítico.
Es indudable que un CAS facilita enormemente la tarea de comprobación de resultados,
dada la facilidad para usar métodos alternativos. Pero los estudiantes no deben tener fe
ciega en los resultados, intermedios y finales, que la máquina ofrece, sino que deben
mantener en todo momento el control de la situación en el sentido de que dichos
resultados deben ser compatibles con el contexto del problema que se esté resolviendo en
cada caso. Conviene señalar que un uso poco cuidadoso de un CAS puede dar lugar a
errores con los que el estudiante esté poco habituado, como los derivados de asignaciones
previas en una misma sesión de trabajo.
Por otra parte, las limitaciones que presenta el CAS pueden ayudarnos a fomentar en
los estudiantes la capacidad crítica, presentando situaciones de cálculo en las que la
respuesta del CAS no es la esperada.
Por ejemplo, la salida esperada de la instrucción de Maple
> mtaylor(sin(x*y)/(x*y), [x=0, y=0],10);
debe ser 1 
x2 y2 x4 y4
x2 y2

pero lo que proporciona es 1 
.
6
120
6
Además el “poco cuidado” que con frecuencia tienen los estudiantes con los cálculos
formales se puede ver agravado por la utilización de un CAS. En este sentido, hay que
señalar que nunca se combate lo suficiente la fe ciega que el estudiante genera en los
resultados que ofrece el programa sin más. Lamentablemente, con demasiada frecuencia,
el estudiante atribuye al ordenador un argumento de autoridad que éste no posee.
Por ejemplo, un CAS puede obtener un resultado erróneo por un fallo de programa o
por considerar condiciones sobre las variables que no tiene presentes el usuario (véase
Alonso, F., García, F., Hoya, S., Rodríguez, G., de la Villa, A., 2001).
Por ejemplo si al calcular el límite de la siguiente función en el punto (1,1)
3 x- 3x 2  x3 - 4 y  6 y 2 - 4 y 3  y 4
f(x, y)
-2  3 x - 3 x 2  x3  4 y - 6 y 2  4 y 3 -y4
Se realiza el cambio a coordenadas polares mencionado anteriormente, donde a=b=1, el
resultado que se obtiene es F (r , ) 
cos( ) 3  r sin ( ) 4
.
cos( ) 3  r sin ( ) 4
Mathematica y Maple obtienen como resultado 1 cuando r 0. Esto implica que el
límite no depende de , pero eso es claramente falso, puesto que si =/2, entonces el
límite es –1. En consecuencia el límite doble no existe.
Es preciso, por consiguiente, hacer ver a nuestros alumnos la necesidad de
controlar los resultados.
5. Conclusiones
El propósito de este artículo es proponer una forma de usar el software matemático
como una herramienta pedagógica.
La propuesta se ha centrado en el uso de de los CAS en un curso de Cálculo
Diferencial en Varias Variables, proponiendo diferentes posibilidades: utilización de las
capacidades gráficas de los CAS, la posibilidad de experimentación se ve incrementada
notablemente, se produce una importante liberación del trabajo mecánico, permite
diferenciar claramente los procesos algorítmicos de los que no lo son y permite fomentar
el espíritu crítico acerca de los resultados obtenidos. Hay que señalar, además, que es
necesario, en determinadas ocasiones, un cambio de mentalidad en los profesores que
imparten la asignatura.
Es evidente que el paquete de software elegido no es importante para el uso propuesto y
que las mismas ideas y estrategias pueden llevarse a cabo usando otros paquetes de
Cálculo Simbólico.
Las posibilidades de uso de las nuevas tecnologías no se limitan a la enseñanza
presencial. El material elaborado puede ser utilizado también en escenarios virtuales. En
ese caso el material elaborado debe ser complementado con el diseño de los oportunos
tutoriales que faciliten su uso.
REFERENCIAS
-
Alonso, F., García, A., García, F., Hoya, S., Rodríguez, G., de la Villa, A , 2001,
"Some unexpected results using Computer Algebra Systems ", The International
Journal of Computer Algebra in Mathematics Education, 8, 239-252.
-
García, A., López, A., Romero, S., Rodríguez, G., de la Villa, A., 2002, Cálculo II.
Teoría y problemas de funciones de varias variables. Clagsa.
-
Marsden, J. And Weinstein, A., 1985, Calculus III. Springer-Verlag.