teoria vectores

Vectores en el espacio
Un sistema de coordenadas tridimensional se construye trazando un eje Z, perpendicular en el
origen de coordenadas a los ejes X e Y.
Cada punto viene determinado por tres coordenadas P(x, y, z).
Los ejes de coordenadas determinan tres planos coordenados: XY, XZ e YZ. Estos planos
coordenados dividen al espacio en ocho regiones llamadas octantes, en el primer octante las tres
coordenadas son positivas.
Vector en el espacio
Un vector en el espacio es cualquier segmento orientado que tiene su origen en un punto y su
extremo en el otro.
Componentes de un vector en el espacio
Si las coordenadas de A y B son: A(x1, y1, z1) y B(x2, y2, z2) Las coordenadas o componentes del
vector
son las coordenadas del extremo menos las coordenadas del origen.
Determinar la componentes de los vectores que se pueden trazar el el triángulo de vértices A(−3, 4,
0), B(3, 6, 3) y C(−1, 2, 1).
Módulo de un vector
El módulo de un vector es la longitud del segmento orientado que lo define.
El módulo de un vector es un número siempre positivo y solamente el vector nulo tiene módulo
cero.
Cálculo del módulo conociendo sus componentes
Dados los vectores
y
, hallar los módulos de
y
·
Cálculo del módulo conociendo las coordenadas de los puntos
Distancia entre dos puntos
La distancia entre dos puntos es igual al módulo del vector que tiene de extremos dichos puntos.
Hallar la distancia entre los puntos A(1, 2, 3) y B(−1, 2, 0).
Vector unitario
Un vector unitario tiene de módulo la unidad.
La normalización de un vector consiste en asociarle otro vector unitario, de la misma dirección y
sentido que el vector dado, dividiendo cada componente del vector por su módulo.
Operaciones de vectores en el espacio
Suma de vectores
Para sumar dos vectores se suman sus respectivas componentes.
Ejemplos
Dados
= (2, 1, 3),
= (1, −1, 0),
= (1, 2, 3), hallar el vector
= 2u + 3v − w.
= (4, 2, 6) + (3, −3, 0) − (1, 2, 3) = (6, −3, 3)
Dados los vectores
y
, hallar el módulo del vector
.
Propiedades de la suma de vectores
Asociativa
+(
+
)=(
+
)+
Conmutativa
+
=
+
Elemento neutro
+
=
Elemento opuesto
+ (−
)=
Producto de un número real por un vector
El producto de un número real k
De igual dirección que el vector
por un vector
es otro vector:
.
Del mismo sentido que el vector
si k es positivo.
De sentido contrario del vector
si k es negativo.
De módulo
Las componentes del vector resultante se obtienen multiplicando por K las componentes del vector.
Propiedades del producto de un número por un vector
Asociativa
k · (k' ·
) = (k · k') ·
Distributiva respecto a la suma de vectores
k·(
+
)=k·
+k·
Distributiva respecto a los escalares
(k + k') ·
=k·
+ k' ·
Elemento neutro
1·
=
Ejemplo: Dado
= (6, 2, 0) determinar
de modo que sea 3
=
.
Dependencia e independencia lineal. Bases
Combinación lineal
Una combinación lineal de dos o más vectores es el vector que se obtiene al sumar esos vectores
multiplicados por sendos escalares.
Cualquier vector se puede poner como combinación lineal de otros que tengan distinta dirección.
Esta combinación lineal es única.
Vectores linealmente dependientes
Varios vectores libres del plano se dice que son linealmente dependientes si hay una combinación lineal
de ellos que es igual al vector cero, sin que sean cero todos los coeficientes de la combinación lineal.
Propiedades
1. Si varios vectores son linealmente dependientes, entonces al menos uno de ellos se puede expresar como
combinación lineal de los demás.
También se cumple el reciproco: si un vector es combinación lineal de otros, entonces todos los vectores
son linealmente dependientes.
2.Dos vectores del plano son linealmente dependientes si, y sólo si, son paralelos.
3.Dos vectores libres del plano
= (u1, u2) y
componentes son proporcionales.
= (v1, v2) son linealmente dependientes si sus
Ejemplo: Determinar los valores de k para que sean linealmente dependientes los vectores
,
y
y
. escribir
como combinación lineal de
, siendo k el valor calculado.
Los vectores son linealmente dependientes si el determinante de la matriz que forman es nulo, es decir
que el rango de la matriz es menor que 3.
Vectores linealmente independientes
Varios vectores libres son linealmente independientes si ninguno de ellos puede ser escrito con una
combinación lineal de los restantes.
a1 = a2 = ··· = an = 0
Los vectores linealmente independientes tienen distinta dirección y sus componentes no son
proporcionales.
Ejemplo.Estudiar si son linealmente dependientes o independientes los vectores:
= (2, 3, 1),
= (1, 0, 1),
= (0, 3, −1)
a (2, 3, 1) + b(1, 0, 1) + c (0, 3, −1) = (0, 0, 0)
r = 2 n = 3 Sistema compatible indeterminado.
El sistema tiene infinitas soluciones, por tanto los vectores son linealmente dependientes.
Base
Tres vectores , y
con distinta dirección forman una base, porque cualquier vector del espacio se
puede poner como combinación lineal de ellos.
Las coordenadas del vector respecto a la base son:
Base ortogonal
Una base es ortogonal si los vectores de la base son perpendiculares entre sí.
Base ortonormal
Una base es ortonormal si los vectores de la base son perpendiculares entre sí, y además tienen módulo 1.
Esta base formada por los vectores
,
y
se denomina base canónica.
Ejemplo
¿Para qué valores de a los vectores
,
y
forman una base?
Para a ≠ 1, los vectores forman una base.
Producto escalar
El producto escalar de dos vectores es un número real que resulta al multiplicar el producto de sus
módulos por el coseno del ángulo que forman.
Ejemplo
Expresión analítica del producto escalar
Ejemplo
Expresión analítica del módulo de un vector
Ejemplo
Expresión analítica del ángulo de dos vectores
Ejemplo
Condición analítica de la ortogonalidad de dos vectores
Ejemplo
Interpretación geométrica del producto escalar
El producto de dos vectores no nulos es igual al módulo de uno de ellos por la proyección del otro
sobre él.
Ejemplo
Hallar la proyección del vector
= (2, 1) sobre el vector
= (−3, 4).
Propiedades del producto escalar
1Conmutativa
2 Asociativa
3 Distributiva
4 El producto escalar de un vector no nulo por sí mismo siempre es positivo.
Interpretación geométrica del producto escalar
El producto de dos vectores no nulos es igual al módulo de uno de ellos por la proyección del otro
sobre él.
OA' es la proyección del vector
sobre v, que lo denotamos como:
.
Ejercicio modelo
Dados los vectores
1. Los módulos de
y
y
hallar:
·
2. El producto escalar de
y
·
3. El ángulo que forman.
4. La proyección del vector
sobre
.
5. La proyección del vector
sobre
.
6. El valor de m para que los vectores
y
sean ortogonales.
Cosenos directores
En una base ortonormal, se llaman cosenos directores del vector
que forma el vector
= (x, y, z), a los cosenos de los ángulos
con los vectores de la base.
Ejemplo
Determinar los cosenos directores del vector (1, 2, −3).
Producto vectorial
El producto vectorial de dos vectores es otro vector cuya dirección es perpendicular a los dos vectores y
su sentido sería igual al avance de un sacacorchos al girar de u a v. Su módulo es igual a:
El producto vectorial se puede expresar mediante un determinante:
Ejemplos
Calcular el producto vectorial de los vectores
Dados los vectores
y
Comprobar que el vector hallado es ortogonal a
El producto vectorial de
= (−1, 1, 2).
= (1, 2, 3) y
, hallar el producto vectorial de dichos vectores.
y
.
es ortogonal a los vectores
y
.
Área del paralelogramo
Geométricamente, el módulo del producto vectorial de dos vectores coincide con el área del
paralelogramo que tiene por lados a esos vectores.
Ejemplo
Dados los vectores
los vectores
y
y
, hallar el área del paralelogramo que tiene por lados
·
Área de un triángulo
Ejemplo
Determinar el área del triángulo cuyos vértices son los puntos A(1, 1, 3), B(2, −1, 5) y C(−3, 3, 1).
Propiedades del producto vectorial
1. Anticonmutativa
x
=−
x
2. Homogénea
λ(
x
) = (λ
)x
=
x (λ )
x
+
x
3. Distributiva
x(
+
)=
·
4. El producto vectorial de dos vectores paralelos en igual al vector nulo.
x
=
5. El producto vectorial
x
es perpendicular a
ya
.
Producto mixto
El producto mixto de los vectores ,
producto vectorial de los otros dos.
El producto mixto se representa por [
y
,
es igual al producto escalar del primer vector por el
,
].
El producto mixto de tres vectores es igual al determinante que tiene por filas las coordenadas de dichos
vectores respecto a una base ortonormal.
Ejemplos
Calcular el producto mixto de los vectores:
Volumen del paralelepípedo
El valor absoluto del producto mixto representa el volumen del paralelepípedo cuyas aristas son tres
vectores que concurren en un mismo vértice.
Hallar el volumen del paralelepípedo formado por los vectores:
Volumen de un tetraedroEl volumen de un tetraedro es igual a 1/6 del producto mixto, en valor
absoluto.
Obtener el volumen del tetraedro cuyos vértices son los puntos A(3, 2, 1), B(1, 2, 4), C(4, 0, 3) y D(1, 1, 7).
Propiedades del producto mixto
1. El producto mixto no varía si se permutan circularmente sus factores, pero cambia de signo si éstos se
trasponen.
2. Si tres vectores son linealmente dependientes, es decir, si son coplanarios, producto mixto vale 0.
Problemas de vectores
1Expresa el vector
= (0, 1, 1).
2Siendo
= (1, 2, 3) como combinación lineal de los vectores:
= (1, 0, 1),
= (1, 1, 0) y
independientes y expresa el vector
= (1, 0, 1),
= (1, 1, 0) y
= (0, 1, 1), demostrar que dichos vectores son linealmente
= (1, 2, 3) como combinación lineal de dichos vectores.
3Dados los vectores = (1, 2, 3), = (2, 1, 0) y = (−1, −1, 0), demostrar que dichos vectores forman una
base y calcula las coordenadas del vector (1, −1, 0) respecto de dicha base.
4Dados los vectores: (1, 1, 0), (1, 0, 1) y (0, 1, 1).
1 Demostrar que forman una base.
2Hallar las coordenadas de los vectores de la base canónica respecto de esta base.
5Determinar el valor del parámetro k para que los vectores
1Ortogonales.
=k
−2
+3
,
=−
+k
+
sean:
2 Paralelos.
6Dados los puntos A(1, 0, 1), B(1, 1, 1) y C(1, 6, a), se pide:
1 Hallar para qué valores del parámetro a están alineados.
2 Hallar si existen valores de a para los cuales A, B y C son tres vértices de un paralelogramo de área
3 y, en caso afirmativo, calcularlos.
7Hallar dos vectores de módulo la unidad y ortogonales a (2, −2, 3) y (3, −3, 2).
8Hallar un vector perpendicular a
y
, y que sea unitario.
Ejercicios del producto escalar y vectorial
1Dados los vectores
1.
,
,
,
,
y
hallar:
2.
,
,
3.
4.
5.
,
,
,
,
,
2Dados los vectores
1 Los módulos de
y
y
, hallar:
·
2 El producto vectorial de
y
·
3 Un vector unitario ortogonal a
y
·
4 El área del paralelogramo que tiene por lados los vectores
3Hallar el ángulo que forman los vectores
vector es ortogonal a
.
.
y
ya
·
y
4Hallar los cosenos directores del vector
5Dados los vectores
y
, hallar el producto
. Hallar el vector
y compararlo con
y comprobar que este
.
Ejercicios del producto vectorial y mixto
1Calcular el producto mixto:
2Dados los vectores
.
,
y
, hallar el producto mixto
. ¿Cuánto vale el volumen del paralelepípedo que tiene por aristas los vectores dados?
3Sean A(−3, 4, 0), B(3, 6, 3) y C(−1, 2, 1) los tres vértices de un triángulo. Se pide:
1 Calcular el coseno de cada uno de los tres ángulos del triángulo.
2 Calcular el área del triángulo.
4Considerar la siguiente figura:
Se pide:
1 Coordenadas de D para qué ABCD sea un paralelogramo.
2 Área de este paralelogramo.
5Dados los puntos A(1, 0, 1), B(1, 1, 1) y C(1, 6, a), se pide:
1 Hallar para qué valores del parámetro a están alineados.
2 Hallar si existen valores de a para los cuales A, B y C son tres vértices de un paralelogramo de área 3 y, en
caso afirmativo, calcularlos.