Matriz asociada a un producto interno

Matriz asociada a un producto interno.
Sea V un IR – espacio vectorial de dimensión finita n.
Si (  ,  ): V  V  IR es un producto interno en V, se define una matriz n  n con
coeficientes en IR asociada al producto interno (  ,  ) y respecto de una base
 = { v1, … , vn } de V así:
 (v 1, v 1 )  (v n , v 1 ) 




A = A (  ,  ),  =
 
.
(v
,
v
)

(v
,
v
)
n
n 
 1 n
Ejemplos:
i)
ii)
Para el producto escalar y la base canónica en IR 2 la matriz es A
 1 0

 y en
 0 1
general para el producto escalar en IRn y la base canónica la matriz es A = In.
La matriz asociada al producto escalar en IR3 respecto de la base
 3 1 1


 = { (1, 1, 1), (1, 1, -1), (1, -1, 1) } es A =
 1 3  1.
 1 1 3
iii)
La matriz asociada al producto interno (  ,  ): IR2  IR2  IR definido por
((u1, u2, u3) , (v1, v2, v3)) = u1v1 + 2u2v2 + 3u3v3 para todo par de vectores
u = (u1, u2, u3) y v = (v1, v2, v3) de IR3 respecto de la base
 = { (1, 1, 1), (1, 1, -1), (1, -1, 1) } de IR3 se determina así:
((1, 1, 1) , (1, 1, 1)) = (1 . 1) + 2(1 . 1) + 3(1 . 1) = 6,
((1, 1, -1) , (1, 1, 1)) = ((1, 1, 1) , (1, 1, -1)) = (1 . 1) + 2(1 . 1) + 3[1 . (-1)] = 0,
((1, -1, 1) , (1, 1, 1)) = ((1, 1, 1) , (1, -1, 1)) = (1 . 1) + 2[1 . (-1)] + 3(1 . 1) = 2,
((1, 1, -1) , (1, 1, -1)) = (1 . 1) + 2(1 . 1) + 3[(-1) . (-1)] = 6,
((1, 1, -1) , (1, -1, 1)) = ((1, -1, 1) , (1, 1, -1)) = (1 . 1) + 2[1 . (-1)] + 3[1 . (-1)] = 2 y
6 0 0 


6 4 .
((1, 1, -1) , (1, 1, -1)) = 6, de donde A ( , ),  = 0


0  4 6 
iv)
En IP2 con el producto interno (  ,  ): IP2  IP2  IR definido para cada par de
1
polinomios p(x) y q(x) en IP2 por o p(x)q(x) dx, la matriz de este producto
 1 3/2 1/3 


respecto de la base  = { 1, x + 1, x2 } es A ( , ),  = 3/2 2/3 7/12 , pues


 1/3 7/12 1/5 
1
x2
 (1 1) dx = x | = 1,  [1 ( x  1)] dx =  [(x  1)  1] dx =
2
1
o
1
o
x| =
1
1
o
1
o
o
3
,
2
o
1
x3
 (1  x ) dx =  (x  1) dx =
3
2
1
o
1
o
2
(x  1)
1 1
2
= , o (x  1) dx =
3
3
1
3

o
o
 [( x  1)  x ] dx =  [x
2
1
o
1
o
2

(x  1)] dx =  ( x
1
x5
 (x  x ) dx =
5
1
o
2
2
=
o
1
.
5
1
o
3

2
x ) dx =
x
4
4
1

o
x
3
3
2
3
,
1

o
7
12
,
En el espacio vectorial IRn con el producto interno ( ,  ) IRn  IRn definido para
v)
todo par de vectores u = (u1, u2, … , un) y v = (v1, … , vn) por
1

0
(u , v) = u1v1 + 2u2v2 + … + nunvn y  la base canónica A = – 

0

0
2

0




0

0
.


n
Antes de proseguir definimos lo que significan las coordenadas de un vector de un espacio
vectorial V respecto de una base  = { v1, … , vn } del mismo.
 a1 
 
nx1
Si vV las coordenadas de v respecto de  es el vector columna v =   IR , en
 
 an 
donde la combinación lineal de  con la que se expresa v es v = a1v1 + … +anvn.
La noción de coordenadas de un vector respecto de una base se verá en clases futuras, este
adelanto es necesario para cubrir el tema que se discute ahora.
Las coordenadas de un vector respecto de una base  = { v1, … , vn } tienen las siguientes
propiedades:
Las coordenadas de un vector v respecto de la base  son únicas.
Si u, vV y kK, entonces (u + kv) = u + k(v).
i)
ii)
En efecto:
Prueba de i):
 a1 
 b1 
 
 
Si v =  y v =  , esto quiere decir que v = a1v1 + … +anvn y v = b1v1 + … +bnvn,
 
 
 an 
 bn 
pero entonces a1v1 + … +anvn = b1v1 + … +bnvn, de donde (a1 – b1)v1 + … +(an – bn)vn = 0V y,
por la independencia lineal de los vectores v1, … , vn, se tiene
(a1 – b1) = … = (an – bn) = 0K, es decir a1 = b1, … , an = bn, lo cual en concusión implica
 a1   b1 
   
   =   .
 an   bn 
Prueba de ii):
 b1 
 
  , entonces u = a1v1 + … +anvn y v = b1v1 + … +bnvn y
 bn 
 kb1   b1 
   
kv = k(b1v1 + … +bnvn) = (kb1)v1 + … +(kbn)vn, lo cual implica (kv) =
   = k    y
 kbn   b n 
Si u =
 a1 
 
   y v =
 an 
u + kv = (a1v1 + … +anvn) + [(kb1)v1 + … +(kbn)vn] = [a1 + (kb1)]v1 + … +[a1 + (kbn)]vn, de donde
 a1  kb1   a 1   b 1 

    

(u + kv) =

 =    + k    = u + k(v).
 a n  kbn   a n   b n 
Otro concepto que necesitamos es el de matriz de cambio de bases, que aunque se verá con
más detalle en clases futuras, definimos ahora someramente.
Definición.
Sean V un K – espacio vectorial y  = { v1, … , vn } y ’ = = { v’1, … , v’n } dos bases de V.
β'
la matriz del cambio de bases de  a ’ es la matriz nxn, denotada por C β , cuyas columnas
son las coordenadas de los vectores de la base  respecto de la base ’: (v1)’, … , (vn), en
β'
β'
ese orden. La matriz del cambio de bases Cβ tiene la propiedad: Cβ v = v’ para todo vV.
 a11 
 
En efecto, si (v1)’ =  , … , (vn)’ =
 
 a n1 
 a1n 
 
  , entonces
 a nn 
β'
v1 = a11v’1 + … + an1v’n, … , vn = a1nv’1 + … + annv’n y la matriz del cambio de bases Cβ es
 a11  a1n 


    . Suponga que v =
 a n1  a nn 
 a1 
 
  , lo que quiere decir v = a1v1 + … + anvn. Se tiene que
 an 
v = a1(a11v’1 + … + an1v’n) + … + an(a1nv’1 + … + annv’n) =
(a11a1 + … + a1nan)v’1 + … + (an1a1 + … + annan)v’n, de donde
 a11a1  ...  a1n a n   a11  a1n   a 1 

 
 
β'

v’ =

 =         = Cβ v.
 a1na1  ...  a nn a n   a n1  a nn   a n 
Propiedades de la matriz de un producto interno respecto de una base.
Sean V un IR – espacio vectorial y ( ,  ): V  IR un producto interno sobre V.
i)
ii)
iii)
Si  = { v1, … , vn } es una base de V, entonces la matriz A = A ( ,  ), es
simétrica.
Si  = { v1, … , vn } es una base de V, entonces la matriz A = A ( ,  ), es la única
matriz que satisface (u , v) = (v)tAu.
Si  = { v1, … , vn } y ’ = { v’1, … , v’n } son dos bases de V, entonces existe una
matriz invertible CMn(K) tal que A ( , ), = CtA ( , ),’C.
Prueba:
i): La entrada j, k de la matriz A ( ,  ), es (vk , vj), mientras que la entrada en el lugar k, j de la
misma matriz es (vj , vk) = (vk , vj), de donde la matriz es en efecto simétrica.
ii): Primero probamos que para todo j, k vale (vj , vk) = [(vk)]t A ( ,  ),(vj).
0
 

Por vj = 0v1 + … + 1vj + … + 0vn se tiene (vj) = ej =  1   j  ésima,

0
 
0
 
 

(vk) = ek =  1   k  ésima y [(vk)]t = (ek)t = (0, …, 1, …, 0), de donde

0
 
 (v j , v 1 ) 
 (v j , v 1 ) 







  
[(vk)]t A ( ,  ),(vj) = [(vk) ]t A ( ,  ),(ej) = (ek)t  (v j , v k )  = (0, …, 1, …, 0)  (v j , v k )  = (vj , vk).
  
  
 (v , v ) 
 (v , v ) 
 j n 
 j n 
Ahora probamos, que para todo vj y vV vale (vj , v) = (v)t A ( ,  ), (vj):
Si v = a1vi + … + anvn, entonces
(vj , v) = (vj , (a1vi + … + anvn)) = a1(vj , v1) + … + an(vj, vn) =
a1[(v1)]t A ( ,  ),(vj) + … + an[(vn)]t A ( ,  ),(vj) = {a1[(v1)]t + … + an[(vn)]t }A ( ,  ),(vj) =
{a1[(v1)] + … + an[(vn)]}tA ( ,  ),(vj) = [(a1v1 + … + anvn)]t A ( ,  ),(vj) = (v)t A ( ,  ),(vj).
Finalmente probamos (u, v) = (v)t A ( ,  ),u.
Suponga u = a1vi + … + anvn, se tiene
(u , v) = ((a1vi + … + anvn) , v) = a1(vi , v) + … + an(vn , v) =
a1(v)t A ( ,  ),(v1) + … + an(v)t A ( ,  ), (vn) = (v)t A ( ,  ),[(a1v1) + … + (anvn)] =
(v)t A ( ,  ),[(u).
 b11  b1n 


t
Si B =
     es una matriz tal que para todo u, vV satisface (u, v) = (v) Bu,
 b n1  b nn 
entonces, en particular, para todo j, k vale (vj, vk) = [(vk)]tB(vj) = bkj, de donde para cada j, k
las entradas j, k de cada matriz: B y A ( ,  ),, coinciden, por lo que son idénticas.
β'
iii): Tome C = Cβ . Se tiene (u , v) es igual, por un lado, a (v)tA ( ,  ), u y por el otro igual a
β'
(v’)tA ( ,  ),’ u’. Ahora bien, para todo vV vale Cβ v = v’, de donde
β'
β'
β'
β'
β'
β'
(v’)tA ( ,  ),’ u’ = ( Cβ v )tA ( ,  ),’( Cβ v) = [(v)t( Cβ )t]A ( ,  ),’( Cβ v) = (v)t [( Cβ )tA ( ,  ),’ Cβ ](v).
Por ser A ( ,  ), la única matriz tal que (u , v) = (v)tA ( ,  ), u, se tiene
β'
β'
A ( ,  ), = ( Cβ )tA ( ,  ),’ Cβ .
Con las propiedades que probamos, se tiene una manera de evaluar el producto interno
usando la matriz del mismo respecto de alguna base. Vamos a ilustrar este hecho con uno de
los ejemplos mostrados arriba.
Ejemplo:
i): Como ya vimos la matriz asociada al producto escalar en IR3 respecto de la base
 3 1 1


 = { (1, 1, 1), (1, 1, -1), (1, -1, 1) } es A =
 1 3  1. Evaluamos ahora el producto escalar
 1 1 3
de los vectores u = (1, 2, 3) y v = (1. 0, 1).
Primero hay que determinar las coordenadas de los vectores u y v respecto de la base ,
para lo cual se deben resolver los sistemas:
 1
 1
 1  1 
 1
 1
 1  1 
 
 
   
 
 
   
x 1 + y 1 + z - 1 = 2 y x 1 + y 1 + z - 1 = 0 , sistemas que se resuelven
 
 
 
   
 
   
 1
 1
 - 1
 1  3 
 - 1
 1  1 
simultáneamente operando en las filas de la matriz súperaumentada de ambos sistemas:
 1 1 1 1 1  f2  f2  f1  1 1 1 1 1 
 1 1 1 1 1



 f 2  f3 


1 1  1 2 0 
 0 0  2 1  1   0  2 0 2 0 
1  1 1 3 1  f  f  f  0  2 0 2 0 
 0 0  2 1  1
3
1 

 3



f2  ( 1/2)f2  1
1
1
1
1
0
1
2
1
1

 f1  f1  f2 
 f  f1  f3

1 0 -1
0
1 0 -1
0 1
0
0


0
f3  ( 1/2)f3  0
0
1 - 1/2 1/2 
0
1 - 1/2 1/2 

1/2
 1 0 0 5/2
 5/2 
 1/2






0 , de donde u = - 1 y v =
0 1 0 - 1


 0  y
 0 0 1 - 1/2 1/2 
 - 1/2 
 1/2


 3 1 1   5/2 
6




 
(v)tAv = (u)t  1 3  1  - 1  = (1/2 0 1/2)  0  = (4) = (1, 2, 3)  (1, 0, 1).
 1  1 3   - 1/2 
2



 
La matriz del producto escalar respecto de la base canónica es, como habíamos dicho antes,
 1
 1
 
 
igual a la matriz identidad I3x3, de donde (4) = (1, 2, 3)  (1, 0, 1) = (1 0 1) 2 = (1 0 1)I 2 , de
 
 
3
3
donde esta propiedad también se cumple para la matriz del producto escalar respecto de la
base canónica de IR3.