El presente trabajo tiene dos objetivos

La Paradoja de Yablo y la Jerarquía de lenguajes
Ignacio Ojea Quintana
Universidad de Buenos Aires
El presente trabajo tiene dos objetivos. Por un lado, se propone hacer una presentación
formal de un argumento informal enunciado por primera vez en Forster (1997), retomado en
Sorensen (1998) y finalmente recuperado por el mismo Yablo (2004). El argumento pretende
mostrar una paradoja en la estructura de jerarquías de lenguajes de estilo tarskiana. Por otro lado,
utilizando la formalización realizada, la parte final del trabajo incluirá una identificación de los
puntos débiles del argumento y una presentación de las objeciones y defensas que se pueden hacer
de él, para exhortar al auditorio a que evalúe si efectivamente la paradoja cumple su cometido de
atentar contra las jerarquías de lenguajes.
Formulación intuitiva de la Paradoja:
Formúlese una secuencia infinita de oraciones de Yablo, cada una de las cuales estén
expresadas en un lenguaje de orden distinto y diga que todas las siguientes1 oraciones de Yablo
(formuladas en lenguajes de orden mayor) son falsas.
En general: ( Sk ) Todos los enunciados S expresados en un lenguaje de grado superior a k
son falsos.
Particularmente:
(S1 )n  1, T 1 (Sn )
(S2 )n  2, T 2 (Sn )
(S3 )n  3, T 3 (Sn )
(S4 )n  4, T 4 (Sn )
…
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En este punto se reproduce el argumento de Yablo.
Supóngase que alguna oración es verdadera.
Luego, todas las siguientes serán falsas.
Particularmente, será falsa la inmediatamente posterior y todas las oraciones posteriores a
aquella.
Pero si todas las oraciones posteriores a ella son falsas, entonces ella debe ser verdadera.
Generalícese esta conclusión con la regla-ω, esto es, todas las oraciones son falsas.
Tómese una cualquiera. Si esa oración es falsa, entonces existe al menos una oración de Yablo
de orden mayor a esa que es verdadera.
Pero el anterior argumento muestra que eso no puede ser.
Contradicción.
Dos consideraciones previas al argumento formal:
La aplicación del esquema-T:
Como se ve, la paradoja requiere que se tenga una secuencia infinita de Lenguajes L n , cada
uno de los cuales contiene un predicado de verdad capaz de predicar verdad o falsedad de
1
La paradoja puede ser formulada de manera análoga utilizando oraciones que digan que todas las anteriores son
falsas y utilizando una jerarquía de lenguajes que se extienda a números negativos. Por motivos de claridad, en este
trabajo escogí hacerlo para las siguientes.
enunciados en todos los lenguajes de grado mayor. Esto trae algunas complicaciones respecto de la
aplicación del esquema-T.
El esquema-T formaliza la idea intuitiva de que si estamos dispuestos a afirmar una oración O,
entonces estamos dispuestos a afirmar la oración que dice que O es verdadera (T(O)), y viceversa.
Formalmente:
T ("O")  O
Donde las comillas indican que lo que está dentro de ellas es un nombre.
Para la formulación de la paradoja es necesaria la aceptación de la siguiente aplicación del
esquema-T:

Un enunciado de orden α ( P ) puede ser argumento de distintos predicados de verdad
de grado inferior y, por lo tanto, se pueden aplicar esquemas-T de distinto orden (con
predicados de verdad de distinto orden) a un enunciado único. Más formalmente y
particularmente, deben poder aplicarse recíprocamente:
 T   (S )     , T  (S ) (siendo α un número particular cualquiera y δ lo
mismo pero distinto de cero).
 T    (S )     , T  (S ) (siendo α un número particular cualquiera, ε y δ lo
mismo pero distintos de cero).
La regla- ω:
Esta regla de inferencia, necesaria para la formulación de la paradoja, permite concluir un
enunciado general de una infinidad de premisas. Más precisamente:
P(1)
P(2)
P(3)
…
Y en general, todos los enunciados de la forma: P(n)
Para todo n, P(n)
Es decir, si tenemos que una propiedad P se aplica a cada uno de los números naturales,
entonces se aplica a todos los números naturales.
Al final del trabajo se volverá sobre estas consideraciones.
Presentación formal:
Formúlese una secuencia infinita de enunciados S n , cada uno de los cuales diga, en un L n ,
que su análogo en todos los lenguajes de grado superior es falso. Más formalmente:
(S1 )n  1, T 1 (Sn )
(S2 )n  2, T 2 (Sn )
(S3 )n  3, T 3 (Sn )
…
Argumento que lleva a contradicción:
Parte 1: Esquema de demostración.
En esta parte presentaré una demostración para un número particular: 3. Sin embargo, si se
reemplazasen todas las apariciones de “3” en la demostración por cualquier otro número natural,
entonces se obtendrá una demostración de la falsedad del enunciado S de orden igual al número
utilizado.
Sea:
(S3 )  3, T 3 (S  )
Supóngase que S 3 es verdadero.
Luego, tómese un número natural cualquiera δ distinto de cero (y por simplicidad, menor a α)2,
entonces
T 3 (S3 )    3, T 3 (S  )
 T 3 (S 4 )
Pero también:
T 3 (S3 )    3, T 3 (S  )
   4, T 3 (S  )
 T 3 (S 4 )
Absurdo.
Por lo tanto, S 3 es falsa.
Parte 2:
Fase 1)
Considérese la Parte 1.
Allí obtuvimos un esquema de demostración, porque si se reemplaza 3 por cualquier
número natural, obtenemos una demostración para el enunciado S de orden igual al número
utilizado. Tomando, por ejemplo, δ=1, se obtiene, para cada uno de los números naturales:
n ‫ =׀‬T n 1 (Sn )
Para todo número natural n, tenemos una demostración semántica de que Sn es falsa.
Más precisamente, tenemos:
‫ =׀‬T 0 ( S1 )
‫ =׀‬T 1 (S2 )
‫ =׀‬T 2 (S3 )
‫ =׀‬T 3 (S4 )
…
Gracias al esquema de demostración, podríamos hacer infinitas demostraciones, una para
cada número natural n, de que S n es falso.
Sobre esto algo se menciono. Por el momento basta decir que es suficiente que si α >1, entonces 1   < α; y si α=1,
entonces δ=1. De esto depende si se decide comenzar la jerarquía con un lenguaje de orden cero o negativo, pero para
el argumento es indistinto.
2
Fase 2)
Si aplicamos la regla-ω, obtenemos:
‫ =׀‬n, T n 1 (Sn )
Esto es, es una demostración semántica que para todo número natural n, S n es falso.
Fase 3)
‫ =׀‬n, T n 1 (Sn )
 n  3, T n 1 ( S n )
 n  3, T 3 ( S n )
3
 T 2 (S 3 )
Contradicción.
3
Este paso esta legitimado por el caso particular de aplicación del esquema-T antes mencionado.
Análisis del argumento y enunciación de los Puntos débiles:
1.
A. Punto problemático: La jerarquía está invertida.
B. Explicación:
La jerarquía de Lenguajes está invertida respecto del orden estándar. Aquí cada lenguaje
puede predicar verdad de los lenguajes de orden superior, mientras que en la jerarquía estándar
cada lenguaje sólo puede predicar verdad del lenguaje de orden inmediatamente anterior. Además,
Tarski propone partir de un lenguaje base L 0 , carente de predicados semánticos.
C. Argumentos en contra de la paradoja:
La paradoja no atenta estrictamente contra la jerarquía tarskiana.
No se posee ningún Lenguaje todos cuyos posibles enunciados estén fundamentados, en el
sentido amplio de que no involucren predicados semánticos. Esto es, no hay ningún lenguaje
que sea exclusivamente lenguaje objeto.
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
D. Argumentos a favor de la paradoja:
En cuanto a la primera objeción:
o La paradoja es en contra de la idea de que las paradojas semánticas pueden ser resueltas
adoptando jerarquías de Lenguajes, en un sentido general ampliado respecto de la
presentación de Tarski.
o Además, tal como señala Kripke en “Outline of a Theory of Truth”, los teoremas
estándar nos permiten construir fácilmente una cadena de lenguajes de primer orden tal
que cada uno posee un predicado de verdad para el lenguaje de orden inmediatamente
posterior4.
En cuanto a la segunda:
o Valen los mismos argumentos recién mencionados.
o La idea de poseer un lenguaje base, completamente fundamentado y objeto de
metalenguajes semánticos es un resultado teórico independiente del uso estándar de los
lenguajes naturales, los cuales poseen predicados semánticos.
o Además, en la jerarquía se respeta el principio de que cada lenguaje no posee un
predicado de verdad que pueda aplicarse a los enunciados de ese mismo lenguaje.
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2.
A. Punto problemático: Los predicados de verdad de cada lenguaje tienen que predicar
(falsedad) de infinitos enunciados.
B. Explicación:
Lo que se desea es formalizar cada una de las instancias del siguiente enunciado:
( Sk ) Todos los enunciados S expresados en un lenguaje de grado superior a k son falsos.
Como se ve, en cada instancia de aquel enunciado habrá una cuantificación universal
aplicada a una jerarquía infinita de lenguajes. Hay dos maneras posibles de formalizar los
enunciados, cada una involucra una tesis semántica distinta. Puede optarse por:
 Que cada Lenguaje de grado n posee un predicado de verdad T de grado n que sólo puede
predicar verdad de enunciados de grado n+1;
 La opción seguida en el trabajo según la cual T n puede predicar verdad de enunciados de grado
n+k, con k mayor a cero.
4
O anterior, según convenga para la presentación del argumento.
Mostraré los compromisos involucrados en la primera opción.
Si se opta por la primera opción, la única manera de expresar enunciados de la forma Sk es
mediante una conjunción infinita. El primer conjunto dirá que la oración S k 1 , en L k 1 , es falsa; el
segundo dirá que es verdadera la oración, en L k 1 , que dice que S k 2 , en L k  2 , es falsa y así
sucesivamente. Formalmente:
( Sk ) T k (S k 1 )  T k (T k 1 (S k 2 ))  T k (T k 1 (T k 2 (S k 3 )))  …
Como se ve, este enunciado es infinito y eso es inaceptable.
Por lo tanto, parece más plausible formalizar el argumento utilizando predicados de verdad
de capaces de predicar (falsedad) de infinitos enunciados (cada uno expresado en un lenguaje de
grado superior al del predicado de verdad que predica).
C. Argumentos en contra de la paradoja:
Aquella capacidad predicativa excede lo aceptable.
Tal la cita de Kripke revela, los teoremas estándar sólo permiten construir Lenguajes que
prediquen verdad sólo sobre el Lenguaje inmediatamente posterior (o anterior, según sea
planteada la cuestión), con lo cual el argumento nuevamente no parece aplicarse a la idea
estándar de jerarquías de lenguajes.
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D. Argumentos a favor de la paradoja:
Utilizar un predicado de verdad que predique falsedad de una infinidad de enunciados no viola
ninguna de las reglas estándar sintácticas de construcción de enunciados.
Semánticamente, es usual predicar sobre una infinidad de objetos. Basta con definir, como
Dominio de interpretación de cada uno de los Lenguajes de orden n, uno que incluya todos los
enunciados expresables en Lenguajes de orden mayor a n.
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3.
A. Punto problemático: La aplicación del esquema-T.
B. Explicación:
Es necesario para la formulación de la paradoja poder aplicar el esquema-T de modo que
un enunciado de orden α ( P ) puede ser argumento de distintos predicados de verdad de grado
inferior y, por lo tanto, se pueden aplicar esquemas-T de distinto orden (con predicados de verdad
de distinto orden) a un enunciado único. Más formalmente, si:
 (Qk )T k ( p)
(Qk r )T k r ( p) 5
Se necesita que Qk  Qk r . Con cualesquiera k y r naturales, con k>r.

C. Argumento en contra de la paradoja: La aplicación es sospechosa.
D. Argumento a favor la paradoja:
Si se concede un principio altamente intuitivo, puede hacerse una demostración que valide
el paso.
El principio dice lo siguiente: Si un predicado de verdad de orden n, T n , predica verdad (o
falsedad) de un enunciado O, formulado en un Lenguaje L k (k>n), entonces todos los predicados
de verdad que puedan predicar verdad (o falsedad) de O lo harán (tanto aquellos de grado mayor
como menor a n ).
5
De más está decir que p es un enunciado formulado en un Lenguaje de grado superior a k.
Más intuitivamente, lo que el principio dice que si algo es verdadero para L k , lo es para un
lenguaje de menor o igual potencia semántica como L k  j . Y viceversa, si algo es verdadero para
un Lenguaje, deberá ser verdadero para todos los lenguajes de potencia expresiva mayor.
Lo que este principio conserva es la coherencia semántica general de la jerarquía de
lenguajes. Hasta el momento no he encontrado una demostración de este principio, pero en
cualquier caso debe tomarse como válido si se quiere conservar la coherencia semántica.
Si se concede este principio, la siguiente demostración valida la aplicación del esquema-T
necesaria para la formulación de la Paradoja.
Sea:
 (Qk )T k ( p)
 (Qk r )T k r ( p) 6
Sean k y r números naturales cualquiera, con k>r.
Se quiere probar, esquemáticamente:
Sk  S k  r
Parte 1: Qk  Qk r
Sea Qk .
 T k ( p) 7
 T k 1 ( p) 8
…
 T k  r ( p)
 Qk r
Parte 2: Qk r  Qk
Sea Qk r .
 T k  r ( p) 9
 T k  r 1 ( p) 10
…
 T k r  r ( p)
 T k ( p)
 Qk
Conclusión: Qk  Qk r
4.
A. Punto problemático: La regla- ω.
B. Argumentos en contra de la paradoja:
6
7
De más está decir que p es un enunciado formulado en un Lenguaje de grado superior a k.
Como k y r son números naturals, Qk y Qk r son enunciados sin variables libre y es válida la aplicación del
esquema-T.
8
Por el principio antes enunciado.
9
Por el esquema-T.
10
Por el principio antes enunciado.

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

Se podría interrogar, como condición para aplicar la regla, desde que lenguaje se aplica la
regla-ω. El desarrollo del argumento involucró hablar sobre todos los lenguajes de la jerarquía
infinita de lenguajes L 1 , L 2 , L 3 , etc. Hay dos maneras de hacer esto:
o La primera opción es pensar que la paradoja está formulada en el lenguaje natural.
o Una opción es comenzar con la jerarquía con un L 1 en el cual no hay ninguna oración
de Yablo formulada. Así, L 1 puede hablar de la semántica de los lenguajes L 0 en
adelante. Luego se objetará algo respecto de esto.
o La otra opción es suponer que la paradoja está formulada en un Lenguaje-ω, es decir, un
lenguaje del orden del primer ordinal transfinito11. Nuevamente surge la cuestión de si
la paradoja genuinamente atenta contra la idea de jerarquías de lenguaje.
Se podría objetar que la regla-ω no es una regla de inferencia válida.
o Posee infinitas premisas y ningún ser finito puede acceder al conocimiento de infinitas
premisas.
o Su aceptación lleva a aceptar una lógica infinitista, en donde las nociones de inferencia
sintáctica o demostración deben verse reformuladas.
o Son conocidos los resultados de Skolem que muestran que hay modelos no estándar de
la aritmética en los cuales la regla no es aplicable.
C. Argumentos a favor de la paradoja:
En cuanto a la objeción del Lenguaje-ω, se puede contraargumentar que si bien Tarski no
desarrolló la idea de lenguajes de orden transfinito, es perfectamente consistente con los
desarrollos estándar de las jerarquías de lenguajes.
En cuanto a la segunda, la problemática excede esta exposición y se verá tratada a lo largo de
todas las mesas. Sin embargo, se pueden sostener algunos dos argumentos defensivos para el
caso particular de esta paradoja.
o Por un lado, la regla-ω parece un principio válido de razonamiento que matemáticos y
lógicos usan regularmente en sus razonamientos intuitivos. Es altamente intuitivo que si
poseemos un esquema de demostración aplicable a todos los números naturales que
permitiría demostrar, para cada uno, que posee una propiedad P, o una lista infinita con
estas demostraciones; entonces estaríamos dispuestos a aceptar el enunciado que dice
que todos los números naturales poseen la propiedad P.
o Por otro lado, se ha mostrado que la regla-ω es expresable en lógica de segundo orden y
que gracias a ella se podría mostrar, entre otras cosas, que en segundo orden la
aritmética sólo posee modelos isomórficos con el estándar, que son los únicos deseados.
D. Un nuevo argumento en contra de la paradoja: Para formular la paradoja es necesaria la
regla-ω. Luego, si el lenguaje en el que está formulada la paradoja debe poder aplicar
aquella regla. Pero la única manera razonable hasta ahora presentada de aplicar la regla, es
suponiendo que aquél lenguaje es de segundo orden. La otra opción es formularla en el
lenguaje natual. Ambas posibilidades siguen debilitando la idea de que la Paradoja de
alguna manera atenta contra la idea jerárquica de lenguajes.
En el trabajo he formalizado y desarrollado hasta sus últimas consecuencias una paradoja hasta
ahora sólo presentada informalmente e intuitivamente. Señalé los cuatro puntos objetables de la
misma y recuperé y elabore argumentos a favor y en contra de si la paradoja presenta
11
Se pensará con razón que tal como está presentada la cuestión, L  sólo podrá predicar sobre lenguajes de grado
superior. Sin embargo, como está especificado en la nota 1, la paradoja podría formularse análogamente con una
jerarquía decreciente de lenguajes, cada uno de los cuales puede hablar de todos los inferiores. En una presentación así,
L  cumpliría lo requerido.
genuinamente una amenaza en contra de la idea jerárquica de lenguajes. En breve habrá espacio
para que el auditorio intercambie opiniones y saque sus propias conclusiones.