GEOMETRÍA

GEOMETRÍA
De acuerdo con la mayoría de las versiones la geometría fue descubierta en Egipto, teniendo su origen
en la medición de áreas, ya que esta era una necesidad para los egipcios, debido a que el Nilo, al
desbordarse barría con las señales que indicaban los limites del terreno de cada quien.
El conocimiento de los métodos de cálculo de los egipcios y su aplicación en distintos problemas proviene de
las inscripciones talladas en piedras, de los calendarios y sobre todo de algunos papiros.
Entre los más antiguos cabe destacar, especialmente dos: el papiro Golenischevse que se conserva en Moscú y
el papiro Rhind o de Ahmes que se haya en el British Museum.
Los saberes matemáticos en el Antiguo Egipto tuvieron un origen práctico. Alcanzaron un gran nivel en las
manipulaciones aritméticas pero sus métodos eran toscos y sin grandes generalizaciones.
Casi no hay simbolismo y los egipcios eran poco dados a investigaciones abstractas.
Trabajaron sobre todo en geometría y aritmética.
Esta opinión es compartida por otros autores, aunque todas ellas, incluso la arriba citada parecen tener
origen en el pasaje de Herodoto que señala que en tiempos de Ramsés II (1300 a.C.).
La tierra se distribuía entre los egipcios en terrenos rectangulares iguales, por los que pagaba un
impuesto anual, y cuando el río inundaba parte de su tierra, el dueño pedía una deducción proporcional
en el impuesto, y los agrimensores de aquel tiempo tenían que certificar que tal fracción de tierra había
sido inundada.
Esta es mi opinión (comenta Herodoto) el origen de la geometría que después paso a Grecia.
Posiblemente esta afirmación de Herodoto no es mas que una simple descripción de lo recogido por el
en Egipto.
Lo cierto es que los griegos nunca lo negaron.
La geometría es la ciencia que estudia la forma y posición de la figuras y nos enseña a medir su
extensión.
HISTORIA DE LA GEOMETRIA
La matemáticas, históricamente, comenzaron con la geometría.
Geometría (del griego geo, tierra, metrein, medir) rama de las matemáticas que se ocupa de las
propiedades del espacio.
En su forma mas elemental, la geometría se preocupa de problemas métricos como el calculo del área y
volumen de cuerpos sólidos.
Otros campos de la geometría son la geometría analítica, geometría descriptiva, topología, geometría de
espacios con cuatro o mas dimensiones, geometría fractal , y geometría no euclídea.
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Geometría demostrativa primitiva
El origen del termino geometría es una descripción precisa del trabajo de los primeros geómetras, que
se interesaban en problemas como la medida del tamaño de los campos o el trazado de ángulos rectos
para las esquinas de los edificios.
Este tipo de geometría empírica que floreció en el antiguo Egipto, sumeria y Babilonia, fue refinado y
sistematizado por los griegos.
En el siglo VI a.C. el matemático Pitágoras coloco la piedra angular de la geometría científica al
demostrar que las diversas leyes arbitrarias e inconexas de la geometría empírica se peden deducir
como conclusiones lógicas de un numero limitado de axiomas, o postulados.
Estos postulados fueron considerados por Pitágoras y sus discípulos como verdades evidentes; sin
embargo, en el pensamiento matemático moderno se consideran como un conjunto de supuestos útiles
pero arbitrarios.
Un ejemplo típico de los postulados desarrollados y aceptados por los matemáticos griegos es la
siguiente afirmación: una línea recta es la distancia mas corta entre dos puntos.
Un conjunto de teoremas sobre las propiedades de puntos, líneas, ángulos y planos se puede deducir
lógicamente a partir de estos axiomas.
Entre estos teoremas se encuentran: la suma de los ángulos de cualquier triangulo es igual a la suma de
dos ángulos rectos, y el cuadrado de la hipotenusa de un triangulo rectángulo es igual a la suma de los
cuadrados de los otros dos lados (conocido como teorema de Pitágoras).
La geometría demostrativa de los griegos, que se ocupaba de los polígonos y círculos y de sus
correspondientes figuras tridimensionales, fue mostrada rigurosamente por el matemático griego
Euclídes, en su libro los elementos.
El texto de Euclídes, a pesar de sus imperfecciones, ha servido como libro de texto básico de geometría
hasta casi nuestros días.
Primeros problemas geométricos
Los griegos, y en particular Apolonio de Perga estudiaron la familia de curvas conocidas como cónicas
y descubrieron muchas de sus propiedades fundamentales.
Las cónicas son importantes en muchos campos de las ciencias físicas, por ejemplo las orbitas de los
planetas son fundamentalmente cónicas.
Arquímedes, uno de los grandes científicos griegos, hizo un considerable numero de aportaciones a la
geometría.
Invento forma de medir el área de ciertas figuras curvas, así como la superficie y el volumen de sólidos
limitados por superficies curvas como paraboloides y cilindros.
También elaboro un método par calcular una aproximación del valor de pi, y estableció que este
numero estaba entre 3 10/70 y 3 10/71.
Geometría analítica
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La geometría avanzo muy poco desde el final de la era griega hasta la edad media. el siguiente paso
importante en esta ciencia lo dio el filosofo francés Rene Descartes, cuyo tratado el discurso del método,
publicado en 1637, hizo época.
Este trabajo fraguó una conexión entre la geometría y el álgebra al demostrar como aplicar los métodos
de una disciplina en la otra.
Este es un fundamento de la geometría analítica, en la que las figuras se representan mediante
expresiones algebraicas, sujeto subyacente en la mayor parte de la geometría moderna.
Otro desarrollo importante del siglo XVII fue la investigación de las propiedades de las figuras
geométricas que no varían cuando las figuras son proyectadas de un plano a otro.
Modernos avances
La geometría sufrió un cambio radical en dirección en el siglo xix los matemáticos Carl Freidrich
Gauss, Nikolai Lobachevski, y Janos Boylai, trabajando por separado, desarrollaron sistemas
coherentes de geometría no euclídea.
Estos sistemas aparecieron a partir de los trabajos sobre le llamado postulado paralelo de Euclídes, al
proponer alternativas que generan modelos extraños y no intuitivos de espacio, aunque, esos si,
coherentes.
Casi al mismo tiempo, el matemático británico Arthur Cayley, desarrollo la geometría para espacios
con mas de tres dimensiones.
Imaginemos que una línea es un espacio unidimensional.
Si a cada uno de los puntos de la línea se sustituye por una línea perpendicular a ella, se crea un plano,
o espacio bidimensional.
De la misma manera, si a cada punto del plano se le sustituye por una línea perpendicular a él, se
genera un espacio tridimensional.
Yendo mas lejos, si cada punto del espacio tridimensional se sustituye con una línea perpendicular
tendremos un espacio tetradimensional.
Aunque esto es físicamente imposible, e inimaginable, es conceptualmente sólido.
El uso de conceptos con mas de tres dimensiones tiene un importante numero de aplicaciones en las
ciencias físicas, en particular en el desarrollo de teorías de la relatividad.
LINEAS Y ÁNGULOS
Las líneas pueden ser rectas o curvas.
Un segmento es una porción de línea recta que está limitada por dos puntos en sus extremos.
Cuando dos segmentos son iguales, se dice que son congruentes.
Dos líneas que están en un mismo plano y no se cruzan, se llaman líneas paralelas.
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Cuando los 4 ángulos que se forman entre dos líneas semirrectas son iguales, se dice que son líneas
perpendiculares.
a) Ángulo agudo: su abertura es menor de 90º.
b) Ángulo recto: ángulo que forman entre sí dos semirrectas perpendiculares. Mide 90º.
c) Ángulo obtuso: su abertura es mayor a 90º.
d) Ángulo llano: ángulo formado entre el vértice de 2 semirrectas. Mide 180º.
e) ángulo entrante: su abertura es mayor a la de un ángulo llano. Mide más de 180º.
CLASIFICACIÓN DE TRIÁNGULOS SEGÚN SUS ÁNGULOS Y SUS LADOS
Los triángulos son figuras que tienen tres lados y tres ángulos.
No todos los triángulos son iguales.
Por eso la geometría los clasificó.
Los triángulos son clasificados principalmente de:
• Lados.
• Ángulos.
Los lados que definen a un triángulo generalmente se conocen como:
• Isósceles: posee dos lados iguales y uno diferente.
• Equilátero: tiene sus tres lados iguales.
• Escaleno: posee sus tres lados diferentes.
Tipos de triángulos según sus ángulos:
• Rectángulo: contiene un ángulo un ángulo de 90º que se encuentra enfrente de la hipotenusa.
• Acutángulo: sus tres ángulos son menores de 90º.
• Obtusángulo: tiene un ángulo mayor a 90º.
TEOREMA DE PITÁGORAS
Pitágoras fue un filósofo y matemático griego que vivió en el periodo 585 − 500 A. C. Hombre místico y
aristócrata que fundó la Escuela Pitagórica, una especie de secta cuyo símbolo era el pentágono estrellado, y
dedicada al estudio de la filosofía, la matemática y la astronomía.
El conocimiento del teorema de Pitágoras es milenario y no obstante que ha sido demostrado en muchas
formas diferentes y de que aparentemente ya se conoce todo con respecto a este teorema, muchas propiedades
sorprendentes de la ecuación Pitagórica han permanecido ocultas.
El teorema de Pitágoras es un teorema que se aplica exclusivamente a triángulos rectángulos, y nos sirve para
obtener un lado o la hipotenusa de un triángulo, si es que se conocen los otros dos.
El teorema se enuncia así:
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c2 = a2+ b2
Hipotenusa = cateto a al cuadrado + cateto b al cuadrado
donde a y b son los lados del triángulo rectángulo, y c siempre es la hipotenusa (el lado más grande del
triángulo).
EL ÁNGULO POLIÉDRICO
El ángulo poliédrico o poliedro es la porción de espacio determinada por varias ( tres o mas)
semirrectas con origen común dadas por un cierto orden.
Las semirrectas se llaman aristas del angulo poliedro y el punto común es su vértice.
Cada dos aristas consecutivas forman un angulo que se llama cara.
La ultima de las aristas forma una cara con la primera.
Se dice que un angulo poliedro es convexo cuando todo el cuerpo esta en el mismo semi espacio respecto
a cada una de sus caras.
En todo caso contrario se llama cóncavo.
La suma de las caras de un angulo poliédrico es menor que 360º cada cara de un angulo poliédrico es
menor que la suma de todas las demás.
El angulo poliédrico de tres caras se llama triedo.
CLASIFICACIÓN Y TRAZO DE CUADRILÁTEROS
Cuadrilátero: es todo polígono de 4 lados.
Paralelogramo: cuadriláteros cuyos lados opuestos son paralelos. También es paralelogramo si éste tiene sus
ángulos completamente iguales.
Base: generalmente es el lado más grande de la figura.
Altura: perpendicular a la base. Trazada desde el lado opuesto.
Cuadrado: paralelogramo que tiene los lados iguales y todos los ángulos son rectos.
Rectángulo: paralelogramo que tiene los lados contiguos desiguales y todos sus ángulos son rectos.
Rombo: paralelogramo cuyos lados son iguales y sus ángulos oblicuos.
Romboide: paralelogramo que tiene los lados desiguales y los ángulos oblicuos.
Trapecio: cuadrilátero que sólo tiene dos lados paralelos.
Los trapezoides son cuadriláteros cuyos lados no son paralelos. Ninguno de ellos.
Es una figura irregular.
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El trapecio isósceles es aquel trapecio que tiene sus dos lados laterales iguales, tiene dos bases, una mas
grande que otra.
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CLASIFICACIÓN DE POLÍGONOS
− La suma de los lados que forma el polígono es el perímetro.
− La recta que une 2 vértices no consecutivos de un polígono es la diagonal.
− los polígonos de 3 lados se llaman triángulos.
− los polígonos de 4 lados se llaman cuadriláteros.
− los polígonos de 5 lados se llaman pentágono.
− los polígonos de 6 lados se llaman hexágonos.
Los polígonos regulares son los que tienen sus lados y ángulos iguales.
Los polígonos irregulares son los que tienen 1 o más de sus ángulos y lados diferentes.
Polígono: figura cerrada y plana delimitada por segmentos de recta llamados lados que se cortan 2 a 2 en
puntos llamados vértices. Son polígonos los triángulos, cuadriláteros, pentágonos, hexágonos, etc.
Un polígono es convexo cuando su contorno se intercepta a lo sumo en dos puntos con una recta cualquiera y
cóncavo en caso contrario.
Un polígono es equilátero si sus lados son iguales y equiángulos si lo son sus ángulos. Es regular si es
equiángulo y equilátero.
El área del polígono regular es igual al producto del semiperímetro por la apotema.
ÁREA DE LOS POLÍGONOS REGULARES
Para sacar el área de los polígonos regulares sólo se necesitan diferentes fórmulas para las diferentes
figuras. Por ejemplo:
Cuadrado: L x L
Rectángulo: b x h
Triángulo: b x h
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Trapecio: B mayor x B menor x h
2
Triángulo rectángulo: b x h x 2
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Círculo:
Para sacar el perímetro es mucho más sencillo, sólo se tienen que sumar los lados de la figura o en caso
de que sean iguales, multiplicar la medida del lado por el número de catetos:
Cuadrado: lado + lado + lado + lado
Rectángulo: 2 x base + 2 x altura
Triángulo: lado + lado + lado
Círculo:
EL CÍRCULO
LÍNEAS Y SEGMENTOS
El circulo es la figura formada por la circunferencia y la superficie interna que limita.
La circunferencia es una línea curva cerrada cuyos puntos se encuentran todos a la misma distancia de otro
punto llamado centro.
La circunferencia y el circulo contiene los siguientes elementos:
• Centro: es el punto que está a la misma distancia de todos los puntos de una circunferencia.
• Radio: es el segmento que une el centro de la circunferencia con un punto cualquiera de la
circunferencia. Los radios de una circunferencia son congruentes entre si.
• Cuerda: es el segmento que une a dos puntos de la circunferencia.
• Diámetro: es la cuerda mayor de un circulo y pasa por el centro. Su longitud equivale a dos radios.
• Arco: es la parte de la circunferencia comprendida entre dos puntos cuales quiera.
• Tangente: es la recta que toca la circunferencia en solo un punto llamado punto de tangencia. Es
perpendicular al radio que va al punto de tangencia.
• Secante: es la recta que corta la circunferencia en dos puntos.
• Recta exterior: es la que no toca ningún punto de la circunferencia.
ÁNGULOS Y ARCOS EN EL CÍRCULO
• Ángulo central: es el que tiene su vértice en el centro de la circunferencia, los lados de una ángulo
central cortan la circunferencia en dos puntos.
• Angulo inscrito: es el que tiene por vértice un punto de la circunferencia y cuyos lados son secantes a
ésta.
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• Angulo semiinscrito: es el ángulo que tiene por vértice un punto de la circunferencia . uno de sus
lados es tangente a la circunferencia y el otro es secante a ésta.
• Angulo interior: es el que tiene su vértice dentro de la superficie que limita la circunferencia .
Los ángulos centrales de una circunferencia son ángulos interiores cuyo vértice es el centro de la
circunferencia.
• Angulo exterior: es el que tiene su vértice fuera de la superficie que limita la circunferencia y sus
lados son tangentes o secantes a ésta.
• Angulo circunscrito: es el ángulo exterior cuyos dos ángulos son tangentes a la circunferencia.
Un ángulo central mide lo mismo que su arco correspondiente .
Medida del ángulo inscrito: la medida de un ángulo inscrito en un circulo es igual que la mitad del arco
central interceptado. El ángulo inscrito en una semicircunferencia determina un arco de 180º. Como la medida
del ángulo es la mitad del arco, este ángulo es recto, es decir, mide 90º.
CONSTRUCCIÓN DE UNA CIRCUNFERENCIA QUE PASA POR TRES PUNTOS
Tres puntos que no estén alineados constituyen los vértices de un ángulo.
Si a cada lado del triángulo se traza su mediatriz, veremos que las tres mediatrices se interceptan en un punto
cuya particularidad es estar a la misma distancia de los tres vértices.
Tres puntos no alineados nos definen los vértices de un triángulo. Una circunferencia que pasa por tres puntos
no alineados tiene su centro en la intersección de las mediatrices de los lados del triángulo.
PERIMETRO Y ÁREA DE LOS CÍRCULOS
El perímetro de un círculo se encuentra utilizando la siguiente fórmula:
El área del círculo se obtiene empleando ésta fórmula:
LA ESFERA
PARTES DE LA SUPERFICIE ESFÉRICA
Es el sólido engendrado al girar una semicircunferencia alrededor de su diámetro. Las partes de la superficie
esférica son:
• Centro: es el punto que se encuentra a la misma distancia de cada punto de la superficie esférica.
• Diámetro de la superficie esférica: es todo segmento que contenga el centro y cuyos extremos sean
dos puntos de ella.
• Radio de la superficie esférica: es todo segmento que parte del centro a un punto cualquiera de la
superficie esférica.
VOLUMEN Y ÁREA DE LA ESFERA
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El área de una superficie esférica se calcula con la siguiente fórmula:
El volumen de una esfera se calcula con la fórmula:
ÁREA DE POLÍGONOS IRREGULARES
Para sacar el área de las figuras irregulares, no hay fórmulas, ya que todas las figuras son muy diferentes, por
lo que cada figura irregular tiene que dividirse en regulares para sacar el área de las figuras regulares y
después sumarlas para después obtener el área total de la figura irregular.
Para conseguir el perímetro de una figura irregular tampoco se necesitan fórmulas, sólo se necesita sumar
cada uno de los lados de la figura, como en el siguiente ejemplo.
• Conseguir el perímetro de una estrella de cinco picos con 47 cm de lado.
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