GEOMETRÍA ANALÍTICA.

GEOMETRÍA ANALÍTICA.
La geometría analítica es la rama de la geometría en la que las líneas rectas, las curvas y las figuras
geométricas se representan mediante expresiones algebraicas y numéricas usando un conjunto de ejes y
coordenadas. Cualquier punto del plano se puede localizar con respecto a un par de ejes perpendiculares
dando las distancias del punto a cada uno de los ejes.
La geometría avanzó muy poco desde el final de la era griega hasta la edad media. El siguiente paso
importante en esta ciencia lo dio el filósofo y matemático francés René Descartes, cuyo tratado El Discurso
del Método, publicado en 1637, hizo época. Este trabajo fraguó una conexión entre la geometría y el álgebra
al demostrar cómo aplicar los métodos de una disciplina en la otra. Éste es un fundamento de la geometría
analítica, en la que las figuras se representan mediante expresiones algebraicas, sujeto subyacente en la mayor
parte de la geometría moderna.
ANTECEDENTES HISTORICO.
En el siglo XVII con la geometría analítica nace la matemática moderna, en el siglo de Descartes, Galileo,
Newton, Leibniz y Fermat. El álgebra y la trigonometría adquieren cierta madurez, condiciones
particularmente favorables para la ciencia matemática obtenga una fecundidad maravillosa.
Los resultados de tales condiciones favorables pronto se harán sentir, y en siglo XVII verá en primer lugar una
admirable nueva rama de la matemática: la geometría analítica, que produce en esa ciencia verdadera
revolución (fue comparada con la revolución industrial).
Mas tarde se vera surgir el análisis infinitesimal en su doble aspecto: como algoritmo del infinito, y como
instrumento indispensable para el estudio de los fenómenos naturales.
En el siglo XVII asiste al nacimiento de la teoría de los números, del calculo de la probabilidad y de la
geometría proyectiva.
El advenimiento de la geometría analítica esta vinculado con el gran filósofo Rene Descartes (1596−1650).
La geometría analítica se conoce también con le nombre de geometría cartesiana.
En 1637, en Leyden, Descartes publico el discurso DEL MÉTODO obra celebre formada por tres ensayos: La
Dióptrica, Los Meteoros y la Geometría.
El concepto de sistema coordenado, que caracteriza a la geometría analítica se encuentra en la obra geometrie
(1637), tratado de poco mas de cien paginas. Su aportación principal es la unificación de del álgebra con la
geometría; su fundamento es la correspondencia entre los números reales y los puntos de una línea.
El primer capitulo del libro primero de los tres que componen la Geometría trata sobre como el calculo de la
aritmética se relaciona con las operaciones de la geometría.
En el libro primer capitulo del libro primero de los tres que componen la Geometría trata sobre como el
calculo de la aritmética se relaciona con las operaciones geométricas.
Otro gran matemático fue Fermat (1601−1665) contemporáneo de Descartes, realizo trabajos relacionados con
la geometría analítica en el año 1629 y cuya aproximación a la Geometría Analítica es mas exacta a la obra de
descartes.
1
La obra geométrica de Fermat es importante, pues enseña a interpretar ecuaciones con dos variables,
considerando rectas, elipse, parábolas e hipérbolas.
Rene Descartes y su famoso DISCURSO DEL MÉTODO es un tratado celebre para conducir bien las razón y
buscar la verdad en las ciencias.
MODERNOS AVANCES.
La geometría sufrió un cambio radical de dirección en el siglo XIX. Los matemáticos Carl Friedrich Gauss,
Nikolái Lobachevski, y János Bolyai, trabajando por separado, desarrollaron sistemas coherentes de geometría
no euclídea. Estos sistemas aparecieron a partir de los trabajos sobre el llamado "postulado paralelo" de
Euclides, al proponer alternativas que generan modelos extraños y no intuitivos de espacio, aunque, eso sí,
coherentes.
Casi al mismo tiempo, el matemático británico Arthur Cayley desarrolló la geometría para espacios con más
de tres dimensiones. Imaginemos que una línea es un espacio unidimensional. Si cada uno de los puntos de la
línea se sustituye por una línea perpendicular a ella, se crea un plano, o espacio bidimensional. De la misma
manera, si cada punto del plano se sustituye por una línea perpendicular a él, se genera un espacio
tridimensional. Yendo más lejos, si cada punto del espacio tridimensional se sustituye por una línea
perpendicular, tendremos un espacio tetradimensional. Aunque éste es físicamente imposible, e inimaginable,
es conceptualmente sólido. El uso de conceptos con más de tres dimensiones tiene un importante número de
aplicaciones en las ciencias físicas, en particular en el desarrollo de teorías de la relatividad.
También se han utilizado métodos analíticos para estudiar las figuras geométricas regulares en cuatro o más
dimensiones y compararlas con figuras similares en tres o menos dimensiones. Esta geometría se conoce
como geometría estructural. Un ejemplo sencillo de este enfoque de la geometría es la definición de la figura
geométrica más sencilla que se puede dibujar en espacios con cero, una, dos, tres, cuatro o más dimensiones.
En los cuatro primeros casos, las figuras son los bien conocidos punto, línea, triángulo y tetraedro
respectivamente. En el espacio de cuatro dimensiones, se puede demostrar que la figura más sencilla está
compuesta por cinco puntos como vértices, diez segmentos como aristas, diez triángulos como caras y cinco
tetraedros. El tetraedro, analizado de la misma manera, está compuesto por cuatro vértices, seis segmentos y
cuatro triángulos.
Otro concepto dimensional, el de dimensiones fraccionarias, apareció en el siglo XIX. En la década de 1970 el
concepto se desarrolló como la geometría fractal.
DISTANCIAL ENTRE DOS PUNTOS.
Las herramientas analíticas básicas son formulas para traducir los conceptos geométricos en ecuaciones y en
expresiones algebraicas equivalentes.
Para determinar estas formulas, comenzaremos con el mas sencillo en la Geometría Analítica, de acuerdo con
el teorema de Pitágoras.
EJEMPLO:
1)Demostrar que los cuatro puntos son vértices de un paralelogramo.
A)(0, −2.5)
B)(6, 0)
2
C)(3, 4)
D)(−3, 1.5)
Solución:
El cuadrilátero del problema es indicado en la figura siguiente:
Y C(3, 4)
D(−3, 2.5) B(6, 0)
X´
0
A (0, −2.5)
Y´
Por la formula de distancia entre dos puntos, tenemos:
AB = (X2 − X1)2 + (Y2 − Y1)2 = " (6 − 0)2 + (0 − (−2.5))2
AB = " 62 + 2.52 = " 36 + 6025 = " 42.25 = 6.5
BC = " (3 − 6) + (4−0)2 = " −32 + 42 = " 9 + 16 = "25
BC = 5
CD = " (−3 −3)2 + (1. 5) = " −62 + 2.52 = " 36 + 6.25
CD = "42.25 = 6.5
AD = " (0 − 3)2 + (1.5 − (2.5)) = " −32 + 42 = " 9 + 16
AD = "25 = 5
2)Compruébese que el triangulo con los vértices en los puntos A(−4, 3), B(0, 2), C(2, −5) es obtusángulo.
A(−4, 3) y
B(0, 2)
x
C(2, −5)
AB = " (0 − (4))2 + (2 − 3)2
AB = " 42 − 12 = " 16 + 1 = "17
3
BC = " (2 − 0)2 + (−5 − 2)2 = "22 − 72 = "4 + 49 = "53
AC = "(2 − (−4)2 (−5 −3) 2 = "22 − 72 = " 4 + 49 = "53
AC = 10
3)Demostrar que los puntos A(3, −2), B(0, 4), C(−2, 8)son colineales, es decir, que esta sobre la misma línea.
Solucion:
AB = "(0 − 3)2 + (4 − (−2))2 = "−32 + 62 = "9 + 36
AB = "45 = "9(5) = 3 "5
BC = "(−2−0)2 +(8 − 4)2 = "−22 + 42 = "4 + 16
BC = "20 = "4(5) = 2"5
AC = "(−2 − 3)2 + (8 − (−2))2 = "−52 + 102 = "25 + 100
AC = "125 = "25(5) = 5"5
Sustituyendo obtenemos:
3"5 + 2"5 = 5"5
5"5 = 5"5, los puntos son colineales
AREA DE UN TRIANGULO.
Encontrar el arrea de un triangulo cuyos vértices son:
A(−2, 3) Y
B(−4, −1) A(−2,3)
C(3, −2)
B(−4, −1) X
C(3, −2)
Sustituyendo en:
A = ½ (X1 Y2 + X2Y3 + X3Y1 − X1 Y3 − X2Y1 − X3Y2)
A = ½ [(−2)(−1) + (−4)(−2) + (3)(3) − (−2)(−2) − (−4)(3) − (3)(−1)]
A = ½ (2 + 8 + 9 − 4 + 12 + 3) = ½ (30) A = 15U2
Usando determinantes se repiten las dos primeras filas horizontales y tenemos:
4
X1 y1 1
A = ½ X2 y2 1
X3 y3 1
−2 3 1
−4 −1 1
½ 3 −2 1
−2 3 1
−4 −1 1
= ½ [(2 + 8 + 9) − (12 + 4 − 3)]
A = ½ [19 − (−11)] = ½ (19 + 11) = ½ = 15U2
AREA DE UN POLÍGONO.
La formula para contraer el área de un polígono de mas de tres lados, se expresan por un determinante de
orden n.
X1 y1
A = ½ X2 y2
X3 y3
X4 y4
..
Ejemplo:
Hallar el arrea del polígono cuyas coordenadas son los vértices:
A(1, 5)
B(−2, 4)
C(−3, −1) y
D(2, −3)
E(5, 1) (1, 5)
(−2, 4)
(5,1)
5
(−3, −1) X
(2, −3)
15
−2 4
A= ½ −3 −1 = ½ [(4 + 2 + 9 + 2 + 2 + 25)−(1 − 15 − 2 −12 −10)]
2 −3
51
15
A = ½ [42 − (−38)] = ½ (42 + 38) = ½ (80) = 40U2
1) Encontrar la pendiente y el ángulo de inclinación de la recta que pasa por los puntos P1(−1, −5) y P2(5, 4).
SOLUCION:
y2 − y1 4 −(−5) 9 3
M = −−−−−−− = −−−−−−−−− = −−− = −−−− = 1.5
X2 − x1 5 − (−1) 6 2
.
Inclinación P1 P2 = ángulo. Tangente 1.5 . . = 56° 18´35´´
2)Hallar el ángulo que forma con el eje X la recta que une los puntos A(−2, 1) y B(2, −3)
Solución:
y2 − y1 −3 − 1 −4
M = −−−−−−− = −−−−−−−−− = −−− = −1
X2 − x1 2 −(−2) 4
Buscamos en las tablas trigonométricas el ángulo que corresponda a la tangente dada:
.
Inclinación AB = ang tan −1 180° − 45 . . = 135°
1) Aplicando el concepto de pendiente, demostrar que los puntos A(−3, 1), B(4, −2) y C(2, 3) son los vértices
de un triangulo rectángulo.
y C(2, 3)
6
A(−3, 1)
x
B(4, −2)
Pendiente de AC
3−12
M1 = −−−−−−−−− = −−−−
2 − (−3) 5
3 −(−2) 5
M2 = −−−−−−−−−− = − −−−−
2−42
PARTES DE UN SEGMENTO DANDO UNA RAZÓN.
La parte de un segmento puede ser exactamente a ala mitad, en este caso se utiliza la formula de punto medio,
existen segmentos que sus cortes no están a la mitad; en estos casos se da una razón proporcional de la
capacidad de un segmento, es decir cuantas veces cave este segmento en otro.
A(2, 5)
B(4, 2)
C(1, 1)
LADO 1 = (2 , 5)
LADO 2 = (4, 2)
LADO3 = (1, 1)
"(4 − 2)2 + (2 − 5)2
"(2)2 + (−3)2
" 13
= 3.6
AB = 3.6
BC = 3.1
CA = 4.1
7
PUNTO MEDIO.
1) Uno de los puntos extremos de un segmento es el punto A(7, 8), y su punto medio es P(4, 3). Hallar el otro
extremo.
Solución:
A(7, 8) p(4, 3)
A(x1, y1) p(x, y) y B(x2, y2)
Sustituyendo los valores de estas coordenadas en la formula de punto medio. Obtenemos:
X1 + X2 7 + X2
X = −−−−−−− ; 4 = −−−−−−−− ; 8 = 7 + X2 ; X2 = 8 − 7 = 1
22
y1 + y2 8 + y2
y = −−−−−−− ; 3 = −−−−−−−−− ; 6 = 8 + y2 ; y2 = 6 − 8 = −2
22
Las coordenadas del otro punto son B(1, −2)
Y
P(4, 3)
X´ X
B(1, −2)
Y´
FORMAS DE ECUACIÓN DE LA RECTA.
La línea recta como concepto matemático pertenece al grupo de los conceptos mas difíciles de definir.
Supongamos que la línea esta definida en el plano por las propiedades de sus puntos. Estudiaremos esta línea
en el sistema de líneas
Cartesianas. Por las propiedades de los puntos que definen a la línea dada, se puede hallar la relacion en tres
coordenadas x u y de sus punto y expresar la línea por una ecuación que relacionan las coordenadas (x, y) de
sus puntos.
El caso mas simple es aquel en que los puntos trazados están sobre una recta. Si las dos cantidades
relacionadas son X u Y, la relacion entre ellas se expresan por una ecuación de primer grado:
Y = mx + b
8
Una línea recta, analíticamente, es una ecuación lineal o de primer grado con dos variables.
La representación grafica de un lugar geométrico cuya ecuación sea de primer grado con dos variables es una
recta.
Una recta queda determinada si se conocen dos condiciones:
• Dos de sus puntos
• Un punto y su dirección (declive, inclinación, pendiente o coeficiente angular)
ANGULOS DE INCLINACIÓN DE UNA RECTA.
Si una recta corta al eje X su inclinación es el ángulo que forma con la dirección positiva del eje de X. Se
mide partir del eje de X, en sentido contrario al de las manecillas del reloj, de cero a 180°.
Y
RY
R
0X0X
El ángulo de inclinación de El ángulo de inclinación
la recta R es (agudo) de la recta R es
0° < < 90° (obtusa) 90° < 180°
YY
R
= 180°
R
= 90°
0X0
X
La recta R es paralela al eje La recta R es perpendicular
X y no lo corta, por lo tanto al eje X, su ángulo de
no se forma un ángulo inclinado. inclinación vale 90°.
9
PENDIENTE DE UNA RECTA.
En sentido común el declive de cualquier cosa en su inclinación o pendiente, cuanto es lo que lo que lo sube o
baja con respecto a una línea horizontal de referencia.
Por definición la pendiente de una recta es igual a la tangente trigonométrica de su ángulo de inclinación.
CONDICIONES DE PARARLELISMO.
Dos o mas rectas son paralelas, si sus inclinaciones y por consiguientes, sus pendientes son iguales, es decir:
Y
m1 = m2
R1 R2 R3 R4
ABC
x
CONDICION DE PERPENDICULARIDAD.
Supongamos que AB BC y que la recta AB forma con el eje X un ángulo igual a y la recta BC forma con
el eje X un ángulo igual a .
90°
B
A
•C
Verifíquese que el cuadrilátero ABCD, cuyos vértices son A(2, 6), B(5, 1), C(−1, −6) y D(−4, −1) es un
paralelogramo.
Y A(2, 6)
B (5, 1)
D(−4, −1) X
C(−1, −6)
Solución: por las pendientes de los lados determinamos si la figura es un paralelogramo:
Pendiente de AB
Y2 − y1 1 − 6 5
10
M = −−−−−−− = −−−−−−− = − −−−
X2 − x1 5 − 2 3
Pendiente BC
−6 − 1 −7 7
M = −−−−−−−−−− = −−−− = −−−−
−1 − 5 −6 6
pendiente de CD
−1 −(− 6) 5
m = −−−−−−−−−− = − −−−
−4 −(− 1) 3
Pendiente de AD
− 1 − 6 −7 7
M = −−−−−−−−−− = −−−−− = −−−−
− 4 − 2 −6 6
ECUACIÓN DE LA RECTA QUE PASA POR EL ORIGEN Y CUYA PENDIENTE ES m.
Fijando en la recta un punto cualquiera P(X, Y) y empleando la formula:
y
M = tan = −−−
X
Donde despejando y ,obtenemos:
Y = mx
Es decir, una ecuación de primer grado respecto a las coordenadas variables de X u Y.
Y
P(X, Y)
y
0XX
11
ECUACIÓN DE LA RECTA EN SU FORMA SIMPLIFICADA.
Sea P(X, Y) un punto cualquiera de la recta B(0, b) el punto donde corta al eje Y y el ángulo que la recta
forma con el sentido positivo del eje X. Por la definición de tangente se tiene:
Y−b
Tg = −−−−−
X
Y P(X, Y)
Y−b
y
x
b
0X
EJEMPLOS:
1) Determinar el ángulo y la ordenada en el origen de la recta
5x + 2y − 6 = 0.
Solución: despejando a Y en la ecuación, obtenemos la ecuación en función de sus pendiente:
5x + 2y − 6 = 0
2y = − 5x + 6
5
y = − −−− X + 3
2
De la cual se deduce que el coeficiente angular es: m = − 5/2 y la ordenada al origen b = 3.
Con el valor de m es negativo, la recta forma un ángulo obtuso tal que:
5
= ángulo. Tang − −−−
2
= 180° − 68° 12´ = 179° 60´− 68° 12´
12
= 111° 48´
Para graficar una recta, bastara con determinar otro punto, esto se logra asignándole un valor arbitrario a x en
la ecuación y encontramos y, así:
Si x = 2 obtenemos
5 (2) + 2y − 6 = 0
2y = − 4
4.
y = − −−− . . y = − 2
2
Por lo tanto el punto es P(2, −2)
y
B(0, 3)
= 111° 48´
X
P(2, 2)
2) ¿Hay paralelas o perpendiculares entre las rectas representadas por la ecuaciones:
X − 3y + 1 = 0, 2x + 6y + 5 = 0 e −3x − y − 2 = 0
Despejado a Y en las ecuaciones, obtenemos las ecuaciones en funciones de sus pendientes:
X + 1 = 3y 2x + 5 = 6y − y = 3x + 2
2x + 5
x + 1 y = −−−−−− y = − 3x − 2
Y = −−−−−− 6
315
y = −−− x + −−−
1136
y = −−− x + −−−
33.1.
13
. . m2 = −−−− . . m3 = −3
.13
. . m1 = −−
3
ECUACIÓN GENERAL DE LA RECTA.
Toda ecuación de primer grado respecto a las coordenadas de (x, y), representa una recta, de forma:
Ax + By + C = 0
Supongamos que B " 0. Resolviendo la ecuación respecto a Y, se tiene:
AC
Y = − −−− X − −−−
BB
Comparando esta ecuación con la ecuación y = mx + b se tiene:
A
− −−− = m = tan
B
C
− −−− = b
B
Es decir, la ecuación Ax + By + C = 0 con B " 0. representa una recta de pendiente m = − A/B y el ordenada
en el origen b = − C/B.
CASOS PARTICULARES.
Si c = 0, la ecuación general de la recta tiene la forma:
Y
R
Ax + By = 0
0
X
14
Y se representa una recta que pasa por el origen de los ejes coordenados, por las coordenadas del origen (0, 0)
satisfacen a la ecuación.
EJEMPLOS:
1) Hallar las pendiente m y la ordenada en el origen b de la recta:
3x + 2y = −6.
Solución: escribiendo la ecuación en la forma y = mx + b :
3
2x = − 3x − 6, y = − −−− x − 3
2
3
su pendiente m = − −−−
2
y su ordenada en el origen es b = −3
Si se escribe en forma Ax + By + C = 0, es decir :
3x + 2y + 6 = 0
La pendiente:
A3
m = − −−− = − −−−
B2
Y la ordenada en le origen:
C6.
B = − −−− = − −−− . . b = −3
B2
2) Determinar el valor el valor del parámetro B de manera que la recta de la familia 3x − By − 7 = 0 que
corresponde, sea perpendicular a la recta 7x + 4y − 11 = 0. Hallar B y escribir la ecuación.
Solución: escribamos la ecuación en la forma y = mx + b:
3x − by − 7 = 0 7x + 4y − 11 = 0
15
By = 3x − 7 4y = −7x + 11
3 7 7 11
Y = −−− x − −−− y = −−− x + −−−
BB44
37
m1 = −−− m2 = − −−−
B4
Por condición de perpendicularidad se tiene:
m1 . m2 = −1
Sustituyendo los valores de las pendientes, obtenemos :
37
(−−−) (− −−− ) = −1
B4
21 . 21
− −−−− = −1 ; − 21 = − 48 . . B = −−−−
4B 4
21
Sustituyendo B = −−−− en la ecuación original, obtenemos la ecuación
4
buscada:
21
3x − −−− y − 7 = 0
4
multiplicamos por 4 ambos miembros y obtenemos:
12x − 21y − 28 = 0
3) encontrar la ecuación simétrica de la recta que tiene las siguientes coordenadas:
16
ð (2, 0) m.c.m. = 6
ð (0, 3)
xy
−−− + −−−
23
6x 6y
−−− + −−− = 1(6)
23
3x + 2y = 6
PUNTO DE INTERSECCIÓN DE DOS RECTAS.
En el plano pueden darse tres casos distintos de posición relativa de la rectas.
Ax + By + C = 0 ....... R1
A´x + B´y C´= 0 ....... R2
R1 R1
R1 R2
R2
1 R2 2 3
ð Las rectas tienen un punto común, es decir, se interceptan.
ð Las rectas no tienen ningun punto común, son paralelas.
ð Las rectas tienen una infinidad de puntos comunes, coinciden.
1)Las rectas:
Ax + By + C = 0 . R1
A´x + B´y + C´ = 0..... R2
Se cortan si:
AB´ − A´B " 0
EJEMPLOS:
17
Hallar el punto de las rectas:
3x + 4y − 18 = 0 ...... R1
4x − 3y + 1 = 0 ....... R2
SOLUCION:
3x + 4y − 18 = 0 3 4 de donde (3) (3) − (4) (4) " 0
9 − 16 = −7
4x − 3y + 1 = 0 4 3
Por lo tanto R1 y R2 se cortan en un punto P.
En efecto, multiplicando R1 por B´ y R2 por B y restando del primer producto el segundo, resulta:
9x + 12y − 54 = 0 12x + 16y − 72 = 0
16x − 12y + 4 = 0 − 12x + 9y − 3 = 0
−−−−−−−−−−−−−−−−−−− −−−−−−−−−−−−−−−−−−−
25x − 50 = 0 25y − 75 = 0
50 75
x = −−−− x = −−−−
25 25
X=2Y=3
El punto de intersección de las rectas dadas es P(2, 3). Para trazar una recta es suficiente hallar dos puntos de
ella por medio de las coordenadas.
X
6
−2
Y
0
6
Puntos.
A(6, 0)
B(−2, 6)
R1) 3x + 4y − 18 = 0
−3x + 18
Y = −−−−−−−−−
4
X
−1
Y
−1
Puntos.
C(−1, −1)
18
5
7
D(5, 7)
R2) 4x − 3y + 1 = 0
4x + 1
Y = −−−−−−−−
3
Y
B(−2, 6)
R1
P(2, 3)
A(6, 0)
0X
C(−1, −1)
ECUACION DE UNA RECTA QUE PASA POR UN PUNTO Y TIENE UNA PENDIENTE DADA.
Si se conoce la pendiente de una recta y uno de sus puntos, se puede hallar su ecuación. Sea R una recta
cualquiera, P1(X1, Y1) un punto conocido de ella, y m su pendiente. Fijemos P(X, Y), un punto cualquiera
sobre la recta. Entonces por definición de una pendiente.
Y − Y1
−−−−−− = m
X − X1
Podemos pasar el denominador al segundo miembro y obtenemos:
y − y1 = m(X − X1)
Y
P(x, y)
R
P1(x1, x1)
•X
EJEMPLOS:
19
3
ð Hallar la ecuación de la recta cuya pendiente es − −−− y que
2
pasa por el punto (8, 7).
SOLUCIÓN:
Sustituyendo la formula tenemos:
y − y1 = m(X − X1)
3
y − 7 = − −−− (x, 8)
2
Podemos multiplicar por 2 ambos miembros y pasar todos los termino al primer miembro para obtener:
2y − 14 = − 3(x − 8)
2y − 14 = − 3x + 24
3x + 2y − 38 = 0
ECUACIÓN DE UNA RECTA QUE PASA POR DOS PUNTOS.
Si una recta esta determinada por dos puntos P1(X1, Y1) y p2(X2, Y2), la pendiente de la recta es:
Y2 − Y1
m = −−−−−−−
X2 − X1
Sustituyendo el valor de la pendiente en la ecuación:
Y − y1 = m (x − x1) Y P2(x2, y2)
Obtenemos:
Y2 − y1
Y − y1 = −−−−−−−− (x − x1)
X2 − x1 Y2 − y1
P1(x1, y1) x2 − x1
20
•X
EJEMPLO:
Hallar la ecuación de la recta que pasa por los puntos P1(7, −3) y P2(−4, 1).
SOLUCION:
Sustituyendo en la formula tenemos:
1 − (−3)
Y − (−3) = −−−−−−−−− (x − 7)
−4−7
4
y + 3 = − −−−− (x − 7)
11
Multiplicando por 11ambos miembros de la igualdad, obtenemos:
Y
11y + 33 = − 4 (x − 7)
11y + 33 = − 4x + 28
4x + 11y + 5 = 0 P2(−4, 1)
0X
P1(7, −3)
DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA.
Para hallar la distancia d de un punto P1(x1, y1) a la recta R dada por su ecuación x cos + y sen − p = 0,
procedemos así.
Si la recta dada es: Ax + By + C = 0 se obtiene para la expresión de la distancia la formula:
Ax1 + By1 + C
D = −−−−−−−−−−−−−−
± A2 + B2
EJEMPLO:
Hallar la distancia del punto A(−2, −3) a la recta 8x + 15y − 24 = 0.
21
SLUCION:
Del punto A sabemos que x1 = −2 e y1 = −3 y de la ecuación tenemos que A = 8, B = 15, C = −24.
Sustituyendo estos valores en la grafica obtenemos:
(8)(−2) + (15)(−3) − 24 − 16 − 45 − 24 85 .
D = −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− = −−−−−−−−−−−−−−−− = −−−− . . d = −5
82 + 152 289 17
Para graficar es suficiente hallar dos puntos
15y = − 8x + 24
X
3
Y
0
24
Puntos
A(3, 0)
B(0, 24)
0
−−−
−−−
15
15
−8x + 24
Y = −−−−−−−−−
24
Y
B(0, 24/15)
A(3,0)
X
D = −5
A(−2, 3)
DISTANCIA ENTRE DOS RECTAS PARALELAS.
Es la determinada distancia entre la rectas paralelas AB y CD, cuyas ecuaciones son: Y = mx + b1 e y =mx +
b2.
EJEMPLO:
Calcular las distancia entre las rectas paralelas cuyas ecuaciones son 3x − 4y + 10 = 0 y 3x − 4y + 20 = 0.
SOLUCION:
22
Despejamos a y en ambas ecuaciones obtenemos el valor de la pendiente y las ordenadas al origen:
4 = 3x + 10 ; 4y = 3x + 20
3x + 10
y = −−−−−−−− ; 3x + 20
4 y = −−−−−−−−
4
353
y = −−− X + −−− ; Y = −−− x + 5
424
35
De donde m = −−− ; b1 = −−−− y b2 = 5
•2
Sustituyendo en la formula obtenemos:
b1 − b2 5/2 − 5 5/2 − 10/2
D = −−−−−−−−−−− = −−−−−−−−−−−−− = −−−−−−−−−−−−−−−−−
± 1 + m2 ± 1 + (¾)2 ± 16/16 + 9/16
− 5/2 − 5/2 20
d = −−−−−−−−−−−−−−− = −−−−−−−−−−−− = ± −−−−− = ± 2
± 25/16 ± 5/4 10
Pero la distancia siempre es positiva, será:
D=2
Para graficar bastara con determinar dos puntos de cada una de las ecuaciones dadas:
353
Y = −−−− x + −−− Y = −−−− x + 5
424
X
− 10/3
Y
0
Puntos
A(−10/3,0)
23
0
X
−20/3
0
5/2
B(0, 5/2)
Y
0
5
Puntos
C(−20/3,0)
D(0, 5)
Y
D(0,5)
B(0, 5/2)
D=2
C(−20/3,0) A(−10/3, 0) 0 X
CIRCUNFERENCIA.
La circunferencia en la geometría es la curva plana cerrada en la que cada uno de sus puntos equidista de un
punto fijo, llamado centro de la circunferencia. No se debe confundir con el círculo (superficie), aunque
ambos conceptos están estrechamente relacionados. La circunferencia pertenece a la clase de curvas conocidas
como cónicas, pues una circunferencia se puede definir como la intersección de una superficie cónica con un
plano perpendicular a su eje.
Cualquier segmento rectilíneo que pasa por el centro y cuyos extremos están en la circunferencia se denomina
diámetro. Un radio es un segmento que va desde el centro hasta la circunferencia. Una cuerda es un segmento
rectilíneo cuyos extremos son dos puntos de la circunferencia. Un arco de circunferencia es la parte de ésta
que está delimitada por dos puntos. Un ángulo central es un ángulo cuyo vértice es el centro y cuyos lados son
dos radios.
ECUACION DE LA CIRCUNFERENCIA: FORMA ORDINARIA.
Una circunferencia esta determinada por su medida y su posición en el plano, si se conocen:
• la longitud del radio es r
24
• las coordenadas de centro C(h, k)
EJEMPLOS:
Determina el centro y el radio de la ecuación:
(x + 3)2 + (y − 20)2 = 4
C = (3, 20) r = 2
(5, 2) r = 3
C =(x + 5)2 + (y − 2)2 = 9
(−3, 10) r = " 8
(x, −3)2 + (y, 10)2 r = 8
FORMA GENERAL DE LA ECUACIÓN DE UNA CIRCUNFERENCIA.
1)Encontrar la ecuación de una circunferencia en la que los puntos A(−2, 1) y B(6, 5) son los extremos de uno
de sus diámetros.
SOLUCION:
El centro de la circunferencia C es el punto medio del segmento AB. Las coordenadas del punto medio AB
son:
−2 + 6 4 1 + 5 6
H = −−−−−−−− = −−−− = 2 ; K = −−−−−− = −−−− = 3
2222
Las coordenadas son C(2, 2).
Y
R = "80/2
C(2, 3)
A(−2, 11)
0X
La distancia AB es el diámetro de la circunferencia. Según la formula de la distancia entre dos puntos,
tenemos:
AB = " (6 + 2)2 + (5 − 1)2 = " 82 + 42 = " 64 +16
AB = " 80
25
Pero el doble del radio es igual al diámetro, de donde:
AB = 2r
" 80
2r = " 80 r = −−−−−−−−−
2
" 80 80
r2 = ( −−−−−−−)2 = −−−− .
2 4 . . r2 = 20
Sustituyendo los valores C(2, 3) y r2 en la formula de la circunferencia obtenemos la ecuación buscada.
(x − 2)2 + (y − 3)2 = 20
Desarrollando los cuadrados de los binomios y reduciendo, resultado total:
X2 − 4x + 4 + y2 − 6y + 9 − 20 = 0
X2 + y2 − 4x − 6y − 7 = 0
INTERSECCIÓN DE UNA RECTA Y UNA CIRCUNFERENCIA.
Para hallar los puntos de intersección de una circunferencia y una recta, hemos de resolver simultáneamente el
sistema formado por las ecuaciones de las rectas dadas y la circunferencia. Las rectas cortan a la
circunferencia en dos puntos, por lo tanto, hay dos soluciones, correspondientes a las coordenadas de los
puntos A y B.
El sistema formado por las ecuaciones de la recta y la circunferencia puede tener:
• Dos soluciones distintas, lo que indica que la recta es secante.
• Dos soluciones distintas, lo que indican es tangente.
• Si las dos soluciones son imaginarias la recta es exterior.
EJEMPLO:
Encontrar los puntos donde la recta x − y − 1 = 0 corta la circunferencia x2 + y2 = 25.
SOLUCION:
Hemos de resolver el sistema:
x2 + y2 = 25...... (1)
x − y − 1 = 0.... (2)
26
Despejando x en la ecuación lineal (2), sustituyendo en la ecuación (1) y resolviendo la ecuación de segundo
grado, resulta:
X = y + 1 ................. (1)
(y + 1)2 + y2 = 25 Sustitución en (1)
y2 + 2y + 1 y2 = 25 Resolviendo el cuadrado del paréntesis.
2y2 + 2y − 24 = 0 Realizando operaciones y ordenada.
Y2 + y − 12 = 0 Dividiendo entre dos.
(y + 4 ) (y − 3) Resolviendo la ecuación cuadrática por factorización se tiene:
y+4=0;y−3=0
y1 = − 4 ; y2 = 3
sustituyendo y1 = −4 en la ecuación, obtenemos:
.
x1 = y + 1 = −4 + 1 . . x1 = −3
Las coordenadas del punto B(4, 3)
Por lo tanto, la recta es secante a la circunferencia.
x2 + y2 = 25 ....... (1)
3x − 4y + 25 = 0... (2)
Despejando a x en la ecuación (2) resulta:
4y − 25 .
X = −−−−−−− . . x = 4/3y − 25/3
3
Sustituyendo la ecuación en la ecuación (1), se tiene:
(4/3y − 25/3)2 + y2 − 25 = 0
9/9y2 + 16/9y2 −200/9y + 625/9 − 225/9
25/9y2 − 200/9y + 400/9 = 0
Resolviendo la ecuación cuadrática por la formula general, obtenemos:
−(200/9) ± " (−200/9)2 − 4 (25/9) (400/9)
27
Y = −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
2(25/9)
200/9 ± " 40 000/81 − 40 000/81
y = −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
50/9
200
y = −−−−
9.
−−−−−−−−−− = 2000/50 . . y = 4
50
−−−−−
9
Sustituyendo y = 4 en la ecuación obtenemos:
4(4) − 25 16 − 25 .
X = −−−−−−−−−−−− = −−−−−−−−−− . . x = −3
•3Y
x− y + 10 =0
B(4, 3)
3x − 4y + 25 =0
X
A(−3, −4)
RECTA TANGENTE DE A UNA CIRCUNFERENCIA.
La recta t que es tangente a la circunferencia (x − h)2 + (y − k)2 =r2
En el punto de contacto p1(x1, y1).
La recta tangente a una circunferencia es perpendicular al radio r que pasa por el punto de contacto (punto de
tangencia).
EJEMPLO:
28
Hallar la ecuación de la recta tangente a la circunferencia
X2 + y2 + 2x − 2y − 39 = 0 en el punto t(4, 5).
SOLUCION:
La ecuación de la circunferencia en la forma ordinaria es:
(x2 + 2x ) + (y2 − 2y ) = 39
x2 + 2x + 12 ) + (y2 − 2y − 12) = 39 + 12 + (−1)2
(x + 1)2 + (y − 1)2 = 41
El centro de la circunferencia es C (−1, 1); r = "41
La ecuación de la recta tangente en T(4, 5) es:
4 − (−1)
Y − 5 = − −−−−−−−−− (x − 4)
5−1
5
y − 5 = − −−−−− (x − 4)
4
4y − 20 = − 5x + 20 y
5x + 4y − 40 = 0
T(4, 5)
R ="41
C(−1, 1)
x
LA PARÁBOLA.
Se llama parábola al lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un plano fijo (foco) y de la
recta fija llamada directriz.
Según la definición, si F es el punto fijo, llamado foco y DD´es la recta fija, llamada directriz de la parábola,
M es cualquier punto de la parábola MN, la perpendicular trazada del punto M a la directriz, se tiene:
MF = MN
29
Elementos de la parábola:
La perpendicularidad, trazada desde el foco a la directriz, es eje de simetría de la parábola.
La recta AA´ que pasa por F y es perpendicularidad a DD´ se le llama eje de la parábola (eje simetría).
El punto V, es el punto medio del segmento AF y se llama vértice de la parábola.
P = parámetro de la parábola.
BB´ = cuerda (segmento que une dos puntos cualesquiera de la para bola).
CC´= Cuerda focal (es una cuerda que pasa por el foco ).
MF = Radio focal o radio vector (es la distancia desde el punto M al foco).
LL´= Lado recto o ancho focal (es una cuerda focal perpendicular al eje de simetría).
DY
CB
L
M
N
AFA
X
PP
C´
L
D´ B´
ELIPSE.
Se llama elipse al lugar geométrico de los puntos de un plano, cuya suma de distancia a dos puntos fijos,
llamados focos, es constante.
Y
p
b
a
30
AFFA
OcX
C P´
B´
PARTES DE LA ELIPSE:
FF´= es la distancia focal o eje de simetría.
B´= se llaman vértices son los puntos de intersección de la elipse con los ejes de coordenadas.
PF´= se llaman radios vectores del punto P.
LL´= es el lado recto(es una cuerda perpendicular al eje de la elipse y que pasa por el foco).
PP´= es una recta que pasa por el centro de la elipse, se llama diámetro.
AA´= es el diámetro que pasa por los focos y se llama eje mayor o eje focal.
BB´= es el diámetro perpendicular al eje mayor y se llama eje menor.
LA HIPERBOLA.
Se le llama hipérbola el lugar geométrico puntos del plano cuya diferencia a dos puntos fijos llamados focos,
es constante.
Y
B
MCL
P
D
A´ A
F´ F
OX
2a
D'
C´
M´ L´
31
B´
PARTES:
FF´= la distancia focal.
CC´= es el segmento que une dos puntos de una misma rama de la hipérbola es una cuerda.
LL´= es la longitud de una curda que pasa por el foco y es perpendicular al eje se llama lado recto.
DD´= una recta que une dos puntos de la hipérbola y pasa por el centro, es un diámetro.
AA´= la reta que pasa por los focos y corta a la curva en dos puntos que se llama eje focal.
BB´= es el llamado eje conjugado o imaginario, esta recta no cota la curva, por la tanto tiene vértices y carece
de longitud.
A y A´= son los puntos de intersección del eje focal.
LA ECUACIÓN GENERAL DE SEGUNDO GRADO.
Toda ecuación de segundo grado con dos variables tiene la forma:
AX2 + BXY + CY2 + DX + EY + F = 0
Una regla muy practica, mediante la cual podemos identificar una cónica, se lleva cabo cuando usamos el
discriminante o indicador.
Se demuestra que si el discriminante:
B2 − 4AC < 0, la curva es una elipse.
B2 − 4AC = 0, la curva es una parábola.
B2 − 4AC > 0, la curva es una hipérbola.
EJMPLO:
1) 7X2 + 7Y2 + 2X − 5Y − 27 = 0
A = C , B = 0 (es una circunferencia)
2) 9x2 + 16y2 + 72x −128y = 0
A=9,B=0,C=7
02 − 4(9)(7) = − 252 < 0 (es una elipse)
3) X2 − 4Y = 0
A=1,B=0,C=0
32
02 − 4(1) (0) (es una hipérbola)
4) xy − y + x − 5 = 0
A=0,B=1,C=0
(1)2 − 4(0)(0) = 1 > 0 (es una hipérbola)
FORMA GENERAL DE LA ECUACIÓN DE UNA CIRCUNFERENCIA.
EJEMPLOS:
2) Encontrar la ecuación de la circunferencia con centro en el origen y que pasa por el punto P(8/3, 2).
Solución:
la distancia r = x2 + y2 =r2 se obtiene:
x2 + y2 = (10/3)2
x2 + y2 = 100/9
9x2 + 9y2 = 100
3)Hallar la ecuación de la circunferencia de centro.
C(2, − 2/3) y el radio igual a 7/2.
Solución:
C = (2, − 2/3)
R = 7/2.
(x − h)2 + (y − k)2 = r2
(x − 2)2 + (y + 3/2)2 = (7/2)2
Desarrollando los cuadrados de los binomios y reduciendo, resulta:
X2 − 4x + 4 y2 + 3y + 9/4 − 49/4 = 0
X2 − 4x + 4 + y2 + 3y − 10 = 0
X2 + y2 − 4x + 3y − 6 = 0
SISTEMAS DE COORDENADAS LINEALE.
Una de las propiedades mas importantes de los números R es el poderlos representar por puntos de la línea
recta. Se elige un punto llamado origen, para representar el 0, y otro, por lo comuna la derecha, para
representar 1.
33
DISTANCIA ENTERE DOS PUNTOS DADOS POR SUS ABSISAS.
EJEMPLOS:
1) Hallar la distancia sobre el eje xx' entre los puntos A(4) y B(−5)
Solución:
D = AB = x2 − x1 = −5 −4 = −9 = 9
D = BA = x1 − x2 = 4 + 5 = 9
−6 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5
d=9
2) La distancia entre dos puntos sobre el eje de XX´ es el 7. Si uno de los puntos es P2(−3), hallar el otro
punto.
Utilizando la formula obtenemos:
D = −3 − x1
Como d = 7, sustituyendo obtenemos:
7 = −3 − x1
.
x1 = −3 −7 . . x1 = −10
P1 P2
−11 −10 −9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 0 1
d=7
como d = 7 sustituyendo obtenemos:
7 = x1 + 3 .
x1 = 7−3 . . x1 = 4
−5 − 4 − 3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
d=7
34