propiedades térmicas de rocas y fluidos

CAPITULO 3
Perdidas de Calor Durante la Transmisión de Fluidos
Calientes
Dada la diferencia de temperatura existente entre el agua caliente, aire caliente o
vapor, y el medio ambiente que rodea las líneas de superficie (líneas que transportan el
fluido hasta el cabezal del pozo) y la tubería de inyección en el hoyo del pozo, parte
del contenido de calor del fluido, que fluye se pierde y trata de reducir las pérdidas a
un valor mínimo.
El objetivo de este capítulo, es presentar los métodos utilizados en el cálculo de las
pérdidas de calor en líneas de superficie, y en el hoyo del pozo; pero antes es necesario
revisar algunas ideas básicas sobre los mecanismos de transferencia de calor.
3.1 Mecanismos de transferencia de calor
Por definición, calor es la energía que se transfiere como resultado de una
diferencia o gradiente de temperatura. Matemáticamente es una cantidad vectorial, en
el sentido de que fluye, de regiones de altas temperaturas a regiones de bajas
temperaturas.
Los mecanismos básicos de transferencia de calor son conducción, radiación y
convección, aunque una inspección detallada del mecanismo de convección muestra que
es una combinación de los mecanismos de conducción y radiación.
3.1.1 Conducción
Es la transferencia de calor de una parte de un cuerpo a alta temperatura, a otra
parte del mismo cuerpo a menor temperatura; o de un cuerpo a alta temperatura a
otro cuerpo a menor temperatura, en contacto físico con el.
Si las temperaturas de los cuerpos no cambian con el tiempo, el proceso ocurre
bajo condiciones, de flujo continuo, y está descrito microscópicamente por la
ecuación de Fourier;
q
T
 K
A
l
(3.1)
Donde q es el flujo de calor en BTU/hr, A es el área a través de la cual ocurre el
flujo en pies2, ∂T/∂l es el gradiente de temperatura en ºF/pie, y K la conductividad
térmica en BTU/hr-pie-°F.
La relación (3.1) se aplica para conducción en sólidos, líquidos y gases, aunque
como es de esperarse, el valor de k es mayor para sólidos que para líquidos y gases.
23
Si las temperaturas en los cuerpos varían con tiempo, la ecuación de Fourier aplica
solamente para un momento dado en que la distribución de temperatura sea conocida.
La distribución de temperatura en función del tiempo, viene dada por la solución
de la ecuación de Difusión,
 2 T  2 T  2 T 1 T



x 2 y 2 z 2 D t
(3.2)
K
C y medida en pies2/hr,

cuando la densidad ρ, es en lbs/pies3, el calor específico C, es en BTU/lb-ºF y la
conductividad K, es en BTU/hr-pie-ºF. T es la temperatura en ºF, t es el tiempo en
horas y x, y, z se refieren a distancias en pies. Desde luego, la ecuación (3.2) se puede
escribir en otros sistemas de coordenadas diferentes del cartesiano.
Donde D es la difusividad térmica, definida por D 
3.1.2 Radiación
Correctamente, radiación térmica, es radiación electromagnética emitida
por un cuerpo en virtud de su temperatura. Microscópicamente es evaluada de
acuerdo a la Ley de Stefan-Boltzman,

q
4
4
 0.1714 *10 8 Fe Ff T1  T2
A

Siendo T1 > T2
(3.3)
Donde q es la tasa de flujo de calor en BTU/hr, A es el área a través de la cual
ocurre el flujo en pies2, 0.1714*10-8 es la constante de Stefan-Boltzman, T1 es la
temperatura del cuerpo a mayor temperatura en ºR y T 2 la temperatura del cuerpo a
menor temperatura en ºR. Ff es un factor de forma que depende de la geometría de
los cuerpos y que relaciona la radiación emitida por un cuerpo que es interceptado
por otro cuerpo, y viceversa. Fe es un factor de emisividad, el cual depende de la
naturaleza de los cuerpos.
En problemas prácticos la ecuación (3.3) se escribe en forma similar a la
utilizada por convección.
q
 h r T1  T2 
A
(3.4)
Siendo h r el coeficiente de radiación y definido por,


h r  0.1714*108 Fe Ff T2  460  T1  460 T1  460 T2  460
2
2
(3.5)
h r se expresa en BTU/hr-pie2-ºF y T1 y T2 en ºF.
24
3.1.3 Convección
Es la transferencia de calor desde una superficie hacia un fluido en movimiento
(o del fluido en movimiento hacia la superficie) en contacto con ella, o de una
parte de un fluido en movimiento a mayor temperatura hacia otra parte del mismo
a menor temperatura. Si el movimiento del fluido se debe a la aplicación de alguna
fuerza (bomba, abanico, etc.), se dice que existe convección forzada. Si el fluido se
mueve por diferencia de densidades, debido a diferencias de temperaturas, se dice
que hay convección libre. En ambos casos la transferencia de calor viene dada por
la Ley de Enfriamiento de Newton,
q
 h c Tf  Ts 
A
(3.6)
Donde q es la transferencia de calor en BTU/hr, A es el área a través de la cual
ocurre el flujo de calor en pies2, hc es el coeficiente de transferencia de calor por
convección en BTU/hr-pie2-ºF y Tf y Ts las temperaturas del fluido y de la superficie
en ºF, respectivamente. Se toma el valor absoluto para tomar en cuenta el flujo de
calor del fluido hacia la superficie o de la superficie hacia el fluido, según Tf sea
mayor o menor que Ts.
El mecanismo de convección es realmente una combinación de conducción y
radiación, influenciada por el movimiento del fluido. Si se considera despreciable
la radiación, como es el caso de líquidos, el coeficiente h c se puede definir por,
q
A  K
hc 
Tf  Ts
T
x Superficie
Tf  Ts
(3.7)
Es decir, el coeficiente de transferencia por convección es el gradiente
adimensional de temperatura evaluado en la superficie considerada. Este depende de
la geometría de la superficie, de las propiedades físicas del fluido y de la velocidad
del fluido.
3.2 Coeficiente de transferencia de calor total
En problemas prácticos de transferencia de calor, es común encontrar los mecanismos
de transferencia, actuando simultáneamente en sistemas formados por diferentes cuerpos
y/o materiales. Es este caso es conveniente definir un coeficiente de transferencia total
mediante la ecuación
q
q
(3.8)
 UTf  U  A
A
T
Donde q es la tasa de flujo de calor en BTU/hr,  T la caída de temperatura total o
característica en °F, A es un área característica del sistema en pies 2 y U el coeficiente de
transferencia total en BTU/hr-ft2-°F.
25
En general, los problemas de flujo de calor pueden agruparse en problemas
de flujo lineal y en problemas de flujo radial, por tal motivo se presentan a
continuación los procedimientos para determinar U en estos tipos de geometría de
flujo.
3.2.1 Flujo Lineal
Considérese el sistema ilustrado en la figura 3.1, formado por un líquido a
temperatura Tf, dos sólidos de conductividades térmicas K1 y K2, respectivamente,
y un gas a la temperatura Tg.
Sólido 2
Sólido 1
Aumento de temperatura
Fluidos
Tf
T1
T2
Gas
T3
Tg
Dirección del flujo de calor
Figura 3.1 Flujo de calor tipo lineal
Luego que se establece el equilibrio, la temperatura en el sólido (1) varía entre
T1 y T2 y en sólido (2) entre T2 y T3. Nótese que T1 < Tf debido a la convección.
Similarmente, T3 > Tg.
Los mecanismos de transferencia de calor actuando son:
a) Del líquido al sólido (1) existe por convección, luego,
q1  h c1ATf  T1 
(3.9)
donde hc1 es el coeficiente de transferencia de calor por convección entre el
líquido y el sólido (1)
b) A través del sólido (1) existe conducción, así;
q 2  K1A
T1  T2 
l 2  l1 
(3.10)
c) A través del sólido (2) existe conducción, así,
q3  K 2A
T2  T3 
l 3  l 2 
(3.11)
d) Del sólido (2) hacia el gas existe convección y radiación, por lo tanto
q 4  Ah c2  h r T3  Tg 
(3.12)
26
donde hc2 es el coeficiente por convección entre el sólido (2) y el gas y hr el
coeficiente de radiación entre el sólido y el gas.
Dado que al usar las ecuaciones anteriores se ha supuesto implícitamente
condiciones de flujo continuo, se cumple que;
q 1 = q 2 = q 3 = q 4 = q = UA(T f – T g )
(3.13)
Pero,
(Tf – Tg) = (Tf – T1) + (T1 – T2) + (T2 – T3) + (T3 – Tg)
y el área constante es igual a A, al sustituir en (3.9) - (3.12) se obtiene,
T
f
 Tg  
q  1 l 2  l1  l 3  l 2 
1 





A  h c1
K1
K2
h c2  h r 
(3.14)
Despejando q de la ecuación (3.14) y comparando con la ecuación (3.13) se puede escribir,
q = AU(Tf – Tg)
(3.15)
Siendo,
 1

l  l  l  l 
1
U
 2 1  3 2 

K1
K2
h c2  h r 
 h c1
1
(3.16)
Así evaluando U y midiendo Tf, Tg y A, se puede determinar la tasa de transferencia de
calor total en el sistema. Tal como puede observarse, la expresión de U cambiará con el tipo
de sistema, pero mientras se trate de un sistema lineal se puede aplicar el procedimiento
ilustrado.
3.2.2 Flujo Radial
En el caso de flujo radial, el área expuesta a transferencia de calor no es constante,
sin embargo la q total si lo es, puesto que se consideran condiciones de flujo
continuo. Así, se hace necesario definir U con respecto a algún área característica del
sistema.
Considérese el sistema representado en la figura 3.2, compuesto por dos anillos
sólidos concéntricos, un líquido a temperatura Tf en el interior del más interno y un
gas en la parte exterior del más externo.
27
Figura 3.2 Flujo radial de calor
Los mecanismos de transferencia de calor actuando son;
a) Del líquido en movimiento del sólido (1) existe convección, por lo que la tasa de flujo de
calor viene dada por,
q1  h c1 2r1dTf  T1 
(3.17)
Donde hc1 es el coeficiente de convección.
b) A través del sólido (1) existe conducción, luego,
2dK 1 T1  T2 
r 
ln 2 
 r1 
en vista de la ecuación (3.1) escrita para un sistema radial.
q2 
(3.18)
c) A través del sólido (2) existe conducción, luego,
q3 
2dK 2 T2  T3 
r 
ln 3 
 r2 
(3.19)
d) Del sólido (2) hacia el gas existe convección y radiación, luego,
q 4  2r3 dh c2  h r T3  Tg 
(3.20)
donde hc2 es el coeficiente de convección y hr el de radiación.
28
De nuevo, al considerar la suposición de flujo continuo, se tiene que
q1 = q2 = q3 = q4 = q = UA(Tf – Tg)
(3.21)
donde,
(Tf – Tg) = (Tf – T1) + (T1 – T2) + (T2 – T3) + (T3 – Tg)
(3.22)
Sustituyendo las ecuaciones (3.17) - (3.20) en (3.22) resulta,


r
ln r2  ln 3 


1
Tf  Tg   q  1   r1    r3  

2d  r1 h c1
K1
K2
r3 h c 2  h r  


(3.23)
Las áreas características comúnmente utilizadas son el área interior y el área
exterior. Así si se toma área exterior, de acuerdo a la definición de U (ec. 3.8), se
tiene,

r
r
q
q r d 
ln 2  ln 3 


r
r
1
1
A  2 3
U
  1   3 


q d  r1 h c1
Tf  Tg
K1
K2
r3 h c 2  h r 
2


1
(3.24)
y luego de simplificar,


r
r
r 3 ln 2  r 3 ln 3 
 r3

1
 r1  
 r2  
U

h c 2  h r 
K1
K2
 r1 h c1


1
(3.25)
Si se utiliza el área interior como área característica, resulta,
q  2r1dTf  Tg 


 r3 
 r2 
 1 r 1 ln r1  r 1 ln r2 

r1
U




K1
K2
r3 h c 2  h r 
 h c1


(3.26)
1
(3.27)
29
3 . 3 Perdidas de calor en líneas de superficie
En este tipo de pérdidas están incluidos los tres mecanismos de
transferencia de calor: conducción, convección y radiación. Su m agnitud
depende de la longitud de tubería y su diámetro, de la naturaleza y espesor del
aislante, y de la temperatura del fluido caliente en la línea y del medio
ambiente que la rodea.
Las perdidas de calor en líneas de superficie pueden estimarse en base a datos
reportados en la literatura 2, tales como los presentados en la tabla 3.1 y calcularse
de acuerdo a la ecuación;
Tabla 2. Pérdidas de calor en líneas de superficie (Según Nelson)
Aislante
Sin aislante
Magnesio
Aire a 80 ºF
Condición
Aire estático, 0 ºF
Aire estático, 100 ºF
Aire a 10 mph, 0 ºF
Aire a 10 mph, 100 ºF
Aire a 40 mph, 0 ºF
Aire a 40 mph, 100 ºF
Perdida de calor, Btu/hr/pie2
Temperatura de la superficie interna
200 ºF
400 ºF
600 ºF
540
1500
3120
210
990
2250
1010
2540
4680
440
1710
3500
1620
4120
7440
700
2760
5650
Perdida de calor, Btu/hr/pie
Temperatura de la superficie interna
200 ºF
400 ºF
600 ºF
Estándar en tubería de 3” 50
150
270
Estándar en tubería de 6” 77
232
417
1 ½” en tubería de 3”
40
115
207
1 ½” en tubería de 6”
64
186
335
3” en tubería de 3”
24
75
135
3” en tubería de 6”
40
116
207
q  UAexterior Ts  Tamb 
800 ºF
440
620
330
497
200
322
(3.28)
Donde:
q: Tasa de pérdidas de Calor, BTU/hr
U: Coeficiente de transferencia de calor total para el sistema, referido al área exterior
del mismo, BTU/hr-pie2 -°F
Áexterior: Área exterior total del sistema expuesta al flujo de calor en pie2.
Ts: Temperatura del Fluido fluyendo en la línea, °F
Tamb: Temperatura del medio ambiente donde se encuentra la línea, °F
La expresión para U en caso de líneas con aislante, y referida al área exterior, es
la siguiente:
30


 re 
 raisl 
 raisl raisl ln ri  raisl ln re 
1 
U




K acero
K aisl
h ce  h r 
 ri h ci


1
(3.29)
donde:
ri: radio interno de la tubería, pies
re: radio externo de la tubería, pies
raisl: radio del aislante, es decir, (re + laisl) siendo (laisl) el espesor del aislante, en pie
Kacero: conductividad térmica del acero del cual está construida la línea, BTU/hr-pie-°F
Kaisl: conductividad térmica del material aislante, BTU/hr-pie-°F. Depende de la
naturaleza del material aislante. Algunos de los más usados son: Magnesio
(k ≈ 0.034→0.04 BTU/hr-pie-°F), Corcho (k ≈ 0.025 BTU/hr-pie-°F) y Fibra (k ≈ 0.028
BTU/hr-pie-°F)
hr: coeficiente de radiación de la superficie exterior de la tubería o del aislante en
caso que este exista, BTU/hr-pie-°F. Depende de la temperatura en la superficie
exterior del aislante o de la tubería, T e, y de la temperatura ambiente, T amb. Se
calcula mediante la ecuación (3.5), reemplazando T 1 por Te y T2 por Tamb, y
haciendo Ff igual a la unidad y F e igual a la emisividad de la superficie exterior
de la tubería o del aislante en caso que este exista
hci: coeficiente de convección entre el vapor o del agua caliente y la superficie
interna de la tubería, BTU/hr-pie2-°F. Para vapor húmedo o agua caliente varía
entre 200 y 2000, y para gas bajo condiciones de flujo turbulento es de 2 a 5
BTU/hr-pie2-°F.
hce: coeficiente de convección entre el fluido existente en el medio ambiente
exterior a la tubería, aire generalmente, y la superficie exterior de la tubería o
aislante, en caso que este último exista, BTU/hr-pie2-°F. Depende la presión y
temperatura en el medio ambiente y de si existe o no viento en el medio
ambiente exterior, es decir, de si existe convección forzada o libre. Mediante
análisis dimensional 3 y experimentación se han desarrollado las siguientes
expresiones para calcular hc e;
a. Para convección libre (velocidad del viento 0 millas/hr),
h ce  0.53


Ka
Di 3ext Te  Tamb 
Di ext
1
4
 g a C pa μ a

ν 2 * K
a
 a
1
4



(3.30)
Donde:
Diext: diámetro exterior de la tubería o del aislante en caso que exista, pies
Ka: conductividad térmica del aire, BTU/hr-pie-°F
31
βa: coeficiente de expansión volumétrica del aire, pie/pie-°F
va : viscosidad cinemática del aire, pie 2/seg
μa: viscosidad dinámica, lb/pie-hr (= 0.41427 cp)
g: constante de la gravedad; 4.17 x 108 pie/hr
Mpa: capacidad calorífica del aire a presión constante, BTU/pie3-°F
b. Para convección forzada,
h ce  19.3C pa
h ce
a Vw 0.6
Di
si 1000 < 8800DiextVw < 50000 (3.31)
0.4
ext
K  5280 a Vw Di ext 
 0.0239 a 

Di ext 
a

0.806
si 8800DiextVw > 50000 (3.32)
Donde, Vw es la velocidad del viento en millas/hr y ρa la densidad del aire en lb/pie3
Las propiedades físicas del aire requeridas en las ecuaciones (3.30), (3.31) y
(3.32), se pueden estimar en función de temperatura y a presión atmosférica de 14.7
lpca, mediante las ecuaciones,
Ka = 0.01328 + 2.471*10-5T – 4.247*109T2
ρa = 0.0771 – 8.848*10-5T – 3.744*10-8T2
μa = 0.0400 + 6.155*10-5T – 1.220*10-8T2
Cpa = 0.2382 + 1.390*10-5T – 1.027*10-8T2
βa = 0.0024 + 9.757*10-5T – 0.169*10-7T2 – 0.148*10-10T3
(3.33)
(3.34)
(3.35)
(3.36)
(3.37)
Para T en °F en el rango de 0 ºF a 1000 °F, pero para mayor precisión
utilizar en el rango de 0 a 500 °F. Las unidades son las indicadas anteriormente.
Dado que para calcular h ce y hr se requiere conocer la temperatura exterior de
la superficie, T e; el procedimiento para evaluar (hce + hr) y por lo tanto U, es un
proceso de ensayo y error el cual puede hacerse matemáticamente o
gráficamente.
3.3.1 Procedimiento matemático
Consiste de los siguientes pasos:
i. Suponer un valor de Te y calcular hce y hr mediante las ecuaciones
presentadas.
ii. Calcular el valor de U mediante la ecuación (3.29). Obsérvese que la
contribución de hci, dado su valor alto para vapor y agua caliente, es poca,
por lo que para propósitos prácticos puede ser despreciada. Similarmente,
el término que contiene K acero contribuye poco, ya que su valor es de
aproximadamente 26 BTU/hr-pie-°F.
32
iii. Calcular q mediante la ecuación (3.28).
iv. Dado q constante, se puede escribir, q  UAext Ts  Te  donde U es el
coeficiente de transferencia hasta la superficie exterior, es decir,
excluyendo hce y hr. Luego, Te puede calcularse, es decir,
Te  Ts 
q
U e A ext
(3.38)
v. Comparar el valor de Te calculado con el supuesto en i. si no son iguales,
dentro de una tolerancia de aproximación, repetir desde el paso i.
Utilizando el T e calculado como valor supuesto.
Para propósitos de computación se puede utilizar el método de Newton
Rapson para resolver por Te la función que resulta de igualar las expresiones
de q dadas, es decir, la ecuación (3.28) y la expresión dada en el paso iv.
3.3.2 Procedimiento gráfico 6
Es esencialmente el mismo procedimiento matemático, solo que hce + hr
se calculan en función de (Te – Tamb) mediante la gráfica presentada en la figura
3.3. Los valores de en esta gráfica son limitados a convección libre y
temperatura ambiente de 80 °F.
Figura 3.3 Convección y radiación
33
En el caso de tuberías desnudas, es decir, sin aislante, los
procedimientos indicados se simplifican enormemente por la siguiente razón: al
suponer despreciables el primer y segundo término de la expresión de U
(ecuación 3.29), se está suponiendo implícitamente que la temperatura de la
superficie exterior Te, es igual a la temperatura del fluido dentro de la línea, Ts, y
por lo tanto se puede calcular U y desde luego q, directamente, s i n
necesidad del proceso de ensayo y error.
Además de los procedimientos descritos, existen nomogramas que
permiten estimar las perdidas de calor en líneas de superficie con bástame
precisión y rapidez. Dos ellos son los siguientes:
1.- El presentado en la referencia 4 para líneas con aislante. Consiste en utilizar
las figuras 3.4 y 3.5 y está limitado para temperatura ambiente de 80 °F y
velocidad del viento despreciable. El procedimiento para usar la figura 3.4
es el siguiente: Unir A con B mediante una recta y prolongar hasta la línea de
referencia R1, punto C. Unir C con D para interceptar la línea de referencia
R2 en E. Finalmente unir E con F para determinar G, en el cual se lee el
valor de hcr = hce + hr.
Figura 3.4 Determinación de hce + hr
34
Una vez obtenido hcr de la figura 3.4 se procede a determinar las perdidas de
la figura 3.5. El procedimiento a seguir consiste en unir A con B (Kins con hcr) y
prolongar hasta la línea de referencia X. La intercepción en X se une con el punto
C o eje Z después de pasar por Diin y lins, luego se prolonga la línea hasta
interceptar la referencia Y. El punto de corte en Y se une con A y finalmente se
obtiene E, donde se lee el valor de las perdidas q en Mkcal/hr. Obsérvese la
conversión de unidades al usar este nomograma.
Figura 3.5 Determinación de la perdida de calor
2.- El presentado en la referencia 5 para líneas desnudas, es decir sin aislante.
Consiste en utilizar las figuras 3.6, 3.7, 3.8 y 3.9 y considera la influencia
de la temperatura ambiente y de la velocidad del viento. El uso de las figuras
3.6, 3.7, 3.8 y 3.9 es relativamente fácil y está indicado en la misma
mediante flechas.
La figura 3.6 permite hallar h r para emisividad, el valor correcto de h r se
obtiene multiplicando el obtenido en la figura 3.6 por el valor de emisividad
correspondiente. La figura 3.7 permite hallar hce para el caso de velocidad del
viento despreciable (< 10 millas/hr), y la figura 3.8 incluye el efecto de la
velocidad del viento. La figura 3.9 permite determinar las perdidas de
calor por unidad de longitud de tubería, una vez obtenidos hce y hr.
35
Figura 3.6 Coeficiente de radiación
Figura 3.7 Coeficiente de convección
36
Figura 3.8 Influencia de la velocidad del viento
Figura 3.9 Perdidas de calor
37
3.4 Cálculo de la calidad del vapor en el cabezal del pozo
Disponiendo de la calidad del vapor a la salida del generador, xgen; las perdidas de
calor en las líneas de superficie, por unidad de longitud de la línea, q; la tasa de
inyección de vapor m; y la longitud de la tubería (línea) l, se puede determinar la
calidad del vapor en el cabezal del pozo, x wh, mediante el siguiente balance;
Calor a la salida
del generador
=
Calor a la entrada
del cabezal
+
Perdidas en las
líneas de superficie
El cual escrito en términos matemáticos puede expresarse como,
 h w  x gen L  m
 h w  x wh L  ql
m
(3.39)
donde:
x wh  x gen 
ql
L
m
(3.40)
 en lbs/hr, l (longitud) en pies, L en
Siendo q expresada en BTU/hr-pie de longitud, m
BTU/lb, y xgen y xwh en fracción.
El balance expresado por la ecuación (3.35) implica que no existe caída de presión
en las líneas de superficie, es decir, son despreciables. En el caso de existir caídas de
presión considerables, la temperatura a la salida del generador y en el cabezal del pozo
son diferentes y por tanto las propiedades del vapor (hw y L).
La forma rigurosa de considerar la caída de presión por fricción y las perdidas de
calor, es resolver simultáneamente las ecuaciones de energía total y energía mecánica.
Sin embargo, se pueden hacer buenos estimados del comportamiento, calculando la
caída de presión por fricción independientemente 7 y luego las pérdidas de
calor utilizando como temperatura del vapor constante, el valor de temperatura de
saturación correspondiente a la presión media de los valores existentes en los
extremos de la línea. Aplicación de este procedimiento por intervalos cortos de longitud
de tubería, puede resultar en mejores resultados.
3.5 Perdidas de calor en el pozo
El diseño de pozos de inyección de agua caliente o vapor requiere de la estimación
de la temperatura del revestidor, lo cual a su vez requiere de una estimación de la tasa de
pérdidas de calor.
Existen varios métodos para calcular las pérdidas de calor en un pozo de inyección; la
mayoría de los cuales se basan en las siguientes suposiciones:
 El vapor se inyecta por la tubería de producción a temperatura,
presión, tasa y calidad constante.
38
 Dentro de la tubería de producción los cambios de energía cinética y
potencial, así como las perdidas por fricción son despreciables. Esta
suposición implica que si el vapor no pierde calor suficiente para
condensarse, la temperatura de la tubería de producción permanecerá
constante a través de toda su longitud y será igual a la temperatura del
vapor en la superficie.
 El gradiente geotérmico puede despreciarse y la temperatura de la tierra
puede considerarse igual al promedio aritmético, o sea la temperatura
en la superficie, más la mitad del aumento de temperatura a la formación de
interés.
 Las conductividades y difusividades térmicas de la tierra en la región que
rodea al pozo se consideran constantes.
3.5.1 Método de Willhite 8.- De los métodos simplificados, basados en las
suposiciones anteriores, el método presentado por Willhite es posiblemente el más
riguroso y de fácil aplicación. Este se fundamenta en el uso de un
coeficiente de transferencia total de calor para el sistema formado por el
espacio anular, las tuberías de inyección (producción) y revestimiento, el
cemento y el aislante en caso que exista. Este sistema se ilustra en la figura 3.10;
Figura 3.10 Distribución de temperatura en un pozo de inyección
y las expresiones para el coeficiente de transferencia total de calor son:
39


r
r
rto ln to 
rto ln co  rto ln rh  
 rto
r
r
r
1
ci 
 ti  

 co 
U to  




K acero
hc  hr
K acero
K cemento 
 rti h cf


1
(3.41)
para tubería de producción s i n aislante y


r
r
r
rto ln to  rto ln aisl 
rto ln co  rto ln rh  
 rto
r
r
r
r
r
to 
ci 
 ti  


 co 
to
U to  





K acero
K aisl
raisl h ' c  h ' r 
K acero
K cemento 
 rti h f


(3.42)
para el caso que exista aislante.
En ambos casos el espacio anular se considera lleno de aire y se ha utilizado el
área exterior de la tubería de producción, (2πrtoΔL) como área característica.
Las expresiones de Uto dada por las ecuaciones (3.41) y (3.42) fueron
desarrolladas considerando convección forzada desde el vapor hacia la
superficie interna de la tubería de producción; conducción a través de las
paredes de la tubería de producción y de revestimiento, del aislante y del
cemento, y convección libre y radiación en el espacio anular.
Los términos usados en las ecuaciones (3.41) y (3.42) son definidos como sigue:
rti: radio interno de la tubería de producción, pies.
rto: radio externo de la tubería de producción, pies.
raisl: radio hasta la superficie externa del aislante, pies.
rci: radio interno del revestidor, pies.
rco: radio externo del revestidor, pies.
rh: radio del hoyo del pozo, pies
Kacero: conductividad térmica del material (acero) de las tuberías de
producción y revestimiento, BTU/hr-pie-°F.
Kaisl: conductividad térmica del aislante, BTU/hr-pie-°F.
hcf: coeficiente de convección entre el vapor o agua caliente y la pared interna de
la tubería de producción, BTU/hr-pie2-°F.
h r : coeficiente de radiación entre la superficie exterior de la tubería de
producción y la interna de la tubería de revestimiento, BTU/hr-pie2-°F.
hc: coeficiente de convección natural en el espacio anular, BTU/hr-pie2-°F.
h r ': coeficiente de radiación entre la superficie exterior del aislante y la
interna de la tubería de revestimiento, BTU/hr-pie2-°F.
h c ': coeficiente de convección natural en el espacio anular cuando existe
aislante, BTU/hr-pie2-°F.
40
1
El valor de hcf para agua o vapor húmedo varía entre 500 y 4000 BTU/hr-pie2 °F, por lo que el primer término de las expresiones (3.41) y (3.42) puede
despreciarse, lo cual implica que Ts ≈ Tti. Similarmente, los términos conteniendo
K acero contribuyen poco al valor de Uto, dado su valor de alrededor de 26
BTU/hr-pie2-°F, por lo que pueden despreciarse, lo cual implica suponer Tti ≈ Tto y
Tci ≈ Tco, respectivamente.
Los coeficientes de radiación, h r y h r ' se evalúan de acuerdo a la
ecuación de Stefan-Boltzmann, como


h r  0.1714*10-8 Ftci (Tto  460)2  (Tci  460)2 * (Tto  460 Tci  460) (3.43)
siendo
 1

r  1
Ftci  
 to 
 1

 E to rci  E ci
1
(3.44)
Donde E to y E ci son las emisividades de la superficie externa de la
tubería de producción y de la interna de la de revestimiento,
respectivamente;


h'r  0.1714*10-8 Ftci ' (Taisl  460)2  (Tci  460)2 * (Taisl  460 Tci  460)
(3.45)
siendo
 1

r  1
F' tci  
 to 
 1

 E aisl rci  E ci
1
(3.46)
Donde Eaisl se refiere a la emisividad de la superficie externa del aislante y
los otros términos han sido previamente definidos.
Los coeficientes h c y h’c se pueden evaluar de acuerdo a valores
experimentales correlacionados mediante análisis dimensional. Las
ecuaciones desarrolladas para el caso entre manos son las siguientes:
Sin aislante:
0.049K an G r Pr  Pr 
hc 
r
rto ln ci 
 rto 
0.333
0.074
(3.47)
con
Gr 
rci  rto 3 g an 2 an 2 Tto  Tci 
 an
2
(3.48)
41
y
Pr  C an
 an
K an
(3.49)
Con aislante:
0.049K ha G r Pr  Pr 
h'c 
r

rto ln ci

r
 aisl 
0.333
0.074
(3.50)
con
Gr
3
2
2

rci  rto  g an  an Taisl  Tci 

 an
2
(3.51)
y
Pr  C an
 an
K an
(3.52)
donde:
Kan: conductividad térmica del fluido en el espacio anular, BTU/hr-pie-°F.
μan: viscosidad del fluido en el espacio anular, lb/pie-hr.
βan: coeficiente de expansión térmica del fluido en el espacio anular, vol/vol°F.
ρan: densidad del fluido en el espacio anular, lb/pie 3.
Can: calor específico del fluido en el espacio anular, BTU/lb-°F.
g: constante de gravedad, 32.17*3600 pie/hr2.
Una vez evaluado el coeficiente U to, la tasa de transferencia de calor desde el
interior de la tubería de producción hasta la interfase cemento-tierra, puede
evaluarse mediante,
q  2rto U to Tf  Th 
BT U
hr  pie
(3.53)
Donde Tf es la temperatura del fluido en el interior de la tubería de producción
y Th, la temperatura en la interfase cemento-formación.
En vista de que el valor de Th no se conoce, es necesario considerar la
transferencia de calor hacia la formación, para así relacionarla con T e, la
temperatura en la formación originalmente, es decir en una zona alejada del pozo.
La transferencia de calor del cemento a la tierra es en flujo no continuo, por lo
tanto se hace necesario resolver la ecuación de difusión,
 2 T 1 T 1 T


r 2 r r D t
(3.54)
42
A fin de determinar la distribución de temperatura Rameg9 resolvió la ecuación
(3.54) para obtener la distribución de temperatura en función de r y t. Una vez
sustituida esta solución, la ecuación para calcular la transferencia de calor entre la
interfase cemento formación y la formación, es la siguiente:
q
2K e Th  Te  BT U
,
f t 
hr  pie
(3.55)
donde:
 2 Dt
f t   ln 
 rh

 - 0.29


(3.56)
Siendo Ke la conductividad térmica de la tierra, D la difusividad térmica de la
tierra y t el tiempo en hr, si D es pies 2/hr y rh en pies. La ecuación (3.56) solo es
válida para tiempos mayores de 7 días.
3.5.1.1 Procedimiento de cálculo
Dado que el valor de Uto de la temperatura, Tto, Taisl y Tci, las cuales no son conocidas,
el procedimiento para evaluar Uto y luego q, es uno de ensayo y error, y diferente
de acuerdo a si existe o no aislante.
a. Tubería de Inyección sin Aislante.- En este caso las ecuaciones a
utilizar se obtienen como sigue: igualando las ecuaciones (3.53) y (3.55) se
obtiene,
K

TS f t    e U to Te
 rto

Th 
K

f t    e U to 
 rto

(3.57)
La cual relaciona Th con Te y TS; valores conocidos generalmente, o
estimables.
En vista de que h r y h c dependen de T to y T ci se hace necesario relacionar
estas temperaturas con valores conocidos (T S o Te) o calculables (Th).
Al considerar despreciable el efecto de hr y Kacero se tiene que Tti ≈ Tto ≈ Ts y que
Tco ≈ Tci. El valor Tco se puede relacionar con Th, considerando la transferencia de
calor a través del cemento, la cual viene dada por,
q
2K cem Tco  Th 
; (BTU/hr-pie de prof.)
r
ln h 
 rco 
(3.58)
Igualando (3.53) con (3.58) se obtiene,
43
r
rto ln h  U to
 rco 
TS  Th 
Tco  Th 
K cem
(3.59)
Luego, el procedimiento iterativo es el siguiente:
 Suponer un valor de Tci y evaluar hr y hc, puesto que Tto ≈ T S. Calcular Uto
mediante la ecuación (3.41).
 Una vez calculado U to, se calcula Th mediante la ecuación (3.57), evaluando
previamente f(t) para el tiempo de interés.
 Teniendo Th se determina Tco de la ecuación (3.59) y por tanto Tci, puesto que Tco
≈ Tci.
 Comparar el valor de Tci calculado con el supuesto en i y repetir, en caso
necesario, hasta que Tci supuesto ≈ Tci calculado, utilizando como valor
supuesto el previamente calculado.
Una vez determinado el valor correcto de Tci se tendrá el valor correcto de Th y
de Uto y por lo tanto, se puede calcular q mediante las ecuaciones (3.53), (3.55) y
(3.58). La constancia del valor de q obtenido de las ecuaciones (3.53), (3.55) y
(3.58) demostrará la veracidad de la solución obtenida.
b. Tubería de Inyección con Aislante.- En este caso, además de suponer
despreciable el efecto de los términos conteniendo hc y Kacero, se considera que el
cemento tiene iguales propiedades térmicas que la tierra (Ke = Kcem), por lo que la
expresión para Uto y q se simplifican a,
U to

 raisl
 rto ln
 rto


K aisl







rto


 

raisl  hc  hr  



1
q  2rto U to TS  Tc 
(3.60)
(3.61)
Además, la ecuación para transferencia de calor desde la interfase cementoformación a la formación, se modifica para que represente la transferencia desde
el exterior del revestidor hacia la tierra, puesto que al suponer Ke = Kcem, se está
considerando que en vez de cemento y luego tierra, solo existe tierra. Así, la
ecuación resultante es,
q
2K e Tc  Te 
; (BTU/hr-pie de prof.)
f t 
(3.62)
siendo f(t) el dado por la expresión (3.56), cambiando rh , por rco.
44
Con la finalidad de relacionar la temperatura T s ≈ Tti ≈ Tto con la
temperatura del aislante Taisl requerida para evaluar h'c y h'r se hace
necesario considerar la transferencia de calor a través del aislante. Esta
viene expresada por,
q
2K aisl Tto  Taisl 
; (BTU/hr-pie de prof.)
r
ln aisl 
rto 

(3.63)
Dado que el valor de q expresado por las ecuaciones (3.61), (3.62) y
(3.63) es el mismo, a cualquier tiempo, se tiene:
Te
Tc 
Ke
 U to rto Ts
f t 
k
U to rto  e
f t 
(3.64)
Igualando (3.61) con (3.63) resulta,
Taisl  Tto -
rto U to  raisl
ln
K aisl  rto

 TS - Tc 

(3.65)
En la cual al reemplazar T c por la expresión (3.64), se transforma en,
Taisl
Te K e

 U to rtoTs

rto U to  raisl  
f t 
 TS 
 Tto ln
K
K aisl  rto  
U to rto  e

f t 







(3.66)
Finalmente al igualar (3.62) con (3.63) se obtiene,
Tc  Te 
K aisl f t  Tto - Taisl 
r 
K e ln aisl 
 rto 
(3.67)
Las expresiones (3.66) y (3.67) conjuntamente con la (3.60) y las utilizadas
para evaluar h'c y h'r constituyen el conjunto de ecuaciones a utilizar en el
procedimiento iterativo requerido para este caso de tubería de inyección con
aislante. El procedimiento mencionado es el siguiente:
 Suponer un valor de Taisl y calcular Tc mediante la ecuación (3.62).
 Con los valores de T aisl y T c , evaluar h r ' y h c ' y por lo tanto U to, mediante la
ecuación (3.55).
 Calcular Taisl con la ecuación 3.61.
45
 Conocido el valor de Taisl calculado con el supuesto, repetir en caso necesario
hasta que Taisl supuesto ≈ Taisl calculado, utilizando como valor supuesto el
previamente calculado.
Una vez determinado el valor correcto de Taisl los valores de Uto y Tc serán los
correctos y por lo tanto se puede calcular q mediante las ecuaciones (3.61),
(3.62) y (3.63) demostrará la veracidad de los valores de temperatura
obtenidos.
3.5.1.2 Nomogramas para estimar las pérdidas de calor en pozos de inyección
Los procedimientos 1. y 2. descritos, resultan un poco laboriosos para cálculos
manuales; si n embargo son sencillos de programar para un computador digital.
Con el propósito de facilitar los cálculos manuales, a continuación se presenta el
nomograma desarrollado por Gray 10 para evaluar la temperatura del revestidor
y las perdidas de calor. Este nomograma se basa en las ecuaciones (3.60), o su
análoga (3.61), simplificada para el caso de Ts ≈ Tti ≈ Tto, Tco ≈ Tci y Ke ≈ Kcem; (3.61)
y (3.62), y el procedimiento para su uso es el siguiente:
1.
Evaluar la resistencia al flujo de calor que opone el aislante, ∑,
utilizando las partes I y II de la figura 3.11 Dii y Dio se refieren al diámetro
interno y externo del aislante, respectivamente; y K a su conductividad
térmica. En caso de tuberías sin aislante el valor de K es cero. El
procedimiento a seguir es entrar con Dio, seguir verticalmente hacia arriba
hasta la curva de Di i correspondiente, luego horizontal hasta la línea del
valor de K apropiada y finalmente vertical hacia abajo para leer ∑.
2.
Evaluar la resistencia al flujo de calor que opone el espacio anular, ∑an,
utilizando la parte III de la figura 3.11 . obsérvese que existen dos escalas; la de
la derecha (0.0032 - 0.0088) para tuberías desnudas y la de la izquierda
(0.008 - 0.022) para tuberías con aislante o pintadas para disminuir la
radiación térmica. El procedimiento a seguir es entrar con Dio verticalmente
hacia abajo, hasta la línea de Dii correspondiente y luego horizontal hasta las
escalas ∑an.
46
Figura 3.11 Resistencias al flujo de calor
3.
Sumar los valores obtenidos en los primeros ítems para obtener la
resistencia total ∑t = ∑ + ∑an. Obsérvese que la resistencia total es análoga
al inverso del coeficiente de transferencia total U to y sus unidades son díapie-°F/BTU.
4.
Evaluar el tiempo adimensional t* definido por t* = (7.0/Di o)2t, siendo
Dio el diámetro nominal del revestidor y t el tiempo de interés en días.
5.
Con t* y ∑t, utilizar la figura 3.12 para calcular la temperatura,
adimensional T*, definida por, T* = (T c – TS)/(T S – Te). El
procedimiento de lectura es entrar verticalmente con t* hacia arriba, hasta
cortar el valor correspondiente de ∑t calculado en el ítem anterior y luego
horizontalmente hasta la escala de T*. Teniendo el valor de T*, la temperatura
del revestidor viene dado por,
Tc = (TS - Te)T* + TS
(3.68)
47
Figura 3.12 Temperatura adimensional
6.
Conocido el valor de y ∑t, las perdidas de calor se evalúan mediante,
q
TS  Tc 
t
; (BTU/día-pie de prof.)
(3.69)
Una vez determinada las pérdidas de calor en el pozo, la calidad del vapor en el
fondo del pozo xf, se determina mediante el siguiente balance de calor,
Calor en el
cabezal
=
Calor en el fondo
del pozo
+
Perdidas de calor
en el pozo
el cual puede expresarse por;
 h w  x wh   m
 h w  x f L  qd
m
(3.70)
de donde,
x f  x wh 
qd
L
m
(3.71)
 la tasa de inyección de vapor en
Siendo d la profundidad del pozo en pies, y m
lbs/hr y q la tasa de perdidas de calor en BTU/hr-pie.
48
3.5.2 Otros métodos para calcular las pérdidas de calor en pozos de
inyección de vapor
Existen varios otros métodos para el cálculo de perdidas de calor en el pozo
durante la inyección de vapor húmedo y saturado. Entre ellos cabe mencionar
los siguientes:
1. Método de Ramey 9
Comprende un estudio completo sobre la transmisión de calor durante la
inyección de fluidos calientes. Para el caso de vapor húmedo y saturado, Ramey
recomienda la siguiente ecuación para el cálculo de las perdidas de calor:
q

2rti U ti K e
az 2 


T

b
z

 s

K e  raisl U ti f ( t ) 
2 
(3.72)
donde:
q: tasa de pérdidas de calor, BTU/día.
Uti: coeficiente de transferencia de calor total referido al área interior de la tubería
de producción, BTU/día-pie2-°F*.
rti: radio interior de la tubería de producción, pies,
Ke: conductividad térmica de la tierra, BTU/día-pie-°F.
Ts: temperatura de saturación del vapor, °F.
a: gradiente geotérmico, °F/pie.
b: temperatura ambiente en la superficie, °F.
f(t): función definida por la ecuación (3.56)
En su trabajo, Ramey no da detalles de cómo evaluar U ti , pero
recomienda utilizar un valor aproximado de 30.0 BTU/día-pie2 -ºF para
inyección de vapor húmedo a través de la tubería de producción, cuando el
espacio anular contiene un gas en reposo.
* Desde el interior de la tubería de producción hasta el exterior del revestidor.
2. Método de Satter11
Es un método analítico para determinar la calidad del vapor al final de un
conjunto de intervalos de longitud, en los cuales divide la profundidad total del
pozo. Conociendo la calidad del vapor a una profundidad cualquiera se puede
determinar la tasa de perdidas de calor en el pozo. La ecuación desarrollada por
Setter es la siguiente:
x d, t   xd  d , t   a d   A' B' b  a d  d   TS 
2
d
A'
(3.73)
con A' y B' definidos por:
49
A' 
 LK e  rti U ti f t 
m
2rti U ti K e
(3.74)
B' 
g
778g c L
(3.75)
donde:
d(d,t) : calidad a la profundidad d1 y al tiempo t, luego de iniciada la inyección,
fracción.
x[(d – Δd), t]: calidad a la profundidad (d - Δd) y al tiempo t, fracción.
Δd: longitud del intervalo considerando, pies.
 : tasa de inyección de vapor, lbs/hr.
m
L: calor latente de vaporización, BTU/lb.
Uti: coeficiente de transferencia de calor total referida al área interior de la tubería
de producción, BTU/día-pie2-°F.
g: aceleración de la gravedad, 32.2 pie/seg2.
gc: factor de conversión de unidades, 32.2 lb-m / lb-f.
a, b, rti, Ts y Ke .: previamente definidos.
La ecuación (3.73) se aplica repetidamente para una serie de intervalos de
profundidad de longitud Δd, hasta cubrir la profundidad total del pozo. A mayor
número de intervalos mejor precisión de los resultados computados, en general,
puesto que algunos parámetros son evaluados a temperaturas medias en cada
intervalo considerado.
3. Método de Pacheco y Farouq Ali 13
Consiste de un modelo matemático de la mecánica del flujo de vapor húmedo y
saturado a través de la tubería de producción, tomando en cuenta la variación de
temperatura y presión del vapor, debido a la fricción a las perdidas de calor por
conducción, radiación y convección. El modelo consiste de dos ecuaciones
diferenciales ordinarias no lineales, las cuales se resuelven numéricamente. Los
resultados del modelo son comparados con resultados obtenidos por otros métodos
y con datos de campo. Además, analizan la influencia de ciertos factores sobre la
tasa de perdidas de calor, tales como diámetro de la tubería de inyección, presión,
tasa y tiempo de inyección, uso de aislante para la tubería de inyección y aplicación
de pintura de aluminio a la tubería de producción.
3.5.3 Perdidas de calor durante la inyección de un fluido monofásico
caliente
Los métodos previamente presentados para estimar la perdidas de calor
durante la inyección de vapor húmedo y saturado (fluido bifásico), suponen
que la temperatura del vapor a lo largo del pozo se mantiene constante e igual
a la temperatura de saturación del vapor.
50
Esto es bastante aceptable en el caso de vapor húmedo y saturado; puesto que
las perdidas de calor ocurren a expensas del calor latente de vaporización; sin
embargo es completamente inaceptable en caso de inyección de un fluido
monofásico caliente, tal como es el caso del agua, vapor sobrecalentado, aire,
etc., donde las perdidas de calor ocurren a expensas del calor sensible del mismo y
por lo tanto su temperatura varía a lo largo del camino de flujo en el hoyo del
pozo. Por esta razón, para el caso de inyección de un fluido monofásico se hace
necesario estimar la distribución de temperatura del fluido a lo largo del hoyo del
pozo, para poder así estimar su entalpía (contenido de calor) a cada profundidad,
y de allí las pérdidas de calor.
1. Ramey 9,12
Desarrolló ecuaciones que permiten calcular la temperatura de un fluido
monofásico caliente en función de profundidad y tiempo. Estas ecuaciones
son:

Para el caso de
producción
líquidos inyectados a través de la tubería de
Td, t   ad  b  aA  To  aA  be

d
A
(3.76)
Con A definido por,
A
 C f K e  U ti rti f t 
m
2rti U ti K e
(3.77)
siendo,
T(d,t): temperatura del líquido a la profundidad d en pies y al tiempo t en días, luego
de iniciada la inyección, °F.
a: gradiente geotérmico, °F/pie.
b: temperatura de la tierra en la superficie, °F.
To: temperatura del líquido en la superficie, °F.
 : tasa de inyección del líquido, lbs/día.
m
Cf: calor específico del líquido, BTU/lb-°F.
Ke: conductividad térmica de la tierra, BTU/día-pie-°F.
Uti: coeficiente de transferencia de calor total referido al área interior de la
tubería de producción, BTU/día- pie2-°F.
rti: radio interior de la tubería de producción, pies.
f(t): función definida por la ecuación (3.56).
La temperatura de la tubería de producción se considera igual a la del
fluido, y la del revestidor se puede evaluar mediante,
Tc d, t  
rti U ti f t T(d, t )  K e (aA  b)
K e  rti U ti f t 
(3.78)
1. Para el caso de líquidos inyectados a través del revestidor aplica la
misma ecuación (3.76) pero con A definido por,
51
A
 C e f t 
m
2K e
(3.79)
2. Para el caso de gases, la temperatura en función de profundidad y
tiempo se evalúa mediante, la ecuación:
T(d, t )  ad  (A 

 b
1
1
)  b  To  A(a 
)  b e A
778C e
778C e


(3.80)
Con A definido por las ecuaciones (3.77) ó (3.79) dependiendo de que
la inyección sea a través de la tubería de producción o de revestimiento. To,
Ce y m se refieren al gas siendo inyectado.
Usando el signo (-) donde aparece doble signo en la ecuación (3.80)
corresponde al caso de flujo vertical hacia arriba de un gas caliente. En este caso
To sigue siendo la temperatura del fluido en la superficie, pero d es medida
positivamente hacia arriba.
REFERENCIAS
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capitulo 4 y 5.
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capitulo 2.
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