Matemáticas IV-I - Universidad de Londres

UNIVERSIDAD DE LONDRES – PREPARATORIA
Clave incorporación UNAM 1244
ACADEMIA DE CIENCIAS
GUÍA- PROBLEMARIO MATEMATICAS VI- I y II
Ciclo escolar: 2007-2008
Año: 6 ° Año
1. Contesta brevemente lo que se pide:
a) Dar la definición de dominio y rango de una función.
b) Explicar que es una función
1) inyectiva,
2) biyectiva
3) suprayectiva.
c) Escribir la clasificación de las funciones y escribir 2 ejemplos de cada una de ellas.
II. Determinar:
a La gráfica correspondiente.
b) la clasificación de la función.
c) su dominio y rango.
d) f(x) +g(x)=
f) f(x) –g(x)=
g) f(x) ·g(x)=
h) g(x) o f(x)=
i) f(x) o g(x)=
De los siguientes pares de funciones:
1) f(x) = 2x2+4;
g(x) = x2+3x-6
2) f(x) = 2x3- 3x2+5x - 6;
g(x) = x2-2x
3) f(x) = (3x2+5x) ;
(5x -x)
g(x) = x
(x2-2)
4) f(x)= √ (x2-2x -5);
g(x) = x3- 2x2-3x
III.- Determina los siguientes límites, aplicando los teoremas correspondientes.
1. lim (8x5-3x3-3x)/( 4x5-2x+3) =
2. lim 1/2x5 =
x ∞
3. lim (x2-3x-18)/(x-6)=
x 3
4. lim (x2-4)/(x2-5x+6)=
x 6
5. lim (x2-4)/(x3-8) =
x 2
8. lim (x2-1)/(x-1) =
x 2
7. lim 8x /x) =
x0
6. lim (3x2-x)/(x) =
x 0
9. lim (4x +5)/(2x-3) =
x ∞
x1
10. lim (6x2-3x+1) / (4x+2) =
11. lim (5x3-4x2+2)/(x+3)=
x 0
12. lim (x2-3x-18)/(x-6)=
x 1
13. lim (x2-9)/(x+2) =
x ¾
16. lim (x2+4x-5)/(x-1) =
x 6
14. lim (x2-25)/(x-5)=
x 5
17. lim (x2-7x+10)/(x-5) =
x 1
15. lim (x2+x-6)/(x+2) =
x -2
18. lim (x3+1)/(x+1) =
x 5
x -1
IV.- Derivar por los cuatro pasos.
a) y = (x2 -3x-18);
b) y = (2x2 -13x-18);
c) y = (x2 -3x-18)
X-3
V.- Derivar aplicando las fórmulas correspondientes:
a)
d)
g)
j)
m)
p)
s)
y = 4x5-3x4-8x-18
y = sen x3 /cosx
y = 4tan x
y = csc √ (x2 +x) / ( x2-2)
y = x3 cos x3 =
y = Ln se2 √x2+ 3
y = 5 cos2 x 2=
b)
e)
h)
k)
n)
q)
t)
VI.- Derivar las siguientes funciones implícitas.
y = (x3-2x)2 (5x-2)
f(x) = e-5x
y = 2x2-6x+12 /(3x -4)
y = tan(Ln sen2 3x2)
y = Ln √ (x2 +3) / 2
y = ( Ln x) /x
f(x) = tan 4x
c)
f)
i)
l)
o)
r)
u)
y= 3x2-6x+12
f(x) = ln (x2-2)
y = Ln (x + 1) / √ x +1
y= sen x2/ x2 =
y = tan2 3x2=
y = x2 ex2 =
f(x) = ex(1+x2)
a) x3-2y2= x-2yx2+ 2y
b) 2yx2-2xy2= 3xy-2yx2+ 2y
c) 4x3-2xy2= 5x2-2x2 y -y2
14.- determinar:
a) Puntos máximos y mínimos
b) Punto de inflexión
c) Gráfica de la función
d) donde la función es creciente y decreciente.
De las funciones:
I.
y = 3x4 - 4x3+12 x2
II.
y = 2x3 - 3x2-12x+2
IV.
y = -5x2
V.
y = x2 - 8x+1
VII.
y = -x2 + 8x-2
VIII
X.
y = 2x3 - 3x2-12x -7
XI.
XIII.
y = 2x3 +x2-4x+4
XIV.
XVI.
y = 4 – 3x2
XIX.
y = x3 – x
XXII. y = x2 + 2x – 3
XXV. y = 2x2 + x + 5
VI.
y = x3+12x2+45x-52
y = 3x2 +2
III.
y = -x2 + 8x-2
IX.
y = -3x2 -12x
XII.
y = 2x3– 6x+ 5
y = 2x3 +x2-4x+4
XV.
y = x2 – 6x +8
XVII.
y = x3 + 2x2 -4x + 1
XVIII.
y = - x2 + 2x + 8
XX.
y = 3x – x3
XXI.
y = 3x – x3
XXIII.
XXVI.
y = x2 + x + 5
y = x3 – 9x
XXIV.
XXVII.
y = x3 + x2 – 5
y = x3 - 6x2+16
y = x2 + x + 5
APLICACION DE LA DERIVADA:
1. La ley del movimiento rectilíneo de un cuerpo esta dada por s = 2 t3 –2t encontrar la velocidad y aceleración al cabo
de 2 segundos.
2.Una partícula posee movimiento de rotación en sentido contrario a las manecillas
del reloj , partiendo del reposo, según la ley Ө = (t 3/ 50) – t . Calcular el desplazamiento angular Ө, la velocidad
angular ω y la aceleración angular al cabo de 10 seg.
3. La ley del movimiento rectilíneo de un cuerpo esta dada por s = 2 t3 –4t encontrar la
velocidad y aceleración al cabo de 1.5 segundo.
4. De cada esquina de una pieza cuadrada de una hoja de metal de 20 cm de lado, quite un pequeño cuadrado
de x cm de lado y de la vuelta a los bordes, de manera que se forme una caja abierta. ¿ Cuáles deben ser las
dimensiones de la caja para obtener el volumen máximo?
5. El tamaño de población de una bacteria viene dada por
P(t) = 750 + 500T
100 + t2
donde t se mide en horas. ¿Cuál es tamaño máximo de esta población? ¿ En qué tiempo se alcanza?
6. Si c(x) pesos es el costo total de la producción de x lápices y
c(x) = x2 + 2x + 8 encontrar:
a) el costo marginal.
b) El costo promedio.
c) El costo promedio marginal.
d) Cuantos artículos hay que producir para que el costo promedio sea mínimo.
e)
7. Hallar el volumen de la lámina empleada para construir un tinaco esférico, si su diámetro exterior mide 200
cm. Y la lámina tiene un espesor de 0.5 cm. Siendo la fórmula para calcular el volumen de una esfera v =
(1/6) ‫ת‬x3
8. Determina la presión máxima y mínima que ejerce un pistón sobre un área de 0.10 m 2., donde la fuerza está
dada por la ecuación F = ½ x + cos x.
9: Dos esferas similares que cuelgan de hilos de seda de longitud “L” se encuentran oscilando, tiene cargas
iguales “q” de tal manera que la distancia de separación entre ellas está dada por la relación
x = t3 -4 t2 +3t
3
2
Determina cuándo la fuerza es máxima y cuándo es
mínima.
L
2x
VII.- Hallar las ecuaciones de la tangente y la normal a las curvas siguientes en el punto indicado. Trazar la gráfica
correspondiente..
a)
b
c)
d)
e)
y = x2 – 6x+9;
y = 2x3 - 3x2-12x+2
y = 2x3 +x2-4x+4
y = x3 – 2x2 + 4
x=2
x = -1
x=2
P(2,4).
2x2+xy +2y2=10 en el punto
(3,2)
VIII.- Realizar las siguientes integrales.
1.  xln x2dx =
2.  ( 7-x) dx =
4.  x2 dx
=
5.  x(x2+1)4dx =
3
 3x +3
2
7.  cosx3 (x2dx) =
8. 1 (1+x)2 dx =
10-  2x(5x2+6)4dx =
11.  5x(-3x2+6)4dx =
13.  cos (-3x+6)dx =
14.  2xsen (x2- 4)dx =
16.  sen2xcos2x) dx =
17.  tan2x dx =
2
19.  sen xdx =
20.  sec2xdx =
2
3
22.  5x / (1+x )dx =
23.  sen2xdx =
4
25.  sen xcosxdx =
26.  x2e2xdx =
28.  8 / ( 4x2 -6) dx =
29.  xsenxdx =
3.  x3 (x2+3x-5)dx =
6.  xe x 2dx
=
9.  (x+1)(x2+2x-5)dx =
12.  (2x +3)(x2+3x)-3dx =
15.  cot (x+2)dx =
18.  (tan x + cot x)dx =
21.  (sen2x + cos 2x)dx =
24.  cosx /(1+senx)dx =
27.  sen4xcos2xdx =
4
30. 2 dx / (x2+6x + 9) =
APLICACIÓN DE LAS INTEGRALES:
1. Encontrar la ecuación de la familia de curvas cuya pendiente en un punto dado
Sea igual y de signo contrario al doble de la abscisa en dicho punto. Determinar:
La ecuación de la familia de curvas que pasa por el punto p (2,1).
2. Calcular el área entre -2 y 0 de la función f(x) = x3 + x2 – 2x
3. Obtener la integral de -6 → -4 para la curva cuyo vértice se encuentra en ( -2, 2 ) y su directriz
en x = 1
4. Encontrar la integral definida de la función 4y – 2x2 – 7 = 3 de 1 a 4.
5. La velocidad de un tren bala en un intervalo [0,10] esta definida por
V = t3
(0, 2)
V=t
(2,10)
Calcular la distancia recorrida.