3 - Colegio Marista La Inmaculada

Cinemática 2. 1º BACH
1.- Un móvil parte con velocidad inicial vo= 5 m/s y acelera hasta una velocidad final v = 20 m/s recorriendo
250 m. Calcula el tiempo empleado.
2.- Se realiza un registro del espacio recorrido por un móvil con trayectoria rectilínea en diversos instantes,
obteniéndose los siguientes datos:
a) Realiza la gráfica s-t indicando de qué tipo
Tiempo (s)
0
1
2
3
4
de movimiento se trata.
Espacio (m)
0 0,25
1
2,25
4
b) Obtén las ecuaciones del movimiento.
c) Realiza la gráfica v-t.
3.-Calcula la distancia de seguridad que debe dejar un conductor cuyo coche frena con una aceleración de
5 m/s2, si viaja a 72 km / h y su tiempo de respuesta es de 0,7 s.
4.- Calcula la velocidad a la que viaja un vehículo que frena con a = 6 m/s 2 si su distancia de seguridad son
40 m y el tiempo de respuesta del conductor es de 0,5 s.
5.- Las posiciones de dos mru están determinadas por las ecuaciones:
 x1   2  2t

 x 2  2  4t
Suponiendo que ambos móviles parten al mismo tiempo.
a) Indica la posición inicial de ambos móviles
b) ¿Cuál es su velocidad y el sentido de movimiento de ambos?
c) Indica el tiempo que tardan en encontrarse.
d) ¿En qué punto se encuentran?
6.- Un vehículo, que marcha a 54 km/h cuando está a 50 m de un semáforo, frena porque el semáforo ha
pasado a rojo. Halla la aceleración media de frenado para que el vehículo no se salte el semáforo.
7.- Un camión comienza a subir una cuesta a 90 km/h y, cuando llega a su parte más alta, su velocidad es
15 m/s. si ha disminuido la velocidad uniformemente, ¿cuál será la longitud de la cuesta si ha tardado 40 s
en subirla?
Soluciones de Cinemática 2. 1º BACH.
1.- Un móvil parte con velocidad inicial vo= 5 m/s y acelera hasta una velocidad final v = 20 m/s
recorriendo 250 m. Calcula el tiempo empleado.
Se trata de un MRUA, ya que la velocidad varía (suponemos que uniformemente) y podemos
suponer que el móvil se mueve sobre una recta, pues no nos dan datos que nos hagan pensar otra cosa.
Las ecuaciones del MRUA son v = vo + at (velocidad) y e = eo + vot + ½ at2 (espacio).
Sabemos, a partir del enunciado, que: vo = 5 m/s,
vo = 5 m/s
e = 250 m, eo = 0, v = 20 m/s
v = 20 m/s
eo = 0
e = 250
m
Sustituyendo nuestros datos en las ecuaciones del movimiento obtenemos un sistema de dos
ecuaciones con dos incógnitas ( a y t )que podemos resolver por sustitución:
1

m
 250 m  5 s t  2 at

 20 m  5 m  at
s
s

250 m  5 m
2
Despejo a en la 2ª ecuación y la sustituyo en la 1ª:
m 

1  15 s  2
t
t

s
2 
t


a 
15 m
s
t
 250 m  5 m
s
t
1
2
15 m
s
t  250 m  12 ,5 m
s
t 
t = 20s
Cinemática 2. 1º BACH
2.- Se realiza un registro del espacio recorrido por un móvil con trayectoria rectilínea en diversos
instantes, obteniéndose los siguientes datos:
Tiempo (s)
0
1
2
3
4
a) Realiza la gráfica s-t indicando de qué
Espacio (m)
0 0,25
1
2,25
4
tipo de movimiento se trata.
b) Obtén las ecuaciones del movimiento.
c) Realiza la gráfica v-t.
a) Para hacer la gráfica s-t, represento los puntos y los uno: Obtenemos la gráfica de una parábola, luego el
movimiento es un MRUA.
4m
b) Las ecuaciones del movimiento MRUA deben ser del tipo
v = vo + at (velocidad) y e = eo + vot + ½ at2 (espacio).
3m
Sabemos (por la tabla de datos) que cuando t = 2s e = 1m y
cuando t = 4s e = 4m.
La ecuación del espacio debe cumplir:
2m
1m = vo2s +
1
a(2s)2 y también 4m = vo4s +
1
a(4s)2
1m
2
2
de nuevo tenemos dos ecuaciones y dos incógnitas (vo y a).
0,5
0,25
Resolviendo el sistema por cualquiera de los métodos que sabemos
de matemáticas, obtenemos:
0m
1s
2s
3s
4s
5s
a= 0,5 m
s
2
y v0 = 0.
Luego las ecuaciones del movimiento para este MRUA son:
v = 0,5 m
s
2
t
y
e=
1
2
0 ,5 m
s
2
t2
c) La gráfica v-t es una recta que pasa por el origen, y cuya pendiente es a.
2,5 ms-1
2 ms-1
1,5 ms-1
1 ms-1
0,5 ms-1
0 ms-1
1s
2s
3s
4s
3.- Calcula la distancia de seguridad que debe dejar un conductor cuyo coche frena con una
aceleración de 5 m/s2, si viaja a 72 km / h y su tiempo de respuesta es de 0,7 s.
“Tiempo de respuesta” es el tiempo que pasa entre el instante en que el conductor ve algo que le
obliga a detener el coche y el instante en que pisa el freno. Durante ese tiempo, que depende de los
“reflejos” de esa persona, el coche habrá recorrido una distancia.
Durante el tiempo de respuesta, el coche se mueve con MRU. A partir del momento en que se pisa
el freno, el movimiento será MRUA.
En este punto del recorrido:
vo = 20 m/s
vo = 20 m/s
MRU
MRUA con a = -5m/s2
v = 0 para que se detenga
e = 20m/s . 0,7s= 14m
e es la distancia hasta que se detiene,
esa es la distancia de seguridad.
eo = 0
eo = 14 m
t será el tiempo que tarda en detenerse.
Cinemática 2. 1º BACH
Utilizamos las ecuaciones del MRUA con todos los datos que tenemos (e o, a, vo, y v =0 cuando se detiene),
y conseguimos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas (t y e), que resolvemos de la forma más
sencilla posible:
De la 2ª ecuación t = 4s, introduciendo este
valor en la 1ª ecuación:
1

2
m
m
 e  14 m  20 s t  2 (  5 s 2 ) t
MRUA 
e = 14m + 80m – 40m = 54 m
 0  20 m  (  5 m 2 ) t
s
s

La distancia de seguridad que debe mantener ese conductor con
ese coche y a esa velocidad es de 54 m, que son los que
necesita para detener el coche en caso de necesidad.
4.- Calcula la velocidad a la que viaja un vehículo que frena con a = 6 m/s 2 si su distancia de
seguridad son 40 m y el tiempo de respuesta del conductor es de 0,5 s.
Este problema es muy parecido al anterior, pero en este caso nos dan el resultado y nos preguntan
¿a qué velocidad inicial iba el coche? Hacemos un gráfico como el de antes:
vo = ¿?
MRUA con a = -6m/s2
vo = ¿?
MRU
v = 0 para que se detenga
e = vo . 0,5 s
e = 40m es la distancia de seguridad
eo = 0
eo = vo . 0,5 s
t tiempo que tarda en detenerse.
Utilizamos las ecuaciones del MRUA con todos los datos que tenemos y obtenemos de nuevo un sistema
de dos ecuaciones con dos incógnitas (vo y t ):
1

2
m
 40 m  0 , 5 s .v o  v o t  2 (  6 s 2 ) t
MRUA 
 0  v o  (  6 m 2 )t
s

40 m = 0,5s . v0 + vo.
2
40m = 0,5s . vo +
vo s
vo
6m
2
6m
- 3m
s
2
2
-
vo s
s
2
.(
vo
De la 2ª ecuación obtenemos t 
6m
, que al
2
s
introducirlo en la 1ª ecuación la transforma en una
ecuación de 2º grado en vo.
vo
6m
)2
s
operando y simplificando
2
2
2
operando y simplificando 40 m = 0,5s . vo +
12 m
vo s
2
12 m
Ordenando la ecuación para aplicar la fórmula de resolución de ecuaciones de 2º grado sin
equivocarnos:
2
vo s
 0 ,5 s 
2
+ 0,5s . vo – 40 m = 0
12 m
0 , 25 s  4 .(1 s
2
v0 =
1s
2
12
m ).(  40 m )
2
6m
19 ,11 m

s
= 
m
  25 , 2 s

La velocidad con sentido físico es la positiva:
=
 0 ,5 s  3 , 7 s
1s
2
6m
vo= 19,11 m
s
=
Cinemática 2. 1º BACH
5.- Las posiciones de dos mru están determinadas por las ecuaciones:
Suponiendo que ambos móviles parten al mismo tiempo.
a) Indica la posición inicial de ambos móviles
b) ¿Cuál es su velocidad y el sentido de movimiento de ambos?
c) Indica el tiempo que tardan en encontrarse.
d) ¿En qué punto se encuentran?
 x1   2  2t

 x 2  2  4t
-5
-4
-3
-2
+6
-1
0
+1
x1
+2
+3
+4
+5
x2
a) Para t=0, el móvil x1 se encuentra en -2, y el móvil x2 se encuentra en 2.
b) El móvil x1 se mueve hacia la derecha a 2 m
y el x2 hacia la izquierda a 4 m
s
s
2
c) Se encontrarán cuando x1 = x2. Y eso ocurre para t= s
3
2
d) Ambos móviles se encuentran entonces en la posición x =- m
3
x1
Gráficamente:
5m
4m
3m
2m
1m
0
-1m
-2m
-3m
-4m
-5m
-6m
-7m
1s
2s
3s
4s
6.- Un vehículo, que marcha a 54 km/h cuando está a 50 m de un semáforo, frena porque el semáforo
ha pasado a rojo. Halla la aceleración media de frenado para que el vehículo no se salte el semáforo.
En este caso no nos hablan de tiempo de respuesta, calculamos la aceleración necesaria para
detener el vehículo en 50 m.
Vamos a hacerlo situando el origen de coordenadas en el punto donde se encuentra el coche y en
el semáforo para comprobar que, utilizando el criterio de signos visto en clase, el resultado es el mismo.
a)
MRUA con a=¿?
vo= 15 m/s
x2
e = 50 m
v = 0 para
detenerse y no
saltar el semáforo.
eo= 0 m
50 m = 15 m
15 m
. (-
s
)+
1
225 m
a(
1

m
 50 m  15 s t  2 at

 0  15 m  at
s

Despejando t en la 2ª ecuación e introduciéndolo
en la 1ª, se obtiene:
2
s
2
a = -2,25 m
2
) operando, simplificando y resolviendo:
s
2
s
a
2
a
El signo negativo, indica que la aceleración es de sentido contrario a la velocidad de alejamiento del origen
de coordenadas.
2
MRUA con a=¿?
Cinemática 2. 1º BACH
vo= -15m/s
b)
e=0

m t  1 at
 0  50 m  15
s
2

 0   15 m
 at
s

eo= 50 m
v = 0 para
detenerse y no
saltar el semáforo.
0 =50m - 15 m
Despejando t en la 2ª ecuación e
introduciéndola en la 1ª ecuación:
15 m
s
2
.(
a
s
)+
1
225 m
a(
2
a
2
2
s
2
) operando, simplificando y resolviendo:
a = 2,25 m
s
2
El signo positivo, indica que la aceleración es de sentido contrario a la velocidad de acercamiento all origen
de coordenadas.
7.- Un camión comienza a subir una cuesta a 90 km/h y, cuando llega a su parte más alta, su
velocidad es 15 m/s. si ha disminuido la velocidad uniformemente, ¿cuál será la longitud de la cuesta
si ha tardado 40 s en subirla?
v = 15 m/s
e = ¿? t = 40s
Se trata de un MRUA: a = cte = ¿?
De la ecuación de la velocidad v = vo + at
15m/s = 25 m/s + a.40s
 10 m
a=
40 s
s
= -0,25 m
s
eo = 0
vo = 25 m/s
2
De la ecuación de la posición e = 25 m s . 40s +
1
2
(-0,25 m
s
2
).1600s2 = 1000m - 200 m =
800 m