AREA : Matemáticas - mathmyriam

COLEGIO
CRISTO REY
JORNADA-TARDE
AREA :
ASIGNATURA:
GUIA-TALLER
NOMBRE:
GRADO:
MYRIAM SICACHA GAVIRIA
GRADO SEXTO
Matemática
Aritmética
Unidad 1
LOGICA
SEXTO

http://www.youtube.com/watch
?v=R6vQok3c75Y

http://www.youtube.com/watch
?v=QLXIY3-U5hA&feature=relmfu

http://www.youtube.com/watch
?v=pwJK-4Op438&feature=related

http://www.youtube.com/watch
?v=-QZcJ3dG19I&feature=related
La
lógica
se
constituye,
prácticamente, como disciplina
autónoma, a partir de Aristóteles,
quien
la
instauró
dándole
connotación
de
ciencia
y
elevándola al grado de saber
supremo.
Tal categoría fue alcanzada, debido
a la importancia que se le atribuyó
como método y, asimismo,
herramienta indispensable en el
manejo de los procesos mentales.
De ahí que se diga que el objeto
sobre el cual se apoya la lógica es
el pensamiento que fija, elabora y
relaciona las ideas, es decir, la
manera como la mente consigna y
ordena (relaciones matemáticas)
los datos provenientes de la
naturaleza, posteriormente dichos
actos serán expresados de acuerdo
con las reglas o leyes asignadas por
la disciplina en mención.
Aristóteles el más célebre alumno
de platón, enunció distinciones
esclarecedoras entre las nociones
de categoría axioma, definición,
postulado e hipótesis.
Su contribución a la lógica
filosófica servirá de soporte y de
impulso inicial, siendo primordial
para los trabajos subsiguientes que
conducirán a la lógica matemática.
PROPOSICIONES
Todas las ciencias se valen de
oraciones,
enunciados
o
proposiciones para afirmar o negar
los fenómenos que a cada una de
ellas concierne. Veamos los
siguientes ejemplos:
a) Simón Bolívar libertó cinco
naciones (Sociales)
b) 7 + 2 = 9 (matemática)
c) La vaca es un animal
rumiante (Biología)
1
BLOG: mathmyriam.wikispaces.com
Las anteriores afirmaciones tienen
un valor de verdad verdadero,
pero también podemos encontrar
ejemplos de proposiciones que
tengan valor de verdad falso.
Veamos
a) 8 es menor que 4
b) Los peces no viven en el
agua
c) El sol gira alrededor de la
tierra
Por lo tanto, las proposiciones son
aquellas afirmaciones de las cuales
se puede decir que tienen valor de
verdad verdadero o valor de
verdad falso, quedando por fuera
expresiones como las siguientes,
por no poder decir si son
verdaderas o falsas.
a) Correr
b) Casa
c) x mayor que y
d) a + b = 5
e) Buenos días
f) ¿Qué día es hoy?
g) ¡Hola!
h) ¡Que lindo!
También, existen expresiones que
nos hacen pensar que en ciertas
ocasiones tiene valor de verdad
verdadero (V) y a veces tienen
valor de verdad falso (F). Veamos
a) Hoy es domingo : Es
verdadera para cierto día,
pero no siempre; esto se
debe a que la frase “Hoy es
domingo” presupone una
fecha para determinar su
valor de verdad.
Existen proposiciones que poseen
la cualidad de tener valor de verdad
siempre verdadero o valor de
verdad siempre falso, como en el
caso de:
a) El hombre es mortal
b) El hombre es inmortal
Son
proposiciones
que
conservan su valor de
verdad, no importa el lugar
donde se diga, ni el idioma
en que se hable., Es
conveniente aclarar que
estas clases de proposiciones
que siempre conservan su
valor de verdad, reciben el
nombre de leyes.
En conclusión, decimos que una
proposición es una expresión que
posee las siguientes propiedades:
 Es una afirmación
 Posee valor de verdad (V)
o falso (F)
 Este valor de verdad es
único, es decir:
COLEGIO
CRISTO REY
JORNADA-TARDE
MYRIAM SICACHA GAVIRIA
GRADO SEXTO
a) Es independiente del Hoy es domingo, no es una
proposición ya que su valor
juez
b) Es independiente del depende del día en que se diga.
tiempo(la hora, el día, Hace frío, no es una proposición ya
que su valor de verdad depende del
etc., en que se diga)
momento y de la persona que lo
diga.
PROPOSICIÓN:
es
una Pedro juega, no es una proposición
afirmación, con valor de verdad ya que su valor de verdad depende
del momento en que se diga.
único.
Leamos las siguientes expresiones:
Estas expresiones, aunque no
a) ¿Bolívar nació en Caracas?
cumplen la propiedad 3, vamos a
b) ¡Buenos días!
considerarlas como proposiciones
c) Hoy es domingo.
d) Hace frío.
condicionadas al momento y a la
e) Pedro juega.
persona que la diga
f) x + 3 = 7
g) El hombre es un animal
La expresión x + 3 = 7, no es
racional
proposición porque depende del
h) El petróleo es un mineral
valor que tome x.
La expresión, ¿Bolívar nació en Las dos últimas expresiones son
Caracas?, no es una proposición afirmativas y poseen un valor de
por no ser afirmativa.
verdad único, por lo tanto son
La expresión, ¡Buenos días!, proposiciones
aunque es afirmativa no es
proposición, por cuanto no
podemos asignar su valor de Ejercicio
Di cuáles de las siguientes
verdad.
expresiones son proposiciones
Las expresiones, Hoy es domingo, a) Juan se casó con María.
Hace frío, Pedro juega, no b) Esta es la llave de la puerta de
mi casa.
cumplen las especificaciones de la
c)
El amor nace en el corazón.
propiedad 3. Veamos:
d) El día 22 de octubre de 2011
fue martes.
e) Mañana es miércoles.
f)
g)
h)
i)
j)
k)
l)
m)
2
BLOG: mathmyriam.wikispaces.com
La primera letra del alfabeto
Hay animales que no son aves.
Gracias a Dios.
x+5 = 3.
Prohibido fumar.
2 + 2 = 4.
Hace frío,
¿Quién es él
PROPOSICIONES SIMPLES
Ejemplo
Pedro tiene dos años y Juan cuatro
años
Apreciamos como este enunciado
se puede descomponer en dos
expresiones que son proposiciones.
Observa:
- Pedro tiene dos años
- Juan tiene cuatro años
Observa que la proposición simple,
Medellín
es
una
ciudad
colombiana,
no
se
puede
descomponer en ningún otro
enunciado del cual podemos decir
que tenga valor de verdad
verdadero (V) o falso (F).
Descompone
las
siguientes
expresiones
en
proposiciones
simples:
a) Ernesto
tiene
título
y
experiencia.
b) Si el salmón es un pez,
entonces vive en el agua.
c) Pedro y Marta pueden ir al cine
o a la fiesta.
d) Está lloviendo y hace frío
Notación
de
proposiciones
simples
La notación o simbolización es un
proceso
que
consiste
en
reemplazar ciertas expresiones con
otras de manejo y aplicación más
sencillos,
pero
de
igual
significado.
A las proposiciones simples las
podemos sustituir por letras
minúsculas, así: p, q, r, s..
Ejemplo:
Para notar la proposición, Santa Fe
de Bogotá es la capital de
Colombia, procedemos:
Las proposiciones simples son
enunciados que no pueden ser p: Santa Fe de Bogotá es la capital
descompuestos en partes, que a de Colombia.
su vez sean proposiciones.
Esto significa que mientras no
cambiemos de ejemplo, cada vez
Ejercicio
que encontremos la letra p
COLEGIO
CRISTO REY
JORNADA-TARDE
MYRIAM SICACHA GAVIRIA
GRADO SEXTO
debemos pensar que se trata de la negación y hace automáticamente
expresión, Santa Fe de Bogotá es que su valor de verdad cambie.
la capital de Colombia
Ejemplo:
Valor de verdad de una Si asumimos como cierta la
proposición,
está
lloviendo,
proposición simple
entonces su negación no está
Hemos dicho que una proposición lloviendo, es falsa y sucederá lo
en
caso
contrario.
simple tiene un único valor de mismo
verdad, es decir, o es verdadero Simbolizado lógicamente será:
(V), o es falso (F), pero nunca P: Esta lloviendo
puede tener ambos valores a la ~p: No esta lloviendo
vez, esto es:
Esto es:
Si p es una proposición simple,
~p
P
entonces:
P, puede ser verdadera (V)
F
V
P, puede ser falsa (F)
V
F
Negación
simples
de
proposiciones
En español encontramos las
palabras no, ni, nada, ningún,
etc., que representan la negación
de una expresión.
En lógica, el símbolo (~) que se
lee no, al ser antepuesto a una
proposición,
representa
su
La palabra no también suele
encontrarse
dentro
de
las
proposiciones.
Hoy no es domingo, su notación
es:
~p: Hoy no es domingo
Ejemplo:
A veces encontramos expresiones
como: No es cierto que no está
lloviendo.
Esta expresión se puede notar
como una sola proposición, pero
aconsejamos tratarla de la siguiente
manera:
p:
Está lloviendo (en forma
afirmativa).
3
BLOG: mathmyriam.wikispaces.com
~p: No está lloviendo.
Si asumimos como cierta la
~ ~p: No es cierto que no está expresión, Pedro estudia todo el
lloviendo (se lee: No,... no p).
día, su negación es: Pedro no
Al decir de la forma afirmativa, no estudia todo el día, la cual es falsa,
significa que la expresión sea y en ningún momento puede ser
verdadera, porque con mucha Pedro trabaja todo el día o Pedro
frecuencia afirmamos expresiones estudia medio día, que, también
que son falsas.
tienen valor de verdad falsos.
Ejercicio:
Ahora, si suponemos que p tiene 1. Simboliza
las
siguientes
valor de verdad verdadero,
proposiciones:
entonces: ~p será falso y ~ ~p será
a) No estoy trabajando
verdadero, esto
b) No es cierto que no estoy
P
~p
~ ~p
trabajando
F
V
V
c) No ocurre que no es cierto
que no estoy trabajando
Ejemplo:
d) La paloma no es ave
Con mucha frecuencia la palabra o
e) No es cierto que Pedro no
palabras que representan una
vino
negación son interpretadas como 2. Si p es V, ~q es F y ~ ~ r es V,
expresiones de valor de verdad
escribe el valor de verdad de las
falso.
siguientes expresiones:
a) Los hombres no son mortales
b) Los hombres no son inmortales
a) ~p
e) ~ ~ ~ r
En el ejemplo a) la proposición
b) ~ ~p
f) R
tiene valor de verdad falso,
c) P
g) ~ ~ r
coincidiendo con la aplicación de
d) ~ ~p
h) ~q
la palabra no; en el ejemplo b) el 3. Si
valor de verdad es verdadero, r: Bolívar nació en Caracas
independiente de la palabra no
~s: Santa Fe de Bogotá no es la
capital de Colombia
Ejemplo
COLEGIO
CRISTO REY
JORNADA-TARDE
MYRIAM SICACHA GAVIRIA
GRADO SEXTO
~ ~t: No es cierto que Amparo va Esta lloviendo y hace frío
al paseo
p
Ʌ q
Escribe las proposiciones
Esto es:
a) ~r
e) ~ ~ s
p: Está lloviendo
b) ~ ~r
f) ~ ~ ~ s
q: Hace frío
c) ~ ~ ~ r
g) ~ t
p Ʌ q: Está lloviendo y hace frío
d) s
h) ~ ~ t
Ejemplo 2:
PROPOSICIONES COMPUESTAS Simbolicemos: Esta lloviendo o
En lógica existen símbolos que nos hace frío
permiten
unir
proposiciones Esta lloviendo o hace frío
simples. Estos símbolos reciben el
p
V q
nombre de conectores o enlaces Esto es:
lógicos
p: Está lloviendo
Observa:
q: Hace frío
Conectivo Nombre
Símbo
p v q: Está lloviendo o hace frío
Lógico
lo
No….
Negación
~
Ejemplo 3:
Simbolicemos: Si la paloma es un
…. y …
Conjunción
Ʌ
ave, entonces, tiene alas
…. o …
Disyunción
V
Si la paloma es un ave, entonces,
Si…,
Implicación

tiene alas
entonces… o
p
q

condicional
Esto
es:
… si y Doble

p: La paloma es un ave
sólo si …. implicación
q: La paloma tiene alas
o
bip  q: Si la paloma es un ave,
condicional
entonces, tiene alas
Los puntos suspensivos indican que
Ejemplo 4:
allí van proposiciones.
Simbolicemos: Gabriel va al paseo,
Ejemplo 1:
Simbolicemos
las
siguientes si y solo si, tiene dinero.
expresiones:
4
BLOG: mathmyriam.wikispaces.com
Gabriel va al paseo, si y solo si,
tiene dinero.
p
q

Esto es:
p: Gabriel va al paseo
q: Gabriel tiene dienro
p  q: Gabriel va al paseo, si y
solo si, tiene dinero
Las proposiciones compuestas
son enunciados que pueden ser
descompuestos en expresiones
que, a su vez, son proposiciones.
Ejercicio:
1. Simboliza
las
siguientes
proposiciones:
a) Si hiela esta noche, entonces
vamos a patinar.
b) La culebra es un reptil o un
mamífero.
c) Si Héctor no está sano, entonces
no está apto para el servicio
militar.
d) Estoy parado, sentado o
acostado.
e) No es verdad que haga frío en
Barranquilla
f) Carlos y José no viajan a Cali.
g) No es cierto que no estoy
trabajando.
h) Iré al estadio, solamente si hace
buen tiempo (si y sólo si).
i) Pedro es juicioso, inteligente y
buen hijo.
j) El perro tiene cuatro patas, es lo
mismo que decir es cuadrúpedo
(sí y sólo si)
2. Sea p: Hace buen tiempo
q: Vamos al paseo
r: Raúl canta
Escribe el significado de las
siguientes expresiones:
e) ~q v ~p
a) q  p
f) q v ~ r
b) p  ~r
g) p  r
c) ~ p  r
h) ~p Ʌ q
d) q v p
3. Sea:
~p: No entendí la tarea de
matemáticas
~ ~ q: No, no tengo libros de
matemáticas
~ r: Amparo no estudia
Escribe el significado de las
siguientes expresiones:
a) p
e) r v p
f) q  p
b) q
g) ~p  ~q
c) r
h) r v ~ r
d) p Ʌ q
Valor de verdad de
proposición compuesta
una
Al igual que las proposiciones
simples,
una
proposición
COLEGIO
CRISTO REY
JORNADA-TARDE
compuesta tiene un único valor de
verdad.
Ejemplo
Sea la proposición compuesta p
• q, ¿cuál será su valor de
verdad? Veamos:
La proposición p puede ser
verdadera o falsa; lo mismo sucede
con la proposición q. Analicemos
todas las posibles combinaciones
entre los valores dep yq. El alumno
puede observar fácilmente que con
dos
proposiciones
suceden
únicamente
las
cuatro
combinaciones anteriores de sus
valores de verdad. ¿Cuál será el
valor de verdad de la proposición
compuesta: p • q?
Para hallarlo debemos utilizar los
conectivos vistos.
MYRIAM SICACHA GAVIRIA
GRADO SEXTO
5
BLOG: mathmyriam.wikispaces.com