Unidad 2: MATRICES

Unidad 2: MATRICES
INTRODUCCIÓN
En la unidad anterior, las matrices han sido estudiadas,
simplemente como cajas numéricas en las que se resume una
información estructurada. De este modo fueron utilizadas,
ocasionalmente, a lo largo de la historia, por muchos
matemáticos.
Sin embargo, su tratamiento sistemático tuvo lugar en el
siglo XIX. Destacaron como artífices de su desarrollo
Hamilton (irlandés, 1805-1865), Sylvester (inglés, 18141897), sobre todo, Arthur Caley (inglés, 1821-1895). Los
estudios de este último para describir las transformaciones
geométricas dieron lugar a las operaciones con matrices. Se
llegó así al álgebra matricial, en la que las matrices pasan de
ser elementos aislados a ser un conjunto con una sólida
estructura algebraica.
Las matrices son una herramienta imprescindible
para el control del tráfico aéreo.
1
Elección de presidente
Los seis consejeros (A, B, C, D, E, F) de una empresa deben
elegir un presidente de entre ellos mismos. Cada uno opina
sobre los demás y sobre sí mismo del siguiente modo:
• Si cree que es idóneo, pone 1.
• Si cree que es no idóneo, pone -1.
• Si no tiene opinión definida, pone 0.
Estos son los resultados:
A
A
B
C
D
E
F
1
−1 −1 −1 −1 −1
B −1
0
1
0
−1
0
C
0
1
1
1
0
0
D −1
0
1
0
−1
0
E −1
1
1
1
−1
0
F
0
0
0
−1
0
−1
Por ejemplo, el -1 señalado en rojo significa que D opina que
E no es idóneo.
Ayudándote de la tabla, estudia detalladamente los
resultados de la votación, analiza algunas características
de los participantes y opina quién crees que debería ser
presidente.
Vuelos internacionales
En un país A hay tres aeropuertos internacionales, A1, A2,
A3, mientras que en el país B hay cuatro, B1, B2, B3, B4.
2
Una persona que quiera ir el lunes de A a B dispone de los
siguientes vuelos:
La información anterior puede ser representada mediante la
tabla siguiente:
A1
A2
A3
B1
1
0
0
B2
0
1
0
B3
2
1
0
B4
0
1
1
Aquí tienes representados, mediante flechas, los vuelos
que hay el martes desde el país B hasta el país C.
Representa, mediante una tabla como la anterior, la
información recogida en el diagrama.
3
Conexiones de vuelos
Vamos a ver para qué podemos utilizar las tablas anteriores.
Supón que una persona quiere salir el lunes de A, pasar la
noche en B y llegar el martes a C.
¿Cuántas posibles combinaciones tiene por cada punto de
salida y cada punto de llegada? Es decir, ¿de cuántas
formas puede ir de A1 a C1, de A1 a C2, de A2 a C1, etc.?
Una buena manera de dar la respuesta que nos piden es
rellenar una tabla como esta:
A1
A2
A3
C1
5(*)
C2
(*)
Por ejemplo, para ir de A1 a C1 existen las siguientes
combinaciones:
- Pasando por B1: 1 × 3 = 3 posibilidades.
- Pasando por B2: Imposible, pues no hay vuelos de A1 a B2.
- Pasando por B3: 2 × 1 = 2 posibilidades.
- Pasando por B4: Imposible, pues no hay vuelos de A1 a B4.
En total, tenemos 5 posibles formas de ir de A1 a C1.
Continúa tú, rellenando razonadamente el resto de la tabla
y explicando, en cada caso, cómo llegas a la respuesta.
4
2.1.- NOMENCLATURA. DEFINICIONES
Las siguientes tablas numéricas son matrices:
1
7 −2 4 


3
0.5
0
1




−
1
2
4
−
5



1 4 0


2
3
7

5 
 
 3
 −4 
 
 0
 3 −1 4 


5
10
6


 4 −1 5 


Como ves, son cajas rectangulares formadas por filas y
columnas.
La primera es una matriz de tres filas y cuatro columnas. Su
dimensión es 3 × 4 .
La segunda es una matriz de dimensión 1 × 5 (1 fila, 5
columnas). A este tipo de matrices se les llama vectores fila.
Esta es un vector fila de dimensión 5.
La tercera es un vector columna de dimensión 4 (es una
matriz 4 × 1 ).
La cuarta es una matriz 3 × 3 . Se llama matriz cuadrada de
orden 3.
Las matrices son tablas numéricas rectangulares:
 a11

 a21
A =  a31

 ...
a
 m1
a12
a13
...
a22
a23
...
a32
a33
...
...
...
...
am2
am3 ...
a1n 

a2n 
a3n 

... 
amn 
Esta es una matriz de m
filas y n columnas.
Es de dimensión m × n .
Los elementos, aij , son
(
números reales aij ∈ )
5
Al designar una matriz genérica, como la anterior, cada
término tiene dos subíndices que indican la fila y la columna a
las que pertenece. El término a23 es el que está en la segunda
fila y tercera columna. Para simplificar, la matriz anterior se
puede designar así:
i =1,..., m
( )
aij
j=1,...,n
( )
o bien A = aij
m,n
( )
o, simplemente aij
Si m = n , se dice que la matriz es cuadrada.
Dos matrices son iguales cuando son de la misma
dimensión y, además, coinciden término a término.
( )
B = (b )
A = aij
ij




m,n 
m,n
A = B ⇔ aij = bij
( )
Se llama traspuesta de una matriz A = aij
( )
matriz At = aji
n,m
m,n
a otra
que se obtiene al cambiar en A las filas
por las columnas y las columnas por las filas.
Una matriz A se llama simétrica si At = A . Para que una
matriz sea simétrica necesariamente ha de ser cuadrada.
7 1 5 0 


0
4
0
−
1


0 0 1 3 


0
0
0
6


Esta matriz se llama triangular porque es cuadrada y
todos los elementos que están debajo de la diagonal
principal son iguales a cero.
6
Observa los siguientes ejemplos:
1. La
matriz
7 0

1 5
At = 
 4 −1

2 3
traspuesta
de
7 1 4 2


A =  0 5 −1 3 
 6 2 0 5


es
6

2
0

5
 1 6 −5 


La matriz B =  6 0 4  es simétrica porque Bt = B .
 −5 4 6 


2. El consumo, en kilos, de pan, carne y mantequilla de una
familia durante los años 2005, 2006, 2007 y 2008 se
dispone así:
05
06
07
08
PAN
CARNE
MANTEQUILLA
430
320
410
360
165
183
171
112
8
6
7
10
Este ejemplo da lugar a una matriz 4 × 3 .
Este ejemplo es muy ingenuo, pero podemos imaginar
una situación más real: el consumo de todo un país (miles
de productos) y lo consumido cada mes durante muchos
años…
Sería una inmensa matriz de muchas filas y muchísimas
columnas.
7
Los ordenadores permiten no solo almacenar matrices
de este tipo, sino también operar con ellas.
3. Una chica contabiliza las horas que dedica a “clase”,
“estudio”, “televisión” y “amigos” día a día, durante una
semana, de siguiente modo:
L
M
X
J
V
S
D
CLASE
ESTUDIO
TV
AMIGOS
6
5
8
6
5
1
0
2
3
1
1
4
2
2
1
2
0
2
0
3
4
2
1
2
1
4
6
6
Es fácil reconocer en esta caja una matriz de 7 filas y
cuatro columnas.
Ejercicio propuesto 2 (pág. 49)
Escribe una matriz X tal que Xt = X ; esto es, que sea
simétrica.
Ejercicio propuesto 3 (pág. 49)
Escribe una matriz que describa lo siguiente:
8
2.2.- OPERACIONES CON MATRICES
Las matrices pueden sumarse, ser multiplicadas por un
número y multiplicarse entre sí. Cada una de estas
operaciones tiene sus peculiaridades y su interpretación.
Suma de matrices
Para que dos matrices puedan sumarse, es necesario que
tengan la misma dimensión. En tal caso, se suman término a
término:
(a )
ij m,n
( )
+ bij
m,n
(
= aij + bij
)
m,n
Producto de un número por una matriz
Para multiplicar un número por una matriz, se multiplica por
el número cada término de la matriz:
( )
k aij
m,n
( )
= kaij
m,n
Los siguientes ejemplos ilustran el manejo de estas dos
operaciones:
 1 5 −1 4   2 0 −1 4   3 5 −2 8 

 
 

1.  2 1 16 0  +  2 −3 5 6  =  4 −2 21 6 
 3 4 −5 5   1 1 −1 0   4 5 −6 5 

 
 

2 1 7 4 
 4 7 3
2. Las matrices 
y


 no pueden
3
2
−
5
6
1
5
2




sumarse por no ser de la misma dimensión.
3. Si en el ejemplo 2 del apartado anterior tuviéramos
todas las matrices de consumo de las familias de una
9
provincia, su suma sería una matriz con los consumos de
esos productos en toda la provincia.
 1 5 −1 4   −2 −10
2
−8 

 

4. ( −2 ) ⋅  2 1 16 0  =  −4 −2 −32 0 
 3 4 −5 5   −6 −8 10 −10 

 

5. En el ejemplo 3 del apartado anterior, la chica puede
suponer que las 12 semanas lectivas de un trimestre
serán aproximadamente iguales y, así, obtener la matriz
de dedicación trimestral multiplicando por 12 la matriz
de dedicación semanal.
Producto de una matriz fila por una matriz columna
El producto de un vector fila por un vector columna,
ambos de la misma dimensión, es un número que se obtiene
multiplicándolos término a término y sumando los resultados:
(a
1
a2
a3
 b1 
 
 b2 
... an ) ⋅  b3  = a1b1 + a2b2 + a3b3 + ... + anbn
 
 ... 
b 
 n
Nota: Esta definición es válida para el producto de un
vector fila por un vector columna, pero no al contrario.
Ejercicio resuelto 1 (pág. 51)
Efectuar el producto F · C:
10
F = (5 1 4 2) ,
 −1 
 
3
C= 
2
 
0
F ⋅ C = 5 ⋅ ( −1 ) + 1 ⋅ 3 + 4 ⋅ 2 + 2 ⋅ 0 = 6
(El producto C · F se realiza de forma muy distinta, como
veremos más adelante).
Ejercicio resuelto 2 (pág. 51)
El número de estudiantes en cierta academia de idiomas es
100 en 1º, 90 en 2º y 80 en 3º. Al finalizar el curso pasarán a
3º el 20% de los que había en 3º (repiten), el 70% de los de
2º y el 5% de los de 1º, que han aprovechado de forma
extraordinaria el curso. ¿Cuántos alumnos habrá en 3º?
Observa que el número de alumnos que habrá en 3º el curso
próximo se puede obtener como producto de un vector fila
por un vector columna:
 100 
( 0, 05 0, 7 0,2) ⋅  90  = 0, 05 ⋅ 100 + 0, 7 ⋅ 90 + 0,2 ⋅ 80 = 84
 80 


5%
70%
20%
5% de 100
70% de 90 20% de 80
Habrá 84 alumnos en 3º.
Ejercicio resuelto 3 (pág. 51)
Para viajar de A a C, no hay vuelo diario. Necesariamente hay
que hacer escala en alguno de los aeropuertos intermedios.
¿Cómo representar matricialmente esta situación?
11
Podemos hacerlo del siguiente modo:
(
Número de vuelos de A a B1, B2, B3, B4: 1 2 0 3
)
3
 
0
Número de vuelos de B1, B2, B3, B4 a C:  
2
 
2
Número de combinaciones de vuelos de A a C:
3
 
0
(1 2 0 3) ⋅  2  = 3 + 0 + 0 + 6 = 9
 
2
Hay 9 formas de ir de A hasta C.
Producto de matrices
Para que dos matrices A y B puedan multiplicarse, A ⋅ B , es
necesario que el número de columnas de la primera coincida
con el número de filas de la segunda.
En tal caso, el producto A ⋅ B = C es otra matriz cuyos
elementos se obtienen multiplicando cada vector fila de la
primera por cada vector columna de la segunda, del siguiente
modo:
12
A = ( aik )
m,n
( )
B = bkj
n,p


 A ⋅ B = C = cij

( )
m,p
siendo cij el producto de la fila i de A por la columna j de B:
 b1 j 
 
n
 b2j 
cij = ( ai1 ai2 ... ain ) ⋅   = ai1b1 j + ai2b2 j + ... + ainbnj = ∑ aikbkj
k =1
 ... 
 bnj 
 
La matriz C resultante tiene tantas filas como A (m) y tantas
columnas como B (p).
A · B
(m, n) (n, p)
=
C
(m, p)
Observa en estos ejemplos la mecánica del producto de
matrices:
1.
1 6 
2 3 5
  2 ⋅ 1 + 3 ⋅ 7 + 5 ⋅ 0 2 ⋅ 6 + 3 ⋅ 2 + 5 ⋅ ( −5 )   23 −7 
=

  7 2  = 


7
2
4
21
26
7
⋅
1
+
2
⋅
7
+
4
⋅
0
7
⋅
6
+
2
⋅
2
+
4
⋅
−
5
(
)

  0 −5  

 


(2x3)
(3x2)
(2x2)
2. Matriz A: Consumos anuales de tres familias α , β , γ , de
pan, carne y mantequilla.
Matriz B: Precios, en euros, del pan, de la carne y de la
mantequilla en los años 2005, 2006, 2007 y
2008.
13
La matriz A ⋅ B nos da el gasto anual de cada familia en el
total de los tres productos.
Vector columna por vector fila
 −1 
 
3
C= 
2
 
0
F = (5 1 4 2)
Observa que C ⋅ F es una matriz 4 × 4 . Calcúlala.
Ejercicio resuelto 1 (pág. 53)
El problema “Vuelos internacionales” que vimos en la
introducción se resume mediante el siguiente grafo (más
adelante hablaremos con más detalle de los grafos):
14
Aplicar el producto de matrices para obtener el número de
combinaciones de vuelos para ir de cada aeropuerto de A a
cada aeropuerto de C pasando por alguno de B.
El grafo describe los vuelos que hay de cada aeropuerto del
país A a los de país B, que se resumen en la matriz M, y los
del país B al país C, resumidos en la matriz N. La matriz
producto M ⋅ N da el número de combinaciones para ir de
cada aeropuerto de A a cada aeropuerto de C pasando por
alguno de B.
Coincide con la tabla que
obtuviste en el problema
“Conexiones de vuelos” de
la introducción.
Ejercicio propuesto 2 (pág. 53)
Efectúa todos los posibles productos entre las siguientes
matrices:
 1 2 3
A=

 −2 5 1 
7

−1
B=
0

3
0
 2 7 1 5

1


C =  6 3 0 0
1
 −2 −5 1 0 



4
 1 −1 1 


D = 0 5 2 
 2 3 −3 


Ejercicios: 30 pág. 69 y 31 pág 70
15
Matrices y grafos
Los grafos constituyen el núcleo central de lo que en la
actualidad se conoce con el nombre de matemática discreta.
Su aplicabilidad a diversos campos como la informática, el
transporte, las redes de comunicación, la psicología o la
economía, hacen su estudio imprescindible.
El primer estudio de grafos fue realizado por Euler (17071783) y respondía a la necesidad de resolver el famoso
problema de los puentes de Königsberg. La ciudad alemana de
dicho nombre estaba dividida en cuatro partes conectadas
entre sí por siete puentes, ya que por ella circulaba el río
Pregel.
El problema en cuestión se formuló en los siguientes
términos:
¿Es posible planificar un paseo tal que se crucen todos los
puentes sin pasar por ninguno más de una vez?
Se puede definir un grafo como una colección de puntos
algunos de los cuales están unidos mediante líneas. Puede
utilizarse la palabra red como sinónimo de grafo. Sirven para
representar las relaciones existentes entre los elementos de
un conjunto.
16
Supongamos, por ejemplo, el conjunto de pueblos A, B, C y D;
una carretera comarcal enlaza A, B y C, pero a D sólo se
puede acceder desde C mediante una pista de dirección única
que termina en B. Esta situación se puede representar
mediante el grafo de la figura siguiente:
Los elementos que se relacionan en el grafo, los pueblos,
constituyen los vértices del mismo; las flechas indican cómo
se comunican estos y se denominan aristas del grafo. Las
aristas que unen C y D, y D y B son aristas orientadas.
Además, si existiera un camino que volviera al pueblo C
partiendo de este, el grafo presentaría un lazo en el vértice
C, es decir, una arista que uniría C consigo mismo. La
información que proporciona este grafo se puede expresar
mediante una matriz, M. Para ello, disponemos una matriz
4 × 4 en la que cada elemento aij indica qué tipo de acceso
tiene el pueblo i al j. Si es directo, asignamos a este
elemento el valor 1, y si no, el 0, como muestra la matriz
siguiente:
A B C D
A 0
1
0 0
B
1
0 1
0 =M
C
0
1
0
1
D 0
1
0 0
17
La matriz asociada a un grafo M, se denomina matriz de
adyacencia. En nuestro ejemplo, M indica el acceso directo
entre los pueblos. Por ejemplo, a34 = 1 , porque el pueblo C
tiene acceso directo al pueblo D; sin embargo, a43 = 0 ya que
el pueblo D no tiene acceso directo a C.
En los grafos interesa recorrer las aristas para llegar a los
vértices. Se llama camino entre dos vértices, A y B, a toda
sucesión de aristas que conectan A y B, siendo la longitud del
camino el número de aristas que lo componen.
Ejemplo: C-D-B-A es un camino de
longitud 3 entre los vértices C y A,
mientras que C-B-A es otro camino
también entre C y A, pero de
longitud 2.
Si calculamos el cuadrado de la matriz anterior, M2 ,
obtenemos:
0 1 0 00


1
0
1
0
2
 1
M =
0 1 0 1 0

 
0
1
0
0

0
0 0  1 0 1 0
 

0 1 0 0 2 0 1 
=
1 0 1   1 1 1 0
 

1 0 0   1 0 1 0 
1
Esta nueva matriz indica los accesos entre dos pueblos a
través de otro. Es decir, M2 nos indica los caminos que hay
de longitud 2 entre dos vértices cualesquiera. Por ejemplo,
a22 = 2 indica que se puede acceder al pueblo B desde B de
dos formas distintas: a través de A y a través de C. En
cambio, no se puede acceder de B a C a través de otro
pueblo, pues a23 = 0 .
18
Si calculamos ahora M3 , obtendremos los accesos entre dos
pueblos a través de dos de ellos, es decir, M3 nos indica los
caminos que hay de longitud 3 entre dos vértices
cualesquiera, y así sucesivamente.
0 1 0 0 1


1
0
1
0
0
M3 = 
0 1 0 1  1

 
0
1
0
0

 1
0 0
 
2 0 1  2
=

1
1 1 0
 
0 1 0   0
0
1
2 0 1

1 2 0
2 1 1

2 0 1 
Si sumamos después M, M2 y M3 , obtendremos el número de
accesos que hay entre dos pueblos:
1

3
2
3
M+M +M =
2

1
1

3 3 1
4 2 2

3 1 1 
3 1
Resumiendo:
Si la matriz de adyacencia M indica si existe o no una arista
entre cada par de vértices, M2 indicará si existen y cuántos
caminos hay de longitud 2 entre dos vértices cualesquiera.
De forma similar, M3 indicará el número de caminos de
longitud 3, y así sucesivamente.
Si llamamos B = M + M2 + ... + Mn−1 , siendo M la matriz de
adyacencia de un grafo con n vértices, entonces existirá un
camino que conecte el vértice i con el vértice j si el elemento
bij de la matriz B es distinto de cero.
19
Ejercicio
De una pequeña ciudad europea, A, a una capital
centroafricana, D, no hay vuelos directos. Por ello, es
necesario hacer alguna escala; los dos únicos aeropuertos
para realizarla son B y C. El gráfico siguiente muestra la
situación:
a) Halla la matriz de adyacencia asociada al grafo anterior.
b) ¿De cuántas formas se puede ir de A a D haciendo una
sola escala?
c) ¿De cuántas formas se pueden enlazar A y D haciendo
una o dos escalas?
2.3.- PROPIEDADES
MATRICES
DE
LAS
OPERACIONES
CON
Las operaciones con matrices tienen unas propiedades que
les confieren una estructura interesante. Veámoslas:
Propiedades de la suma de matrices
Las matrices de dimensión m × n pueden sumarse, y el
resultado es otra matriz m × n . Además, la suma cumple las
siguientes propiedades:
20
1. Asociativa: (A + B ) + C = A + (B + C )
La propiedad asociativa nos
paréntesis: (A + B ) + C = A + B + C .
permite
suprimir
2. Conmutativa: A + B = B + A
3. Elemento neutro: La matriz 0m,n, cuyos elementos son
todos 0, sumada con cualquiera otra matriz de
dimensión m × n , la deja igual, es decir A + 0 = 0 + A = A .
4. Toda matriz, A, tiene una opuesta, -A: La opuesta de
( )
( )
( a ) + ( −a ) = ( a
A = aij es −A = − aij , pues
ij
ij
ij
)
− aij = ( 0 ) = 0
Estas cuatro propiedades se resumen diciendo que el
conjunto Mm,n de las matrices de dimensión m × n es un grupo
abeliano respecto de la suma.
Propiedades del producto de números por matrices
Si
a, b ∈ A, B ∈ Mm,n ,
y
se
cumplen
las
siguientes
propiedades:
1. Asociativa: a ⋅ ( b ⋅ A) = ( a ⋅ b ) ⋅ A
2. Distributiva I: ( a + b ) ⋅ A = a ⋅ A + b ⋅ A
3. Distributiva II: a ⋅ ( A + B ) = a ⋅ A + a ⋅ B
4. Producto por el número 1: 1 ⋅ A = A
Propiedades del producto de matrices
(
)
(
1. Asociativa: Am,n ⋅ Bn,p ⋅ Cp,q = Am,n ⋅ Bn,p ⋅ Cp,q
)
21
Esta propiedad nos permite prescindir de paréntesis
cuando multipliquemos varias matrices (siempre que, por
sus dimensiones, cada una sea multiplicable por la
siguiente).
2. El producto de matrices no es conmutativo.
Como consecuencia, hemos de mantener el orden en que
aparezcan las matrices que han de multiplicarse. Por
tanto, utilizaremos expresiones del siguiente tipo:
“La matriz M está multiplicada por la izquierda (o por la
derecha) por la matriz A”.
Ejercicio resuelto 2 (pág. 55)
Comprobar con algunos ejemplos que el producto de matrices
no es conmutativo.
Si A es de orden 3 × 2 y B es de orden 2 × 4 , puede
efectuarse A ⋅ B , pero no B ⋅ A .
 1 3
 4 5 −2 


Si A =  2 1  y B = 
 , pueden efectuarse A ⋅ B y
0
3
4


0 4


B ⋅ A , pero A ⋅ B es de dimensión 3 × 3 y B ⋅ A es de
dimensión 2 × 2 .
2 1 
1 7
Si A = 
y
B
=


,
 4 5
3 0 
 5 14 
 30 36 
A ⋅B = 
,
B
⋅
A
=



19
28
6
3




22
Propiedades distributivas
Si A, B, C, D son matrices cuyas dimensiones permiten
efectuar las operaciones que se indican, se cumplen las
siguientes propiedades:
A ⋅ (B + C ) = A ⋅ B + A ⋅ C
(B + C ) ⋅ D = B ⋅ D + C ⋅ D
2.4.- MATRICES CUADRADAS
Las matrices cuadradas de un cierto orden, Mn,n , además de
sumarse y multiplicarse por números, pueden multiplicarse
entre sí. Estas operaciones cumplen todas las propiedades
estudiadas hasta ahora y algunas otras.
Matriz unidad
Los términos a11 , a22 , …, ann de
 1 0 0 ... 0 


una matriz cuadrada aij
 0 1 0 ... 0 
n,n
In =  0 0 1 ... 0 
forman lo que se llama la


 ... ... ... ... ... 
diagonal principal. Pues bien, la
 0 0 0 ... 1 


matriz In cuyos términos son
todos 0 salvo los de la diagonal principal, que son 1, tiene la
siguiente propiedad:
( )
Cualquiera que sea A ∈ Mn,n , A ⋅ In = In ⋅ A = A . Por eso decimos
que In es la matriz unidad. A la matriz unidad se le llama
también matriz identidad.
Por ejemplo:
 1 0 0
 3 −5 4 




I3 =  0 1 0  , A =  2 7 1  , A ⋅ I3 = I3 ⋅ A = A
0 0 1 
0 3 8




23
Matriz inversa de otra
Puesto que en el conjunto Mn,n está definida la multiplicación
(es decir, el producto de dos matrices cuadradas de orden n
es otra matriz cuadrada de orden n), y además existe matriz
unidad, parece obligado hacerse la siguiente pregunta: ¿toda
matriz cuadrada tiene inversa? Es decir, dada una matriz
cuadrada, A, ¿existe otra, A−1 , tal que A ⋅ A−1 = A−1 ⋅ A = I ?
Por ejemplo:
 1 −1 −1 
 15 8 3 




A =  −1 0 3  , A−1 =  9 5 2  , pues
 −2 5 −3 
 5 3 1




 1 0 0


A ⋅ A−1 = A−1 ⋅ A =  0 1 0 
0 0 1 


La respuesta es negativa. Algunas matrices cuadradas tienen
inversa, pero otras no.
Las matrices que tienen inversa se llaman regulares y las que
no tiene inversa se llaman singulares.
A continuación, exponemos un método para obtener la
inversa de una matriz, si la tiene, o para descubrir que no
tiene inversa.
Inversa de una matriz por el método de Gauss
Para hallar la inversa, A−1 , de una matriz A, impondremos a la
matriz unidad, I, los mismos cambios a los que hay que
someter a la matriz A para obtener la matriz unidad.
24
SOMETIDA A CIERTAS
TRANSFORMACIONES
A
SOMETIDA A LAS MISMAS
TRANSFORMACIONES
I,
A−1
I
TRANSFORMACIONES
(A I )
(I A )
−1
En la práctica, se coloca la matriz A, y a su derecha, la
matriz I. Realizamos las transformaciones necesarias para
que A se transforme en I. Como consecuencia, la matriz que
se obtiene a la derecha de I es A−1 . Todas las
transformaciones que se realicen serán idénticas a las que
utilizamos para resolver un sistema de ecuaciones por el
método de Gauss. Si en la parte de la izquierda aparece una
fila de ceros, A no tiene inversa.
Ejercicio resuelto 1 (pág. 57)
 3 5
Hallar la inversa de la matriz A = 
.
 4 8
3 5 1

4 8 0

 1
F ≡ F : 12

F ≡F :4
0


1
2
1
2
0   3 5 1 0   12 0 24 −15 
 F ≡ (−4)F + 3F 
 F ≡ (−5)F + 4F 

1 
0
4
−
4
3
0
4
−
4
3





5
5
2
−
2
−



0
4  ⇒ A−1 = 
4
1
3 
 −1 3 
−1



4 
4 

2
1
2
1
2
1
Se puede comprobar, multiplicando, que A ⋅ A−1 = I .
Ejercicio resuelto 2 (pág. 57)
 1 −2 1 


Hallar la inversa de la matriz M =  3 0 4  .
0 4 1 


25
 1 −2 1 1 0 0 
 1 −2 1 1 0 0 

 
 F ≡ 3F + F
 3 0 4 0 1 0  F ≡ (−3)F + F  0 6 1 −3 1 0  F ≡ (−4)F + 6F
0 4 1 0 0 1 
0 4 1 0 0 1 




1
2
1
1
2
2
3
2
3
3 0 4 0
 3 0 0 −24 9 −12  1 0

  F ≡F :3
F ≡ (−2)F + F 
0
6
1
−
3
1
0
0
−
12
0
18
−
6
6

 F ≡ (−2)F + F 
 F ≡ F : (−12)
 0 0 2 12 −4 6 
 0 0 2 12 −4 6  F ≡ F : 2




1
1
3
2
2
2
2
3
3

−8 −3 −4 
1 0 0

0 1 0 − 3 1 − 1 

2 2
2
 0 0 1 6 −2 3 


1
1
⇒
 −8

3
−1
M = −
 2
 6

3
−4 

1
1
−
2
2
−2 3 

3
Se comprueba que M ⋅ M−1 = I .
Ejercicio resuelto 3 (pág. 57)
 2 −1 0 


Hallar la inversa de la matriz B =  0 1
4 .
 3 −2 −2 


 2 −1 0 1 0 0 
 2 −1 0 1 0 0 

 
 F ≡ F +F
0
1
4
0
1
0
F ≡ ( −3)F + 2F
0
1
4
0
1
0



 F ≡ F +F
 3 −2 −2 0 0 1 
 0 −1 −4 −3 0 2 




2
1
1
1
2
3
2
3
3
 2 −1 0 1 0 0 


0 1 4 0 1 0
 0 0 0 −3 1 2 


En la parte de la izquierda ha aparecido una fila, la 3ª,
compuesta de ceros. Por tanto, la matriz B no tiene inversa.
Ejercicios: 18 pág. 68 y 23 pág 69
26
2.5.- FORMA
ECUACIONES
MATRICIAL
DE
UN
SISTEMA
DE
Un sistema de ecuaciones lleva asociadas tres matrices: la
de los coeficientes, la de las incógnitas y la de los términos
independientes. Por ejemplo:
 1 −1 −1 
x
 1 
1 


 



−x
+ 3z = 18  A =  −1 0 3  X =  y  C =  18 
 −2 5 −3 
z 
 −52 
−2x + 5y − 3z = −52


 


x − y −z =
MATRIZ DE LOS
COEFICIENTES
INCÓGNITAS
TÉRMINOS
INDEPENDIENTES
El sistema puede expresarse en forma matricial del
siguiente modo:
 1 −1 −1   x   1 

   

−
1
0
3
⋅
y
=
18

   

 −2 5 −3   z   −52 

   

Es decir, A ⋅ X = C .
Si la matriz A es cuadrada y tiene inversa, podemos
despejar X del siguiente modo:
A⋅X = C
A ⋅ ( A ⋅ X ) = A−1 ⋅ C
−1
(A
−1
)
⋅ A ⋅ X = A−1 ⋅ C
I ⋅ X = A−1 ⋅ C
X = A−1 ⋅ C
27
 15 8 3 


Puesto que A−1 =  9 5 2  según vimos en un ejemplo del
 5 3 1


apartado anterior, aplicando lo anterior obtendremos:
 x   15 8 3   1   3 
  
 
  
y
=
9
5
2
⋅
18
  
 
 =  −5 
 z   5 3 1   −52   7 
  
 
  
x = 3

Es decir:  y = −5
z = 7

28