Ejercicios resueltos con Excel.

1
VARIABLES ESTADÍSTICAS UNIDIMENSIONALES
1
La tabla siguiente refleja la distribución por cursos de los alumnos
matriculados en un Instituto:
Curso
1º de ESO
2º de ESO
3º de ESO
4º de ESO
1º de Bach.
2º de Bach.
ni
56
90
120
88
114
112
N = 580
a) ¿De qué tipo es el carácter estadístico estudiado?
b) Completar la tabla con las columnas de frecuencias relativas y porcentajes.
c) Construir un diagrama rectangular y un diagrama de sectores.
Se trata de un carácter cualitativo (atributo) ordinal.
DIAGRAMA RECTANGULAR EN EXCEL
1. Introducir los datos.
En una columna introducir los nombres de las modalidades (“categorías” en
Excel).
En la columna siguiente introducir la frecuencia absoluta o relativa de cada
modalidad.
2. Hacer clic en Asistente para gráficos (o bien Insertar-Gráfico).
3. Ejecutar los cuatro pasos siguientes (para avanzar de un paso a otro pulsar
Siguiente)
Paso 1 Tipo de gráfico
Seleccionar Columnas
Paso 2 Datos del gráfico
Rango de datos: definir las celdas de las dos columnas donde
están los datos (la de modalidades y la de frecuencias)
Series en: escoger Columnas
Paso 3 Opciones de gráfico
Título del gráfico
Escribir Título deseado para el gráfico, así como para el Eje de
categorías (X) y el Eje de valores (Y)
Ejes
Seleccionar Eje de categorías automático y Eje de valores
1−EPR−VARIABLES ESTADÍSTICAS UNIDIMENSIONALES
1
Líneas de división
Seleccionar sólo Líneas de división principales en el eje Y
Leyenda
Desactivar Mostrar leyenda
Rótulo de datos
Seleccionar Valor
Tabla de datos
Desactivar Mostrar tabla de datos
Paso 4 Colocar el gráfico
Como objeto en: Hoja 1
Finalizar
2
ESTADÍSTICA
J. Sánchez - Mª. S. Sánchez
1−EPR−VARIABLES ESTADÍSTICAS UNIDIMENSIONALES
3
4
ESTADÍSTICA
J. Sánchez - Mª. S. Sánchez
4. Se pueden efectuar modificaciones sobre el gráfico obtenido como cambiar el
color del fondo o de las barras. Para cambiar el color de una barra se hacen
dos clics sobre ella con el botón izquierdo; después, clic con botón derecho y
se selecciona Formato de punto de datos. En Tramas se selecciona Borde y
Área.
El resultado es el siguiente:
1−EPR−VARIABLES ESTADÍSTICAS UNIDIMENSIONALES
5
DIAGRAMA DE SECTORES EN EXCEL
1. Introducir los datos.
En una columna introducir los nombres de las modalidades (“categorías” en
Excel).
En la columna siguiente introducir la frecuencia absoluta o relativa de cada
modalidad.
2. Hacer clic en Asistente para gráficos (o bien Insertar-Gráfico).
3. Ejecutar los cuatro pasos siguientes (para avanzar de un paso a otro pulsar
Siguiente)
Paso 1 Tipo de gráfico
Seleccionar Circular
Paso 2 Datos del gráfico
Rango de datos: definir las celdas de las dos columnas donde
están los datos (la de modalidades (categorías) y la de
frecuencias)
Series en: escoger Columnas
6
ESTADÍSTICA
J. Sánchez - Mª. S. Sánchez
Paso 3 Opciones de gráfico
Título del gráfico
Escribir título deseado para el gráfico
Leyenda
Desactivar Mostrar leyenda
Rótulo de datos
Seleccionar Nombre de la categoría y Porcentaje
Tabla de datos
Desactivar Mostrar tabla de datos
Paso 4 Colocar el gráfico
Como objeto en: Hoja 2
Finalizar
1−EPR−VARIABLES ESTADÍSTICAS UNIDIMENSIONALES
7
8
ESTADÍSTICA
J. Sánchez - Mª. S. Sánchez
1−EPR−VARIABLES ESTADÍSTICAS UNIDIMENSIONALES
9
Se pueden efectuar modificaciones sobre el gráfico obtenido como cambiar el color del
fondo o de los sectores. Se hace igual que en el diagrama rectangular.
El resultado es el siguiente:
10
ESTADÍSTICA
J. Sánchez - Mª. S. Sánchez
2
La tabla siguiente refleja las causas de los 250 incendios forestales ocurridos
en Andalucía durante el año 2002:
Causa
Intencionados
Negligencias
Naturales
Accidentales
Desconocidas
%
32’2
32’3
3’4
12’0
20’1
100
a) ¿De qué tipo es el carácter estadístico estudiado?
b) Completar la tabla con las columnas de frecuencias absolutas y relativas.
c) Construir un diagrama rectangular y un diagrama de sectores.
Se trata de un carácter cualitativo (atributo). Procediendo como en el ejercicio anterior
obtenemos la siguiente tabla y los correspondientes diagramas:
1−EPR−VARIABLES ESTADÍSTICAS UNIDIMENSIONALES
11
3
La distribución del grupo sanguíneo de 500 alumnos de una Universidad viene
dada en la tabla:
Grupo
A
B
AB
0
ni
150
75
25
250
N = 500
a) ¿De qué tipo es el carácter estadístico estudiado?
b) Completar la tabla con las columnas de frecuencias relativas y porcen-tajes.
c) Construir un diagrama rectangular y un diagrama de sectores.
Se trata de un carácter cualitativo (atributo). Procediendo como en los ejercicios
anteriores obtenemos la siguiente tabla y los correspondientes diagramas:
12
ESTADÍSTICA
J. Sánchez - Mª. S. Sánchez
4
Clasificados los 150 asistentes a un curso de Informática según el grado de
acuerdo del desarrollo del mismo con sus expectativas personales, se obtiene
Grado
total desacuerdo
poco acuerdo
de acuerdo
totalmente de acuerdo
%
4
20
70
6
100
a) ¿De qué tipo es el carácter estadístico estudiado?
b) Completar la tabla con las columnas de frecuencias relativas y absolutas.
c) Construir un pictograma de repetición y uno de amplificación.
Se trata de un carácter cualitativo (atributo) ordinal. Procediendo como en los
ejercicios anteriores obtenemos la siguiente tabla y los correspondientes diagramas:
1−EPR−VARIABLES ESTADÍSTICAS UNIDIMENSIONALES
13
5
Realizada una encuesta a 120 familias para conocer su número de hijos, se
obtuvieron los siguientes resultados:
xi
ni
a)
b)
c)
d)
e)
1
25
2
40
3
29
4
15
5
6
6
3
7
2
N = 120
¿De qué tipo es el carácter estadístico estudiado?
Construir el diagrama de barras de frecuencias absolutas.
Definir y representar la función de distribución.
Determinar la moda y los cuartiles.
Calcular la media, la varianza, la desviación típica y el coeficiente de variación.
Se trata de un carácter cuantitativo discreto; esto es, una variable estadística discreta.
DIAGRAMA DE BARRAS EN EXCEL
El diagrama de barras de frecuencias absolutas se construye en EXCEL exactamente
igual que el diagrama rectangular del carácter cualitativo de los ejercicios anteriores.
Sólo hay que hacer una corrección en cuanto al ancho de las barras. Puesto que
ahora no se trata de rectángulos, sino de barras con base un punto, la abscisa xi, lo
más que nos permite Excel es estrechar los rectángulos aumentando la distancia entre
los mismos. Para ello, una vez construido el diagrama rectangular, hacemos clic
izquierdo sobre un rectángulo y a continuación clic derecho, apareciendo un cuadro de
diálogo en el que seleccionaremos Formato de serie de datos. En Opciones,
pondremos Ancho de rango al máximo: 500. Con esto conseguimos el efecto de barra.
14
ESTADÍSTICA
J. Sánchez - Mª. S. Sánchez
Completando la tabla dada obtenemos:
FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN DE UNA V.A.D. EN EXCEL
La obtención de la gráfica de la función de distribución acumulativa, N:R → R, definida
por N(x)=”Número de individuos tales que X ≤ x” es más laboriosa. Sabemos que es
una función constante a trozos: una función escalonada. En nuestro caso tiene ocho
“peldaños”:
Si x ∈ ]−∞, 1[ ,
si x ∈ [1, 2[ ,
si x ∈ [2, 3[ ,
si x ∈ [3, 4[ ,
si x ∈ [4, 5[ ,
si x ∈ [5, 6[ ,
si x ∈ [6, 7[ ,
si x ∈ [7, +∞[ ,
N(x) = 0
N(x) = N1 = 25
N(x) = N2 = 65
N(x) = N3 = 94
N(x) = N4 = 109
N(x) = N5 = 115
N(x) = N6 = 118
N(x) = N7 = 120 =N
1−EPR−VARIABLES ESTADÍSTICAS UNIDIMENSIONALES
15
Cada peldaño implica introducir los datos en series como se muestra a continuación.
Podemos dibujar un trozo del primer peldaño como el segmento que une los puntos de
coordenadas (-1, 0) y (1, 0) (1ª serie); el segundo peldaño es el segmento de extremos
los puntos (1, 25) y (2, 25) (2ª serie); y así sucesivamente:
Paso 1 Tipo de gráfico
Una vez introducidos los datos como en las columnas A y B,
seleccionamos en Gráfico, Tipo de gráfico XY (Dispersión) Con
puntos de datos conectados por líneas
16
ESTADÍSTICA
J. Sánchez - Mª. S. Sánchez
Paso 2 Datos del gráfico
Serie: definir desde Serie1 hasta Serie8 como se indica
1−EPR−VARIABLES ESTADÍSTICAS UNIDIMENSIONALES
17
Paso 3 Opciones de gráfico
Actuar sobre el siguiente cuadro para Títulos, Ejes, etc.
Paso 4 Colocar el gráfico
Como objeto en: Hoja activa y Finalizar
Una vez construido el gráfico, haremos clic en cada peldaño para eliminar marcadores:
18
ESTADÍSTICA
J. Sánchez - Mª. S. Sánchez
1
Si queremos enfatizar que los puntos de coordenadas (xi, Ni) pertenecen a la gráfica
de N(x) y los puntos de coordenadas (xi, Ni-1) no pertenecen, podemos definir las
series 9ª y 10ª, como se muestra a continuación. Y en Formato de series de datos,
Tramas, ponemos en Línea Ninguna y en Marcadores seleccionamos el Estilo y
Tamaño (esto también se puede hacer sin eliminar antes los marcadores y
modificándolos uno a uno):
1−EPR−VARIABLES ESTADÍSTICAS UNIDIMENSIONALES
19
El resultado final es:
20
ESTADÍSTICA
J. Sánchez - Mª. S. Sánchez
6
La distribución del peso, en Kg, de una muestra de 25 alumnos varones de un
Instituto viene dada por la tabla:
Ii
ni
a)
b)
c)
d)
e)
]←, 55]
2
]55, 65]
4
]65, 75]
11
]75, 85]
5
]85, →[
3
N = 25
¿De qué tipo es el carácter estadístico estudiado?
Construir el histograma de frecuencias absolutas y el polígono de frecuencias.
Definir y representar la función de distribución.
Determinar la moda y los cuartiles.
Calcular la media, la varianza, la desviación típica y el coeficiente de variación.
Se trata de un carácter cuantitativo continuo; esto es, una variable estadística
continua. Los datos están agrupados en intervalos o clases de igual amplitud
(consideraremos las clases extremas con la misma amplitud que las adyacentes).
Éstos son las modalidades o categorías.
HISTOGRAMAS EN EXCEL
(Amplitudes iguales)
El histograma de frecuencias absolutas se construye en EXCEL exactamente igual
que el diagrama rectangular del carácter cualitativo de los ejercicios anteriores. Sólo
hay que hacer una corrección en cuanto al ancho de los rectángulos. Puesto que
ahora no se trata de rectángulos separados, sino de rectángulos adyacentes, Excel
nos permite ensanchar los rectángulos disminuyendo la distancia entre ellos. Para ello,
una vez construido el diagrama rectangular, hacemos clic izquierdo sobre un
rectángulo y a continuación clic derecho, apareciendo un cuadro de diálogo en el que
seleccionaremos Formato de serie de datos. En Opciones, pondremos Ancho del
rango al mínimo, 0. Con esto conseguimos el efecto deseado:
Completando la tabla dada obtenemos:
1−EPR−VARIABLES ESTADÍSTICAS UNIDIMENSIONALES
21
FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN DE UNA V.A.C. EN EXCEL
La obtención de la gráfica de la función de distribución acumulativa, N:R → R, definida
por N(x)=”Número de individuos tales que X ≤ x” se consigue fácilmente en Excel. Para
nuestro ejercicio se tiene que:
si x ∈ ]−∞, 45 ] ,
si x = 55 ,
si x = 65 ,
si x = 75 ,
si x = 85 ,
si x ∈ [95, +∞ [ ,
N(x) = 0
N(55) = N1 = 2
N(65) = N2 = 6
N(75) = N3 = 17
N(85) = N4 = 22
N(x) = N5 = 25 = N
Lo anterior proporciona los únicos puntos “exactos” de la gráfica: los de los
intervalos ]−∞, 45] y [95, +∞ [, de ordenadas 0 y N = 25, respectivamente, y los puntos
22
ESTADÍSTICA
J. Sánchez - Mª. S. Sánchez
de coordenadas (55, 2), (65, 6), (75, 17) y (85, 22). En los puntos interiores de los
intervalos ]45,55[, ]55,65[, ]65,75[, ]75,85[ y ]85,95[ se supone que la función se
comporta linealmente.
Esto nos lleva a introducir los datos en Excel como se indica a continuación.
En Tipo de gráfico escogeremos XY(Dispersión) Con puntos de datos conectados por
líneas
Después de definir Rango de datos, etc., obtenemos el resultado siguiente:
1−EPR−VARIABLES ESTADÍSTICAS UNIDIMENSIONALES
23
24
ESTADÍSTICA
J. Sánchez - Mª. S. Sánchez
7
La distribución de las edades de los alumnos de un Instituto viene dada por
Ii
ni
a)
b)
c)
d)
e)
]11, 14]
130
]14, 16]
260
]16, 20]
190
N = 580
¿De qué tipo es el carácter estadístico estudiado?
Construir el histograma de frecuencias absolutas y el polígono de frecuencias.
Definir y representar la función de distribución.
Determinar la moda y los cuartiles.
Calcular la media, la varianza, la desviación típica y el coeficiente de variación.
Se trata de un carácter cuantitativo continuo; esto es, una variable estadística
continua. Los datos están agrupados en intervalos o clases de distinta amplitud. Éstos
son las modalidades o categorías.
HISTOGRAMAS EN EXCEL
(Amplitudes desiguales)
Al ser ahora las amplitudes distintas, hay que hacer correcciones en las alturas de los
rectángulos. Llamamos “densidad de frecuencia” del intervalo Ii al cociente hi = ni/ai de
su frecuencias por su amplitud. Ésta ya podría ser la altura asignada al rectángulo
correspondiente. No obstante, tomaremos por altura Hi = K · hi, con K=12/10. Con esto
conseguimos que las áreas de los rectángulos sean proporcionales a las frecuencias
correspondientes (además tenemos unas alturas “razonables”).
Si procedemos como en el ejercicio anterior los tres rectángulos tendrían la
misma base. Por eso, recurrimos al artificio de dividir el rectángulo de base 3 en tres
rectángulos de base 1 y altura H1, el de base 2 en dos de base 1 y altura H2 y el de
base 4 en cuatro de altura H3. Después se actúa como en el ejercicio anterior,
eligiendo Columnas en Tipo de Gráfico y reduciendo a 0 la separación entre columnas.
El rango de datos se introduce como se ve a continuación, a la vez que se muestra el
resultado.
La primera columna del rango de datos queda vacía, pero es necesaria. Ésta
es normalmente la que contiene las modalidades.
Para que aparezcan los valores del eje X, los extremos de los intervalos,
usamos el cuadro de Título en el eje de categorías (X).
Se muestran también media, varianza, etc.
1−EPR−VARIABLES ESTADÍSTICAS UNIDIMENSIONALES
25
FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN DE UNA V.A.C. EN EXCEL
(Amplitudes desiguales)
La obtención de la gráfica de la función de distribución acumulativa, N:R → R, definida
por N(x)=”Número de individuos tales que X ≤ x” se consigue fácilmente en Excel. Para
nuestro ejercicio se tiene que:
si x ∈ ]−∞, 11],
si x = 14,
si x = 16,
si x ∈ [20, +∞[,
26
N(x) = 0
N(14) = N1 = 130
N(16) = N2 = 390
N(x) = N3 = 580 = N
ESTADÍSTICA
J. Sánchez - Mª. S. Sánchez
Esto proporciona los únicos puntos “exactos” de la gráfica: los de los intervalos ]−∞,11]
y [20,+∞ [, de ordenadas 0 y N = 580, respectivamente, y los puntos de coordenadas
(14, 130), (16, 390) y (20, 580). En los puntos interiores de los intervalos ]11,14[,
]14,16[ y ]16,20[ se supone que la función se comporta linealmente.
1−EPR−VARIABLES ESTADÍSTICAS UNIDIMENSIONALES
27
8
En una zona de interés geológico del interior de la Tierra, se ha medido la
temperatura máxima diaria durante 43 días, obteniendo la siguiente distribución:
ºC
[70, 75[ [75, 80[ [80, 85[ [85, 90[ [90, 95[ [95, 100[
ni
3
7
10
12
8
3
N = 43
Calcular:
a) La temperatura más habitual.
b) La temperatura media.
c) La temperatura mediana.
d) La temperatura máxima del 30% de las temperaturas más bajas.
e) La temperatura mínima del 40% de las temperaturas más elevadas.
f) La temperatura máxima y mínima del 50% central de las temperaturas.
g) El número de días en que la temperatura es inferior a 92ºC.
h) El número de días en que la temperatura es superior a 82ºC.
i) El número de días en que la temperatura oscila entre 82ºC y 92ºC.
j) El número de días en que la temperatura oscila entre 79ºC y 87ºC.
k) La varianza, desviación típica y coeficiente de variación.
a) La temperatura más habitual es la Moda. La moda pertenece al intervalo de
mayor densidad de frecuencia, que es el de mayor altura en el histograma. En
este caso, como todos los intervalos tienen la misma amplitud, dicho intervalo
modal es el de mayor frecuencia: Mo ∈ [85, 90[.
Mo = ei−1 +
28
Δ1
2
⋅ a1 = 85 +
⋅ 5 = 85 + 1, 67 = 86 , 67 (º C )
Δ1 + Δ 2
2+4
ESTADÍSTICA
J. Sánchez - Mª. S. Sánchez
b) La temperatura media es: X =
∑n x
i
N
i
=
3367 ,5
= 85,29 (º C )
43
c) Para los apartados c) hasta j) será útil tener presente la gráfica de la función de
distribución acumulativa, N:R → R. Puesto que los intervalos vienen dados
cerrados por la izquierda y abiertos por la derecha, se define por
N(x)=”Número de individuos tales que X < x”
Puesto que
N 43
=
= 21,5 , el intervalo mediano es [85, 90[, y se adopta la
2
2
mediana por interpolación:
Me = ei −1
N
− N i −1
21,5 − 20
2
+
⋅ ai = 85 +
⋅ 5 = 85,63 (º C )
N i − N i −1
32 − 20
d) Para hallar la temperatura máxima del 30% de las temperaturas más bajas
determinaremos el percentil 30. Puesto que
30 N 30 ⋅ 43
=
= 12,9 , el intervalo
100
100
que lo contiene es [80, 85[, y se adopta P30 por interpolación:
1−EPR−VARIABLES ESTADÍSTICAS UNIDIMENSIONALES
29
P30 = ei −1
30 N
− N i −1
12,9 − 10
+ 100
⋅ ai = 80 +
⋅ 5 = 81,45 (º C )
20 − 10
N i − N i −1
e) La temperatura mínima del 40% de las temperaturas más elevadas viene dada
por el percentil 60. Puesto que
60 N 60 ⋅ 43
=
= 25,8 , el intervalo que lo
100
100
contiene es [85, 90[, y se adopta P60 por interpolación:
P60 = ei −1
f)
60 N
− N i −1
25,8 − 20
100
+
⋅ ai = 85 +
⋅ 5 = 87 ,42 (º C )
32 − 20
N i − N i −1
Las temperaturas mínima y máxima del 50% central de las temperaturas
vienen dadas por los cuartiles Q1 y Q3, respectivamente:
N 43
=
= 10,75
4
4
Q1 = ei −1
→ Q1 ∈ [80,85[→
N
− N i −1
10,75 − 10
4
+
⋅ ai = 80 +
⋅ 5 = 80,38 (º C )
N i − N i −1
20 − 10
3 N 3 ⋅ 43
=
= 32,25
4
4
Q3 = e i − 1
→ Q3 ∈ [90,95[→
3N
− N i −1
32,25 − 32
4
+
⋅ ai = 90 +
⋅ 5 = 90,10 (º C )
N i − N i −1
40 − 32
g) Determinar el número de días en que la temperatura es inferior a 92ºC es
determinar el valor de N(92).
En general, si x ∈ Ii = [ei-1, ei[, de amplitud ai y de frecuencia absoluta
acumulada Ni, por semejanza de triángulos, se tiene que
N − N i −1
N ( x ) − N i −1 N i − N i − 1
=
⇒ N ( x ) = N i −1 + i
⋅ ( x − ei − 1 )
ai
x − ei − 1
ai
En nuestro caso, 92 ∈ I5 = [90, 95[, luego
30
ESTADÍSTICA
J. Sánchez - Mª. S. Sánchez
8
N (92) − 32 40 − 32
N (92) − 32 8
=
⇒
= ⇒ N (92) = 32 + ⋅ 2 = 32 + 3,2 = 35,2 (días )
5
92 − 90
5
2
5
h) Para determinar el número de días en que la temperatura es superior a 82ºC,
determinaremos primero N(82) como antes.
En nuestro caso, 82 ∈ I5 = [80, 55[, luego
10
N (82) − 10 20 − 10
N (82) − 10 10
=
⇒
=
⇒ N (82) = 10 +
⋅ 2 = 10 + 4 = 14 (días )
5
82 − 80
5
2
5
Entonces, el número de días en que la temperatura es superior a 82 es:
43 − N (82) = 43 − 14 = 29 (días)
i)
El número de días en que la temperatura oscila entre 82ºC y 92ºC es:
N (92) − N (82) = 35,2 − 14 = 21,2 (días)
j)
El número de días en que la temperatura oscila entre 79ºC y 87ºC es
N (87 ) − N (79) = 24,8 − 5,8 = 19 (días )
k) Para el cálculo de la varianza, desviación típica y coeficiente de variación
emplearemos los datos obtenidos en la tabla
1−EPR−VARIABLES ESTADÍSTICAS UNIDIMENSIONALES
31
σ
2
∑n x
=
i
N
2
i
2
314718,75 ⎛ 3367,5 ⎞
− (X ) =
−⎜
⎟ = 44,66
43
⎝ 43 ⎠
2
σ = + 44,66 = 6,68
C.V . =
σ
X
=
6,68
= 0,0783
85,29
La desviación típica es el 7,83% de la media; la distribución es bastante
homogénea y la media es muy representativa.
32
ESTADÍSTICA
J. Sánchez - Mª. S. Sánchez
9
Un grupo de investigación trabaja en tres yacimientos de hierro. Se desea
estudiar la calidad del mineral extraído a partir de la siguiente información:
Yacimiento
A
B
C
Núm. de muestras
20
25
55
Riqueza media en Fe (%)
70
78
80
Varianza
6’2
24’4
7’3
a) ¿Qué yacimiento presenta mayor homogeneidad en cuanto a la riqueza del
mineral extraído?
b) Calcular la riqueza media para el total de las muestras extraídas.
Completando la tabla con los elementos necesarios, se tiene
a) Comparando los coeficientes de variación de Pearson, se tiene
C.V.(C)< C.V.(A)< C.V.(B);
es decir, el yacimiento C es el más homogéneo (su media es más representativa).
b) La riqueza media global es : X =
∑n x
i
N
i
=
7750
= 77 ,50 .
100
1−EPR−VARIABLES ESTADÍSTICAS UNIDIMENSIONALES
33
10
El resultado de medir la viscosidad de 20 fluidos se recoge en la tabla:
Viscosidad
Núm. de fluidos
0−2
7
2−4
8
4−7
5
Calcular:
a) La viscosidad media.
b) La viscosidad más frecuente. Representar el histograma.
c) La viscosidad mediana.
d) ¿Qué tanto por ciento de fluidos presentan una viscosidad mayor que 5?
a) La viscosidad media es: X =
∑n x
i
N
i
=
58,5
= 2,925
20
b) La viscosidad más frecuente es la Moda. La moda pertenece al intervalo de
mayor densidad de frecuencia, que es el de mayor altura en el histograma; esto
es, el de mayor altura (que no tiene por qué coincidir con el de mayor
frecuencia): Mo ∈ ]2, 4].
Mo = ei −1 +
34
Δ1
3
⋅ a1 = 2 +
⋅ 2 = 2 + 0,35 = 2,35
Δ1 + Δ 2
3 + 14
ESTADÍSTICA
J. Sánchez - Mª. S. Sánchez
c) Para determinar la viscosidad mediana y para el apartado siguiente es útil tener
presente la gráfica de la función de distribución acumulativa, N:R → R. Puesto
que los intervalos vienen dados abiertos por la izquierda y cerrados por la
derecha, se define por N(x)=”Número de individuos tales que X ≤ x”
N 20
=
= 10 , el intervalo mediano es ]2, 4], y se adopta la mediana
2
2
N
− N i −1
10 − 7
2
⋅ ai = 2 +
⋅ 2 = 2,75
por interpolación: Me = ei −1 +
N i − N i −1
15 − 7
d) Se tiene que N( 5 ) = " Núm. indiv. tales que X ≤ 5" . Por interpolación (como en
Puesto que
el apartado g) del ejercicio anterior),
N( 5 ) − N 2 N 3 − N 2
N( 5 ) − 15 5
=
⇒
= ⇒ N( 5 ) = 15 + 1,67 = 16 ,67
5 − e2
a3
1
3
Número de días = 20 − 16 ,67 = 3,33
3,33
Porcentaje =
= 0,1667 = 16 ,67%
20
1−EPR−VARIABLES ESTADÍSTICAS UNIDIMENSIONALES
35
11
El número de goles marcados por dos equipos rivales en cada uno de los 16
partidos de un campeonato de fútbol fueron:
Equipo A:
Equipo B:
a)
b)
c)
d)
¿Qué equipo obtuvo mejor media de goles?
Calcular la moda de ambas distribuciones.
¿Qué equipo jugó con mayor regularidad?
Dibujar un diagrama Box−Whisker para cada distribución y compararlas.
xi
0
1
2
3
4
5
a)
2, 1, 0, 3, 1, 4, 2, 3, 3, 5, 1, 0, 0, 2, 1, 5.
3, 5, 1, 2, 1, 0, 0, 4, 1, 1, 1, 2, 3, 4, 5, 2.
XA =
Equipo A
ni
ni xi ni xi2
3
0
0
4
4
4
3
6
12
3
9
27
1
4
16
2
10
50
N=16
33
109
Ni
3
7
10
13
14
16
33
= 2,0625
16
xi
0
1
2
3
4
5
XB =
b) Mo(A) = 1
ni
2
5
3
2
2
2
N=16
Equipo B
ni xi ni xi2
0
0
5
5
6
12
6
18
8
32
10
50
35
117
35
= 2,1875
16
Ni
2
7
10
12
14
16
XA < XB
Mo(B) = 1
σ
109 ⎛ 33 ⎞
− ⎜ ⎟ = 2,5585 → σ A = 1,6 → CV A = A = 0,78 = 78%
16 ⎝ 16 ⎠
XA
2
c) σ A =
2
σ
117 ⎛ 35 ⎞
=
− ⎜ ⎟ = 2,5273 → σ B = 1,59 → CV B = B = 0,73 = 73%
16 ⎝ 16 ⎠
XB
2
σB
2
A la vista de los coeficientes de variación, los dos equipos han sido muy
irregulares.
d) Los elementos del diagrama Box-Whisker son
A
B
36
Q1
1
1
Q2=Me
2
2
Q3
3
3,5
RIQ
2
2,5
FE
3
3,75
ESTADÍSTICA
f1
-2
-2,75
f2
6
7,25
VAI
0
0
VAS
5
5
J. Sánchez - Mª. S. Sánchez
12
Un curso está dividido en cuatro grupos de los que tenemos la siguiente
información respecto a las calificaciones en Filosofía:
Grupo
A
Núm. de alumnos
nA = 30
Nota media
X A = 6’0
Varianza
1’00
B
nB = 40
XB = 6’5
1’69
C
nC = 50
X C = 5’0
0’81
D
nD = 60
180
XD = 4’0
0’64
a) Calcular la nota media del curso completo.
b) Calcular el coeficiente de variación de cada grupo.
c) Ordenar los grupos según la homogeneidad en las calificaciones.
Completando la tabla con las columnas necesarias, tenemos:
a) La nota media del curso completo es:
X =
∑n x
i
N
i
=
930
= 5,17
180
b) Ver tabla.
c) CV ( A) < CV (C ) < CV ( B ) = CV ( D )
1−EPR−VARIABLES ESTADÍSTICAS UNIDIMENSIONALES
37
13
Mediante una encuesta por muestreo en cuatro fincas agrícolas se obtienen
los siguientes datos relativos a sus producciones de trigo, en Tm, y los
correspondientes rendimientos, en Tm/Ha. Calcular un promedio adecuado de los
rendimientos.
Finca
A
B
C
D
Producción (Tm)
200
500
1000
700
Rendimientos (Tm/Ha)
20
15
32
27
Completamos la tabla del modo siguiente:
Si el rendimiento de la finca i-ésima es de xi Tm/Ha, para producir 1 Tm se requieren
1/xi Ha; si ha producido ni Tm, su extensión será de ni·(1/xi ) Ha. Entonces, la
extensión global de las cuatro fincas será
igual a la producción total, N = 2400, por
N⋅
∑n
i
⋅
1
. Asimismo, la extensión total es
xi
1
. En definitiva:
R. Promedio
1
1
= ∑ ni ⋅
R. Promedio
xi
O sea, el rendimiento promedio es la media armónica de los rendimientos,
ponderados por las producciones:
R. Prom. = H =
38
N
∑n
i
⋅
1
xi
=
2400
= 23,88 (Tm / Ha)
1
1
1
1
+ 500 ⋅ + 1000 ⋅
+ 700 ⋅
200 ⋅
20
15
32
27
ESTADÍSTICA
J. Sánchez - Mª. S. Sánchez
14
Un jugador de bolsa compra 15000 € de acciones al precio de 250 €/acción, y
8000 € de acciones al precio de 50 €/acción. ¿Cuál es el precio medio de las acciones
que ha comprado?
Organicemos los datos en una tabla:
Gasto (€)
ni
15000
8000
N=23000
Precio unitario (€/Acción)
xi
250
50
Precio promedio
Acciones/€
1/xi
1/250
1/50
1/Promedio
Acciones
ni·(1/ xi)
15000·(1/250)
8000·(1/50)
N·(1/Promedio)
Si 1 acción cuesta xi euros, por 1 euro se pueden comprar 1/xi acciones, y por
ni euros se podrán comprar ni·(1/ xi) . Entonces, por N euros a 1/Promedio acciones
por euro, se pueden comprar N·(1/Promedio) acciones. Así:
N⋅
1
1
= ∑ ni ⋅
Promedio
xi
O sea, el precio promedio es la media armónica de los precios unitarios,
ponderados por los gastos:
Prom. = H =
N
∑n
i
⋅
1
xi
=
23000
23000
=
= 104,55 (€ / Acción)
1
1
220
15000 ⋅
+ 8000 ⋅
250
50
15
Se recorre el 80% de un trayecto a una velocidad media de 60 Km/h, y el 20%
restante a una velocidad media de 20 Km/h. ¿Cuál es la velocidad media en el
recorrido total?
Espacio
(Km)
ni
80
20
N=100
Velocidad
(Km/h)
xi
60
20
Velocidad media
Tiempo por Km
(h/Km)
1/xi
1/60
1/20
1/V. media
Tiempo
(h)
ni·(1/ xi)
80·(1/60)
20·(1/20)
N·(1/V. media)
También aquí la velocidad media es la media armónica de las velocidades medias,
ponderadas por los espacios:
V . media = H =
Espacio
=
Tiempo
N
1
∑ ni ⋅ x
i
=
100
1
1
80 ⋅ + 20 ⋅
60
20
1−EPR−VARIABLES ESTADÍSTICAS UNIDIMENSIONALES
= 42,86 (km / h)
39
16
“El lado de un cuadrado que tiene igual área que el rectángulo de lados a y b
es la media aritmética de los lados”. ¿Verdadero o falso?
FALSO: El área de un rectángulo de lados a y b es AR = a·b. El área de un cuadrado
de lado x es AC = x2. Si ambas áreas son iguales, entonces x2 = a·b, y x es la media
geométrica de a y b:
x = G = a ⋅b
17
El precio de un determinado artículo subió cada uno de los años 1990, 1991 y
1992 un 5%, durante cada uno de los años 1993 y 1994 subió un 8%, y durante cada
uno de los años 1995, 1996, 1997, 1998 y 1999 subió un 10%. ¿Cuál es el porcentaje
medio de subida en el decenio?
Si x es el precio del bien a principio de 1990, al final de este año su precio será 1,05·x,
y al final de 1992 será (1,05)3·x. A final de 1994 será de (1,05)3·(1,08)2 x y a final de
1999 será (1,05)3·(1,08)2·(1,10)5·x.
Si llamamos P al porcentaje medio por año (y p = P/100 al tanto por 1 medio),
al final de 1999 el bien costará (1+p)10·x. Entonces:
(1+p)10·x = (1,05)3·(1,08)2·(1,10)5·x ⇒ 1+p = 10 (1,05)3 ⋅ (1,08 ) 2 ⋅ (1,10 ) 5 ≈ 1,0808
luego p = 0,0808 el porcentaje promedio es del P = 8,08%.
El modo más adecuado de efectuar los cálculos anteriores consiste en emplear
logaritmos:
1 + p = 10 (1,05)3 ⋅ (1,08) 2 ⋅ (1,10) 5 ⇒ ln(1 + p) =
3 ln(1,05) + 2 ln(1,08) + 5 ln(1,10 )
10
Es decir, ln(1+p) es la media aritmética de ln(1+pi), ponderada por el número
de años. Resulta p = 0,0808, luego el porcentaje promedio es P = 100·p = 8,08 %.
40
ESTADÍSTICA
J. Sánchez - Mª. S. Sánchez
18
Una balanza tiene sus dos brazos de longitudes desiguales: a y L− a. Un
objeto de masa M se coloca en uno de los platos y, para equilibrar la balanza, hay
que colocar pesas de masa m1 (≠ M) en el otro. Se repite la operación cambiando M
de plato; entonces son necesarias pesas de masa m2 (≠ M) para alcanzar el
equilibrio. ¿Cuál es la masa real del objeto?
Para que se dé el equilibrio, se han de cumplir las igualdades de la figura. Dividiendo
miembro a miembro, se tiene:
M ·a m1 ·( L − a )
=
⇒
m2 ·a M ·( L − a )
M m1
=
m2 M
⇒ M 2 = m1 ·m2
Esto es, M es la media geométrica de m1 y m2:
M = m1 ·m2
1−EPR−VARIABLES ESTADÍSTICAS UNIDIMENSIONALES
41