Fundamentos de la teoría de la probabilidad

TEMA 5
FUNDAMENTOS DE LA TEORÃ A DE LA PROBABILIDAD
Experimento aleatorio.- Aquel experimento que cumple las siguientes condiciones:
Todos los posibles resultados se conocen de antemano.
Ante una realización concreta del experimento, es imposible predecir el resultado
El experimento puede repetirse bajo las mismas condiciones indefinidamente.
•
Ley de estabilidad de las frecuencias.- Cuando se repite muchas veces un mismo experimento, las
frecuencias relativas de sus posibles resultados tienden a estabilizarse en torno a unos valores determinados.
Espacio muestral (Ω).- Es el conjunto de posibles resultados de un experimento
Sucesos elementales.- Son los elementos de Ω, los posibles resultados del experimento.
Suceso.- Un suceso ocurre cuando se verifica uno de los sucesos de Ω.
Suceso imposible (â ).- Subconjunto de Ω que no contiene ningún elemento. Es un resultado del
experimento que no puede ocurrir nunca.
Un suceso A está contenido en un suceso B cuando todo suceso elemental de A pertenece a B, o lo que es lo
mismo, siempre que ocurre A ocurre B. El recÃ−proco no se verifica.
Para algunas de las siguientes definiciones se utilizará el Ôlgebra de Boole y su notación.
Conjunto unión.- Está constituido por aquellos elementos que pertenecen a A o a B: ()
Unión de sucesos.- A1 + A2 + A3 + ... + Ai. Se verifica cuando ocurre alguno de los Ai.
Conjunto intersección.- Está constituido por aquellos elementos que pertenecen a A y a B al mismo
tiempo: ()
Intersección de sucesos.- A1 · A2 · A3 · ... · Ai. Se verifica cuando ocurren todos los Ai.
La unión y la intersección de sucesos cumplen las propiedades conmutativa, asociativa, distributiva,
existencia de elemento neutro (â para la unión y Ω para la intersección), y también cumplen las
Leyes de De Morgan.
Suceso complementario.- ocurre siempre que no ocurre A.
Sucesos incompatibles.- Dos sucesos son incompatibles si siempre que se verifica uno el otro no puede darse.
Es imposible que sucedan ambos a la vez:= â .
Diferencia de sucesos.- Se verifica cuando ocurre A y no ocurre B. Se denota por A - B y también por .
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Probabilidad.- La probabilidad de un suceso es el lÃ−mite de su frecuencia relativa cuando el experimento se
repite muchas veces.
DEFINICIà N AXIOMÔTICA DE LA PROBABILIDAD (KOLMOGOROV)
Sea Ω el espacio muestral, y sea p(Ω) el conjunto formado por todos los sucesos. Se define la probabilidad
como una aplicación P: p(Ω) â [0, 1] que cumple las siguientes condiciones:
P(Ω) = 1;
Si son incompatibles dos a dos (Ai â © Aj = 0, para todo i â
j), entonces .
Propiedades:
P(â
) = 0.
Si A1, A2, ... ,An son sucesos incompatibles dos a dos, entonces
Aâ
Bâ
P(A) â ¤ P(B)
P(A â ª B) = P(A) + P(B) - P(A â © B). Para el caso de tres sucesos nos quedarÃ−a de la siguiente forma:
P(A â ª B â ª C)= P(A) + P(B) + P(C) - P(A â © B) - P(A â © C) - P(B â © C) + P(A â © B â © C)
Nota: El problema de esta definición es que sólo dice cuando es y cuando no es una aplicación de
probabilidad, pero no como conseguir esa aplicación.
Regla de Laplace.- Se usa cuando Ω es finito y los sucesos son equiprobables.
PROBABILIDAD CONDICIONADA
La probabilidad del suceso A condicionada al suceso B se define , con P(B) â
A ⠩ B ) = P( B )·P( A / B ) = P( A )·P( B / A).
0, de donde se deduce que P(
EJEMPLO: (Probabilidad Condicionada - 1)
Antes de lanzar un dado se definen dos sucesos: A â ¡ “Salga un 6” y B â ¡ “Salga un nº par”. Se pide
la probabilidad de que salga un 6 sabiendo que ha salido par.
Primero se obtienen las probabilidades de A y de B. Como la cara que salga en un dado tras ser este lanzado
es equiprobable podremos calcular la probabilidad de que salga un nº determinado aplicando la Regla de
Laplace:
Entonces P(A â © B) = P( A ) = , y se calcularÃ−a:
EJEMPLO: (Probabilidad Condicionada - 2)
Se ha realizado una encuesta en A Coruña para determinar el nº de lectores de “La Voz de Galicia”
y “El Ideal Gallego”. Se obtiene que el 32 % de los encuestados lee “La Voz”, el 14 % lee
“El Ideal” y tan sólo un 2.3% lee ambos.
a) Si se ha selecciona un lector de “El Ideal” al azar, ¿cuál es la probabilidad de que también sea
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lector de “La Voz”?
Se tienen las probabilidades de que un lector lea un periódico, el otro, o los dos. AsÃ− que con estos datos
se aplica la fórmula vista antes:
b) Si se ha elegido un lector de “La Voz”, ¿cuál es la probabilidad de que no lea “El Ideal”?
En el gráfico está coloreada al área de los lectores que leen “La Voz” pero no “El Ideal”. El Ôrea de
esta zona es igual al total de los lectores de “La Voz” menos los lectores de “La Voz” que leen también
“El Ideal”. Matemáticamente:
Independencia de sucesos.- Dos sucesos A y B son independientes si el conocimiento de la ocurrencia de
uno de ellos no modifica la probabilidad de ocurrencia del otro:
P ( A / B ) = P( A )
P ( B / A ) = P( B )
Propiedad.- Si A y B son independientes, P( A ⠩ B ) = P( A )·P( B )
Propiedad.- Si A y B son independientes, también lo son las parejas A,; ,B y
Propiedad.- No deben confundirse sucesos independientes con sucesos incompatibles. Los sucesos
incompatibles son los más dependientes que pueden existir.
Fiabilidad.- Se define como la probabilidad de que algo (un mecanismo, p.e.) funcione de forma correcta.
Teorema.- Regla del producto.- Si tenemos los sucesos A1 · A2 · A3 · ... · An, y entre ellos no son
incompatibles, se cumple:
P(A1 ⠩ A2 ⠩... ⠩ An) = P(A1)·P(A2 /A1)·P(A3 / A1 ⠩ A2)·...· P(An / A1 ⠩... ⠩ An)
• Problema tÃ−pico en que se aplica: Se sacan n bolas sin reposición, probabilidad de que sean
todas blancas.
EJEMPLO: (Regla del producto)
La primera aplicación de un insecticida mata al 80% de los mosquitos. Los supervivientes desarrollan
resistencia al producto, y asÃ− en la segunda aplicación muere el 40% de los supervivientes, en la tercera el 20% de los supervivientes a la segunda aplicación, y asÃ− sucesivamente. ¿Cuál
es la probabilidad de que un mosquito sobreviva a la tercera aplicación? Sabiendo que el mosquito
sobrevive a las dos primeras aplicaciones, ¿cuál es la probabilidad de que sobreviva a una cuarta?
Se definen los sucesos Ai º “Un mosquito sobrevive a la i-ésima aplicación” y º “No sobrevive”. Los
datos que tenemos son los siguientes:;; ;
Entonces se aplica la regla del producto y se halla la respuesta a la primera de las preguntas:
P(A1 ⠩ A2 ⠩ A3) = P(A1)·P(A2 /A1)·P(A3 / A1 ⠩ A2) = 0.2 · 0.6 · 0.8 = 0.096
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Para responder a la segunda pregunta se utiliza la fórmula de la probabilidad condicionada:
Hay que señalar que la probabilidad de que se verifique A4 es igual a la probabilidad de que se verifiquen
también los Ai anteriores.
Sistema completo de sucesos.- Es una partición del espacio muestral Ω que cumple las siguientes
condiciones:
Tienen que cubrir todo el espacio muestral: A1 ⠪ A2 ⠪... ⠪ An = Ω
• Fig 5.2 Sistema completo de sucesos.
• Tienen que ser incompatibles entre ellos. Si se verifica uno de los sucesos, no puede ocurrir otro a la vez.
Teorema.- Probabilidades totales.- Sean A1, A2 , A3 , ... , An un sistema completo de sucesos. Entonces se
cumple:
P(B) = P( B / A1 ) ·P( A1 ) + P( B / A2 ) ·P( A2 ) +...+ P( B / An ) ·P( An )
EJEMPLO: (Probabilidades totales)
En una estación de ITV hay dos equipos de inspección. El equipo A rechaza al 30% de los coches
revisados, y el equipo B no rechaza a ninguno. Si llegan tres coches y eligen al azar a uno de estos
equipos, ¿cuál es la probabilidad de que los tres superen la inspección?
Se define el suceso S º “El vehÃ−culo supera la inspección”, el suceso A º “Se elige al equipo A” y el
suceso B º “Se elige al equipo B”.
Se toma un vehÃ−culo al azar, y se calcula la probabilidad de que supere el examen:
P( S ) = P( S / A ) ·P( A ) + P( S / B ) ·P( B ) = 0.7·0.5 + 1·0.5 = 0.85
Como el que un coche supere el examen es independiente de que lo supere otro, entonces la probabilidad de
que los tres coches superen la revisión es igual al producto de sus probabilidades:
Teorema.- Bayes.- Se considera un experimento que se realiza en dos etapas: en la primera tenemos un
sistema completo de sucesos, A1, A2 , A3 , ... , An y les asignamos probabilidades P( Ai ) de forma subjetiva
ya que no disponemos de experimentación previa. A las P( Ai ) se les llama probabilidades a priori. En una
segunda etapa el resultado del suceso B depende de lo ocurrido en la primera etapa y se conocen las
probabilidades condicionadas , obtenidas en la segunda etapa por el suceso B cuando en la primera etapa se
obtuvo el suceso Ai.
En estas condiciones el Teorema de Bayes permite calcular las , llamadas probabilidades a posteriori porque
se determinan una vez obtenida la evidencia experimental. Por lo tanto, las probabilidades a posteriori ()
reflejan el grado de creencia corregido respecto a las alternativas A1, A2 , A3 , ... , An , después de observar
los datos experimentales.
Enunciado del Teorema de Bayes.- Sean A1, A2 , A3 , ... , An un sistema completo de sucesos. Entonces se
cumple que:
Problema tÃ−pico en que se aplica: Probabilidad de que un ratón escape condicionado a que se fue por el
camino A.
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Si ha salido una bola blanca, ¿cuál es la probabilidad de que haya sido sacada de la urna 1?
EJEMPLO: (Teorema de Bayes)
En la secretaria del Rector no se puede confiar. La probabilidad de que se le olvide llamar a la mujer
del Rector para decirle que está en una junta de gobierno, mientras éste se va de jarana con su
chófer es 2/3. La mujer del Rector está harta de tantas historias. Son las dos de la mañana y su
marido no aparece. Si la secretaria la llama, existe la misma probabilidad de que al dÃ−a siguiente le
ponga las maletas en la calle que de que no lo haga, pero si no la llama, sólo hay un 25% de
probabilidad de que olvide el asunto hasta la próxima ocasión. Al llegar a casa el Rector encuentra
sus cosas tiradas por las escaleras. ¿Cuál es la probabilidad de que la secretaria no haya llamado a
su mujer?
Es el tÃ−pico problema de aplicar el teorema de Bayes, presentando ya hechos consumados, y con la
petición de hallar la probabilidad de que un suceso B haya ocurrido. En este caso se definirán los sucesos
L º “La secretaria llama” y O º “La mujer olvida el asunto”. Se sabe que , que , y que . Por tanto:
EstadÃ−stica 1º E.T.I.S. Facultade de Informática da Coruña Curso 1.997 -1.998
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