La Capacitación MESUNCO - OIT en América Latina y el Caribe

ORGANIZACIÓN INTERNACIONAL DEL TRABAJO
MEJORE
SU
NEGOCIO
DE
CONSTRUCCIÓN
CAPACITACIÓN DE EMPRESARIOS
MATEMÁTICAS PRACTICAS
Documento de Trabajo
ACERCA DEL MESUNCO
¿Qué es MESUNCO?
Mejore Su Negocio de Construcción (MESUNCO) es un programa de
capacitación en gestión implementado por la Organización Internacional
del Trabajo (OIT).
MESUNCO está orientado a satisfacer las
necesidades específicas de los contratistas de pequeñas obras de
construcción y servicios públicos. Introduce los principios básicos de una
buena administración de una manera simple y práctica utilizando una
metodología de capacitación por participación. MESUNCO apunta a
estimular y fomentar en los empresarios la aplicación de nuevos
conocimientos de administración y destrezas adquiridas a través de la
capacitación MESUNCO, en cuanto a costear y fijar precios a los
contratistas adecuadamente, incrementar ventas, comprar insumos
competitivamente, mejorar el control del inventario, reducir los costos,
planificar para el futuro, y eventualmente incrementar las utilidades de
sus negocios.
Objetivos de la Capacitación MESUNCO
El objetivo general de la capacitación MESUNCO es incrementar la
viabilidad de pequeñas empresas a través de la aplicación de principios
administrativos sólidos, lo cual conducirá a la creación y/o sostenimiento
de empleo. La capacitación apunta a hacer que los empresarios
participantes conozcan acerca de las mejoras que podrían hacer en la
administración de sus negocios y exponerles los principios básicos de
una adecuada gestión
La Capacitación MESUNCO
La capacitación MESUNCO está localizada en la enseñanza de técnicas
efectivas para una mejor administración. La capacitación puede llegar a
encontrar las necesidades específicas de cada empresario mediante la
evaluación de los conocimientos de administración que el empresario ya
posee y su funcionamiento antes de la realización de cada actividad de
capacitación MESUNCO. En los seminarios y sesiones subsecuentes de
consultoría de negocios se puede dar una mayor atención a los intereses
particulares de un grupo de empresarios.
Los materiales de
capacitación han sido desarrollados para facilitar esta aproximación.
2
Grupo al que está dirigido
La capacitación MESUNCO está dirigida a los pequeños contratistas,
propietarios y administradores de pequeñas empresas de construcción.
Es adecuada para personas que:
 hayan estado en negocios por lo menos un año
 sean capaces de leer y escribir en el idioma en que se dicta el
curso
 sean capaces de hacer cálculos simples
 tengan un potencial de desarrollo.
El Programa Modular de Capacitación de Empresarios
La capacitación MESUNCO para empresarios consiste en los siguientes
módulos, los cuales son aplicados progresivamente de acuerdo a las
necesidades de capacitación de los empresarios:
 Seminario de Capacitación de Empresarios: SCE
 Seguimiento:
 Seminario de Actualización de Empresarios: SAE
 Grupos de Mejoramiento Empresarial: GME
 Asesoría Individual: AI
En la capacitación de empresarios, Ud. será más efectivo si conoce
cuáles son las necesidades de capacitación de esos empresarios y si Ud.
tiene la capacidad para brindarles a esos empresarios lo que ellos
necesitan. Por lo tanto, antes de aplicar cualquiera de los módulos
arriba descritos, MESUNCO le recomienda seleccionar a los empresarios
y realizar su ‘Análisis de Necesidades de Capacitación’ (ANC).
MESUNCO le provee de una herramienta simple de necesidades de
capacitación. Ver más adelante en esta guía las pautas para llevar a
cabo el ANC.
Manuales MESUNCO
Los Manuales MESUNCO han sido elaborados para poder ser utilizados
por pequeños contratistas. Las explicaciones dadas paso a paso son
utilizadas para ofrecer situaciones reales que el empresario pueda
identificar como propias. Ejemplos prácticos y ejercicios son elementos
importantes y los capacitadores encontrarán los Manuales fáciles de usar
en la capacitación de empresarios en todos los niveles. El contenido de
los Manuales también es apropiado para grupos de trabajo de nivel más
alto con una educación formal superior y la presentación estructural los
3
hacen apropiados incluso para empresarios con buen conocimiento de
administración de negocios. Los tres Manuales y sus cuadernos de
trabajo MESUNCO tratan sobre Cotizaciones y Ofertas, Gerencia de
Proyecto y Gerencia Empresarial.
4
MATEMÁTICAS PRACTICAS
INDICE
Capítulo
TEMA
Página
1.
PRESENTACIÓN
7
2.
NOCIONES DE DIVISIBILIDAD
9
2.1. Divisibilidad
9
2.2. Descomposición en Factores Primos
16
3.
24
NÚMEROS FRACCIONARIOS
3.1. Número Fraccionario en la divisiones inexactas
24
3.2. Número Fraccionario
24
3.3. Términos del quebrado
24
3.4. Clases de quebrados
25
3.5. Número mixto
26
3.6. Reducción y simplificación de quebrados
26
3.7. Operaciones con números fraccionarios
31
3.8. Fracciones decimales
37
3.9. Operaciones con fracciones decimales
39
3.10. Conversión de fracciones
45
4.
47
MAGNITUDES PROPORCIONALES
4.1. Magnitudes directamente proporcionales
47
4.2. Magnitudes inversamente proporcionales
48
4.3. Regla de Tres
50
5.
58
GEOMETRÍA APLICADA
5.1. Ángulos
58
5
Capítulo
TEMA
Página
5.2. Triángulos
59
5.3. Polígonos
64
5.5. Cuadriláteros
65
5.6
69
Circunferencia y Círculo
5.7. Áreas
70
5.7. Volúmenes de cuerpos geométricos
74
6
MANUAL DE MATEMÁTICAS PRACTICAS
1.PRESENTACIÓN
El Manual MESUNCO de Matemáticas Prácticas ha sido
elaborado tomando en cuenta las necesidades del Maestro de
Obras de Construcción Civil, en la implementación del
proyecto de construcción a partir de los planos de diseño; la
preparación del Presupuesto de Construcción y el propio
proceso de construcción.
Este Manual es un repaso de la aritmética y de la geometría,
aplicada a las necesidades específicas del Maestro de Obras.
Se presentan los conceptos de matemáticas básicas, con
ejemplos de construcción civil, que le permitan elaborar la
Proforma de Construcción, las cubicaciones de materiales y
determinar con la mayor exactitud posible los costos de la
obra. Los conceptos han sido adecuados a la capacitación de
adultos, los ejemplos y ejercicios están íntimamente
vinculados a su quehacer profesional.
El Capítulo 2: Nociones de Divisibilidad, revisa los
conceptos de números primos, múltiplos y submúltiplos y
define formas prácticas de identificar las distintas
divisibilidades. Analiza los métodos de descomposición de un
número en factores primos, definiendo el Mínimo Común
Múltiplo (mcm) y el Máximo Común Divisor (MCD).
El Capítulo 3: Números Fraccionarios permite entender las
divisiones inexactas y los conceptos de quebrados, comunes
en la vida diaria. Se revisan las cuatro operaciones con
quebrados y la simplificación de fracciones, se hace aplicación
del mínimo común denominador, culminándose en el repaso
de las propiedades generales de las fracciones decimales y la
conversión de fracciones.
7
El Capítulo 4: Magnitudes Proporcionales introduce al
participante en el manejo de la Regla de Tres presentándose
dos métodos: el tradicional y un método práctico, tanto en
sus alternativas: Regla de Tres Directa e Inversa,
culminándose con la Regla de Tres Compuesta.
El Capítulo 5: Geometría Aplicada hace una revisión de las
principales figuras geométricas planas regulares y los
diferentes elementos de un polígono cualquiera. Se revisan
los conceptos fundamentales de los triángulos, sus principales
elementos, culminando con la explicación sencilla del Teorema
de Pitágoras. Se revisan los conceptos de los distintos
cuadriláteros y se explica el cálculo de las áreas de los
principales polígonos, culminándose con un ejemplo del
cálculo del área de una poligonal.
La segunda parte de este capítulo revisa los conceptos de la
geometría del espacio como el cálculo de volumen de los
principales cuerpos geométricos.
El Manual de Matemáticas Prácticas ha sido elaborado por el
Ingº Walter Smith Cavalié, con la cooperación técnica del Ing.
José Luis Mayhua Quispe.
8
2.
NOCIONES DE DIVISIBILIDAD
2.1. Divisibilidad
 Múltiplo: Múltiplo de un número, es aquel que lo
contiene exactamente varias veces. Por ejemplo, 14 es
múltiplo de 2 porque 14 contiene a 2 siete veces, 20 es
múltiplo de 5 porque contiene a 5 cuatro veces.
Los múltiplos de un número se forman multiplicando
este número por la serie infinita de los números
naturales 0, 1, 2, 3, 4,........; luego, todo número tiene
infinitos múltiplos.
Ejemplo: La serie infinita de los múltiplos de 5 es:
5
5
5
5
5
x
x
x
x
x
0
1
2
3
4
=
=
=
=
=
0
5
10
15
20 .......etc.
 Submúltiplo: Submúltiplo o divisor de un número es
el número que está contenido en el primero, un número
exacto de veces.
Ejemplo: 4 es submúltiplo de 24 porque está
contenido en 24 seis veces; 8 es factor o divisor de
64 porque está contenido en 64, ocho veces.
9
 Numero Par: Numero par es todo número múltiplo de
2.La fórmula general de los números pares es 2n, siendo
n un número entero cualquiera, ya sea par o impar, pues
si es par, multiplicado por 2 dará otro número par, y si
es impar, multiplicado por 2 dará un número par.
Ejemplo: 5 x 2 = 10,
12 x 2 = 24
 Numero Impar: Numero impar es el que no es
múltiplo de 2. La fórmula de los números impares es
2n ± 1, siendo n un número entero cualquiera, pues 2n
representa un número par, que aumentado o disminuido
en una unidad dará un número impar.
Ejemplo: 2 x 7 +1= 15,
2x4-1=7
10
 Numero Primo: Es el que sólo puede ser dividido (es
divisible) entre sí mismo y entre la unidad.
Ejemplo: 1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31,
37...etc.
 Divisibilidad entre 2: Un número es divisible entre 2
cuando termina en cero o cifra par.
Ejemplo: 3,524 es divisible entre 2 porque acaba en 4,
mientras que 5,427 no lo es porque termina en 7.
 Divisibilidad entre 3: Un número es divisible entre 3
cuando la suma de los valores absolutos de sus cifras es
múltiplo de 3.
Ejemplos:
5,472 es divisible entre 3, porque 5 + 4 + 7 + 2 = 18 es
divisible entre 3 pues lo contiene seis veces.
4,575 es divisible entre 3, porque 4 + 5 + 7 + 5 = 21 es
divisible entre 3 pues lo contiene siete veces.
11
 Divisibilidad entre 4: Un número es divisible entre 4
cuando sus dos últimas cifras de la derecha son ceros o
forman un múltiplo de cuatro.
Ejemplos:
El número 600 es divisible entre 4, porque 600 es
divisible entre 100 ya que termina en dos ceros, y 100
es divisible entre 4 porque lo contiene 25 veces. Ahora
bien, si 4 divide a 100, dividirá a 600, que es múltiplo de
100, porque todo número que divide a otro, divide a sus
múltiplos.
El número 416 es divisible entre 4, porque sus dos
últimas cifras forman un múltiplo de 4, pues 16 contiene
a 4 cuatro veces.
 Divisibilidad entre 5: Un número es divisible entre 5
cuando termina en cero o cinco.
Ejemplos:
El número 70 es divisible entre 5, porque 70 es divisible
entre 10 porque termina en cero, y 10 es divisible entre
5 porque lo contiene 2 veces. Ahora bien, si 5 divide a
10, dividirá a 70, que es múltiplo de 10, porque todo
número que divide a otro, divide a sus múltiplos.
El número 145 es divisible entre 5, porque su última cifra
es 5 y todo número es divisible entre sí mismo.
 Divisibilidad entre 7: Un número es divisible entre 7
cuando separando la primera cifra de la derecha,
multiplicándola por 2, restando este producto de lo que
queda a la izquierda y así sucesivamente, da cero o
múltiplo de 7.
12
Ejemplos:
Para saber si el número 2,058 es divisible entre 7,
haremos lo siguiente:
2,058
8 x 2 = 16
205 – 16 = 189
9 x 2 = 18
18 – 18 = 0
Como la respuesta es cero, entonces 2,058 es divisible
entre 7.
Para saber si el número 2,401 es divisible entre 7,
haremos lo siguiente:
2,401
1x2=2
240 - 2 = 238
8 x 2 = 16
23 – 18 = 7
La respuesta es 7, entonces 2,401 es divisible entre 7.
 Divisibilidad entre 9: Un número es divisible entre 9
cuando la suma de los valores absolutos de sus cifras es
múltipla de 9.
13
Ejemplos:
6,408 es divisible entre 9, porque 6 + 4 + 0 + 8 = 18 es
divisible entre 9 pues lo contiene dos veces.
7,974 es divisible entre 9, porque 7 + 9 + 7 + 4 = 27 es
divisible entre 9 pues lo contiene tres veces.
 Divisibilidad entre las Potencias de 10: Para dividir
un número terminado en ceros por la unidad seguida de
ceros, se suprimen de la derecha del número tantos
ceros como ceros acompañen a la unidad, y lo que
queda es el cociente exacto.
Ejemplo:
850 ÷ 10 = 85
12,500 ÷ 100 = 125
18,000 ÷ 1000 = 18....etc.
Por lo tanto, un número es divisible entre 10 cuando
termina en cero, porque suprimiendo este cero queda
dividido entre 10 y lo que queda es el cociente exacto.
Por ejemplo: 70, 180, 1460,....etc. son divisibles entre
10.
Un número es divisible entre 102 = 100 cuando
termina en dos ceros, porque suprimiendo estos ceros
queda dividido entre 100 y lo que queda es el cociente
exacto.
Por ejemplo: 700, 1400, 12500,....etc. son divisibles
entre 100.
Un número es divisible entre 103 = 1,000 cuando
termina en tres ceros, porque suprimiendo estos ceros
14
queda dividido entre 1,000 y lo que queda es el cociente
exacto.
Por ejemplo: 7000, 14000, 125000,....etc. son divisibles
entre 1,000.
En resumen, todo número terminado en ceros es
divisible entre la unidad seguida de tantos ceros haya a
la derecha del número.
 Divisibilidad entre 25: Un número es divisible entre 25
cuando sus dos últimas cifras de la derecha son ceros o
forman un múltiplo de 25.
Ejemplos:
El número 800 es divisible entre 25, porque 800 es
divisible entre 100 ya que termina en dos ceros, y 100
es divisible entre 25 porque lo contiene 4 veces. Ahora
bien, si 25 divide a 100, dividirá a 800, que es múltiplo
de 100, porque todo número que divide a otro, divide a
sus múltiplos.
El número 650 es divisible entre 25, porque sus dos
últimas cifras forman un múltiplo de 25, pues 50
contiene a 25 dos veces.
15
2.2. Descomposición en Factores Primos
Descomponer un número en sus factores primos
convertirlo en un producto indicado de números primos.
es
 Regla para Descomponer un Número Primo
Compuesto en sus Factores Primos: Se divide el
número entre el menor de sus divisores primos; el
cociente se divide también entre el menor de sus
divisores primos y así sucesivamente con los demás
cocientes, hasta hallar un cociente primo, que se dividirá
por sí mismo.
Ejemplos:
Descomponer 204 en sus factores primos:
Procedemos a dividir el número 204 entre su menor
divisor primo 2, y el cociente de ambos se volverá a
dividir entre el menor de sus divisores primos y así
sucesivamente hasta hallar un cociente primo.
204 ÷ 2 = 102
102 ÷ 2 = 51
51 ÷ 3 = 17
Entonces 204 es igual al producto de 2 x 2 x 3 x 17
Por lo tanto los factores primos de 204 son 2, 3 y 17.
16
Descomponer 25,230 en sus factores primos:
25,230 ÷ 2 = 12,615
12,615 ÷ 3 = 4,205
4,205 ÷ 5 = 841
841 ÷ 29 = 29
Entonces 25,230 es igual a: 2 x 3 x 5 x 29 x 29
Por lo tanto sus factores primos son 2, 3, 5 y 29.
 Máximo Común Divisor de dos o más números es el
mayor número que los divide a todos exactamente. Se
designa por las iniciales M.C.D.
Ejemplos:
Los números 18 y 24 son divisibles entre 2, entre 3 y
entre 6. ¿Hay algún número mayor que 6 que divida a 18
y a 24 en conjunto? No. Entonces, 6 es el M.C.D. de 18 y
24.
Los números 60, 100 y 120 son divisibles entre 2, 4, 5,
10 y 20. No hay ningún número mayor que 20 que los
divida a los tres en conjunto, entonces 20 es el M.C.D.
de 60, 100 y 120.
Cuando no es fácil hallar el M.C.D. por simple inspección,
éste puede hallarse rápidamente dividiendo al mismo
tiempo todos los números dados entre un factor común,
los cocientes nuevamente entre un factor común y así
sucesivamente hasta que los cocientes sean primos entre
sí. El M.C.D. es el producto de los factores comunes.
17
Ejemplos:
Hallar el M.C.D. de 208, 910 y 1,690.
208
910
1,690
104
455
845
8
35
65
2
13
M.C.D. = 2 x 13 = 26
208, 910 y 1,690 tenían el factor común 2. Los dividimos
entre 2 y obtuvimos los cocientes 104, 455 y 845. Estos
cocientes tenían el factor común 13, los dividimos entre
13 y obtuvimos los cocientes 8, 35 y 65 que no tienen
ningún divisor común. El M.C.D. es 2 x 13 =26.
Hallar el M.C.D. de 208, 910 y 1,690.
3,430
2,450
980
4,410
10
343
245
98
441
7
49
35
14
63
7
5
2
9
7
M.C.D =10 x 7 x 7 =490
 Mínimo Común Múltiplo: Mínimo común múltiplo de
dos o más números es el menor número que contiene
un número exacto de veces a cada uno de ellos. Se
designa por las iniciales m.c.m.
Ejemplos:
El número 36 contiene exactamente a 9 y a 6; 18
también contiene exactamente a 9 y a 6. ¿Hay algún
número menor que 18 que contenga a 9 y a 6 en
conjunto? No. Entonces 18 es el m.c.m. de 9 y 6.
18
El número 60 es divisible entre 2, 3 y 4; 48 también, 24
también y 12 también. Como no hay ningún número
menor que 12 que sea divisible entre 2, 3 y 4 tendremos
que 12 es el m.c.m. de 2, 3 y 4
Cuando no es fácil hallar el m.c.m. por simple
inspección, éste puede hallarse rápidamente dividiendo
cada uno de los números dados entre su menor divisor;
lo mismo se hace con los cocientes hasta obtener que
todos los cocientes sean 1. El m.c.m. es el producto de
todos los divisores primos.
Ejemplos:
Hallar el m.c.m. de 60 y 190.
Primero
se
dividen
los
números
60
y
190
simultáneamente por el mínimo factor común de ambos
y con los cocientes se procede de la misma forma hasta
llegar a obtener la unidad en ambos números.
Tenemos:
60
190
2
30
95
2
15
95
3
5
95
5
1
19
19
m.c.m. = 22 x 3 x 5 x 19 = 1440
1
19
Hallar el m.c.m. de 360, 480, 500 y 600.
360
480
500
600
2
180
240
250
300
2
90
120
125
150
2
45
60
125
75
2
45
30
125
75
2
45
15
125
75
3
15
5
125
25
3
5
5
125
25
5
1
1
25
5
5
1
5
5
m.c.m. = 25 x 32 x 53 = 36,000
1
Ejercicios:
1.
¿Cuál será la menor longitud de una varilla de
acero que se puede dividir en pedazos de 8 cm., 9 cm. o
15 cm. de longitud sin que sobre ni falte nada y cuantos
pedazos de cada longitud se podría sacar de esa varilla?
Procedemos a calcular el m.c.m. de 8, 9 y 15.
20
8
4
2
1
9
9
9
9
3
1
15 2
15 2
15 2
15 3
5 3
5 5
1
m.c.m. = 2 x 2 x 2 x 3 x 3 x 5 = 360
Las longitudes de cada varilla serán:
360 ÷ 8 = 45
360 ÷ 9 = 40
360 ÷ 15 = 24
Respuesta: 360 cm.; 45 de 8, 40 de 9 y 24 de 15.
2.
Hallar la menor capacidad posible de una cisterna
que se pueda llenar en un número exacto de minutos
abriendo simultáneamente tres llaves que vierten: la
1ra, 10 m3 por hora; la 2da, 12 m3 por hora y la 3ra, 30
m3 por hora, y cuántas horas tardaría en llenarse.
Por simple inspección vemos que la menor capacidad
posible de esta cisterna será la suma de los tres
volúmenes que logran las llaves abiertas en una hora.
Tendremos : 10 + 12 + 30 = 52
Esto se logrará en 1 hora
Respuesta: 52 m3; 1 hora.
3.
¿Cuál es la menor capacidad de un estanque que se
puede llenar en un número exacto de segundos por
cualquiera de tres llaves que vierten: la 1ra, 2 litros por
21
segundo; la 2da, 30 litros en 2 segundos y la 3ra, 48
litros en 3 segundos?
La 1ra llave vierte 2 litros por segundo.
La 2da llave 30 litros en 2 segundos, es decir 30 ÷ 2 =
15  15 litros por segundo.
La 3ra llave 48 litros en 3 segundos, es decir 48 ÷ 3 =
16  16 litros por segundo.
Procedemos a hallar el m.c.m. de 2, 15 y 16.
2
1
1
1
1
1
1
15
15
15
15
15
5
1
16
8
4
2
1
1
1
2
2
2
2
3
5
m.c.m. = 2 x 2 x 2 x 2 x 3 x 5 = 240
Respuesta: 240 litros.
4.
Dos cordeles de 36 metros y 48 metros de longitud
se quieren dividir en partes iguales y de la mayor longitud
posible. ¿Cuál será la longitud de cada parte?
Procedemos a calcular el M.C.D. de 36 y 48.
36
18
9
3
48
24
12
4
2
2
3
M.C.D. = 2 x 2 x 3 = 12
Respuesta: 12 metros.
5.
Se tienen tres terrenos de 3,675, 1,575 y 2,275
metros cuadrados de superficie respectivamente y se
22
quieren dividir en parcelas iguales. ¿Cuál ha de ser la
superficie de cada parcela para que el número de parcelas
de cada una sea la menor posible?
Procedemos a calcular el M.C.D. de 3,675, 1,575 y 2,275
3,675
735
147
21
1,575
315
63
9
2,275
455
91
13
5
5
7
M.C.D. = 5 x 5 x 7 = 175
Respuesta: 175 metros cuadrados.
23
3. NÚMEROS FRACCIONARIOS
3.1 Numero Fraccionario en las Divisiones Inexactas:
La división exacta no siempre es posible, porque muchas
veces no existe ningún número entero que multiplicado por el
divisor dé el dividendo. Así, la división de 3 entre 5 no es
exacta porque no hay ningún número entero que multiplicado
por 5 dé 3.
Entonces ¿cómo expresar el cociente exacto de 3 entre 5?
Pues únicamente por medio del número fraccionario 3/5. De
allí que todo número fraccionario representa el cociente
exacto de una división en la cual el numerador representa
el dividendo y el denominador el divisor.
3.2 Número Fraccionario:
Número fraccionario o quebrado es el que expresa una o
varias partes iguales de la unidad principal. Si la unidad se
divide en dos partes iguales, estas partes se llaman medios;
si se divide en tres partes iguales, estas se llaman tercios; en
cuatro partes iguales, cuartos; en cinco partes iguales
quintos; etc.
3.3 Términos del Quebrado:
Un quebrado consta de dos términos, llamados numerador y
denominador.
El denominador indica en cuántas partes iguales se ha
dividido la unidad principal, y el numerador, cuántas de esas
partes se toman.
24
Así, en el quebrado tres cuartos: ¾, el denominador 4
indica que la unidad se ha dividido en cuatro partes iguales, y
el numerador 3, que se ha tomado tres de esas partes
iguales.
En el quebrado siete novenos, 7/9, el denominador 9 indica
que la unidad se ha dividido en nueve partes iguales, y el
numerador 7, que se ha tomado siete de esas partes iguales.
3.4 Clases de Quebrados:
Los quebrados se dividen
quebrados decimales.
en
quebrados
comunes
y
 Quebrados comunes son aquellos cuyo denominador
no es la unidad seguida de ceros, como 3/4, 7/8, 9/13.
 Quebrados decimales son aquellos cuyo denominador
es la unidad seguida de ceros, como 7/10, 9/100, 11/1000.
Los quebrados, tanto comunes como decimales, pueden
ser propios, iguales a la unidad o impropios.
Quebrado propio es aquel cuyo numerador es menor
que el denominador. Ejemplo: 2/3, 3/4, 5/7.
Todo quebrado propio es menor que la unidad. Así, ¾
es menor que la unidad porque la unidad la hemos
dividido en 4 partes iguales y solo hemos tomado 3 de
esas partes; por tanto, a ¾ le falta ¼ para ser igual a
4/4 o sea la unidad.
Quebrado igual a la unidad es aquel cuyo numerador es
igual al denominador. Ejemplo: 6/6, 7/7, 8/8.
Quebrado impropio es aquel cuyo numerador es mayor
que el denominador. Ejemplo: 3/2, 4/3, 7/5.
25
Todo quebrado impropio es mayor que la unidad. Así,
7/5 es mayor que la unidad por que la unidad la hemos
dividido en 5 partes iguales y hemos tomado 7 de estas
partes; por tanto, 7/5 excede en 2/5 a 5/5, o sea la
unidad.
3.5 Numero Mixto:
Número mixto es el que consta de entero y quebrado como
2
3
por ejemplo: 1 3 , 4 5 ,...,etc. Todo número mixto contiene un
número exacto de unidades y además una o varias partes
iguales de la unidad.
3.6 Reducción y Simplificación de Quebrados:
 Reducir un entero a quebrado de denominador
dado: Se multiplica el entero por el denominador y el
producto se divide entre el denominador.
Ejemplos:
Reducir 6 a quebrado equivalente de denominador 7.
6 = 6 x 7 = 42
7
7
Reducir 17 a novenos.
17 = 17 x 9 = 153
9
9
26
 Reducir una Fracción a términos mayores
menores. Se pueden considerar dos casos:
o
a) Reducir una fracción a otra fracción equivalente de
denominador dado, cuando el nuevo denominador es
múltiplo del primero, o reducir una fracción a términos
mayores.
El denominador de la nueva fracción será el dado. Para
hallar el numerador se multiplica el numerador del
quebrado dado por el cociente que resulta de dividir los
dos denominadores.
Ejemplos:
Convertir ¾ en quebrado equivalente de denominador
24.
3 = 3 x 6 = 18
4 4x6
24
Convertir
35.
2/7
en quebrado equivalente de denominador
2 = 2 x 5 = 10
7 7x5
35
b) Reducir una fracción dada a otra fracción equivalente
de denominador dado, cuando el nuevo denominador es
divisor del primero, o reducir una fracción a términos
menores.
El denominador de la nueva fracción será el dado. Para
hallar el numerador se divide el numerador del quebrado
dado por el cociente que resulta de dividir los dos
denominadores.
27
Ejemplos:
Convertir
8.
15/24
en quebrado equivalente de denominador
15 = 15 ÷ 3 = 5
24
24 ÷ 3 8
Convertir
13.
49/91
en quebrado equivalente de denominador
49 = 49 ÷ 7 = 7
91
91 ÷ 7 13
 Fracción Irreducible: Fracción irreducible es toda
fracción cuyos dos términos son primos entre sí.
Cuando una fracción es irreducible se dice que está
reducida a su más simple expresión o a su mínima
expresión.
Ejemplo:
Reducir la fracción 39/42 a una fracción irreducible.
39 = 39 ÷ 3 = 13
42
42 ÷ 3 14
Así, 13/14 es una fracción irreducible porque sus dos
términos, 13 y 14, son primos entre sí.
 Simplificación de Fracciones: Para reducir una
fracción a su mínima expresión se halla el M.C.D. de los
dos términos de la fracción y se divide el numerador y el
denominador por su M.C.D.
28
Ejemplo:
Reducir a su mínima expresión
1,350
2,550
Procedemos a hallar el M.C.D. de ambos números:
1,350
675
135
27
9
2,550
1,275
255
51
17
2
5
5
3
M.C.D. = 2 x 5 x 5 x 3 = 2,431
Ahora dividimos 7,293 y 17,017 por su M.C.D.=2,431
7,293 ÷ 2,431 = 3
17,017 ÷ 2,431
7
 Reducción de quebrados al Mínimo Común
Denominador: Se simplifican los quebrados dados.
Hecho esto, se halla el mínimo común múltiplo de los
denominadores y éste será el denominador común. Para
hallar los numeradores se divide el m.c.m. entre cada
denominador y el cociente se multiplica por el
numerador respectivo.
Ejemplos:
1.
Reducir al mínimo
siguientes quebrados:
2,
3
común
denominador
los
35,
5
60 180
29
Simplificamos los quebrados y queda:
2,
3
7,
12
1
36
Hallaremos el m.c.m. de los denominadores 3, 12, 36
que será 36 porque 3 y 12 son divisores de 36. 36 será
el denominador común.
Para hallar el numerador del primer quebrado dividimos
el m.c.m. 36 entre el primer denominador:
36 ÷ 3 = 12, y multiplicamos este cociente 12 por el
primer numerador 2, 12 x 2 = 24.
Para hallar el segundo denominador dividimos el m.c.m.
36 entre el denominador del segundo quebrado 12:
36 ÷ 12 = 3 y multiplicamos este cociente 3 por el
segundo numerador 7, 3 x 7 = 21.
Para hallar el tercer numerador dividimos el m.c.m. 36
entre el tercer denominador 36:
36 ÷ 36 =1, y este cociente lo multiplicamos por el
tercer numerador 1, 1 x 1 = 1
Realizando las operaciones: m.c.m. = 36
36 ÷ 3 = 12
2 = 2 x 12 = 24
3
36
36
36 ÷ 12 = 3
7 = 7 x 3 = 21
12
36
36
36 ÷ 36 = 1
1= 1x1 = 1
36
36
36
Entonces:
2,
3
35,
5
60 180
24,
36
21, 1
36 36
30
2.
Reducir al mínimo
siguientes quebrados:
3,
4
común
denominador
los
5, 5, 11
7 8 14
Hallamos el m.c.m. de 8 y 14, pues 4 está contenido en
8 y 7 en 14.
8
4
2
1
2
2
2
14
7
1
2
7
m.c.m. = 23 x 7 = 56
56 ÷ 4 = 14
3 = 3 x 14 = 42
4
56
56
56 ÷ 7 = 8
5 = 5 x 8 = 40
7
56
56
56 ÷ 8 = 7
5 = 5 x 7 = 35
8
56
56
56 ÷ 14 = 4
11 = 11 x 4 = 44
14
56
56
Entonces:
3,
4
5, 5 11
7 8 14
42, 40, 35, 44
56 56 56 56
3.7 Operaciones con Números Fraccionarios:
 Suma
a) Suma de quebrados de igual denominador: Se
suman los numeradores y esta suma se divide entre el
31
denominador común. Se simplifica el resultado y se
hallan los enteros si los hay.
Ejemplo:
Efectuar
7 + 10 + 4
9
9
9
7 + 10 + 4 = 7 + 10 + 4 = 21 = 7
9
9
9
9
9
3
b) Suma de quebrados de distinto denominador: Se
simplifican los quebrados dados si es posible. Después de
ser irreducibles se reducen al mínimo común
denominador y se procede como en el caso anterior.
Ejemplo:
Efectuar
12 + 21 + 23
48 49
60
Simplificando los quebrados, queda: 1 + 3 + 23
4 7
60
Reduzcamos al mínimo común denominador. Hallamos el
m.c.m. de los denominadores para lo cual eliminamos el
4 por ser divisor de 60 y como 60 y 7 son primos entre
sí, el m.c.m. será su producto: 60 x 7 = 420.
420 será el mínimo común denominador. Tendremos:
1 + 3 + 23 = 105 + 180 + 161 = 446 = 223
4
7 60
420
420
210
32
 Resta
a) Resta de quebrados de igual denominador, Se
restan los numeradores y esta diferencia se divide entre
el denominador común. Se simplifica el resultado y se
hallan los enteros si los hay.
Ejemplo:
Efectuar
7 - 5
12 12
7 - 5 =
12
12
7-5 = 2= 1
12
12
6
b) Resta de quebrados de distinto denominador: Se
simplifican los quebrados dados si es posible. Después de
ser irreducibles se reducen al mínimo común
denominador y se restan como en el caso anterior.
Ejemplo:
Efectuar
5 - 4
40 320
Simplificando los quebrados, queda: 1 - 1
8 80
Reduciendo: 1 - 1 = 10 – 1
8 80
80
= 9
80
 Multiplicación, Para multiplicar dos o más quebrados se
multiplican los numeradores y este producto se divide
entre el producto de los denominadores. El resultado se
simplifica y se hallan los enteros si los hay.
33
Ejemplos:
Efectuar
5 x 7 x 17
7
4
8
5 x 7 x 17 = 5 x 7 x 17 = 255
7
4
8
7x4x8
224
Efectuar
4 x 2 x 3
9
8
6
4 x 2 x 3 = 4x2x3 = 1x1x1= 1
9
8
6
9x8x6
3x2x3
18
 División, Para dividir dos o más quebrados se multiplica
el dividendo por el divisor invertido. El resultado se
simplifica y se hallan los enteros si los hay.
Ejemplos:
Efectuar
14 ÷ 8
55
35
14 ÷ 8 =
55
35
14 x 35 =
55
8
14 x 35 = 7 x 7 = 49
55 x 8
11 x 4
44
34
Ejercicios:
1.
Tres varillas de acero tienen: la 1ra, 42/5 metros de
largo; la 2da, 103/10 metros y la 3ra, 281/20 metros. ¿Cuál
es la longitud de las tres?
Procedemos a hallar el m.c.m. de los denominadores,
para lo cual prescindimos de 5 por ser divisor de 10 y de
10 por ser divisor de 20, por lo tanto el m.c.m. será 20.
Tenemos:
42 + 103 + 281 = 168+206+281 = 655
5
10
20
20
20
Simplificando: 655 ÷ 5 = 131 = 32 ¾
20 ÷ 5
4
Respuesta: 32 ¾ metros.
2.
Una cuadrilla de obreros excava en el 1er día 10 m3
de zanja, en el 2do día 65/7 m3, en el 3er día 115/14 m3 y el
4to día 337/56 m3. ¿Cuánto han excavado en los cuatro
días?
Procedemos a hallar el m.c.m. de los denominadores,
para lo cual prescindimos de 7 por ser divisor de 14 y de
14 por ser divisor de 56, por lo tanto el m.c.m. será 56.
Tenemos:
35
10 + 65 + 115 + 337 =
7
14
56
= 560+520+460+337 = 1,877 = 33
56
56
Respuesta: 33
29
/56
29
/56
m3.
3.
Tres obreros tienen que construir 200 m2 de muro.
Uno construye 373/7 m2 y el otro 15/34 m2, ¿Cuánto tiene
que construir el tercero?
Procedemos a hallar el m.c.m. de los denominadores y
como 7 y 34 son primos entre sí, el m.c.m. será su
producto: 7 x 34 = 238.
Tenemos:
373 + 15 = 12,682+105 = 12,787
7
34
238
238
Finalmente, procedemos a restar los 200 m2 de la
fracción hallada:
200 – 12,787 = 34,813 = 146
238
238
Respuesta: 146
65
/238
65
/238
m2.
4.
Para hacer un metro de una obra un obrero emplea
6 horas ¿Cuánto empleará para hacer 44/3 metros?
Procedemos a multiplicar el entero 6 por el quebrado:
6 x 44 = 264 = 88
36
3
3
Respuesta: 88 horas;
1,198/11
horas.
5.
Un obrero ajusta una obra en $200 y hace los
de ella. ¿Cuánto recibirá?
7/20
Procedemos a multiplicar el entero 200 por el quebrado:
200 x 7 = 1,400 = 70
20
20
Respuesta: $70.
6.
Diez obreros pueden hacer 156/11 metros de una
obra en 1 hora ¿Cuántos metros hace cada obrero en ese
tiempo?
Procedemos a dividir el quebrado
156/11
entre 10:
156 ÷ 10 = 156 x 1 = 156
11
11
10
110
Simplificando:
156 ÷ 2 = 78 = 1
110 ÷ 2 55
Respuesta: 1
23
/55
23
/55 metros.
3.8 Fracciones Decimales:
Un quebrado o fracción decimal es todo quebrado cuyo
denominador es la unidad seguida de ceros.
37
Para escribir un quebrado decimal en notación decimal se
sigue el principio según el cual toda cifra escrita a la derecha
de otra representa unidades diez veces menores que las que
representa la anterior.
Así,
3/10
se escribirá 0.3;
14/100
se escribirá 0.14; etc.
Por lo tanto se sigue la regla general: Se escribe la parte
entera si la hay, y si no la hay, un cero y en seguida el punto
decimal. Después se escriben las cifras decimales teniendo
cuidado de que cada una ocupe el lugar que le corresponde.
 Propiedades generales de las fracciones decimales.
a) Un decimal no se altera porque se añadan o supriman
ceros a su derecha, por que con ello el valor relativo de
las cifras no varía.
Así, lo mismo será 0.34 que 0.340 ó 0.3400.
b) Si en un número decimal se corre el punto decimal a
la derecha uno o más lugares, el decimal queda
multiplicado por la unidad seguida de tantos ceros como
lugares se haya corrido el punto a la derecha, porque al
correr el punto decimal un lugar a la derecha, el valor
relativo de cada cifra se hace diez veces mayor.
Así, para multiplicar 0.876 por 10, corremos el punto
decimal a la derecha un lugar y nos queda 8.76; para
multiplicar 0.93245 por 100, corremos el punto decimal
a la derecha dos lugares y nos queda 93.245; para
multiplicar 7.54 por 1,000, corremos el punto decimal a
la derecha tres lugares, pero como no hay más que dos
cifras decimales, quitaremos el punto decimal y
añadiremos un cero a la derecha y nos quedará 7,540;
etc.
38
c) Si en un número decimal se corre el punto decimal a
la izquierda uno o más lugares, el decimal queda dividido
por la unidad seguida de tantos ceros como lugares se
haya corrido el punto a la izquierda.
Así, para dividir 4.5 entre 10, corremos el punto decimal
a la izquierda un lugar y nos queda 0.45; para dividir
0.657 entre 100, corremos el punto decimal a la
izquierda dos lugares y nos queda 0.00657; etc.
3.9 Operaciones con Fracciones Decimales:
 Suma, Se colocan los sumandos unos debajo de los
otros de modo que los puntos decimales queden en
columna. Se suman como números enteros, poniendo en
el resultado el punto de modo que quede en columna
con los de los sumandos.
Ejemplo:
Sumar
0.03, 14.0005, 0.56432 y 8.0345
0.03000 +
14.00050
0.56432
8.03450
Suma.....
22.63382
39
 Resta, Se coloca el sustraendo debajo del minuendo, de
modo que los puntos decimales queden en columna,
añadiendo ceros si fuera necesario, para que el
minuendo y el sustraendo tengan igual número de cifras
decimales. Luego se restan como números enteros,
colocando en la resta el punto decimal en columna con
los puntos decimales del minuendo y sustraendo.
Ejemplo:
Restar
14.069 de 234.5
234.500
14.069
Resta......
-
220.431
 Multiplicación, Para multiplicar dos decimales o un
entero por un decimal, se multiplican como si fueran
enteros, separando de la derecha del producto con un
punto decimal tantas cifras decimales como haya en el
multiplicando y el multiplicador.
Ejemplo:
Multiplicar
14.25 por 3.05
14.25
3.05
7125
0000
4275
Producto......
x
43.4625 (cuatro espacios decimales)
40
 División, Para dividir dos decimales, si no son
homogéneos, es decir, si no tienen el mismo número de
cifras decimales, se hace que lo sean añadiendo ceros al
que tenga menos cifras decimales. Una vez homogéneos
el dividendo y el divisor, se suprimen los puntos y se
dividen como enteros.
En caso de tratarse de una división de un entero y un
decimal o viceversa, se pone punto decimal al entero y
se le añaden tantos ceros como cifras decimales tenga el
decimal. Una vez homogéneos dividendo y divisor, se
suprimen los puntos decimales y se dividen como
enteros.
Ejemplo:
Dividir 56 entre 0.114
Ponemos punto decimal al 56 y le añadimos tres ceros,
porque el decimal tiene tres cifras decimales y queda:
56.000 ÷ 0.114
Ahora suprimimos los puntos y dividimos como enteros:
56000
114
1040
491.22807
0140
0260
0320
0920
00800
002
Cociente.......... 491.228
41
Ejercicios:
1.
Se compran 21 metros de cordel por $7.35 ¿Cuánto
importarían 18 metros?
Procedemos a dividir 7.35 entre 21
Ponemos punto decimal al 21 y le añadimos dos ceros,
porque el decimal tiene dos cifras decimales y queda:
7.35 ÷ 21.00
Ahora suprimimos los puntos y dividimos como enteros:
7350
2100
10500
0000
0.35
Cociente.......... 0.35
Luego multiplicamos el cociente por el entero 18
18 x
0.35
90
54
00
Producto......
06.30
Respuesta: $6.30.
42
2.
Un rodillo de concreto tiene de circunferencia 0.84
metros. De un extremo a otro de un terreno de tenis da
145.3 vueltas. ¿Cuál es la longitud del terreno?
Procedemos a multiplicar ambos números:
x
0.84
145.3
252
420
336
084
Producto......
122.052
Respuesta: 122.052 metros
3.
Tengo 14 bolsas cemento y me ofrecen
comprármela pagándome $9.40 por bolsa; pero no
acepto la venta y más tarde entrego el total de bolsas
por $84.14 ¿Cuánto he perdido por bolsa?
Procedemos
inicialmente:
a
calcular
cuanto
hubiera
ganado
14 x
9.40
00
56
126
Producto......
131.60
Ahora a este producto le restamos el monto por el cual
fue vendido:
131.60 84.14
Resta......
47.46
43
Finalmente esta resta la dividimos entre las 14 bolsas de
cemento:
4746
1400
5460
3.39
12600
Cociente.......... 3.39
Respuesta: $3.39.
4.
La altura de una persona es 1.85 metros y la de un
edificio es 26 veces la altura de la persona menos 1.009
metros. Hallar la altura del edificio.
Procedemos a efectuar la multiplicación:
26 x
1.85
130
208
26
Producto......
48.10
Finalmente restamos este producto el decimal 1.009:
48.100
1.009
Resta......
-
47.091
Respuesta: 47.091 metros.
44
3.10 Conversión de Fracciones:
 Conversión de fracciones comunes a fracciones
decimales: Todo quebrado es el cociente de la división
indicada de su numerador; por lo tanto para convertir un
quebrado común a fracción decimal se sigue la siguiente
regla:
Se divide el numerador entre el denominador,
aproximando la división hasta que dé cociente exacto o
hasta que se repita en el cociente indefinidamente una
cifra o grupo de cifras.
Ejemplos:
Convertir
3/5
en fracciones decimales.
30 5
0 0.6
Convertir
7/20
en fracciones decimales.
70
100
00
20
0.35
 Distintas clases de fracciones decimales a que dan
origen las fracciones comunes.
Fracciones decimales
que originan los
quebrados comunes.......
exactas
periódicas puras
inexactas
periódicas
periódicas mixtas
45
o fracción decimal exacta es la que tiene un número
limitado de cifras decimales.
Ejemplo: 0.60 y 0.35
o fracción decimal inexacta periódica es aquella en
la cual hay una cifra o un grupo de cifras que se
repiten indefinidamente y en el mismo orden.
Ejemplo: 0.3333.... y 0.085555....
Nota: Período es la cifra o grupo de cifras que se
repiten indefinidamente y en el mismo orden. Así,
en la fracción periódica 0.3333... el período es 3; en
la fracción 0.1212.... el período es 12; en la fracción
0.2353535.... el período es 35.
o fracción decimal periódica pura es aquella en la
cual el período empieza en las décimas.
Ejemplo: 0.[3]333... , 0.[12]12..., 0.[876]876...
o fracción decimal periódica mixta es aquella en la
cual el período no empieza en las décimas.
Ejemplo: 0.08[3]333... , 0.2[35]35...
 Fracción decimal inexacta no periódica: Es la que
tiene un número ilimitado de cifras decimales, pero no se
repiten siempre en el mismo orden, o sea, que no hay
período.
Ejemplo:
π= 3.1415926535.....
e= 2.7182818285......
46
4.
MAGNITUDES PROPORCIONALES
Dos magnitudes son proporcionales cuando multiplicando o
dividiendo una de ellas por un número, la otra queda
multiplicada o dividida (o viceversa) por el mismo número.
Las magnitudes proporcionales pueden ser directamente
proporcionales e inversamente proporcionales.
4.1. Magnitudes Directamente Proporcionales
Son dos magnitudes tales que, multiplicando una de ellas
por un número, la otra queda multiplicada por el mismo
número y dividiendo una de ellas por un número, la otra
queda dividida por el mismo número.
Ejemplo:
Si una cuadrilla de obreros puede hacer en 4 días unos 20
metros de una determinada obra, en 8 días (el doble número
de días [4x2]) hará 40 metros de la misma obra (doble
número de metros [20x2]).
Igualmente en 2 días (la mitad del número de días [4÷2])
hará 10 metros (la mitad del número de metros [20÷2]).
Por lo tanto podemos decir que el tiempo y las unidades de
trabajo realizados en dicho tiempo son magnitudes
directamente proporcionales o están en razón directa.
Por ejemplo, son magnitudes directamente proporcionales:
 El tiempo y las unidades de trabajo realizadas.
 El tiempo de trabajo y el salario de un obrero.
 El numero de obreros empleados y el trabajo realizado.
47


A más horas trabaje, más cantidad de
obra haré.
A más cantidad de obreros contrate,
más trabajo realizaré.
4.2. Magnitudes Inversamente Proporcionales
Son dos magnitudes tales que, multiplicando una de ellas
por un número, la otra queda dividida por el mismo número
y dividiendo una de ellas por un número, la otra queda
multiplicada por el mismo número.
Ejemplo:
Si 4 obreros pueden hacer una obra en 6 días, 8 hombres (el
doble número de obreros [4x2]) harían la misma obra en 3
días (la mitad del número de días [6÷2]).
Igualmente 2 obreros (la mitad del número de obreros
[4÷2]) harían la obra en 12 días (el doble número de días
[6x2]).
Por lo tanto podemos decir que el número de obreros y el
tiempo necesario para hacer una obra son magnitudes
inversamente proporcionales o están en razón inversa.
48
Son magnitudes inversamente proporcionales:
 El numero de obreros empleado y el tiempo
necesario para hacer una obra.
 Los días de trabajo y las horas diarias que se
trabajan.
 La velocidad de un móvil con el tiempo empleado
en recorrer un espacio.



A más horas trabaje, menos cantidad
de días durará la obra.
A menos obreros emplee, mas
tardaré en realizar un trabajo.
A más planificación de mi obra,
menos riesgos correré.
49
4.3. Regla de Tres
La regla de tres es una operación que tiene por objeto hallar
el cuarto término de una proporción, cuando se conocen tres.
Puede ser simple y compuesta.
Es simple cuando solamente intervienen en ella dos
magnitudes y es compuesta cuando intervienen tres o más
magnitudes.
 Regla de Tres Simple Directa: Si 4 bolsas de cemento
cuestan $68, ¿cuánto costarán 16 bolsas?
Datos: ................. 4 bolsas ------------- $68
Pregunta:.............. 16 bolsas ------------- $ x
Si 4 bolsas cuestan $68, 1 bolsa costará 4 veces menos:
$68 ÷ 4 = $17
y 16 bolsas costarán 16 veces más, $17 x 16 = $272.
 Método Práctico:
Se compara cada una de las magnitudes con la incógnita
(x) para ver si son directa o inversamente proporcionales
con la incógnita.
A las magnitudes que son directamente proporcionales
se le pone debajo un signo + y encima un signo -, y a
las magnitudes que sean inversamente proporcionales
con la incógnita se les pone debajo un signo – y encima
un signo +.
El valor de la incógnita x, será igual al valor conocido de
su misma especie, multiplicado por todas las cantidades
que llevan el signo +, dividido por el producto de las
cantidades que llevan el signo -.
50
Ejemplo:
Si 4 bolsas de cemento cuestan $68, ¿cuánto costarán
16 bolsas?
Datos: ................. 4 bolsas ------------- $68
Pregunta:.............. 16 bolsas ------------- $ x
Comparamos:
A más bolsas más dinero; luego, estas magnitudes son
directamente proporcionales, ponemos + debajo de las
bolsas y – encima; ponemos + también a $68
-
+
Datos: ................. 4 bolsas ------------- $68
Pregunta:.............. 16 bolsas ------------- $ x
+
+
+
x = 68 x 16 = $272
4
-
51
 Regla de Tres Simple Inversa, 4 obreros hacen una
obra en 12 días, ¿En cuantos días podrían hacer la
misma obra 8 obreros?
Datos: ................. 4 obreros ------------- 12 días
Pregunta:.............. 8 obreros ------------- x días
Si 4 obreros hacen la obra en 12 días, 1 obrero tardaría
en hacerla 4 veces más: 4 x 12 = 48 días
y 8 obreros tardarían 8 veces menos, 48 ÷ 8 = 6 días.
 Método Práctico:
Comparamos:
A más obreros menos días; luego, son inversamente
proporcionales, ponemos - debajo de obreros y +
encima; ponemos + también a 12 días.
+
+
Datos: ................. 4 obreros ------------- 12 días
Pregunta:.............. 8 obreros ------------- x días
+
+
x = 4 x 12 = 6 días
8
-
52
 Regla de Tres Compuesta, 3 obreros trabajando 8
horas diarias han hecho 80 metros de una obra en 10
días. ¿Cuántos días necesitarán 5 obreros, trabajando 6
horas diarias, para hacer 60 metros de la misma obra?
Datos:. 3 obreros - 8 h. diarias --- 80 metros --- 10 días
Pregunta:5 obreros- 6 h. diarias --- 60 metros --- x días
Si 3 obreros trabajando 8 horas diarias han hecho 80
metros de la obra en 10 días, 1 hombre tardará 3 veces
más y 5 hombres, 5 veces menos:
10 x 3 días, trabajando 8 horas diarias.
5
Si en lugar de trabajar 8 horas diarias, trabajaran 1 hora
diaria, tardarían 8 veces más y trabajando 6 horas
diarias, tardarían 6 veces menos:
10 x 3 x 8 días, para hacer 80 metros.
5x6
Si en lugar de hacer 80 metros hicieran 1 metro,
tardarían 80 veces menos y para hacer 60 metros
tardarían 60 veces más:
10 x 3 x 8 x 60 días.
5 x 6 x 80
Luego: x = 10 x 3 x 8 x 60 = 6 días.
5 x 6 x 80
 Método Práctico:Comparamos:
A más obreros menos días; ponemos – debajo de
obreros y + encima; a más horas diarias de trabajo,
53
menos días en hacer la obra; ponemos – debajo de
horas diarias y + encima; a más metros, mas días;
ponemos + debajo de metros y – encima; ponemos +
también a 10 días.
+
+
-
-
-
+
+
Datos: 3 obreros --- 8 h. diarias --- 80 metros --- 10 días
Preg: 5 obreros --- 6 h. diarias --- 60 metros --- x días
+
+
+
+
x = 3 x 8 x 60 x 10 = 6 días
5 x 6 x 80
-
-
-
Ejercicios:
1.
Una cuadrilla de 10 obreros hacen una obra en 28
días, ¿En cuantos días podrían hacer la misma obra 5
obreros?
Comparamos:
A menos obreros más días; luego, son inversamente
proporcionales, ponemos - debajo de obreros y +
encima; ponemos + también a 28 días.
54
+
+
Datos: ................. 10 obreros ------------ 28 días
Pregunta:.............. 5 obreros ------------- x días
+
+
x = 10 x 28 = 56 días
5
-
Respuesta: 56 días.
2. Una cuadrilla de obreros ha hecho una obra en 20
días trabajando 6 horas diarias. ¿En cuántos días habrían
hecho la obra si hubieran trabajado 8 horas diarias?
Comparamos:
A más días menos horas diarias; luego, son
inversamente proporcionales, ponemos - debajo de
horas diarias y + encima; ponemos + también a 20
días.
+
+
Datos: ................. 20 días ------------ 6 horas
Pregunta:.............. x días ------------ 8 horas
+
+
x = 20 x 6 = 15 días
8
Respuesta: 15 días.
-
55
3. Se emplean 10 obreros durante 5 días, trabajando 4
horas diarias, para cavar una zanja de 10 metros de
largo, 6 metros de ancho y 4 metros de profundidad.
¿Cuántos días necesitarán 6 obreros, trabajando 3 horas
diarias, para cavar otra zanja de 15 metros de largo, 3
metros de ancho y 8 metros de profundidad, en un
terreno de doble dificultad?
Comparamos:
A más obreros trabajando, menos días se tardaría en
terminar; ponemos – debajo de obreros y + encima; a
más horas diarias de trabajo, menos días se tardaría;
ponemos – debajo de horas diarias y + encima; a más
metros, mas días; ponemos + debajo de metros y –
encima; a más dificultad, más días; ponemos + debajo
de dificultad y – encima; ponemos + también a 5 días.
+
+
+
-
-
-
-
-
+
+
+
+
Datos: 10 hs. - 5 ds. - 4 h.d. - 10 m - 6 m. - 4 m. - 1 dif.
Preg:
6 hs. - x ds. - 3 h.d. - 15 m - 3 m. - 8 m. - 2 dif
+
+
+
+
+
+
+
x = 10 x 5 x 4 x 15 x 3 x 8 x 2 = 33 1/3 días
6 x 3 x 10 x 6 x 4 x 1
-
-
-
-
-
-
Respuesta: 33 1/3 días.
4. Un campamento de 1,600 obreros tiene víveres para
10 días a razón de 3 raciones diarias cada obrero. Si se
refuerzan con 400 obreros ¿Cuántos días durarán los
víveres si cada obrero toma 2 raciones diarias?
56
Comparamos:
A más obreros menos días duraran los víveres; luego,
son inversamente proporcionales, ponemos - debajo de
los obreros y + encima; a más raciones diarias menos
días durarán los víveres, ponemos - debajo de las
raciones y + encima; ponemos + también a 10 días.
+
+
+
Datos: ..... 1,600 obreros -- 10 días -- 3 raciones
Pregunta:.. 2,000 obreros -- x días -- 2 raciones
-
+
+
+
x = 1600 x 10 x 3 = 12 días
2000 x 2
Respuesta: 12 días.
-
-
57
5.
GEOMETRÍA APLICADA
Para poder entender un dibujo es necesario conocer la
geometría.
5.1.
Ángulos
La
do
Un ángulo es la abertura formada por dos rectas con un
mismo origen llamado “vértice”. Las rectas se llaman
“lados”. El ángulo se designa por una letra mayúscula
situada en el vértice. A veces se usa una letra griega
dentro del ángulo.
B
Vertice
53°
A
Lado
C
Angulo A = 53º
o Ángulo Recto: Es el ángulo que mide 90º
B
90°
A
C
Angulo A = 90º
58
5.2
Triángulos
Un triángulo es la porción de plano limitado por tres
rectas que se cortan dos a dos.
Los puntos de intersección son los vértices del triángulo:
A, B y C.
Los segmentos determinados, son los lados del triángulo:
a, b y c.
Los lados forman los ángulos interiores que se nombran por
las letras de los vértices.
Un triángulo tiene 3 elementos: 3 ángulos, 3 lados y 3
vértices.
Se llama perímetro de un triángulo a la suma de sus tres
lados.
En el triángulo ABC:
B
c
A
a
b
C
Perímetro = AB + BC + CA = a + b + c
Se llama altura de un triángulo a la perpendicular trazada
desde un vértice, al lado opuesto o a su prolongación.
59
En el triángulo ABC:
B
B
c
c
a
h
90°
90°
A
b
h
a
C
b
A
C
O
O
Altura = BO = h
 Clasificación de los triángulos:
o Triángulo isósceles: Es el triángulo que tiene dos
lados y 2 ángulos iguales.
Los ángulos opuestos a los lados iguales, también
son iguales.
El lado desigual se suele llamar base del triángulo.
En el triángulo ABC:
B
a
A
c
C
Los lados AB y BC son iguales
Los ángulos a y c son iguales
o Triángulo equilátero: Es el triángulo que tiene
sus tres lados y ángulos iguales.
Cada uno de sus ángulos interiores es 60º.
60
En el triángulo ABC:
b
a
c
C
AB = BC = CA
a = b = c = 60º
o Triángulo escaleno: Es el triángulo que tiene sus
tres lados y ángulos desiguales.
En el triángulo ABC:
b
a
c
C
A
AB ≠ BC ≠ CA
a≠b≠c
o Caso importante: Atendiendo a sus ángulos, el
triángulo que tiene un ángulo recto es decir de 90º
se le denomina triángulo rectángulo.
Los lados del triángulo rectángulo reciben nombres
especiales:
61
Catetos: Son los lados que forman el ángulo recto.
Hipotenusa: Es el lado opuesto al ángulo recto.
En el triángulo ABC:
B
90°
C
A
Catetos = AB y BC ; Hipotenusa = BC
 Relaciones métricas de los triángulos:
o En todo triángulo, la suma de sus tres ángulos
interiores es igual a 180º.
En el triángulo ABC:
b
a
c
C
A
a + b + c = 180º
o En todo triángulo rectángulo el cuadrado de la
longitud de la hipotenusa es igual a la suma de los
cuadrados de las longitudes de los catetos
(Teorema de Pitágoras).
62
En el triángulo ABC:
B
90°
C
A
Sean los Catetos = AB y BC y la Hipotenusa = BC
(BC)2 = (AB)2 + (AC)2
Ejemplo:
Sea el triángulo ABC:
B
90°
A
C
Donde AB = 4.5 cm. , BC = 6 cm.
Hallar la longitud BC.
63
Según el teorema de Pitágoras:
(BC)2 = (AB)2 + (AC)2
(BC)2 = (4.5)2 + (6)2
(BC)2 = 56.25
5.3
BC
=
56.25
BC
= 7.5 cm
Polígonos
Se llama polígono a la figura geométrica cerrada, formada
por tres o más rectas que se cortan dos a dos, formando
ángulos interiores.
Los puntos de intersección son los vértices del polígono:
A, B, C, D, E,... etc.
Los segmentos determinados, son los lados del triángulo:
AB, BC, CD, DE,... etc.
Se llama diagonal al segmento determinado por dos
vértices no consecutivos.
Se llama perímetro de un polígono a la longitud de su
contorno, es decir la suma de sus lados.
Un polígono es regular cuando tiene todos sus lados y
ángulos iguales, es decir es equilátero y equiángulo.
64
Un polígono es irregular cuando alguno de sus lados o
ángulos son desiguales.
De acuerdo al número de lados, los polígonos reciben
nombres especiales como triángulo, cuadrado, pentágono,
hexágono, etc.
En el polígono ABCDEF:
A
B
F
C
E
D
Los lados son AB, BC, CD, DE, EF, FA.
Los vértices son A, B, C, D, E, F.
La diagonal es AD.
El perímetro es igual a (AB + BC + CD + DE + EF +FA)
5.4.
Cuadriláteros
Un cuadrilátero es un polígono de cuatro lados, pueden
ser cóncavos o convexos. En los cuadriláteros convexos se
tienen las siguientes propiedades:
65
 En todo cuadrilátero la suma de sus ángulos internos
es 360º
 En todo cuadrilátero el perímetro es mayor que la
suma de sus dos diagonales
 Para construir un cuadrilátero se requiere conocer sus
cuatro lados y una de las diagonales
Los cuadriláteros se clasifican atendiendo el paralelismo de
sus lados opuestos y son:
 Paralelogramo: Si los lados opuestos son paralelos
dos a dos. Se clasifican en:
o Rectángulo: Tiene los cuatro ángulos iguales y
los lados contiguos desiguales.
B
C
A
D
Los ángulos A, B, C y D son iguales
AB ≠ BC
o Cuadrado: Tiene los cuatro ángulos iguales y los
cuatro lados iguales.
B
C
A
D
Los ángulos A, B, C y D son iguales
AB = BC = CD = DA
66
o Rombo: Tiene los cuatro lados iguales y los
ángulos contiguos desiguales.
C
A
D
ángulo A ≠ ángulo B
AB = BC = CD = DA
o Romboide: Tiene los
contiguos desiguales.
lados
y
los
ángulos
C
A
D
ángulo A ≠ ángulo D
AB ≠ BC
 Trapecio: Cuando solo hay paralelismo en un par de
lados opuestos. Se clasifican en:
o Trapecio rectángulo: Es el que tiene dos de sus
ángulos rectos.
B
A
C
D
67
o Trapecio isósceles: Es el que tiene sus dos
lados no paralelos iguales.
C
B
D
A
o Trapecio escaleno: Es el que no reúne las dos
condiciones anteriores.
C
B
D
A
 Trapezoide: Cuando no existe paralelismo alguno en
sus lados y ángulos.
B
A
C
D
68
5.5.
Circunferencia y Círculo
 La circunferencia es el conjunto de todos los puntos
de un plano que equidistan de otro punto llamado
centro.
La figura representa una circunferencia de centro O:
A
C
r
O
B
Los puntos A, B y C son puntos de la circunferencia.
Son radios de la circunferencia los segmentos:
OA = OB = OC = r
 El círculo es el conjunto de todos los puntos de la
circunferencia y de los interiores de la misma.
O
69
5.6.
Áreas
 Área del triángulo: Es el producto de la base (B)
por la altura (H) dividido entre dos.
S
H
90°
R
T
B
Área = B x H
2
 Área de un rectángulo: producto de la base (B) por
la altura (H).
B
C
B
H
A
D
A=BxH
 Área del rombo: Producto de sus dos diagonales
(d1 y d2) dividido entre dos.
B
A
d1
C
d2
A=
d1 x d2
2
70
 Área del trapecio: producto de la mitad de su altura
(H) por la suma de sus bases (b1 y b2)
B
C
b1
H
90°
A
D
b2
A = H (b1 + b2)
2
 Área del círculo: producto de la constante p= PI =
3.1416 por el cuadrado de su radio (r)
O
r
A
A = PI x r2
Ejemplos:
71
1.
Hallar el área de un terreno de forma triangular,
siendo la base de 10 metros y la altura 42 metros.
Área = B x H = 10 x 42 = 210
2
2
Respuesta: 210 m2.
2.
Se compró un terreno circular de 10 metros de
radio a $5 el metro cuadrado ¿Cuánto se pago por el
terreno?
Área = π x r2 = 3.1416 x 10 = 31.416
Finalmente este producto lo multiplicamos por el precio
de metro cuadrado del terreno: 31.416 x 5 = 157.08
Respuesta: $157.08.
3.
Hallar la superficie de una losa cuadrada de 1.20
metros de lado.
Área = B x H = 1.20 x 1.20 = 1.44
Respuesta: 1.44 m2.
72
4.
Un terreno tiene forma trapezoidal cuya base
superior es de 12 metros y su base inferior es 15
metros. Hallar el área del terreno si su altura es de 6
metros.
A = H (b1 + b2) = 6 x (12 + 15) = 81
2
2
Respuesta: 81 m2.
5.
Calcular el área total de un terreno de forma
pentagonal irregular cuyas medidas se indican.
36
m
m
80
25
92
m
S3
m
B
40
S1
m
S2
D
E
A
Como se trata de un polígono irregular, se calcula el área
de toda la figura, dividiéndola en triángulos cuyas
medidas se conocen. Luego se calculan las áreas de los
triángulos parciales y sumando estas áreas se obtiene el
área total del polígono propuesto.
73
A B C = S1;
A C D = S2;
A D E = S3
S1 = 80 x 25 = 1,000 m2
2
S2 = 92 x 36 = 1,656 m2
2
S3 = 92 x 40 = 1,840 m2
2
Área Total = 1,000 + 1,656 + 1,840 = 4,496 m2
Respuesta: 4,496 m2
5.7.
Volúmenes de cuerpos geométricos:
 Prisma: Es un cuerpo geométrico cuyas bases son
dos polígonos iguales y paralelos y sus caras laterales
son paralelogramos.
Por su base los prismas pueden ser triangulares,
cuadrangulares, pentagonales, hexagonales, etc.
Aristas de un prisma son las intersecciones de las
caras.
Un prisma es regular cuando es recto y sus bases son
polígonos regulares.
Altura de un prisma es la perpendicular bajada de
una base a la otra. Cuando el prisma es recto, la
altura es igual a la arista.
74
Pentaedro
Ortoedro
Exaedro o Cubo
Altura
El volumen de un prisma es igual a su altura
multiplicada por el área de su base.
A
h
nc
V = altura x área de la base
o
Longitud
 Pirámide: Es un cuerpo geométrico cuya base es un
polígono cualquiera y sus caras laterales triángulos
que concurren en un punto llamado vértice (S) de la
pirámide.
75
Por su base las pirámides pueden ser triangulares,
cuadrangulares, pentagonales, exagonales, etc.
Una pirámide es regular cuando la base es un
polígono regular y la altura cae en el centro de la
base.
Altura de una pirámide es la perpendicular bajada
desde el vértice de la pirámide a la base o su
prolongación.
El volumen de una pirámide es igual al tercio de su
altura por el área de la base.
Altura
S
V = altura x área de la base
3
O
 Cilindro: Es el cuerpo geométrico engendrado por la
revolución de un rectángulo alrededor de uno de sus
lados.
El lado OO’ es el eje y altura del cilindro; el lado
opuesto a éste, AB, es la generatriz del cilindro; los
lados AO’ y BO son los radios iguales de las bases
del cilindro.
76
El volumen del cilindro es igual a su altura
multiplicada por el área del círculo de la base.
O
Altura
B
A
V = altura x π x radio2
O'
 Cono: Es el cuerpo geométrico engendrado por la
revolución de un triangulo rectángulo alrededor de uno
de sus catetos.
El punto S es el vértice del cono; el cateto SO es la
altura y eje del cono; el cateto OA es el radio del
círculo de la base; la hipotenusa SA es la generatriz
del cono.
El volumen de un cono es igual al tercio de su
altura multiplicada por el área del círculo de la
base.
77
Altura
S
A
V = altura x π x radio2
3
O
 Esfera: Es el cuerpo geométrico engendrado por la
revolución completa de un semicírculo alrededor de su
diámetro.
El centro, el radio y el diámetro de la esfera son el
centro, el radio y el diámetro del círculo que la
engendra.
El volumen de una esfera es igual a 4/3 de π por el
cubo del radio.
A
C
O
B
V = 4 x π x radio3
3
78
Ejercicios:
1.
Hallar la capacidad de un depósito cuya base es un
triangulo que tiene 0.60 metros de base y 0.50 metros
de altura, siendo la altura del depósito 9/5 de metro.
Procedemos a hallar el área de la base
Área = B x H = 0.60 x 0.50 = 0.15
2
2
Entonces el volumen será: 0.15 x 9 = 0.27
5
3
Respuesta: 0.27 m .
2.
¿Cuántos tanques cilíndricos de 2 metros de altura y
6 metros de diámetro harán falta para almacenar
1,130.976 metros cúbicos de agua?
Procedemos a calcular el área de la base del tanque:
Área = π x r2 = 3.1416 x (3)2 = 28.2744
Entonces el volumen será: 28.2744 x 2 = 56.5488
Finalmente dividimos la capacidad total de agua entre
este cociente:
1130.976 ÷ 56.5488 = 20
Respuesta: 20 tanques.
79
ORGANIZACIÓN INTERNACIONAL DEL TRABAJO
OIT
Oficina Regional de la OIT para América Latina y el
Caribe
80