Funciones vectoriales

Funciones vectoriales
En la ciencia y la ingeniería a menudo es conveniente introducir un vector r con las funciones f y g como
componentes.
R(t) = < f(t), g(t)> =f(t)i + g(t)j
Se dice que r es una función vectorial. De manera semejante, una curva en el espacio es parametrizada por 3
ecuaciones
X = f(t) y = g(t) z = h(t) a " t " b
Una función vectorial se expresa como:
R(t) = < f(t),g(t), h(t) > = f(t) I +g(t) j + h(t)k
Cuando t varia es posible imaginar que la curva C esta siendo trazada por la punta móvil de r(t)
Ejercicios:
1 Trazar la grafica correspondiente a la función vectorial
R(t)= 2 cos ti + 2 sen tj +tk t" o
Las ecuaciones parametricas de la curva son x = 2 cos t
Y = 2 sen t . eliminando el parámetro t de las 2 primeras ecuaciones,
Se ve que los puntos de la curva están situados en el cilindro circular
X2 + y2 = 4
z
cilindro x2+ y2 = 4
x
y
2.− trazar la grafica correspondiente a la función vectorial
r(t) = 2 cos ti + 2 sen tj + 3k
los puntos de la curva están situados en el cilindro x2 + y2 = 4
el valor constante z = 3 hace que la curva este situada 3 unidades arriaba del plano xy z
x2 + y2 = 4
1
z=3
y
x
obtengo la función vectorial que describe la curva c de intersección del plano y = 2 x y el paraboloide z = 9
− x2 −y2
si hacemos x = t, entonces y = 2t, y de esta manera z = 9 − t2 − 4 t2 = 9 −5t2
z
X
Y
Calculo de funciones vectoriales
Limites y continuidad
La función fundamental de limite de una función vectorial se define en términos de los limites de las funciones
componentes
Lim r(t) = lim f(t), lim g(t), lim h(t)
tatata
TEOREMA
Si lim t a r1(t) = L1 y lim t a r2 (t) = L2 entonces
• Lim C r1 (t) = CL1, C en donde C es un escalar
ta
(ii) lim [ r1 + r2 (t) = L1 + L2
ta
• lim r1 . rt2 = L1 . L2
ta
Derivadas de funciones vectoriales
La derivada de una función vectorial r es
r'(t) = lim 1/t [r (t +t) − r(t)]
TEOREMA
2
Si r(t)= < f(t), g(t), h(t)>, en donde f,g,h son diferenciables, entonces
r'(t) =< f'(t). g'(t).h'(t)>
Interpretación geométrica de r'(t)
Si el vector r't no es 0 en un punto p, entonces puede dibujarse tangente a la curva en p.
r = r(t + t) − r(t)
r/ t = 1/t [r (t + t)−r(t)
Ejercicios:
1.−Trazar la curva C que es descrita por un punto P cuya posición está dada por r(t) = cos 2 ti + sen tj, o" t "
2". Trace r'(0) y r'("/6)
Eliminando el parámetro de las ecuaciones parametricas x = cos 2t
Y =2 sen t 0" t " 2" encontramos que C es la parábola x = 1−2y2
−1" x" 1
r'(t) = −2 sen 2 ti + cos tj
r´(0) = j y r'(" /6) = −"3i + " /2 J
r'(" /6) y
r'(0)
x
(1,0)
2.− obtener ecuaciones de parametricas de la recta tangente de la curva C cuyas ecuaciones son parametricas
son
x = t2 y = t2 − t z = −7 t
en t =3
la función vectorial que indica posición de un punto p de la curva es
r(t) = r2 i + (t2 −t )j − 7 tk
r't = 2 ti + (2t −1)j −7k
r'(3) = 6i + 5j −7k.
Que es tangente a C en el punto cuyo vector de posición es
3
r'(3)= 9i +6j −21k
esto es, p(9,6,−21). Empleando las componentes de r'(3), vemos que
x =9 + 6t y =6 +5t z = −21 −7t
son ecuaciones parametricas de la recta tangente.
Derivadas de orden
Las derivadas de orden superior( o sucesivas) de una función vectorial se obtiene también diferenciando sus
componentes. En el caso de la segunda derivada tenemos r'' = f''(t)i + g''(t)j + h''(t)k.
Ejemplo:
r(t) = (t3 − 2t2 )i + 4tj + e−tk ,
r'(t) = (3t2 −4t)i + 4j − e−tk
r''(t) = ( 6t −4)i + e−tk
regla de cadena
si r es una función vectorial diferenciables y s = u(t) es una función escalar diferenciable, entonces de r(s) con
respecto a t es
dr/dt = dr/ds ds/dt = r'(s) u' (t)
Ejemplo:
Si r(s) = cos 2si + sen 2sj + e−3sk, en donde s = t4 , entonces
dr/dt = [ −2 sen 2si + 2 cos 2sj − 3e−3sk]4t3
integrales de funciones vectoriales
si f, g y h son integrables, entonces las integrales indefinida y definida de una función vectorial r(t) = f(t)i +
g(t)j + h(t)k se definen respectivamente por:
" r(t) dt = [ "f(t) dt] i +[ "g(t) dt] + [ "h(t) dt]k
Ejemplo:
Si
R(t) = 6t2 i + 4e−2tj +8 cos 4tk
Entonces
" r(t) dt = [6t2 dt]i + [ " 4e−2t dt]j + [ "8 cos 4t dt]k
=[2t3 + c1]i + [−2e−2t +c2]j + [ "2 sen 4t + c3]k
4
=2t3i−2e−2tj + 2sen 4tk +C
Ejercicios:
3.−r(t)=ti+ 2tj + cos tk, t "0
z
y
x
15.− r(t) = < t cos t − sen t, t + cos t
=e2t (2t + 1)i + ½ e−2tj + 1/2et2k +C
Movimiento sobre una curva
Velocidad y aceleración
Supóngase que un cuerpo o una partícula móvil describe una trayectoria C, y que su posición en ella esta
dada por la función vectorial
R(t) = f(t)i + g(t)j +h(t)k
En donde t representa el tiempo. Si f, g y h tienen segundas derivadas, entonces los vectores
V(t) = r'(t)= f'(t) + g'(t)j + h'(t)k
a(t) =r''(t) =f''(t)i + g''(t)j + h''(t)k
se llaman velocidad y aceleración de la partícula, respectivamente. La
función escalar øv(t)ø= ødr/dtø ="(dx/dt)2+ (dy/dt)2+dz/dt)2
la longitud esta relacionada con la longitud de arco s mediante s'(t) =øv(t)ø
s = " øv(t)ø dt
Ejemplo1:
La posición de una partícula
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