Funciones reales

Primer trabajo de
Calculo Avanzado.
Algunas funciones reales
Introducción.
Una relación entre dos conjuntos X e Y es un conjunto de pares ordenados, cada uno de la forma (x,y) donde
x es un elemento de X e y, uno de Y.
Es posible que la idea central en matemáticas sea el concepto de función. Al parecer, la palabra función fue
introducida por René Descartes en 1637. Para él una función significaba tan sólo cualquier potencia entera
positiva de una variable x. Gottfried Wilhelm von Leibniz, quien siempre enfatizó el lado geométrico de las
matemáticas, utilizó la palabra función para denotar cualquier cantidad asociada con una curva, tal como las
coordenadas de un punto sobre la curva. Leonhard Euler, identificaba cualquier ecuación o fórmula que
contuviera variables y constantes con la palabra función; esta idea es similar a la utilizada ahora con
frecuencia en los cursos que preceden al de cálculo. Posteriormente, el uso de funciones en el estudio de las
ecuaciones sobre el flujo de calor condujo a una definición muy amplia, debida a Lejeune Dirichlet, la cual
describe a una función como una regla de correspondencia entre dos conjuntos.
Definición de función:
Sean X e Y dos conjuntos de números reales. Una función real f de una variable real x de X e Y es una
correspondencia que asigna a cada número x de X exactamente un número y de Y.
El conjunto X se llama dominio de f. El número y se denomina la imagen de x por f y se denota f(x). El
recorrido de f se define como el subconjunto de Y formado por todas las imágenes de los números de X.
La gráfica de una función está formada por todos los puntos (x,f(x)), donde x pertenece al dominio de f.
x = distancia dirigida desde el eje y.
f(x)= distancia dirigida desde el eje x.
Una recta vertical puede cortar la gráfica de una función de x a lo sumo una vez en caso contrario la gráfica no
pertenecería a la de una función.
Funciones pares.
Una función es par si para todo número x perteneciente a su dominio, el numero −x también está en el
dominio y además:
f(x)= f(−x)
Además si analizamos gráficamente una función es par si, y solo si, su grafica es simétrica con respecto al eje
y.
Ejemplo: f(x) = x2−5
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Reemplazamos x por −x en f(x) = x2−5. Entonces:
f(−x) = (−x)2 − 5 = x2 − 5 = f(x). por lo tanto la función es par.
Como se puede apreciar en el gráfico, la función es simétrica con respecto al eje y. Por lo tanto es par
Además son funciones pares todos aquellos polinomios de la forma xp en donde p es un número par.
Otros ejemplos son:
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Estos son algunos pocos ejemplos de funciones pares.
Para nuestro estudio, mayormente para series e integrales de fourier, las funciones pares tienen propiedades
que son muy útiles, por ejemplo para integrar una función par en un intervalo [ a, −a ] procederíamos de la
siguiente manera:
aa
" f(x) dx = 2 " f(x) dx . con f(x) función par
−a 0
Esta manera de proceder nos ahorrará mucho tiempo y además facilitará el cálculo de algunas integrales que
podrían resultadas complicadas de resolver.
Funciones impares
Una función es impar si para todo número x perteneciente a su dominio, el número −x también está en el
dominio y además
f(−x) = −f(x)
Si analizamos gráficamente decimos que una función es impar si, y solo si, su gráfica es simétrica respecto al
origen.
Ejemplo : f(x) = x3 − x
La función es impar, ya que
f(−x)= (−x)3 − (−x) = −x3 + x = −(x3 − x) = −f(x)
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Como se aprecia en la gráfica , la función es simétrica respecto al origen por lo tanto la función es impar
Son funciones impares también aquellos polinomios de la forma xk en donde k es número impar.
Otros ejemplos:
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Al igual que las funciones pares, las funciones impares poseen propiedades que son fundamentales para el
calculo de series e integrales de fourier.
En este caso para integrar una función impar en el intervalo [ −a , a ] procedemos de la siguiente manera
a
" g(x) dx = 0 con g(x) función impar
−a
Ahora que hemos visto funciones pares e impares podemos analizar los siguiente:
Sean f(x) y u(x) funciones pares cualesquiera y g(x) y h(x) funciones impares cualesquiera; entonces:
f(x) * u(x)= función par
g(x) * h(x)= función par
f(x) * g(x)= función impar
h(x) * u(x)= función impar.
Extensión par e impar de una función
Algunas funciones pueden ser pares o impares, sin embargo hay muchas funciones que son ni pares ni
impares, para estos casos se puede ocupar la extensión par de una función o la función impar de una función
Ejemplo:
__
Graficar f(x) = "x , fp(x) , fi(x)
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En donde f(x) es la función a extender, fp(x) es la extensión par de f(x),
y fi(x) es la extensión impar de la función.
Funciones Periódicas
Definición:
Una función f es llamada periódica si, y solo si, existe un número no nulo p tal que siempre y cuando x este en
el dominio de f , también lo esté x + p, y
f(x+p) = f(x)
El menor de tales valores positivos de p ( si existe ) se llama el período de f. Cada una de las funciones seno,
coseno, secante y cosecante tienen periodo 2 y las otras dos funciones trigonométricas ( tangente y
cotangente ) tienen período
Ya que las funciones seno, coseno, secante, cosecante tienen período 2, una vez que conocemos sus valores
para 0 " x < 2, tenemos todos sus valores; de manera análoga, ya que las funciones tangente y cotangente
tienen período , una vez que conocemos sus valores para 0 " x < , tenemos todos sus valores.
Ejemplo:
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Encontrar el valor exacto de
sen 17
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Como el período de la función seno es 2, cada vuelta completa puede ser ignorada. Esto deja el ángulo /4.
Por tanto,
__
sen 17 = sen ( /4 + 4) = sen /4 = " 2
•2
Las funciones periódicas tienen ciertas propiedades , las cuales nombraré a continuación
sen ( x + 2k ) = sen x ; cos ( x + 2k ) = cos x
sec ( x + 2k ) = sec x ; cosec ( x + 2k ) = cosec x
tan ( x + k ) = tan x ; cot ( x + k ) = cot x
donde k es cualquier número entero.
He insertado aquí la gráfica de f(x) = cos x y se puede apreciar que el período es 2
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En la gráfica de f(x) = cosec x , también se aprecia que la función es periódica de período 2. Además
podemos asegurar que la función es impar.
Extender periódicamente una función es tomar el pedazo de la gráfica que se quiere extender e ir repitiéndolo
de acuerdo al período de dicho trozo de la gráfica
Funciones seccionalmente continuas
Primero definiremos continuidad
Definición:
Decimos que una función es continua en c si se satisfacen las tres condiciones siguientes:
• f(c) está definida
• lim f(x) existe
x−c
• lim f(x) = f(c).
x−c
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A veces una función se define mediante una regla que consta de dos o mas ecuaciones. La elección de la
ecuación a utilizar depende del valor de la variable independiente x. Por ejemplo la función valor absoluto f(x)
= −x si x<0. Por conveniencia, combinamos estas ecuaciones en una expresión, como
f(x) = | x | = {
Cuando las funciones están definidas por más de una ecuación decimos que están definidas por partes.
Generalmente las funciones se definen por partes para analizar el comportamiento de la función en aquellos
intervalos en que la función está definida. Por ejemplo una función de define en cuatro intervalos, ocupando
para esto cuatro ecuaciones distintas en distintos intervalos. Pero igualmente la función puede tener como
dominio todos los reales, sin que necesariamente algunas de esas ecuaciones se indeterminen en el dominio de
la función, pero necesariamente esas ecuaciones deben ser continuas en sus respectivos intervalos.
Tal como lo dice su nombre las funciones seccionalmente continuas son aquellas que son continuas por
tramos, es decir existen intervalos en los cuales la función no presenta saltos ni indeterminaciones y se
comporta como una función continua en ese intervalo.
El ejemplo mas común de función continua por tramos es la función parte entera f(x)= [ x ]
Para la integración de funciones continuas por tramos se integran las respectivas ecuaciones en sus respectivos
intervalos donde estas están definidas.
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