FEBRERO, 2011 Introducción.

FEBRERO, 2011
Introducción.
El presente trabajo está realizado con la finalidad de adquirir conocimientos sólidos
sobre las funciones, y los tipos de funciones existentes, tales como, la función inyectiva,
biyectiva, entre otros, así como también, la clasificación de las funciones, la cual está
dividida en algebraica y transcendentes.
FUNCION.
Existen diferentes tipos de expresiones algebraicas, sin embargo algunas de las
expresiones que más nos interesan dentro del cálculo son las funciones.
Una función es una regla de asociación que relaciona dos o más conjuntos entre sí;
generalmente cuando tenemos la asociación dos conjuntos la función se define como una
regla de asociación entre un conjunto llamado dominio con uno llamado codominio,
también dominio e imagen respectivamente o dominio y rango. Esta regla de asociación no
permite relacionar un mismo elemento del dominio con dos elementos del codominio.
Definición de función que se ampara bajo una regla de asociación de elementos del
dominio con elementos del condominio, imponiendo la restricción de relacionar un
elemento del dominio con uno del codominio, sin importar si los elementos del codominio
puedan estar relacionados con dos o más del codominio.
RELACION.
Una relación
, de los conjuntos
es un subconjunto del producto
cartesiano.
Una Relación binaria es una relación entre dos conjuntos.
El concepto de relación implica la idea de enumeración, de algunos de los
elementos, de los conjuntos que forman tuplas.
Un caso particular es cuando todos los conjuntos de la relación son iguales:
en este caso se representa
como
,
pudiéndose decir que la relación pertenece a A a la n.
DOMINIO DE UNA FUNCIÓN.
En matemáticas, el dominio (conjunto de definición o conjunto de partida) de una
función
es el conjunto de existencia de ella misma, es decir, los valores para
los cuales la función está definida. Es el conjunto de todos los objetos que puede
transformar, se denota
o bien
RANGO DE UNA FUNCION.
Se denomina rango o recorrido de una función al conjunto de los valores reales que
toma la variable y o f(x).
Dominio
Rango
PAR ORDENADO DE UNA FUNCION.
Un par ordenado es una tupla de dos elementos, tal que uno puede ser distinguido
como el primero y el otro como el segundo. Un par ordenado con primer elemento a y
segundo b es escrito usualmente como (a, b).
Dos pares ordenados cumplen: (a, b) = (c, d) si y sólo si a = c y b = d
El conjunto de todos los pares ordenados en los cuales el primer elemento se toma
de un conjunto X determinado y el segundo de un conjunto Y se llama producto cartesiano
de X e Y, escrito.
Dados dos objetos matemáticos a, b, se llama par ordenado al objeto (a,b). Es decir,
al conjunto formado por a,b, con el orden indicado y encerrado en un paréntesis.
Por ejemplo, si a es 2 y b es 7, (2,7) es un par ordenado.
Por ejemplo, si a es la función sen(x) y b es la función e^x, (sen(x), e^x) es un par
ordenado.
Por ejemplo, si a es el apellido Pérez y b es el apellido Beltrán, (Pérez, Beltrán) es
un par ordenado.
El conjunto de todos los pares ordenados que se pueden formar tomando para
primer elemento del par un elemento de A y para segundo elemento del par un elemento de
B se llama producto cartesiano de A, B y se escribe AxB.
GRAFICA DE UNA FUNCION.
En matemáticas, la gráfica de una función f:X → Y es la visualización de la
correspondencia entre los elementos del conjunto dominio y los del conjunto imagen
mediante su representación iconográfica. También puede definirse como el conjunto
formado por todos los pares ordenados (x, f(x)) de la función f; es decir, como un
subconjunto del producto cartesiano X×Y.
Las únicas funciones que se pueden visualizar de forma completa son las de una
sola variable, representables como un sistema de coordenadas cartesianas, donde cada
abscisa representa un valor de la variable del dominio y cada ordenada representa el valor
correspondiente del conjunto imagen. Si la función es continua, entonces la gráfica formará
una curva.
En el caso de funciones de dos variables es posible visualizarlas de forma únivoca
mediante una proyección geométrica, pero a partir de tres variables tan solo es posible
visualizar cortes de la función para los que los valores de todas las variables excepto dos
permanezcan constantes.
El concepto de gráfica de una función se generaliza a la gráfica de una relación.
Notar que si bien cada función tiene una única representación gráfica, pueden existir varias
funciones que tengan la misma pero con dominios y codominios diferentes.
Ejemplo.
La gráfica del polinomio cúbico en la recta real
Es {(x,x3-9x) : donde x es un número real}. Si el conjunto se representa en un plano
cartesiano, el resultado es como el de la imagen.
TIPOS DE FUNCIÓN.
Dados dos conjuntos X, Y, consideremos a todas las posibles aplicaciones
(funciones) que pueden formarse entre estos dos conjuntos. Podemos diferenciar los
siguientes casos:
•
Si a cada imagen le corresponde una única preimagen, inyectiva.
•
Si la imagen de la función es igual al codominio, sobreyectiva o suprayectiva.
•
Una función que sea inyectiva y sobreyectiva simultáneamente, se denomina
biyectiva .
Puede haber funciones que sean biyectivas, inyectivas pero no suprayectivas,
supreyectiva pero no inyectiva o que no se cumple ninguna de esas condiciones, en cuyo
caso no tiene un nombre específico.
Definiciones alternas: sea
dada y sea b un elemento cualquiera del
codominio Y. Consideremos la ecuación
.
•
la función es suprayectiva o sobreyectiva si, y sólo si, la ecuación (*) siempre tiene
al menos una solución.
•
la función es inyectiva si, y sólo si, la ecuación (*) tiene a lo más una solución.
•
la función es biyectiva cuando, y sólo cuando, es inyectiva y suprayectiva a la vez.
Aplicación inyectiva y no sobreyectiva
En una función inyectiva, cada elemento imagen tiene única preimágen. Una
función que no sea inyectiva, tendrá al menos dos elementos diferentes del dominio que
tienen la misma imagen.
En una función suprayectiva (sobreyectiva) cada elemento del codominio es imagen
de algún elemento del dominio. Una función no será suprayectiva, cuando al menos un
elemento del codominio (conjunto final) no tenga una preimagen.
En el diagrama de Venn corresponden a las aplicaciones que pertenecen a A y no
pertenecen a B, esto es las que pertenecen a la diferencia de A y B: A-B.
En estas aplicaciones la cardinalidad de X es siempre menor que la de Y, esto es el
conjunto Y tendrá mayor número de elementos que X cuando tratamos de compararlos.
Ejemplo.
Partiendo del conjunto de pinceles con pintura de colores:
,
,
Sobre el conjunto de caras pintadas:
,
,
,
Asociando cada pincel con la cara correspondiente:
Dado que cada pincel tiene una cara y solo una cara de su color esta
correspondencia es una aplicación, como las caras que tiene pincel de su color, tienen un
solo pincel de su color, la aplicación es inyectiva, y como la cara pintada de amarillo, no
tiene ningún pincel de este color, la aplicación no es sobreyectiva.
Aplicación no inyectiva y sobreyectiva
Una aplicación no inyectiva tiene al menos un elemento imagen que tiene dos o más
orígenes y una sobreyectiva todos los elementos del conjunto final tienen al menos un
elemento origen.
En el diagrama de Venn corresponden a las aplicaciones que no pertenecen a A y si
pertenecen a B, esto es las que pertenecen a la diferencia de B y A: B-A.
Para esta aplicación el conjunto X ha de tener mayor número de elementos que Y, la
cardinalidad de X ha de ser mayor que la de Y.
Ejemplo.
Igual que en el ejemplo anterior partiremos del conjunto de pinceles con pintura de
colores:
,
,
,
En este caso hay dos pinceles con pintura azul, pero a pasar de tener el mismo color
de pintura son dos pinceles distintos.
Como conjunto final tenemos el conjunto de caras pintadas:
,
,
Asociando cada pincel con la cara del mismo color, vemos que cada pincel tiene una
cara pintada de su color y solo una, esto hace que la correspondencia sea una aplicación, la
cara azul tiene dos pinceles de su mismo color, por lo que no es inyectiva, todas las caras
tiene un pincel con su color, luego la aplicación es sobreyectiva.
Aplicación inyectiva y sobreyectiva (biyectiva).
Si una aplicación es inyectiva y sobreyectiva simultáneamente, se denomina
biyectiva. Por ser inyectiva los elementos que tienen origen tienen un único origen y por ser
sobreyectiva todos los elementos del conjunto final tienen origen.
En el diagrama de Venn el conjunto A es el de las aplicaciones inyectiva y el
conjunto B el de las aplicaciones sobreyectiva, las aplicaciones biyectiva, que son inyectiva
y sobreyectiva, será la intersección de A y B.
Estas dos circunstancias dan lugar a que el conjunto X e Y tengan el mismo número
de elementos, la cardinalidad de X es la misma que la de Y, esto tiene una gran importancia
cuando se pretende comparar dos conjuntos:
Si dados dos conjuntos podemos encontrar una aplicación biyectiva entre ellos,
podemos afirmar, que los dos conjuntos tienen el mismo número de elementos. La
cardinalidad de X es igual a la de Y.
Ejemplo.
Tomando el conjunto de pinceles como conjunto inicial:
,
y el de caras como conjunto final:
,
,
,
,
,
La correspondencia que asocia cada pincel con la cara de su mismo color es una
aplicación porque todos los pinceles tienen una cara con su color y solo una cara de ese
color, la aplicación es inyectiva porque un pincel corresponde con una sola cara, y es
sobreyectiva porque todas las caras tiene un pincel de su color, al ser inyectiva y
sobreyectiva simultáneamente esta aplicación es biyectiva.
Una aplicación biyectiva hace corresponder los elementos del conjunto inicial con
los del conjunto final uno a uno, pudiéndose decir que hay el mismo número de elementos
en el conjunto inicial que en el final.
Aplicación no inyectiva y no sobreyectiva.
Una aplicación no inyectiva tendrá al menos un elemento imagen que tenga dos o
más orígenes y una no sobreyectiva tendrá al menos un elemento del conjunto final que no
tenga elemento origen. Este tipo de aplicaciones no tiene un nombre específico y quizá sean
las que presenten, desde el punto de vista matemático, un menor interés.
Para esta aplicación los conjuntos X e Y no son comparables, y no podemos
plantear ningún supuesto sobre su cardinalidad, partiendo de su comparación, ni sobre su
número de elementos.
En el diagrama de Venn corresponden a las aplicaciones que no pertenecen a A y no
pertenecen a B, esto es las que no pertenecen a la unión de A y B.
Ejemplo.
Si tomamos como conjunto inicial el de pinceles de colores:
,
,
,
y como conjunto final el de caras coloreadas:
,
,
,
Vemos que todos los pinceles tienen una cara y solo una cara de su mismo color,
luego esta correspondencia es una aplicación matemática.
Como la cara azul tiene dos pinceles de su color la aplicación no es inyectiva, y
como la cara amarilla no tiene ningún pincel de ese color no es sobreyectiva, luego esta
aplicación es no inyectiva y no sobreyectiva.
También, se pueden clasificar las funciones de la siguiente manera:
1. Funciones algebraica.
En las funciones algebraicas las operaciones que hay que efectuar con la variable
independiente son: la adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación y
radicación.
Las funciones algebraicas pueden ser:
Funciones explícitas
Si se pueden obtener las imágenes de x por simple sustitución.
f(x) = 5x – 2
Funciones implícitas
Si no se pueden obtener las imágenes de x por simple sustitución, sino que es
preciso efectuar operaciones.
5x − y − 2 = 0
1.1 Funciones polinómicas
Son las funciones que vienen definidas por un polinomio.
f(x) = a0 + a1x + a2x² + a2x³ +··· + anxn
Su dominio es , es decir, cualquier número real tiene imagen.
• Función constante
El criterio viene dado por un número real.
f(x)= k
La gráfica es una recta horizontal paralela a al eje de abscisas.
• Funciones polinómicas de primer grado
Su gráfica es una recta oblicua, que queda definida por dos puntos de la función.
f(x) = mx +n
• Función a fin
La función afín es del tipo:
y = mx + n
m es la pendiente de la recta. La pendiente es la inclinación de la recta con respecto
al eje de abscisas. Dos rectas paralelas tienen la misma pendiente.
•
Función lineal
La función lineal es del tipo:
y = mx
Su gráfica es una línea recta que pasa por el origen de coordenadas.
y = 2x
x
0 1 2 3 4
y = 2x
0 2 4 6 8
• Función identidad
f(x) = x
Su gráfica es la bisectriz del primer y tercer cuadrante.
•
•
Función cuadrática
Son funciones polinómicas es de segundo grado, siendo su gráfica una parábola.
f(x) = ax² + bx +c
Funciones definidas a trozos
Son funciones definidas por distintos criterios, según los intervalos que se
consideren.
•
El dominio lo forman todos los números reales menos el 4.
Funciones racionales
El criterio viene dado por un cociente entre polinomios:
El dominio lo forman todos los números reales excepto los valores de x que anulan
el denominador.
Dentro de este tipo tenemos las funciones de proporcionalidad inversa de ecuación:
Sus gráficas son hipérbolas. También son hipérbolas las gráficas de las funciones.
•
Funciones radicales
El criterio viene dado por la variable x bajo el signo radical.
El dominio de una función irracional de índice impar es R.
El dominio de una función irracional de índice par está formado por todos los
valores que hacen que el radicando sea mayor o igual que cero.
1.2 Funciones transcendentes
La variable independiente figura como exponente, o como índice de la raíz, o se
halla afectada del signo logaritmo o de cualquiera de los signos que emplea la
trigonometría.
•
Función exponencial
La función exponencial es del tipo:
Sea a un número real positivo. La función que a cada número real x le hace
corresponder la potencia ax se llama función exponencial de base a y exponente x.
x
•
y = 2x
-3
1/8
-2
1/4
-1
1/2
0
1
1
2
2
4
3
8
Funciones logarítmicas
La función logarítmica en base a es la función inversa de la exponencial en base a.
x
1/8
-3
1/4
-2
1/2
-1
1
0
2
1
4
2
8
•
3
Funciones trigonométricas
a)
Función seno
f(x) = sen x
Dominio:
Recorrido: [−1, 1]
Período:
Continuidad: Continua en
Impar: sen(−x) = −sen x
b) Función coseno.
f(x) = cos x
Dominio:
Recorrido: [−1, 1]
Período:
Continuidad: Continua en
Par: cos(−x) = cos x
c)
Función tangente
f(x) = tg x
Dominio:
Recorrido:
Continuidad: Continua en
Período:
Impar: tg(−x) = −tg x
d)
Función cotangente
f(x) = cotg x
Dominio:
Recorrido:
Continuidad: Continua en
Período:
Impar: cotg(−x) = −cotg x
e) Función secante
f(x) = sec x
Dominio:
Recorrido: (− ∞, −1]
[1, ∞)
Período:
Continuidad: Continua en
Par: sec(−x) = sec x
f) Función cosecante
f(x) = cosec x
Dominio:
Recorrido: (− ∞, −1]
[1, ∞)
Período:
Continuidad: Continua en
Impar: cosec(−x) = −cosec x
Conclusión
Teniendo como consigna la investigación de las funciones matemáticas, se comenzó
a interiorizar en el tema buscando la definición de la palabra función. Luego, se profundizo
el tema investigando sobre ciertas funciones matemáticas específicas, tales como la función
trigonométrica, cuadrática, logarítmica, exponencial, afín y polinómica, entre otros. Para
cada una de las funciones se lograron comprender los modelos de ecuaciones matemáticas,
que nos permiten resolver cualquier situación que se nos presente en la vida diaria.
Se Obtuvo un resultado muy positivo al finalizar el trabajo, debido a que incorporo gran
cantidad de nuevos conocimientos y también descubrimos una nueva manera de enfrentar
problemáticas en campos donde creíamos que la matemática sería inútil.
Se puede afirmar que las funciones matemáticas han facilitado la labor en muchas
ciencias y son sumamente necesarias para obtener resultados precisos para cada situación.