Funciones hiperbólicas

FUNCIONES HIPERBOLICAS
Definiciones e Identidades
Las combinaciones
Cosh u = ½ ( e ^u + e ^−u) ( coseno hiperbólico de u)
Senh u = ½ ( e ^u − e ^−u) ( seno hiperbólico de u)
se presentan con tanta frecuencia en las aplicaciones que ha creído conveniente darles un nombre especial. De
momento puede que no este clara la ecuación de los nombres introducidos, que resultaran obvios mas
adelante.
Estas funciones se relacionan entre sí mediante reglas muy parecidas a las reglas que relacionan a las
funciones cos u y sen u. Así como cos u y sen u pueden identificarse con el punto ( x, y) en el circulo unitario
x² + y² = 1, así también las funciones cosh u y senh u pueden identificarse con las coordenadas de un punto (
x, y) sobre la hipérbola unitaria x² − y² =1.
A propósito suele pronunciarse cosh u como cosh u y senh u como senh u.
Para comprobar que el punto de coordenadas x = cosh u e y = senh u esta sobre la hipérbola unitaria,
sustituimos las relaciones que las definen en la ecuación de la hipérbola:
x² − y² =1
cosh² u − senh² u = 1
¼ ( e ^ 2u + 2 + e ^ −2u) − ¼ (e ^ 2u − 2 + e ^ −2u) = 1
¼ ( e ^ 2u + 2 + e ^ −2u − e ^ −2u + 2 − e ^ −2u) = 1
¼ ( 4) = 1
En realidad, si hacemos
x = cosh u = ½ ( e ^ u + e ^ −u).
y = senh u = ½ ( e ^ u − e ^ −u).
entonces, cuando u varia de − oo a + oo, el punto P ( x, y) describe la rama derecha de la hipérbola x² − y² = 1.
El primer elemento de la trigonometría hiperbólica que acabamos de establecer es la identidad básica
cosh² u − senh ² u = 1.
Esta expresión es análoga, pero no igual, a la identidad trigonometrica ordinaria cos² u + sen² u = 1.
Las funciones hiperbólicas restantes se definen en términos de senh u y cosh u como sigue:
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Tangente
Cotangente
Secante
Cosecante
Dividiendo la identidad por cosh² u, resulta
1 − tanh² u = sech² u
Si dividimos por senh² u, obtenemos
coth² u − 1 = csch² u
Se deduce que
cosh u + senh u = e ^ u
cosh u − senh u = e ^ −u
Es, pues, evidente que cualquier combinación de las exponenciales e ^ u y e ^ −u puede sustituirse por una
combinación de senh u y cosh u, y viceversa.
Como e ^ −u es positivo, se muestra que cosh u siempre es mayor que senh u. Pero para valores grandes de u,
e ^ −u es pequeño y cosh u = senh u.
En x = 0, cosh x = 1 y senh x = 0, de modo que todas las funciones hiperbólicas tienen en x = 0 los mismos
valores que las funciones trigonometricas correspondientes. El coseno hiperbólico es una funcion par, esto es,
cosh ( −x) = cosh x,
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y el seno hiperbólico es una función impar, es decir,
senh (−x) = − senh x ;
de manera que la primera curva es simétrica respecto al eje x y la segunda lo es respecto al origen. Las
funciones hiperbólicas se comportan también en esto como las funciones trigonométricas ordinarias ( o
circulares).
GRAFICAS DE LAS FUNCIONES HIPERBOLICAS
SENO HIPERBÓLICO:
COSENO HIPERBÓLICO
TANGENTE HIPERBÓLICA
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COTANGENTE HIPERBÓLICA
SECANTE HIPERBÓLICA
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COSECANTE HIPERBÓLICA
DOMINIOS Y RANGOS
SENO HIPERBÓLICO
DOMINIO : Reales
RANGO : Reales
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COSENO HIPERBÓLICO
DOMINIO : Reales
RANGO : ( 1, oo)
TANGENTE HIPERBÓLICA
DOMINIO : Reales
RANGO : ( −1, 1)
COTANGENTE HIPERBÓLICA
DOMINIO : ( −oo, 0) ( 0, oo)
RANGO : ( −oo, −1 ) ( 1, oo)
SECANTE HIPERBÓLICA
DOMINIO : Reales
RANGO : ( 0, 1)
COSECANTE HIPERBÓLICA
DOMINIO : ( −oo, 0) ( 0, oo)
RANGO : ( −oo, 0) ( 0, oo)
IDENTIDADES
Mediante las definiciones y algo de álgebra se obtienen las identidades
senh ( x + y) = senh x cosh y + cosh x senh y
cosh ( x + y) = cosh x cosh y + senh x senh y
Las cuales, haciendo y = x,
Senh 2x = 2 senh x cosh x
Cosh 2x = cosh² x + senh² x
La segunda de estas expresiones permite obtener formulas del ángulo medio sin mas que combinar la
identidad
1 = cosh² x − senh² x.
Sumando resulta
cosh 2x + 1 = 2 cosh² x
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mientras que si restamos se tiene
cosh 2x − 1 = 2 senh² x
Sustituyendo x = u / 2 y extrayendo raíces cuadradas, obtenemos las formulas
Cosh u /2 =* cosh u + 1 / 2
Senh u /2 = ± *cosh u −1 /2
La formula no tiene ( ±) en el segundo miembro porque el coseno hiperbólico es siempre positivo. El signo de
senh ( u /2) es ( +) cuando u > 0, y ( −) cuando u < 0. Como el cosh u nuca es menor que 1, las formulas valen
para todos los valores de u.
FUNCIONES HIPERBOLICAS INVERSAS
Usamos las inversas de las seis funciones funciones hiperbólicas en la integración. Dado que d ( senh x) / dx =
cosh x > 0, el seno hiperbólico es una función creciente de x. La notación de su inversa es
y = senh ^ −1 x
Para cada valor de x en el intervalo − oo < x < oo, el valor de y = senh ^ −1 x es el número cuyo seno
hiperbólico es x.
La función y = cosh x no es inyectiva, en cambio, la función restringida y = cosh x, x > 0, si lo es y, por tanto,
tiene una inversa cuya notación es
y = cosh ^ x
para cada valor de x > 1, y = cosh ^ −1 x es el número, dentro del intervalo 0 < y < oo, cuyo coseno
hiperbólico es x.
Igual que y = cosh, la función y = sech x = 1 / cosh x no es inyectiva, paro tiene inversa si se restringe a
valores no negativos de x, y su notación es
y = sech ^ −1 x.
Para cada valor de x en el intervalo ( 0,1 ), y = sech ^ −1 x es el número no negativo cuya secante hiperbólica
es x. La tangente, la cotangente y la cosecante hiperbólicas son inyectivas en sus dominios y por lo tanto,
tienen inversas cuya notación es
y = tan^ −1 x, y = ctgh^ −1 x, y = csch ^ −1 x.
GRAFICAS DE LAS FUNCIONES HIPERBÓLICAS INVERSAS
SENO HIPERBÓLICO INVERSO
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COSENO HIPERBÓLICO INVERSO
TANGENTE HIPERBÓLICA INVERSA
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SECANTE HIPERBÓLICA INVERSA
COSECANTE HIPERBÓLICA INVERSA
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COTANGENTE HIPERBÓLICA INVERSA
DOMINIOS Y RANGOS
SENO HIPERBÓLICO INVERSO
DOMINIO : Reales
RANGO : Reales
COSENO HIPERBÓLICO INVERSO
DOMINIO : ( 1, oo)
RANGO : Reales
TANGENTE HIPERBÓLICA INVERSA
DOMINIO : ( −1, 1)
RANGO : Reales
COTANGENTE HIPERBÓLICA INVERSA
DOMINIO : ( −oo, −1) ( 1, oo)
RANGO : ( −oo, 0) ( 0, oo)
SECANTE HIPERBÓLICA INVERSA
DOMINIO : ( O, 1)
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RANGO : Reales
COSECANTE HIPERBÓLICA INVERSA
DOMINIO : ( −oo, 0) ( 0, oo)
RANGO : ( −oo, 0) ( 0, oo)
CATENARIAS
La curva catenaria:
Vamos a estudiar el problema de un cable colgante sujeto por sus dos extremos como los que emplean las
compañías eléctricas para llevar la corriente de alta tensión entre las centrales eléctricas y los centros de
consumo. La catenaria como la cicloide son dos curvas importantes en la Física y en las Matemáticas.
La curva que describe un cable que está fijo por sus dos extremos y no está sometido a otras fuerzas distintas
que su propio peso es una catenaria. La catenaria se confundió al principio con la parábola, hasta que el
problema lo resolvieron los hermanos Bernoulli simultáneamente con Leibniz y Huygens.
Formulación discreta:
Sea una cadena de esferas metálicas como las que se utilizan para sujetar los tapones de los fregaderos.
Supondremos que hay N esferas igualmente repartidas sobre un hilo de longitud L y de masa despreciable.
Cada esfera estará, por tanto, sometida a tres fuerzas: su propio peso, la fuerza que ejerce el hilo a su izquierda
y a su derecha.
La condición de equilibrio para la bolita i de masa m se expresa
Todas las componentes horizontales de la tensión del hilo son iguales, y la denominaremos Tx.
Tx=Tcosð0= Tcosði= Tcosði+1 =TcosðN+1
Formulación continua:
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Consideremos un cable de longitud L sujeto por sus dos extremos que están situados a la misma altura y que
distan a uno del otro. Sea la densidad del cable (masa por unidad de longitud).
Integrando de nuevo, con la condición de que para x=a/2, y=−h.
Como la catenaria es simétrica para x=a, y=0, por lo que la flecha h vale.
La ecuación de la catenaria es, finalmente
La longitud de la catenaria es
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Máquina de Cadenas Colgantes,
Catenaria y Parábola.
1) Breve descripción del Modelo:
Se trata de tablas verticales sobre las que se hacen pender cadenas de densidad de masa proporcional a la
longitud de arco (cadena común) y otras de densidad de masa proporcional a la coordenada horizontal (cadena
que se ensancha y adelgaza). Toda cadena común colgante entre puntos cualesquiera de la tabla, describe una
curva catenaria. La cadena colgante de densidad de masa constante horizontal describe una parábola.
2)Conceptos Matemáticos en juego:
Catenaria longitud de arco parábola densidad lineal de masa
3)Guía de Uso Específica del Modelo:
Qué y Cómo hay que mover o realizar. En las parábolas sólo se observa. En las catenarias se prueban las
coincidencias con las funciones trazadas. Qué hay que observar. Las funciones trazadas y sus coincidencias.
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Qué precauciones se deben tener. No tirar de las cadenas de las funciones parábolas.
4)Breves referencias teórico−técnicas:
En el caso de la catenaria por longitud de arco de cadena hay la misma cantidad de masa, pues la cadena es
uniforme. Cada tramo horizontal en la parábola tiene la misma masa. Por lo que la cadena debe ensancharse o
angostarse, ya que hay más o menos longitud de arco (de cadena) por tramo horizontal.
CATENARIAS PASANTES POR 0,0 Y 4,4
PARÁBOLAS PASANTES POR 0,0 Y 4,4
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