FUNCIONES CUADRÁTICAS TEORIA: LAS FUNCIONES CUADRÁTICAS TIENEN LA FORMA: AX2+BX+C EJEMPLO: 3X2+5X+6 (X+3)2 ESTA FUNCION HABRIA QUE ORDENARLA, SIGUIENDO UNA DE LAS FORMULAS: (a+b)2= a2+2ab+b2 (a−b)2= a2−2ab+b2 (a+b)·(a−b)= a2−b2 EN ESTE CASO SERÁ CON LA 1ª FORMULA. (X+3)2= X2+2X·3+32= X2+6X+9. LAS GRÁFICAS DE LAS FUNCIONES CUADRÁTICAS SIEMPRE SERÁ UNA PARÁBOLA. VÉRTICE MÁXIMO VÉRTICE MÍNIMO LAS PARÁBOLAS SON SIMÉTRICAS RESPETO AL EJE VERTICAL QUE PASA POR SU VÉRTICE. PROPIEDADES DEL CUOFICIENTE A: SI LA A>0: LA PARÁBOLA TENDRÁ UN VÉRTICE MÍNIMO, ES DECIR, PASARÁ DE SER DECRECIENTE A SER CRECIENTE. SI LA A<0: LA PARÁBOLA TENDRÁ UN VÉRTICE MÁXIMO, ES DECIR, PASARÁ DE SER CRECIENTE A SER DECRECIENTE. CUANTO MAS GRANDE SEA LA A, MAS ESTRECHA SERÁ LA PARÁBOLA. PROPIEDADES DEL CUOFICIENTE C: EL PUNTO EN EL CUAL LA PARÁBOLA CORTARÁ EL EJE DE LAS Y(X,Y), SERÁ EL PUNTO (0,C). DETERMINACIÓN DEL VÉRTICE: PARA SABER LA X DEL VÉRTICE, LA FORMULA QUE DEBEMOS UTILIZAR ES: XV= _ B . 2A 1 PARA SABER LA Y DEL VÉRTICE, HAY QUE SUBSTITUIR LA XV POR LA X DE LA FUNCIÓN. LA Y QUE NOS SALGA SERÁ LA Y DEL VÉRTICE. PARA GRAFICAR UNA PARÁBOLA, LO PRIMERO QUE HAY QE HACER, ES CALCULAR DONDE ESTARÁ EL VÉRTICE. DESPUÉS, CALCULAMOS LAS INTERSECCIONES CON LOS EJES. Y SI TODAVÍA NO SABEMOS COMO SERA LA PARÁBOLA, CALCULAREMOS PUNTOS CRECANOS AL VÉRTICE. INTERSECCIÓN CON LOS EJES: INTERSECCIÓN CON EL EJE DE LAS Y: X=0 SERÁ EL PUNTO (0,C) EJEMPLO: EN LA FUNCIÓN: Y=X2, INTERSECCINARÁ CON EL EJE DE LAS Y EN EL PUNTO (0,0) PORQUE LA C=0. INTERSECCIÓN CON EL EJE DE LAS X: Y=0 EJEMPLO: EN LA FUNCIÓN: Y=X2 0=X2 PARA SABER EL VALOR DE LA X SE RESUELVE LA ECUACIÓN CON LA FÓRMULA: X= −B+− B2−4AC 2A PRÁCTICA: GRAFICAR PARÁBOLAS: SE CALCULA DONDE ESTARÁ EL VÉRTICE, LAS INTERSECCIONES CON LOS EJES, Y SI TODAVÍA NO SE DETERMINA BIEN LA FORMA DE LA PARÁBOLA, SE BUSCAN PUNTOS CERCANOS AL VÉRTICE. TRASLACIONES: SI LA TRASLACIÓN ES HACIA ARRIBA, SE LE SUMA EL NUMERO DE UNIDADES SUBIDAS A LA C DE LA FUNCION. 2 EN CASO DE QUE SE TRASLADE HACIA ABAJO, EN VEZ DE SUMAR, SE RESTARÁ. EJEMPLO: FUNCIÓN: Y=X2 LA TRASLADAMOS 5 UNIDADES HACIA ARRIBA. C=0 0+5=5 C=5 LA FUNCIÓN QUEDARÁ: Y=X2+5 CALCULAR EL VÉRTICE: SE CALCULA LA XV CON LA FÓRMULA: XV= _ B . 2A LUEGO SE CALCULA LA YV SUBSTITUYENDO. EJEMPLO: FUNCIÓN: Y=X2 XV = _ 0 = 0 2·1 YV = 02 = 0 POR TANTO V(0,0) INTERSECCIÓN CON LOS EJES: INTERSECCIÓN CON EL EJE DE LAS Y: EJEMPLO: Y=X2 X=0 (0,C) (0,0) INTERSECCIÓN CON EL EJE DE LAS X: Y=0 0=X2 3 X= 0+− 02−4·1·0 = 0+− 0 = 0 2·1 2 0 INTERSECCIONARÁ EN EL EJE DE LAS X EN EL PUNTO (0,0). PARÁBOLAS INDETERMINADAS: LAS PARÁBOLAS INDETERMINADAS SON LAS PARÁBOLAS QUE TE DICEN PERO QUE LES FALTA UNO O VARIOS CUOFICIENTES. POR CADA CUOFICIENTE QUE FALTE, NOS DEBERAN DAR UNA PISTA. SI NOS DAN EL PUNTO DONDE SE ENCUENTRA EL VÉRTIVE, NOS ESTAN DANDO DOS PISTAS. EJEMPLO: FUNCIÓN: Y= 2X2−3X+C PASA POR EL PUNTO (2,−1) FALTA UN CUOFICIENTE POR SABER, NOS DAN UNA PISTA. SE RESUELVE SUBSTITUYENDO: −1= 2·22 − 3·2 + C −1=2·4 − 6 + C −1=8 − 6 + C LA FUNCIÓN QUEDARIA: −1=2 + C Y=2X2 −3X −3 −1−2= C −3=C INTERSECCIÓN ENTRE UNA PARÁBOLA Y UNA RECTA: PARA CALCULAR LOS PUNTOS EN LOS QUE SE CORTAN UNA PARÁBOLA Y UNA RECTA HAY QUE HACER UN SISTEMA DE ECUACIONES. EJEMPLO: PARÁBOLA: Y= −X2 +6 RECTA: Y= −2X+3 Y=−X2 +6 −X2 +6 = −2X +3 −X2+2X+3=0 Y=−2X +3 X= −2+− 22−4(−1)·3 = −2+− 16 = 2(−1) −2 4 X=−1 = −2+−(4) = −1 Y=−2(−1)+3 = 5 (−1,5) −2 3 X=3 Y=−2·3+3 = −3 (3,−3) PUNTOS DONDE INTERSECCIONAN. 5