Funciones continuas y discontinuas

Desarrollo Temático
FUNCIONES CONTINUAS Y DISCONTINUAS
• DEFINICION DE FUNCION
Para definir y comprender el tema de funciones continúas y discontinuas se realizara una pequeña
introducción a lo que se conoce como una función:
Con frecuencia, en las aplicaciones prácticas el valor de una variable depende del valor de otra. Por ejemplo,
el salario de una persona puede depender del número de horas que trabaje; la producción total de una
fábrica puede depender del número de máquinas que se utilicen; la distancia recorrida por un objeto
puede depender del tiempo transcurrido desde que salió de un punto especÃ−fico; el volumen del espacio
ocupado por un gas a presión constante depende de su temperatura; la resistencia de un cable eléctrico de
longitud fija depende de su diámetro; etc. La relación entre este tipo de cantidades sue−le expresarse
mediante una función.
Entonces una función puede considerarse como una correspondencia de un conjunto X de números Reales
(x) a un conjunto Y de números Reales (y), donde el numero (y) es único para cada valor especifico de (x).
Por ejemplo:
En la figura 1 se muestra la representación de una correspondencia de este tipo. Se puede establecer el
concepto de función de otra manera: considere intuitivamente que el número real y del conjunto Y es una
función del número (x) del conjunto X, si existe una regla mediante la cual se asocia un solo valor de (y) a
un valor (x). Esta regla se expresa frecuentemente por medio de una ecuación.
Por ejemplo, la ecuación y = x2
Define una función para la cual X es el conjunto de todos los números reales y Y es el conjunto de los
números no negativos. El valor de y asignado al valor de (x) se obtiene al multiplicar (x) por sÃ− mismo. La
tabla 1 proporciona algunos de estos valores y la misma demuestra la correspondencia de los núme−ros de la
tabla.
Para denotar funciones se utilizan sÃ−mbolos como f, g y h. El conjunto X de los números reales indicado
anteriormente es el dominio de la función y el conjunto Y de números reales asignados a los valores de (x)
en X es el contradominio de la función.
1.1 GRAFICAS DE FUNCIONES EN COORDENADAS RECTANGULARES
Un sistema de coordenadas rectangulares (o cartesianas) nos permite especificar y localizar puntos en un
plano. También nos proporciona una manera geomé−trica para representar ecuaciones de dos variables,
asÃ− como funciones.
En un plano se trazan dos rectas de números reales, llamadas ejes de coorde−nadas, perpendiculares entre
sÃ−, y de modo que sus orÃ−genes coincidan, como en la figura 3.7.Su punto de intersección se llama
origen del sistema de coordena−das. Por ahora llamaremos a la recta horizontal el eje x y a la vertical el eje y.
La distancia unitaria sobre el eje x no necesariamente es la misma que la del eje y.
El plano sobre el cual están los ejes de coordenadas se llama plano de coordenadas rectangulares o,
1
simplemente, plano x, y. Todo punto en él puede marcarse para indicar su posición.
2. FUNCIONES CONTINUAS Y DISCONTINUAS
Muchas funciones tienen la propiedad de que no hay "cortes" en sus gráficas. Por ejemplo, compare las
funciones:
Cuyas gráficas aparecen en las figuras 9.23 y 9.24, respectivamente. Cuando x = 1, la gráfica de f no se
corta, pero la de g sÃ− tiene un corte.
Poniéndolo de otra manera, si tuviera que trazar ambas gráficas con un lápiz, tendrÃ−a que le−vantar el
lápiz de la gráfica de g, cuando x = 1, pero no lo tendrÃ−a que levantar de la gráfica de f. Estas
situaciones pueden expresarse por medio de lÃ−mites.
Cuando x se aproxima a 1, compare el lÃ−mite de cada función con el valor de la función en x = 1.
Mientras que
El lÃ−mite de f cuando x —> 1 es igual a f (1), pero el lÃ−mite de g cuando x —> 1 no es igual a g (1). Por
estas razones decimos que f es continua en 1 y g discontinua en 1.
3. FUNCIONES CONTINUAS O CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÃ N
3.1.1. Concepto
En esencia, una función es continua si su gráfica es una lÃ−nea seguida, no interrumpida.
La definición matemática de continuidad comprende las propiedades de los lÃ−mites. En la definición de
lÃ−mite el valor de no se especifica; es decir este lÃ−mite depende únicamente de los valores de en la
vecindad de (o sea, cerca de), pero no en el valor de .
Por consiguiente, puede ser o no ser igual a.
Si existe, y también existe el valor de, siendo igual a, entonces es continua en.
Es decir, se dice que una función es continua en si:
Entonces se puede decir que una función f (X) es continua en (o sobre) un intervalo (o bien) si es continua en
cada punto del intervalo en cuestión.
De la definición de continuidad se deduce que la gráfica de una función que es continua en un
intervalo, es una lÃ−nea ininterrumpida (es decir, una que se puede trazar sin levantar la pluma o lápiz
del papel) sobre el espacio de ese intervalo, o también se hace posible trazar una curva con sólo situar
unos pocos puntos y dibujar una lÃ−nea con trazo ininterrumpido pasando por ellos, se justificará en el caso
de varias clases de curvas.
• Ejemplos; aplicación de la definición de continuidad
Ejemplo 1: Demostrar que f(x) = 5 es continua en 7.
Solución: debemos verificar que las tres condiciones se cumplan.
2
Primera, f (7) = 5, de modo que f está definida en x = 7.
Segunda, por tanto, f tiene limite cuando X —> 7
Tercerapor tanto f es continua en 7 (Véase la fig. 9.25)
Ejemplo 2: Demostrar que g(x) = x2 — 3 es continua en — 4.
Solución: la función g está definida en x = — 4; g (—4) = 13. También:
Por tanto, g es continua en — 4. (Véase la fig. 9.26)
Decimos también que una función es continua en un intervalo si es continua en cada punto de ese
intervalo. En esta situación, la gráfica de la función es conexa sobre el intervalo por ejemplo, f(x) = x2 es
continua en el intervalo [2,5], porque para cualquier función polinomial .
Esto significa que UNA FUNCION POLINOMIAL ES CONTINUA EN TODO PUNTO.
Se concluye que tal función es continua en todo intervalo. Decimos que las funciones polinomiales son
continuas en todas partes, o de manera más senci−lla, que son continuas.
Ejemplo: las funcionesson polinomiales. Por tanto son continuas. Por ejemplo, son continuas en 3.
3.1.3. Ejemplo práctico de aplicación (continuidad)
Un mayorista distribuye un producto que se vende por libra (o fracción de libra), cobra $2 por libra si se
ordenan 10 o menos libras. Si se ordenan más de 10 libras, el mayorista cobra $20 más $1,40 por cada libra
que exceda de las 10. Por tanto, si se compran x libras por un costo total de C(x) dólares, entonces C(x) = 2x
Si 0 â ¤ x â ¤ 10 ; y C(x) = 20 + 1.4 ( x - 10 ) se 10 < x ; esto es
La grafica de C se muestra en la figura 4.
Para esta función, C(10) = 20 y
Por tanto,existe y es igual a C (10). En consecuencia C es continua en 10.
3.1.4 Propiedades de las funciones continuas
Dadas las funciones f y g continuas en x = a, se verifica que:
• la función (f + g) (x) = f(x) + g(x) es continua en x = a.
• la función (f - g) (x) = f(x) - g(x) es continua en x = a.
• la función (f à g) (x) = f(x) à g(x) es continua en x = a.
• la función (f / g) (x) = f(x) / g(x) es continua en x = a, siempre que g(a) â
0.
Estas propiedades son consecuencia directa de las propiedades de los lÃ−mites.
3.1.5. Continuidad de funciones elementales
3.1.6. Continuidad de la función compuesta
4. FUNCIONES DISCONTINUAS O DISCONTINUIDAD DE UNA FUNCIÃ N
3
• Concepto y tipos de discontinuidad
Con respecto a lo anterior podemos decir que una función es discontinua cuando, una función f definida en
un intervalo abierto que contenga a É es discontinua en É si:
• f no tiene limite cuando x —> É
• cuando x —> É , f tiene un lÃ−mite diferente de f(É )
• si f no está definida en É , no es continua allÃ−. Sin embargo, si f no está definida en É pero si está
definida para todos los valores cercanos, entonces no solo no es continua en É , es discontinua allÃ−.
En la figura 9.27 podemos encontrar por inspección puntos de discontinuidad.
4.1.2 Ejemplos de discontinuidades
EJEMPLO 1.
Sea f (x) = 1 / x (véase la figura 9.28). Observe que f no está definida en x = 0, pero está definida para
cualquier otro valor de x cercana a 0. AsÃ− f es discontinua en 0. Además se dice que una función tiene
discontinuidad infinita en É , cuando al menos uno de los limites laterales es De aquÃ− f tenga una
discontinuidad infinita en x = 0.
Ejemplo 2.
(Véase la figura 9.29). Aunque f está definida en x = 0, no existe.
Por lo tanto, f es discontinua en 0.
La propiedad siguiente indica dónde ocurren las discontinuidades de una función racional.
Discontinuidades de una función racional
Una función racional es discontinua en los puntos donde el denominador es 0, y es continua en cualquier otra
parte.
Ejemplo 3
Para la siguiente función, encontrar todos los puntos de discontinuidad
Solución: esta función racional tiene de denominador, que es 0 cuando x = -4 o x = 2. AsÃ− solo es
discontinua en -4 y 2
BibliografÃ−a
Ernest F. Haeussler, Jr., Richard S. Paul, (2003) MATEMÓTICAS PARA ADMINISTRACIà N Y
ECONOMà A; Decima edición. PEARSON EDUCACION.
Louis Leithold (1998), EL CÓLCULO (traducido al español, nombre original “THE CALCULUS 7”
con fecha de 1994); séptima edición. OXFORD UNIVERSITY PRESS-HARLA MEXICO.
Fernando Alcaide (2009), CODIGO MATEMATICAS 11, EDICIONES SM.
4
Jean E. Weber, MATEMATICAS PARA ADMINISTRACION Y ECONOMIA, cuarta edición.
OXFORD UNIVERSITY PRESS
TRABAJO DE CÓLCULO
“FUNCIONES CONTINUAS Y DISCONTINUAS”
Administración de Negocios Internacionales (Nocturno)
Universidad Libre Seccional Barranquilla
II semestre
2010
à NDICE
• DEFINICION DE FUNCION.
• GRAFICAS DE FUNCIONES EN COORDENADAS RECTANGULARES.
• FUNCIONES CONTINUAS Y DISCONTINUAS.
• FUNCIONES CONTINUAS O CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÃ N.
• Concepto.
• Ejemplos; aplicación de la definición de continuidad.
• Ejemplo práctico de aplicación (continuidad).
• Propiedades de las funciones continuas.
• Continuidad de funciones elementales.
• Continuidad de la función compuesta.
• FUNCIONES DISCONTINUAS O DISCONTINUIDAD DE UNA FUNCIÃ N
• Concepto y tipos de discontinuidad.
• Ejemplos de discontinuidades.
• Ejercicios propuestos.
Introducción
En matemáticas, una función continua es aquella para la cual, intuitivamente, para puntos cercanos del
dominio se producen pequeñas variaciones en los valores de la función. Si la función no es continua, se
dice que es discontinua. Generalmente una función continua es aquella cuya gráfica puede dibujarse sin
levantar el lápiz del papel.
La continuidad de funciones es uno de los conceptos principales de la topologÃ−a. El trabajo presentado
describe principalmente la continuidad de funciones reales de una variable real.
De esta manera se puede decir entonces que una función es discontinua si tiene puntos en los cuales una
pequeña variación de la variable independiente produce un salto en los valores de la variable dependiente.
A estos puntos se les denomina puntos de discontinuidad.
14
5