25 años de transposición didáctica

25 años de transposición didáctica
Marianna Bosch (Universitat Ramon Llull)
Josep Gascón (Universitat Autònoma de Barcelona)
En novela, lo más importante es resolver el punto de vista,
quién contempla la realidad y quién ofrece esta contemplación a los demás.
Manuel Vázquez Montalbán
(04/04/2003, Entrevista en La Voz de Galicia)
Résumé. Il y a 25 ans, la mise en évidence des phénomènes de transposition didactique venait
renforcer l’une des ruptures majeures du nouveau paradigme en didactique des mathématiques
qu’inaugurait la Théorie des Situations Didactiques : le besoin, pour la recherche en didactique, de
questionner et ne pas accepter comme allant de soi les modèles épistémologiques spontanés du
savoir mathématique que l’école se doit d’enseigner et les élèves d’apprendre. Ce questionnement,
et l’élargissement de l’objet d’étude qui en découle (con la consiguiente ampliación del objeto de
estudio), a provoqué le développement d’une nouvelle approche en didactique – la Théorie
Anthropologique du Didactique – dont nous parcourrons ici les principaux apports.
Abstract. 25 years ago, the pointing out of the phenomena of didactic transposition reinforced one
of the major ruptures of the new paradigm in mathematics education founded by the Theory of
Didactic Situations: the need for the research in didactics to question and not take for granted, the
spontaneous epistemological models of school mathematical knowledge. This questioning, and the
resulting enlargement of the object of study, gave rise to the development of a new approach in
didactics, the Anthropological Theory of the Didactics, the main contributions of which are
reported here.
1. La difusión de la noción de transposición didáctica
El tiempo de las ideas no coincide con el tiempo de las personas. Hace ahora un
poco más de 25 años, en la Première Ecole d’Eté de didactique des mathématiques
de Francia (7-19 de julio de 1980), Yves Chevallard impartió un primer curso
sobre la transposición didáctica. Eran los inicios del proyecto de ciencia que Guy
Brousseau había bautizado, unos años antes, como “didáctica de las matemáticas”
(Brousseau 1997a).
La noción de transposición didáctica se integró rápidamente en el conjunto de
nociones que daban a la naciente ciencia didáctica un principio de existencia:
sistema didáctico, situaciones didácticas y a-didácticas, contrato didáctico, juego
contra un medio, dialéctica útil-objeto, ingeniería didáctica, etc. Con la noción de
transposición surgieron también nuevos términos que irían nombrando, y trayendo
a la existencia, nuevos recortes de la realidad social que la didáctica se proponía
estudiar: los “saberes”, en plural, la “noosfera” (o esfera de los que “piensan” sobre
la enseñanza), los conocimientos proto- y para-matemáticos y, al nivel
metodológico, la “ilusión de la transparencia” que los investigadores debían
aprender a superar mediante una permanente “vigilancia epistemológica”.
Con el tiempo, la noción de transposición didáctica se difundió de forma muy
variada según los países, las comunidades lingüísticas y las afinidades científicas o
1
culturales de los grupos de investigadores. La primera edición de La transposition
didactique. Du savoir savant au savoir enseigné (Chevallard 1985a) tuvo su efecto
en la comunidad francófona. Un número importante de investigadores en didáctica
de las matemáticas y ciencias experimentales se abrió a un nuevo campo de
estudio. Gilbert Arsarc describe con precisión esta evolución de la investigación
francesa desde sus inicios hasta la década de los noventa (Arsac 1992).
En la comunidad de habla hispana, circuló muy pronto una primera traducción
“gris” del libro realizada por Dilma Fregona. Unos años más tarde, la editorial
argentina Aique publicó una segunda traducción (Chevallard 1997) que acabó de
dar una inmensa difusión a esta noción fuera incluso del ámbito de la enseñanza de
las matemáticas. Existen estudios sobre la transposición didáctica en lengua,
ciencias experimentales, educación física, tecnología y nuevas tecnologías,
ciencias sociales, música, biología, física, ¡e incluso ajedrez escolar! La difusión en
la comunidad internacional de habla inglesa ha sido mucho más lenta, a pesar de
que investigadores de la talla de Jeremy Kilpatrick pronto se aventuraron a poner
en práctica este nuevo enfoque, como muestra la tesis doctoral de Wan Kang
(Kang 1990, Kang y Kilpatrick 1992). Pocos siguieron sus pasos. Una búsqueda
rápida en Google revela que la expresión francesa “transposition didactique” tiene
más de 27.000 entradas, la española “transposición didáctica” unas 11.000,
mientras que, en inglés, aparecen menos de 500 entradas, incluyendo tanto la
expresión “didactic transposition” como “didactical transposition”. En realidad,
fuera de la comunidad de habla francesa y española, no existen prácticamente
investigaciones que estudien problemas relativos a los fenómenos de transposición
didáctica. Todavía en el año 2000, un trabajo que mencione el fenómeno se ve
impelido a proponer una definición muy detallada a sus lectores, como en la
siguiente nota al pie de página (Sfard 2000):
Cf. the notion of didactic transposition introduced by Yves Chevallard (1985, 1990;
see also Sierpinska & Lerman, 1997) to denote the change that inevitably occurs in
discourses in the course of their transition from the academia to school. In its original
version, the term referred to the fact that the professional knowledge must change in
accord with the needs of the institution in which this knowledge is being practiced;
in the language of discourse we may say that we are concerned here with the
transformation of discourse in accord with the needs and requirements of different
communities.
Para entender esta evolución desigual, hay que detenerse un momento en la propia
noción de transposición didáctica y en los cambios que supone su consideración en
la propia investigación didáctica. Recordemos que esta teoría formula la necesidad
de considerar que lo que se enseña en la escuela (los “contenidos” o
“conocimientos”) es, en cierto modo, una producción exógena, algo que se genera
fuera de la escuela y que se lleva o “transpone” a la escuela por necesidades
sociales de educación y difusión. Se requieren una serie de transformaciones
adaptativas para que los conocimientos que se quieren enseñar puedan “vivir” en el
nuevo ambiente que la escuela ofrece. Para que cierto conocimiento sea enseñado
en la escuela es necesario un trabajo transpositivo que haga posible que algo que
no fue creado para la escuela sufra los cambios necesarios para poder ser
reconstruido dentro de la escuela.
El proceso de transposición didáctica comienza lejos de la escuela, en la elección
de los cuerpos de conocimiento que se desea transmitir. Una vez realizada la
elección, se genera un tipo de trabajo claramente creativo –no una mera
2
“transferencia”, adaptación o simplificación–, que se puede describir como un
proceso de deconstrucción y reconstrucción de los diferentes elementos de esos
conocimientos, con el objetivo de hacerlos “enseñables”, preservando su potencia
y funcionalidad. El trabajo transpositivo lo llevan a cabo una pluralidad de agentes
–la “noosfera” – incluyendo los responsables de diseñar e implementar los planes
de estudio, los matemáticos o científicos productores del conocimiento
matemático, los miembros del sistema de enseñanza (profesores en particular), y
todo esto bajo unas condiciones históricas e institucionales que no son siempre
fáciles de discernir. Es un trabajo necesario para que la enseñanza sea posible, pero
es también la fuente de muchas restricciones sobre el tipo de enseñanza que se
puede impartir, sobre las actividades matemáticas que es posible o imposible llevar
a cabo en la escuela. La limitación más fuerte ocurre cuando el proceso de
transposición no es capaz de mantener o recrear una posible “razón de ser” de los
conocimientos que la escuela se propone transmitir. ¿Por qué son tan importantes
los triángulos? ¿Para qué sirven los límites de funciones? ¿Por qué necesitamos los
polinomios? Una enseñanza que no toma en consideración estos interrogantes se
convierte rápidamente en lo que Chevallard (2004) denomina una educación
“monumentalista”, donde se invita a los estudiantes a contemplar unos
instrumentos que la humanidad construyó con esfuerzo, que sirvieron para grandes
propósitos y que hay que conocer y admirar aunque ya no se sepa cuál es su
utilidad. En estos casos se requiere un trabajo permanente de revisión o “retoma”
de los procesos transpositivos que debe traspasar el ámbito genérico en el que se
desarrollan habitualmente las decisiones curriculares para adentrarse hasta el nivel
más concreto de las actividades matemáticas que realizan los alumnos en el aula.
En un periodo en el que la investigación en educación matemática estaba muy
centrada en los aspectos psicológicos del aprendizaje, tomar en consideración los
procesos transpositivos produjo una ampliación drástica del campo de estudio de la
didáctica, más allá de las actividades llevadas a cabo por los alumnos y más allá
del trabajo de los profesores en el aula. Porque analizar los procesos de
transposición didáctica también implica cuestionar el modo concreto en que se
lleva a cabo este proceso, el tipo de restricciones que lo limitan y los mecanismos
que explican por qué se produce cierto tipo de transposición y no otro. Veremos
más adelante que la teoría de la transposición didáctica contribuye a ampliar el
objeto de estudio de la investigación en educación matemática al dar existencia a
una dimensión de la realidad educativa que se había mantenido sin denominar y,
por lo tanto, no había sido considerada hasta el momento.
Sin embargo, es más que eso. Porque esta ampliación de la realidad empírica a
considerar nació dentro de un proyecto muy concreto de investigación didáctica
iniciado por Guy Brousseau que ya traía consigo una forma distinta de formular y
enfocar los problemas en educación matemática. El nuevo paradigma de la
didáctica de las matemáticas, que muchos designaban como la “teoría de la
tansposición didáctica”, se ha acabado integrando, 25 años más tarde, en un ámbito
de investigación propio, conocido como la “Teoría Antropológica de lo Didáctico”
(Chevallard 1992, 1999, Chevallard, Bosch y Gascón 1997). No sorprende por
tanto que la noción de transposición didáctica, vista ahora como el germen de la
Teoría Antropológica de lo Didáctico, se haya extendido a diferentes ritmos y de
formas diferentes en la comunidad de investigadores en educación matemática,
siguiendo fenómenos transpositivos que esta vez afectan a la propia didáctica de
las matemáticas como disciplina.
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2. La transposición didáctica dentro del nuevo paradigma de la didáctica de
las matemáticas
Para entender el significado y la relevancia de la teoría de la transposición
didáctica hay que situarse en el proyecto original que le da sentido: el nuevo
programa de investigación en educación matemática que inauguró Guy Brousseau
en los años 70 con la Teoría de la Situaciones Didácticas (TSD). No nos parece
exagerado afirmar, desde la perspectiva de estos más de 25 años, que la TSD causó
una auténtica revolución copernicana en nuestra forma de estudiar los problemas
relacionados con la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas. Se produjo un
cambio, no sólo en las nociones utilizadas para estudiar los procesos didácticos,
sino también en la forma concreta de cuestionar la realidad educativa. La TSD ha
cambiado los problemas, los modelos utilizados y los sistemas empíricos que se
estudian a través de una metodología que empieza por un cuestionamiento radical
del conocimiento matemático tal como se asume implícitamente en las
instituciones educativas. El primer paso en la investigación didáctica consiste
siempre en preguntarse qué es esa matemática cuya enseñanza y aprendizaje
queremos mejorar: qué es la geometría, qué es la estadística, qué son los números
decimales, qué es contar, qué es el álgebra, etc. El segundo paso, de mayor
complejidad, consiste entonces en elaborar una respuesta a estas preguntas en
forma de modelos epistemológicos específicos del conocimiento matemático en
cuestión, formulada en términos de situaciones o “juegos contra un medio” que – y
en ello radica parte del carácter “revolucionario” de la TSD – sirven tanto para
designar las nociones matemáticas como las formas de reconstruirlas en el aula. En
términos del propio Brousseau:
Une situation est l’ensemble des circonstances dans lesquelles une personne se
trouve, et des relations qui l’unissent à son milieu. Prendre comme objet d’études les
circonstances qui président à la diffusion et à l’acquisition des connaissances conduit
donc à s’intéresser aux situations. (Brousseau 1997b)
Les situations sont des modèles minimaux qui "expliquent" comment telle
connaissance intervient dans les rapports particuliers qu'un sujet établit avec un
milieu pour y exercer une influence déterminée. En principe ces modèles sont des
automates, par exemple des automates stochastiques finis, mais l'usage de cette
référence est souvent plutôt métaphorique en ce sens que le modèle n'est pas
entièrement spécifié. (Brousseau 2000).
En didactique, je ne connais pas le connaissances mathématiques tant que je ne les ai
pas définies par une situation. (Brousseau 2005).
Brousseau fue el primero en formular la existencia de fenómenos didácticos como
regularidades no intencionales en el proceso de generación y difusión de las
matemáticas en las instituciones sociales, que no se pueden reducir a fenómenos de
otra naturaleza (cognitivos, sociológicos o lingüísticos). Esto también supone que
“enseñar” y “aprender” matemáticas ya no son objetos primarios de investigación
sino que pasan a ser secundarios (lo cual no significa que sean menos importantes)
en el sentido de que se pueden definir en términos primitivos dentro del modelo
epistemológico considerado. La necesidad de cuestionar modelos epistemológicos
espontáneos, comúnmente aceptados, para elaborar nuestros propios modelos de
investigación en vistas al desarrollo y mejora de la enseñanza y el aprendizaje,
requiere el surgimiento de un nuevo paradigma de investigación en didáctica de las
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matemáticas que nosotros hemos denominado el ‘programa epistemológico’
(Gascón 2003).1
Al destacar la necesidad de llevar a cabo una “investigación epistemológica” para
indagar los mecanismos que permiten, y a veces impiden, que el conocimiento
matemático llegue a ser enseñado en el aula, la teoría de la transposición didáctica
clarificaba el proyecto inaugural de la TSD, contribuyendo a despejar la ilusión de
que el conocimiento matemático sería algo siempre bien definido (por y para la
comunidad matemática, obviamente) para el cual los didactas debe esforzarse en
encontrar el mejor método de enseñanza. La perspectiva cambia si se considera
que, fuera de la escuela, se construyen “saberes matemáticos” como respuesta a
necesidades muy particulares, que éstos se reformulan de acuerdo con algunas
condiciones muy específicas y que deben seguir un proceso de construcción social,
con múltiples actores y diferentes momentos temporales, a través del cual se
seleccionan algunos de estos saberes, se delimitan, reorganizan y, por lo tanto,
redefinen hasta llegar a la escuela. El estudio de la transposición es una etapa
imprescindible en el cuestionamiento de las matemáticas que se enseñan en el aula,
incluso si el acto de enseñanza en sí mismo tiene que negar la existencia de este
proceso (esto es, la realidad de todas esas redefiniciones) y mantener la ilusión de
la existencia de un único saber matemático y que es ése el que se enseña en la
escuela. Tal cómo indicaba Chevallard en la primera edición de La transposición
didáctica:
Para el didacta, es una herramienta que permite recapacitar, tomar distancia, interrogar
las evidencias, poner en cuestión las ideas simples, desprenderse de la familiaridad
engañosa de su objeto de estudio. En una palabra, lo que permite ejercer su vigilancia
epistemológica. Es uno de los instrumentos de la ruptura que la didáctica debe ejercer
para constituirse en su propio dominio; es aquel por el cual la entrada del saber en la
problemática de la didáctica pasa de la potencia al acto: en la medida en que el “saber”
deviene para ella problemático puede figurar, en adelante, como un término en el
enunciado de problemas (nuevos o simplemente reformulados) y en su solución.
(Chevallard 1997 p. 16.)
La audacia del proyecto de una ciencia de la didáctica propuesta por la TSD queda
de este modo reforzada, al mismo tiempo que, como veremos, su unidad empírica
de análisis empieza a extenderse considerablemente. Dado que las matemáticas son
un conocimiento que se usa, enseña, aprende, practica y difunde en instituciones
sociales, para entender las matemáticas escolares es necesario entender las razones
que motivan y justifican su enseñanza, y también el modo cómo esas matemáticas
están siendo interpretadas en las diferentes instituciones de producción, desarrollo,
uso y difusión.
3. Primera contribución: la ampliación de la unidad empírica de análisis
La ampliación del objeto de estudio que produce la consideración de los
fenómenos transpositivos requiere nuevas herramientas de análisis y, en particular,
nuevos términos para nombrar y, sobre todo, distinguir aquellos aspectos de la
Esta expresión proviene del hecho que Brousseau diseñó inicialmente como “epistemología
experimental” lo que más tarde bautizaría como “didáctica de las matemáticas”. Insiste en la
importancia de cuestionar el conocimiento y evita otras designaciones más exclusivas basadas en la
geografía o el lenguaje (ni es francesa toda la investigación que se realiza en el marco del programa
epistemológico, ni toda la investigación francesa participa de él).
1
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realidad social que las instituciones docentes tienden a confundir porque en ello se
basa su proyecto de enseñanza.
Si consideramos distintas instituciones, distintas actividades matemáticas y
distintos discursos sobre las matemáticas en estas instituciones, entonces
deberemos utilizar distintos términos para referirnos a ellas. Para ello Chevallard
propuso el uso del plural “saberes” para distinguir lo que sería el saber matemático
“original” o “sabio”, tal como lo producen los matemáticos y otros investigadores;
el saber matemático “a enseñar” tal como se designa oficialmente en los programas
y documentos curriculares; el saber matemático tal como es realmente enseñado
por los profesores en sus aulas; y el saber matemático “aprendido” por los
estudiantes en el sentido que pueden disponer de él tanto al final del proceso de
aprendizaje como para iniciar nuevos procesos (ver Figura 1).
Saber sabio
Instituciones
productoras del saber
Saber a enseñar
Sistema
educativo, « noosfera »
Saber enseñado
Aula
Saber aprendido,
disponible
Comunidad de estudio
Fig. 1. El proceso de transposición didáctica
Al tiempo que distingue entre los distintos “saberes” o prácticas, el proceso de
transposición didáctica también subraya la relatividad institucional del saber y
sitúa los problemas didácticos más allá de las características individuales de los
sujetos de las instituciones consideradas. Para entender las dificultades de los
alumnos en el aprendizaje de una noción, no basta con estudiar los aspectos
cognitivos del aprendizaje. Hay que preguntarse el papel que desempeña esta
noción en las distintas actividades (matemáticas y no-matemáticas) que deben
aprender los alumnos y la manera cómo se les ha hecho “entrar” en estas
actividades guiados por los profesores (o por la “institución enseñante”). Pero hay
que ir más allá e indagar por qué esta noción forma parte del saber a enseñar en la
escuela, en qué contextos y problemáticas se la inscribe inicialmente, y el porqué
de esta inscripción. Este análisis del “saber a enseñar” no puede entonces obviar el
origen o la “razón de ser” de esta noción, por qué se construyó inicialmente, en qué
ámbito, contexto o problemática, y cómo participa en el desarrollo del saber
matemático, hasta llegar a las posibles funciones de la noción en las actividades
(matemáticas o no-matemáticas) que tienen lugar en la sociedad y que, en cierto
sentido, son las que justifican y legitiman su elección como “saber a enseñar”. El
estudio de las condiciones y restricciones que impone el proceso de transposición
didáctica en el tipo de actividades que realizan los alumnos en el aula amplía
considerablemente la base empírica del análisis didáctico mucho más allá de las
observaciones de los alumnos en el aula, de tal modo que la unidad mínima de
análisis de cualquier proceso didáctico pasa a contener todos las etapas de la
transposición didáctica (Bosch y Gascón 2005).
La primera etapa corresponde al estudio de la formación del ‘texto de enseñanza’
que indica el ‘conocimiento que debe ser enseñado’ a través de las producciones de
la noosfera (programas oficiales, libros de texto, recomendaciones para profesores,
materiales didácticos, etc.) y resalta las condiciones y constricciones bajo las
cuales el conocimiento se constituye y evoluciona (o se mantiene fijo) en el
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tiempo. Así, el análisis de la transposición didáctica de un dominio de enseñanza
(lo cual incluye la delimitación y designación del dominio en sí mismo) no puede
ser reducido a la revisión de los libros de texto de matemáticas, incluso aunque se
trate de un material empírico privilegiado para los investigadores. Lo que importa
es el tipo de cuestiones que se plantean (¿por qué enseñar esto?, ¿por qué esta
organización?, ¿de dónde viene?) y el tipo de fenómeno que los libros de texto
muestran (u ocultan).
El término ‘sabio’ fue utilizado –con cierto matiz de ironía– para caracterizar el
conocimiento que garantiza y legitima el proceso de enseñanza. Citando a Kang y
Kipatrick (op. cit., p. 2):
A scholarly body of knowledge is nothing other than knowledge used both to
produce new knowledge and to organize the knowledge newly produced into a
coherent theoretical assemblage.
La difícil acogida de la expresión “saber sabio” testifica la dificultad de considerar
este saber en el mismo nivel que el saber a enseñar (el propuesto por los currículos
y programas oficiales) o el saber tal como es enseñado en la escuela. ¿Qué saberes
se eligen? ¿Cómo se organizan? ¿Cómo se los denomina? ¿Por qué esos y por qué
con ese tipo de organizaciones? ¿Qué razones motivan esas elecciones? Etc. Pero
no basta con este cuestionamiento para estudiar el “saber a enseñar” ni el “saber
enseñado”. También es necesario analizar –examinar minuciosamente y
descomponer– los modelos espontáneos del “saber sabio” que imperan en las
instituciones educativas. Por esta razón, el “saber sabio” no puede aparecer en
ningún caso como el “saber de referencia” (como lo denominaron Astolfi y
Develay 1989); aunque funcione ciertamente como el punto de referencia de las
instituciones educativas, no debe serlo de ningún modo para los investigadores que
consideran esas instituciones como parte de su objeto de estudio.
No describiremos aquí las otras etapas del proceso de transposición didáctica que
también contribuyen a delimitar el grado de libertad que se deja a los procesos
didácticos que llevan a cabo profesores y alumnos en el aula. Lo que queremos
destacar es lo siguiente: considerar el proceso de transposición didáctica como un
nuevo objeto de estudio permite a los investigadores en didáctica liberarse de los
modelos epistemológicos espontáneos que imponen implícitamente las
instituciones educativas a las cuales éstos pertenecen. Es por lo tanto necesario que
los didactas elaboremos nuestro propio referente del correspondiente saber
matemático, para poder examinar este nuevo objeto empírico que incluye todas las
etapas transpositivas, desde las matemáticas sabias hasta las matemáticas
enseñadas y aprendidas. Aquí es donde debemos completar la Figura 1 con lo que
denominamos el “modelo epistemológico de referencia” (Bosch y Gascón 2005)
que constituye el modelo teórico básico para el investigador y que se elabora
generalmente a partir de los datos empíricos de las tres instituciones consideradas:
la comunidad matemática, el sistema educativo y la escuela o el aula (Figura 2).
Saber sabio
Instituciones
productoras del saber
Saber a enseñar
Sistema educativo,
« noosfera »
Saber enseñado
Escuela, aula
Modelos epistemológicos de referencia
Investigación 7en Didáctica de las Matemáticas
Fig. 2. La posición ‘externa’ de los investigadores
Saber aprendido,
disponible
Comunidad de estudio
La investigación en didáctica necesita elaborar sus propios modelos de referencia
para ser capaz de evitar la excesiva sujeción a las diferentes instituciones
observadas, especialmente a aquellas que, por su prestigio o legitimidad social,
aparecen como instituciones dominantes y que conforman la institución del “saber
sabio”. La teoría de la transposición didáctica nos enseña que no hay ningún
sistema de referencia privilegiado para el análisis de las diferentes etapas del
proceso de transposición didáctica. Pero la ausencia de un sistema de referencia
absoluto no hace menos imprescindible la utilización de sistemas de referencia
relativos adecuados a cada problema y situación, modelos cuyo carácter hipotético
les atribuye una provisionalidad permanente –o, mejor dicho, una evolución
permanente– siempre sometidos a la prueba del contraste empírico y reformulados
en función de los nuevos problemas por abordar. Éste es el sentido que debe
atribuirse al “análisis epistemológico” en didáctica que ya estaba presente en los
orígenes de la didáctica como “epistemología experimental”. Precisamente, según
Chevallard, la noción de transposición contribuye a profundizar, y también a
clarificar, la compleja relación de la didáctica con la epistemología:
Cuando se le asigna al saber sabio su justo lugar en el proceso de transposición y, sin
que el análisis de transposición didáctica sustituya indebidamente al análisis
epistemológico stricto sensu, se hace evidente que es precisamente el concepto de
transposición didáctica lo que permite la articulación del análisis epistemológico con
el análisis didáctico, y se convierte entonces en guía del buen uso de la epistemología
para la didáctica. (Chevallard 1997, p. 24)
En efecto, sea cual sea el problema didáctico considerado, su estudio requiere
adoptar un punto de vista particular sobre el saber matemático y las prácticas
matemáticas involucrados. Por ejemplo, ¿qué se enseña bajo el epígrafe de los
límites de funciones?, ¿con qué tipo de problemas se asocia este conocimiento?,
¿con qué justificaciones?, ¿de dónde proviene?, ¿qué hay de ello en las
“matemáticas sabias”?, ¿desde cuándo se enseñan?, ¿qué cambios han ocurrido
desde entonces?, ¿qué tipo de restricciones pesan sobre las prácticas de los
profesores?, ¿y sobre las de los alumnos?, etc. Vista desde esta perspectiva, la
Teoría de las Situaciones Didácticas puede considerarse como una “máquina”
productora de modelos epistemológicos de referencia, que en este caso se formulan
en términos de situaciones o “juegos contra un medio”. Aunque la versión más
popular de esta teoría considere las situaciones didácticas principalmente como
herramientas para implementar el conocimiento matemático en el aula (ingeniería
didáctica) y para analizar fenómenos relacionados con su aprendizaje y enseñanza,
no hay que olvidar su pertinencia para describir el saber sabio y la evolución del
saber a enseñar. Parte de la complejidad en el uso de la noción de situación se debe
a esta necesidad de alejarse del “discurso sabio” sobre las matemáticas para
producir descripciones y análisis propios de los conocimientos matemáticos que se
enseñan en la escuela. Un caso ejemplar de este análisis epistemológico se halla en
el estudio preliminar de Guy Brousseau sobre la enseñanza de los números
decimales (Brousseau 1980).
En estos últimos 25 años, son muchos los investigadores que han analizado los
procesos de transposición didáctica de algunas de las principales áreas de las
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“matemáticas a enseñar”. Por ejemplo, y si nos restringimos a la enseñanza
secundaria, podemos mencionar, entre otros temas: el álgebra elemental
(Chevallard 1985b, Kang 1990, Coulange 2001), la proporcionalidad y la medida
de magnitudes (Bolea et al. 2001, Comin 2002, Hersant 2005), la geometría
(Tavignon 1991, Chevallard y Jullien 1991, Matheron 1993, Bolea 1995), los
números irracionales e “idecimales” (Assude 1992, Bronner 1997), las funciones y
el cálculo (Artigue 1993, 1998, 2000, Chauvat 1999, Amra 2004, Barbé et al.
2005), el álgebra lineal (Ahmed and Arsac 1998, Dorier 2000, Gueudet 2000), la
aritmética (Ravel 2002), la demostración (Arsac 1989, Cabassut 2004), la
modelización matemática (García 2005), la estadística (Wozniak 2005), las
matemáticas en economía (Artaud 1993, 1995), las matemáticas y las ciencias
experimentales (Arsac et al. 1994).
En todas estas investigaciones se pone de manifiesto que la mayoría de fenómenos
relacionados con la enseñanza de las matemáticas tienen un componente
transpositivo esencial. Es en este sentido que podemos afirmar que los fenómenos
de transposición didáctica están en el corazón de cualquier problema didáctico.
Al mismo tiempo, estos fenómenos no se pueden separar de aquellos relacionados
con la producción, uso y difusión de las matemáticas. El estudio de la matemática
escolar se integra de modo inseparable en el gran problema del estudio de las
actividades matemáticas institucionales, lo que supone adoptar una definición más
general de la didáctica de las matemáticas. Guy Brousseau ya retomó este punto de
vista en el ICMI Study de Washington cuando definía la didáctica como la “science
des conditions de diffusion (imposée) spécifiques des savoir mathématiques utiles
aux gens et aux institutions humaines” (Brousseau 1994). Como vemos, esta
definición amplía el campo de la didáctica más allá de las instituciones educativas
para incluir todas las instituciones en las que tiene lugar cualquier tipo de actividad
matemática.
Guy Brousseau siempre ha insistido en la importancia de que la educación
matemática se mantenga cercana a la comunidad matemática debido al rol central
del análisis epistemológico en didáctica. Sin embargo, para progresar en su
ampliado campo de investigación, los investigadores tienen que librarse de sus
posiciones de “profesores” y de “matemáticos guardianes de la ortodoxia”. Es
necesaria una nueva posición. El recurso a la Antropología Didáctica, tal como
propone Chevallard en la segunda edición de la Transposition Didactique (1991) y
en una de las primeras presentaciones de lo que serían los pilares de la Teoría
Antropológica de lo Didáctico (Chevallard 1992), ponía de relieve la necesidad de
trabajar en la construcción de esta nueva posición.
4. La segunda contribución: la modelización de las actividades matemáticas y
didácticas
Entre 1980 y 1995, el estudio de fenómenos de transposición didáctica fue
formulado en términos de objetos de conocimiento y “relaciones a los objetos” en
el marco más amplio de la ecología institucional de los objetos matemáticos
(Chevallard 1992, Artaud 1993, 1995). La búsqueda de una herramienta que
permitiera modelizar con mayor detalle las prácticas matemáticas, incluyendo su
dimensión material, y los saberes matemáticos como componentes inseparables de
las prácticas, dio lugar a la noción de praxeología matemática dentro del marco de
la “Teoría Antropológica de lo Didáctico” (Chevallard 1999, 2002a, 2002b). Esta
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teoría está basada en la asunción de que la actividad matemática debe ser
interpretada como una actividad humana más y, en consecuencia, propone un
modelo general de las actividades humanas que formula en términos de
praxeologías. Esta noción, formada a partir de la unión de los términos griegos
praxis y logos, permite considerar en un mismo tiempo, atribuyéndoles la misma
importancia, la dimensión teórica del saber con su dimensión práctica (cercana al
“saber hacer”). De acuerdo con Chevallard (2006, la traducción es nuestra):
Una praxeología es, de algún modo, la unidad básica en que uno puede analizar la
acción humana en general. [...] ¿Qué es exactamente una praxeología? Podemos
confiar en la etimología para guiarnos aquí –uno puede analizar cualquier acto
humano en dos componentes principales interrelacionados: praxis, i.e. la parte
práctica, por un lado, y el logos, por el otro. “Logos” es una palabra griega que,
desde los tiempos pre-Socráticos, ha sido utilizada constantemente para hacer
referencia al pensamiento y razonamiento humano –particularmente sobre el cosmos.
[...] [De acuerdo con] un principio fundamental de la TAD –la teoría antropológica de
lo didáctico-, no pueden existir acciones humanas sin ser, al menos parcialmente,
“explicadas”, hechas “inteligibles”, “justificadas”, “contabilizadas”, en cualquier
estilo de “razonamiento” que pueda abrazar dicha explicación o justificación. La
praxis, por tanto, implica el logos que, a su vez, implica volver a la praxis. En efecto,
toda praxis requiere un apoyo en el logos porque, a la larga, ningún quehacer humano
permanece sin cuestionar. Por supuesto, una praxeología podría ser deficiente, por
ejemplo porque su “praxis” se compone de una técnica ineficaz –“técnica” es aquí la
palabra oficial para designar una “forma de hacer”– y su componente “logos” consta
casi completamente de puro sinsentido –¡al menos desde el punto de vista del
praxeólogo!
Con el objetivo de disponer de herramientas más precisas para analizar los
procesos didácticos institucionales, Chevallard (1999, p. 226) clasifica las
praxeologías matemáticas en una secuencia de complejidad creciente que comienza
por las puntuales, praxeologías constituidas por técnicas construidas en torno a un
único tipo de problemas. Las praxeologías puntuales se pueden articular entre sí de
acuerdo con su marco teórico para dar lugar a las praxeologías locales, regionales
o globales que cubren respectivamente un tema matemático completo, todo un
sector o toda un área.
Con la modelización del saber matemático en términos de praxeologías, el análisis
de los procesos de transposición didáctica adquiere una nueva funcionalidad.
Desde el saber sabio “oficial” que se encuentra en los tratados matemáticos o aquel
más informal “activado” por los investigadores en su trabajo diario, hasta los
contenidos explícitamente enseñados en el aula o el saber, menos explícito,
aprendido por, y por tanto disponible para, un grupo de estudiantes, todas las
etapas del proceso transpositivo se pueden describir en términos de praxeologías.
Esta herramienta llega a ser especialmente útil para clarificar los modelos
epistemológicos de referencia que guían el análisis de los investigadores,
permitiéndoles señalar las restricciones estrictas que las “praxeologías a enseñar”
provocan sobre las prácticas de profesores y estudiantes.
Bolea, por ejemplo, presenta un modelo específico de álgebra elemental que
permite mostrar en qué sentido los procesos históricos de transposición didáctica
han ido “desalgebrizando” la matemática escolar, al tiempo que describe las
restricciones didácticas que pesan sobre la enseñanza actual del álgebra como
herramienta de modelización (Bolea et al. 2004). García (2005) amplía este
modelo para estudiar la relación entre la modelización algebraica y funcional,
mostrando el carácter aislado de la proporcionalidad en el currículo español
(García y Ruiz 2006). Un modelo muy simple en términos de una praxeología
10
“bicéfala” puede mostrar lo extremadamente estrecho que es el espacio en el que
puede moverse un profesor de enseñanza secundaria cuando enseña límites de
funciones en España (Barbé et al. 2005). Otros análisis de los procesos de
transposición didáctica en términos de praxeologías pueden ser encontrados en
tesis doctorales recientes, tales como: Cabassut (2004), que analiza lo que ha
denominado una “doble transposición” sobre la enseñanza de la demostración
como conocimiento matemático y social; Hersant (2005) que describe la evolución
de la enseñanza de la proporcionalidad en Francia y cuestiona el pobre lugar
destinado al estudio de magnitudes; Ravel (2002) que estudia la difícil
reintroducción de la aritmética en la enseñanza secundaria francesa, Amra (2004)
sobre la enseñanza de las funciones; Rodríguez (2005) en relación con la
enseñanza de la resolución de problemas y las habilidades metacognitivas; y
Wozniak (2005) que plantea la necesidad de reabrir el trabajo transpositivo en la
enseñanza de la estadística en Francia.
Hemos dicho que el conocimiento matemático puede ser descrito en términos de
praxeologías. ¿Qué ocurre con la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas,
esto es, con el propio proceso didáctico? De hecho, del mismo modo que el
conocimiento nunca es una construcción definitiva, las praxeologías matemáticas
no emergen de repente y están en permanente desarrollo. Es el resultado de
actividades variadas y continuas, con dinámicas complejas, que a su vez tienen que
ser modelizadas. En este sentido la actividad matemática presenta dos aspectos
íntimamente relacionados: el proceso de construcción de nuevos conocimientos –el
proceso de estudio o proceso didáctico– y el producto o resultado de esa
construcción –las praxeologías matemáticas–. El proceso de estudio, como
actividad humana que es, también puede ser modelizado en términos de
praxeologías que serán ahora praxeologías didácticas (Chevallard 1999). No
desarrollaremos más este punto aquí. Sólo notaremos que, en este marco, la noción
de estudio proporciona un campo unitario para describir las praxeologías
didácticas, objeto de las cuales es la reconstrucción de las praxeologías
matemáticas en las diferentes instituciones sociales, ya sean instituciones de
producción, de difusión, de utilización o de enseñanza. El objeto de estudio de la
didáctica de las matemáticas se puede identificar entonces con todo aquello que
esté relacionado con el estudio y la ayuda al estudio de las matemáticas:
El concepto de praxeología nos permite formular completamente el objeto de la
didáctica: la didáctica se preocupa por el estudio de las condiciones y restricciones
bajo las cuales las praxeologías comienzan su vida, migran, cambian, funcionan,
mueren, desaparecen, reviven, etc., dentro de los grupos humanos. Por supuesto esto
conlleva una considerable ampliación del campo de investigación de la didáctica: la
didáctica estudia lo didáctico, en cualquier forma que pueda aparecer. Dándose el
objeto de estudio adecuado, la didáctica aumenta progresivamente sus esperanzas de
evitar quedar dominada por campos disciplinares establecidos en la escuela.
(Chevallard 2005, la traducción es nuestra)
11
Si sustituimos ‘condiciones y restricciones’ por ‘ecología’, podemos decir, del
modo más resumido, que la didáctica se preocupa por el estudio de la ecología
institucional de las praxeologías matemáticas y didácticas. Como fue mostrado
hace algunos años por Artaud (1993, 1995), la transposición didáctica debe en
realidad considerarse como una forma particular de transposición institucional,
esto es, de difusión social del conocimiento. De ahí su presencia como componente
esencial en todos los fenómenos didácticos, es decir los fenómenos ligados a la
producción y difusión social del conocimiento.
5. Tercera contribución: restricciones en diferentes niveles de determinación
El estudio de la ecología de las praxeologías matemáticas y didácticas manifiesta
que, cuando el profesor y los estudiantes se enfrentan a un saber que debe ser
enseñado, lo que puede ocurrir está determinado principalmente por un conjunto de
condiciones y restricciones que no pueden reducirse a aquellas identificables
inmediatamente en el aula: el conocimiento previo de profesores y alumnos, el
material didáctico disponible, el software, la organización temporal del estudio,
etc. Aunque esas condiciones y restricciones juegan un papel importante,
Chevallard propuso recientemente considerar una escala de ‘niveles de
determinación’ (ver Figura 3) que podría ayudar a los investigadores a identificar
aquellas condiciones que van más allá del estrecho espacio de la clase y del tema
que se tiene que estudiar (Chevallard 2002b, 2004).
¿Por qué una nueva ampliación del objeto de estudio con la correspondiente
complejidad del marco teórico? La respuesta es siempre la misma: para liberarse
de las concepciones espontáneas del conocimiento matemático que, al analizar su
objeto de estudio, los investigadores podrían asumir sin cuestionarlas previamente.
Las praxeologías “puntuales”, “locales”, “regionales” y “globales” se corresponden
con los niveles inferiores: los de la cuestión, el tema, el sector y el ámbito. Quizá
debido a su familiaridad con el “problema del profesor” (“dado un contenido
matemático para ser enseñado, ¿cuál es la mejor forma de hacerlo?”), a menudo los
didactas asumen como incuestionable la delimitación de contenidos que ofrecen las
instancias educativas o académicas. Hay que situarse en un nivel de generalidad
superior para preguntarse, por ejemplo, y dada una organización
Civilización
curricular concreta, por qué están divididos los contenidos en
estos bloques temáticos y no en otros, o cuáles son los criterios
Sociedad
para determinar esta división y qué tipo de restricciones causa
sobre la actividad concreta que pueden realizar profesores y
Escuela
estudiantes.
Pedagogía
Disciplina
Área
Sector
Tema
Por ejemplo, en matemáticas, el alto valor asignado a la
geometría en detrimento del álgebra como lugar privilegiado para
la enseñanza del razonamiento y la demostración, así como la
dificultad que existe en algunos países europeos para incluir la
estadística como un bloque de contenido con el mismo rango que
los demás, son en realidad fenómenos que se originan en los
niveles más altos de determinación: la sociedad y la civilización.
Por no mencionar el encierro de las matemáticas en sí mismas y
las dificultades para establecer relaciones entre las matemáticas y
otras disciplinas. Éstas son claramente restricciones que pesan
mucho sobre la enseñanza y el aprendizaje de la modelización
Cuestión
Figura 3. Escala de los
Niveles de determinación
12
matemática y de otras prácticas que requieren la construcción de praxeologías
matemáticas “mixtas”, es decir mezcladas con objetos no-matemáticos (Wozniak
2005).
El principal problema es conocer qué tipo de restricciones, procedentes de qué
nivel, llegan a ser cruciales para la ecología de las praxeologías matemáticas y
didácticas. Al principio de este artículo hemos mencionado el proceso de
“monumentalización” del conocimiento matemático. No creemos exagerado
afirmar que se está convirtiendo, hoy día, en un fenómeno transpositivo esencial
que va incluso más allá de la enseñanza de las matemáticas y afecta a casi todos los
tipos de praxeologías enseñadas en la escuela. Ante esta situación, los trabajos más
recientes de Chevallard (2004, 2005, 2006) abogan por la construcción de una
nueva epistemología escolar que sitúe la razón de ser de los saberes y su
funcionalidad en el corazón mismo del aprendizaje:
[Necesitamos] una actualización de las matemáticas para transformarlas, en cierto
sentido, en matemáticas responsables. Unas matemáticas que muestren claramente a
las nuevas generaciones que la escuela no les abandona sino que, por el contrario, se
preocupa por dotarles de las herramientas necesarias para pensar el mundo que les
rodea e intenta armarles de conocimiento y de razón. (Chevallard 2004, la traducción
es nuestra).
La escala de niveles de determinación clarifica una nueva apertura del campo de
estudio de los fenómenos didácticos que era incipiente en las primeras
formulaciones de la teoría de la transposición didáctica. Hace 25 años el trabajo de
Chevallard nos impulsó a tener en cuenta constricciones procedentes del proceso
de transposición didáctica y del modo concreto cómo este proceso organiza los
contenidos matemáticos en la escuela: desde la división en disciplinas y bloques
de contenido, hasta los niveles más específicos, el de las cuestiones o tipos de
problemas que deben aprender a resolver los alumnos. Parece necesario ahora dar
un paso más, alzando la vista hacia las limitaciones que, procedentes de la
Sociedad y a través de la Escuela, posibilitan, condicionan y restringen el estudio
de las distintas disciplinas. Porque todo ello afecta, de modo más general, al lugar
y a las funciones que nuestras sociedades asignan a las disciplinas y a las
“actividades de estudio” como herramientas para la formación y el desarrollo de
las nuevas generaciones de ciudadanos. Esperamos que este último avance nos
permita reexaminar nuestras visiones comunes sobre la educación y el aprendizaje
escolar de las matemáticas y contribuya a construir aquella “epistemología
alternativa” que Kang y Kilpatrick (1992, p. 2) supieron vislumbrar en las
primeras formulaciones de la teoría de la transposición didáctica:
We may need an alternative epistemology if we admit that most of the knowledge in
school mathematics is a compound of knowledge that fits observations together with
our values, instructional purposes, mathematical skills, and so on. […] Can we
construct and epistemology that allows us to treat knowledge at least “as if” it existed
independently outside of the knower without violating much of the constructivist
position? One epistemological model that gives a positive answer can be found in the
didactic transposition theory of Chevallard.
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