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Marcosapb – Matemática – Algebra -- 2012
VOLÚMENES Y ÁREAS DE LOS PRINCIPALES POLIEDROS
VOLUMEN Y ÁREA DE UN ORTOEDRO
Consideremos el siguiente ortoedro:
d  a 2  b 2  h 2 .  Diagonal
Cara
V  volum en
Arista
AL  área lateral
h
AT  áre atotal
B  área de la base
b
El volumen de un ortoedro es igual al
producto de sus tres dimensiones: largo x
ancho x alto (a  b  h)
a
a b
2
2
V  abh
Arista: Línea formada por la unión de dos caras.
Cara: Cada uno de los rectángulos que forman el ortoedro.
DESARMANDO LA FIGURA:
b
Base
Base
h
a
h
El volumen se expresa en
unidades al cubo, o sea,
exponente tres (3):
m3 , cm3 , km3 ...
b
a
Todas las caras son rectángulos,
hay 2 caras que sirven de base, y 4
que son caras laterales
h
V  a  b  h ………………Expresión que permite calcular el volumen de un ortoedro.
A L  ah  ah  bh  bh  2ah  2bh  2h(a  b)
A L  2ah  2bh  2h(a  b)..........Expresión que perm itecalcular el área lateral
B  ab....Área de la base
Com o tiene dos bases, entonces: 2 B  2ab
AT  A L  2 B  2h(a  b)  2ab.........Expresión que perm itecalcular el área total
VOLUMEN: Espacio
ÁREA LATERAL:
Es el área de las caras laterales de un poliedro.
ÁREA DE LA BASE:
ÁREA TOTAL:
que ocupa un cuerpo.
Es el área sobre la cual descansa la figura.
Es la suma del área lateral más el área de las bases.
EJEMPLO 1.
Hallemos el volumen, el área lateral, área total y la diagonal de un ortoedro cuyas
dimensiones son: 8cm, 5cm y 2cm.
Solución:
2cm
a  8cm. b  5cm. h  2cm.
V  abh  (8cm)(5cm)(2cm)  80cm3
8cm
5cm
A L  2h(a  b)  2(2cm)(8cm  5cm)
2
A L  4cm(13cm)  52cm .
1
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B  ab  (8cm)(5cm)  40 cm 2 .
2
2
2
2
AT  AL  2 B  2h(a  b)  2 B  52 cm  2(40 cm )  52 cm  80 cm
2
AT  132cm
d  a  b  h  (8cm)  (5cm)  (2cm)  64cm  25cm  4cm
2
2
2
2
2
2
2
2
2
d  93cm  9,64cm
2
EJEMPLO 2.
La siguiente figura representa un depósito de agua construido en una comunidad
20,5m
16m
30,8m
a) Hallemos el volumen aproximado del depósito
b) ¿Cuántos litros de agua puede contener
c) Si un litro de agua se vende a $14,5. ¿Cuánto dinero
se recauda?
d) Si en la comunidad hay 135 casas y cada una
consume en promedio 99,5 litros de agua cada día,
¿para cuántos días alcanza el agua?
e) Si una familia de 15 miembros puede consumir el
depósito en 30 días, ¿en cuántos días lo consumirá
otra familia que tiene 5 miembros más…?
Re cuerde que :
Solución:
a) El volumen del depósito se halla multiplicando las tres dimensiones:
V  (30,8m)(20,5m)(16m)  10102,4m3  10´102.400.000cm3
1  litro  1000cm
3
3
1  m  1000000cm
b) Aplicando una regla de tres simple directa, calculamos los litros que puede contener:
Litros
1
x
cm3
1000
10´102.400.000
De donde: x 
1  10´102.400.000
 10.102.400 litros
1000
Vendiendo los 10´102.400 litros de agua a $14.5, se recauda:
Re caudo 14,5(10´102.400)  $146´484.800
c) Como cada casa consume en promedio 99,5 litros de agua por día, las 135 casas
consumen en un día: 135(99,5)  13432,5 litros
Aplicando una regla de tres simple directa . Entonces:
Litros
días
10´102.400
13432,5
1
De donde: x 
 752,08 días
13432,5
10´102.400
x
d) Como a más personas consumiendo agua, la misma alcanza para menos días, en este
caso, aplicamos una regla de tres simple inversa. La primera familia tiene 15
miembros y la segunda 20 miembros, porque según el enunciado, tiene 5 más.
Entonces:
Personas días
30 20
30  15
15
30 De donde:

 x
 22,5 días
x 15
20
20
x
2
3
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EJERCICIOS
1. Para cada figura, calcule el volumen, el área total y la diagonal:
8cm
5m
d=?
V = 192cm3
6cm
7cm
6m
4cm
a=?
9m
4cm
Ayuda :
a
V
bh
2. ¿Cuánto cartón se necesita para hacer una caja sin tapa, que tenga forma de ortoedro
rectangular cuyas dimensiones sean: 4cm, 3.5cm y 2cm. Sugerencia: Halle el área de las
caras.
3. Las dimensiones de un paralelepípedo rectangular miden: 6m, 8m y 3m.
a) ¿Cuánto cartón se debe comprar para construir el paralelepípedo sin tapa y cuánto, con
tapa?
b) Si el m2 de cartón cuesta $ 46.89, ¿con cuánto dinero se pueden construir los
paralelepípedos?.
4. Se van aguardar libros en una bodega de dimensiones 4m, 7m y 3m. Si la dimensión de
cada libro es 20cm, 10cm y 4cm, calcule el número de libros que se puede guardar en
esa bodega.
5. Las dimensiones de una piscina que tiene forma de ortoedro miden 30m x 10m x 3m.
a) Halle el volumen de la piscina
b) Si se estima que una persona tiene un volumen de 51000cm3, ¿cuántas personas
caben en la piscina?
c) Si el litro de agua cuesta $25.56, ¿cuánto cuesta llenar la piscina?
d) Si una llave que vierte 20 litros por segundos, llena la tina en 12 horas, ¿en cuántas
horas la llenará otra llave que vierte las 2/5 de la primera en el mismo tiempo?
Nota: Para cada ejercicio, construya una gráfica que represente la situación.
VOLUMEN Y ÁREA DE UN CUBO O HEXAEDRO
d 
3  1,73
3 k
V  k  k  k  k 3.  V  k 3
Arista
K
2
2
2
2
2
A L  k  k  k  k  4k
 A L  4k 2 .
K
K
B  k 2 .  2 B  2k 2 .
2
2
2
AT  A L  2 B  4k  2k  6k
 AT  6k 2 .
3
k  V Fórmula para calcular la arista.
El volumen de un cubo es igual a la arista al cubo, o sea, elevada a la 3.
3
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DESARMANDO LA FIGURA:
K
K
Todas las caras son cuadrados
Hay 2 caras que sirven de base, y 4 que
son caras laterales
K
EJEMPLO 1.
Calculemos el volumen, el área total y la diagonal de un cubo de 4,25m de arista.
Solución:
k  4,25m.  V  k 3  (4,25m) 3  76,76m 3
2
2
2
2
AT  6k  6(4,25m)  6(18,062m )  108,37m .
d  3  k  1,73(4,25m)  7,35m
4,25m
EJEMPLO 2.
Si la arista de un cubo se duplica, ¿en cuánto crece el nuevo volumen?
V2
Como se puede observar, la
arista del cubo de la derecha es
el doble de la del cubo de la
izquierda
V1
2k
k
Hallem oslos volúm enes:
V1  (k ) 3  k 3 .....(1)
V2  (2k ) 3  8k 3 .....(2)
Estableciendo la proporciónentre los volúm enes(1) y (2) :
V1
V
k3
1
 3  1  , de donde: V2  8V1
V 2 8k
V2 8
El nuevo volumen (2) es 8 veces el volumen inicial (1) o el volumen inicial (1) es la octava
parte del volumen final (2). Lo que indica, que por cada unidad del volumen (1), hay ocho
unidades del volumen (2). O sea, están en una proporción de 1:8 ó de 8:1
Haciendo uso de la ecuación anterior ( V2  8V1 ), complete la siguiente tabla para los
valores indicados e indique la proporción
V1
V2
8
Proporción
30
1:8
3
15
5
4
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¿Qué puedes opinar acerca de las proporciones?
EJERCICIOS
1.
Para cada cubo o hexaedro, realice el cálculo exigido:
V = 512cm3
5,8cm
Ayuda
4m
V  ? . AT  ? . d  ?
k 3 V
V  ? . AL  ? . d  ?
k  ? . AT  ? . d  ?
El volumen de un cubo es de 125cm3. Halle: La arista, el área total y la diagonal.
La diagonal de un cubo mide 10,38cm. Halle: La arista, el área total y el volumen.
2.
3.
d
Ayuda: k 
3
3  1,73
.
4. ¿Cuánto cartón se necesita para construir un caja de forma cúbica de 9,5 cm de arista.
Si el m2 cuesta $ 250,25. ¿Cuánto dinero se necesita?
5. Si la arista de un cubo se triplica, ¿en cuánto crece el nuevo volumen y la nueva área
total? Ayuda: k  3k
6. Si la arista de un cubo se reduce a la mitad, ¿en cuánto decrece el nuevo volumen y la
nueva área total?
VOLUMEN Y ÁREA DE UN PRISMA
DESARMANDO LA FIGURA:
L
L
h
h
L
L
L
L
a
En este caso, el prisma es pentagonal,
porque su base es un pentágono.
Cualquier polígono puede servir de base.
Todas las caras son rectángulos.
n = Número de lados.
L = longitud de los lados.
B = área de la base.
a = apotema.
V  Bh . Pero:
B
nLa Pa

. Entonces:
2
2
V  Bh 
h = altura.
P = perímetro.
nLah
.
2
AL  nLh
nLa
AT  2 B  nLh  2 2  nLh  nLa  nLh  nL(a  h)
 
AT  nL(a  h)
El volumen de un prisma es igual al producto del área de la base por la altura.
El área lateral de un prisma es igual al producto de la altura(h) por el perímetro de la
sección recta.
5
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EJEMPLO
Un prisma triangular recto tiene por base un triángulo equilátero de 8m de lado. Si la altura
del prima es de 10m, calculemos el volumen y el área total.
Solución:
h
A
3 L
2
b h
. Fórmula altura triángulo equilátero
L  8m. h  10m
. Área triángulo.
2
10m
h
B
3 L

V  Bh  27,68m 2 (10m)  276,8m3

2
2
b h
8m(6,92m)

2
8m
1,73(8m)
13,84m
 6,92m.
2

55,36m
2
2
 27,68m 2
2
este es el volum en
n  3.
AL  nlh  3(8m)(10m)  240m2 esta es el área lateral.
2 B  2(27,68m 2 )  55,36m2
esta es el área de las bases.
AT  AL  2 B  240m 2  55,36m 2  295,36m2 esta es el área total
EJERCICIOS
1. Para cada prisma, realice el cálculo exigido:
Triángulo
equilátero
12m
15m
6m
7cm
1,7m 2m
8m
12m
V  ? . AT  ?
4cm
V  ? . AT  ?
Ayuda: área triángulo
3 L2
equilátero: A 
4
V  ? . AT  ?
18cm
V  ? . AT  ?
a
3L
2
apotem ahexágono
2. Un prisma tiene por base un cuadrado de 10m de lado. Si alcanza una altura de 5m,
halle el volumen y el área total.
3. Un prisma tiene por base un rombo cuyas diagonales miden 9m y 14m. Si el prisma
alcanza una altura de 3m, halle el área total y el volumen.
4. Para almacenar agua, una comunidad construye un lago en un terreno. Dos de las caras
laterales son trapecios isósceles cuyas bases miden 9m y 12m, el fondo y las otras
paredes son rectángulos. Las caras trapezoidal están separadas por una distancia de
100m. Si máxima altura que alcanza el agua almacenada es de 5m, determine:
a) La capacidad(volumen) del lago. Exprese el volumen en litros
b) Si cada litro de agua tiene un valor de $245,86 ¿cuánto dinero recaudará la
cominudad?
6
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VOLUMEN Y ÁREA DE UNA PIRÁMIDE
Arista
Cara lateral
1
V
Bh 
3
Altura
Bh
.
3
AT  A L  B
h
Base
El volumen de una pirámide es igual a 1/3 del producto del área de la base por la altura.
El área lateral se halla sumando las áreas de los triángulos (caras laterales).
En una pirámide regular, la apotema es la altura de los triángulos isósceles de las caras laterales
EJEMPLO
Hallemos el volumen de una pirámide que tiene una altura de 11m y su base es un
rectángulo de 7m y 4m de lado
Solución:
V
1
Bh 
3
Bh
.
3
AT  A L  B
Área de la base: B  7 m( 4m)  28m 2
11m
4m
Volumen pirámide: V 
Bh
3

28m 2 (11m)
 102,66m 3
3
7m
EJERCICIOS
Altura
1. Para cada pirámide, realice el cálculo pedido:
V ?
50cm
5cm
8cm
8cm
4cm
V ?
Tetraedro regular: pirámide cuya base y
caras laterales son triángulos equiláteros.
2 L3
.... volum entetraedro.
12
3 L2
A
.... área de una cara
4
2
h
L .... altura tetraedro
3
V
14cm
V ?
2. Una de las pirámides de Egipto tiene como base un cuadrado de 9m de lado y alcanza
una altura de 4m. Halle el volumen de la pirámide.
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VOLUMEN Y ÁREA DE UN CILINDRO CIRCULAR RECTO
d
r
h
h
2 r
r
r
d  Diám etro.
r  Radio.
d
d  2r. r  .   3,1416.
2
V   r h.
h  Altura.
g  Generatriz.
B   r . A L  2rh. AT  A L  2 B
2
2
2
AT  2rh  2 r  2 r (h  r )  AT  2 r (h  r )
El volumen de un cilindro se
halla multiplicando el número
 por el radio al cuadrado y
por la altura
EJEMPLO1.
Hallemos el volumen y el área lateral de un cilindro que tiene un diámetro de 9cm y una
altura de 14cm.
Solución:
d  9cm.
r
d
2

9cm
2
 4,5cm.
h  12cm.
  3,1416.
V   r 2 h  (3,1416)(4,5cm) 2 (12cm).
12cm
V  (3,1416)(20,25cm 2 )(12cm)  763,4cm 2
2
A L  2rh  2(3,1416)(4,5cm)(12cm)  339,29cm .
9cm
EJEMPLO 2.
¿Cuál debe ser el radio de un cilindro para que el área lateral sea el triplo del área de la
base?
Solución:
El ejemplo nos muestra, que el área lateral equivale tres veces el área de la base, entonces:
A L  3B  (1)
A L  2 rh  (2).
2 rh  3 r 2

B   r 2  (3).
r
2

2 h
r
2h
Re em plazando(2) y (3) en (1), se tiene :

2
h.
r
3
3
3
El radio debe ser las dos terceras partes de la altura.
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Halle el valor del radio para las siguientes alturas: 10m, 15cm, 25m y 36cm.
EJERCICIOS
V = 40 litros
1. Para cada cilindro, realice el cálculo exigido:
16m
36cm
6cm
15m
3cm
h?
V ?
V ?
AT  ?
AT  ?
Ayuda: h 
V
 r2
1litro  1000cm3
2. Un tanque cilíndrico tiene 1000cm de diámetro y 12cm de altura. ¿Cuántos galones de
gasolina puede contener?.
Ayuda: Galón = 3,78 litros.
3. Un tanque cilíndrico tiene 500cm de diámetro y 2,5m de altura. Calcule el área total y el
volumen.
4. ¿Cuál es el radio de un cilindro, si el área lateral es el doble del área de la base?
VOLUMEN Y ÁREA DE UN CONO
g
g
h
2 r
r
r
g  Generatriz.
h  g r .
2
2
1
V   r 2 h.
3
A L   rg .
B  r2
2
AT  A L  B   r g   r   r ( g  r )  AT   r ( g  r )
EJEMPLO
Dos conos tienen la misma altura y los diámetros de sus bases miden 1,12m y 2,4m. ¿En
qué proporción están sus volúmenes?.
Solución:
h
d1
g
h
g
h  h . d 1  1,12m. d 2  2,4m.
1,12m
d
r1  1 
 0,56m
2
2
2,4m
d
r2  2 
 1,2m
2
2
d2
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Calculandolos volúm enes:
1
1
1
1
2
2
2
2
V 1   r1 h   (0,56) h  0,10h. V 2   r2 h   (1,2) h  0,48h.
3
3
3
3
Estableciendo la proporción:
2 1
V 1 0,10h
V1 1

 0,2 



 V 2  5V 1
10 5
V 2 0,48h
V2 5
Los volúmenes están en una proporción de 1 a 5, o sea, que V1 es la quinta parte de V2 o en
su efecto, V2 es 5 veces V1.
EJECICIOS
1. Para cada cono, realice el cálculo exigido:
9m
3m
25cm
14m
10cm
10m
V ?
V ?
12m
6m
30cm
V ?
AT  ?
AT  ?
AT  ?
2. Dos conos tienen la misma altura y los diámetros de sus bases miden 8cm y 4cm. ¿En
qué proporción están sus volúmenes?
3. Si el área total de un cono es 75,24cm2 y la generatriz es el doble del radio de la base,
determine el volumen.
4. La capota de una lámpara es de forma cónica. Su diámetro es de 6,5cm y su altura es de
14cm. ¿Cuál es el volumen?
VOLUMEN Y ÁREA DE UNA ESFERA
d
d 
. r3    
2
8
2
4
1
V   r 3  d 3 .
A  4 r 2  d 2
3
6
A
3V
1 3V
r
.
r 3
 3
4
4
2 
r
r
d
3
3
Semiesfera: Mitad de una esfera.
EJEMPLO
Si el diámetro de una esfera es tres veces el radio de otra esfera, determine:
a). La razón entre los dos radios.
b). La razón entre las dos áreas.
c). La razón entre los dos volúmenes.
Solución:
Esfera 2
Esfera 1
D1
2r1
=
=
3r2
3 r2
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r
2r  3 r 2 
1
1

r
3
3
.
La razón de los radios es
.
2
De la anterior exp resión se tiene que :
2
2
r 
3r 2
1
y r2 
2
2 r1
.
3
2
2
9r
 3r 2 
2
2
2


El área 1 es : A1  4 r 1  4 
 9 r 2 .
  4
4
 2 1
Estableciendo la proporciónentre las áreas :
A1

A2
9 r 12
4 r
2

9
A1

4

9
.
La razón de las áreas es :
4
A2
2
A 2  4 r2 .
9
.
4
2
El volum en1 es : V 1 
4 r 3
El volum en2 es : V 2 
1

 3r
4  2
 2

3
4 r
2

27 r

2
4


 
8
3
3
3
3

108 r 3
2

24
9 r 3
2
.
2
3
. Estableciendo la proporciónentre los volúmenes:
3
9 r 3
2
V1
V2

27 r 3
27
27
V 1 27
2 
2



. La razón de los volúmeneses : .
4 r 3
8 r 3
8
8
V2 8
2
2
3
EJERCICIOS
1. Calcule el volumen y el área de una esfera de 1,5cm de radio.
2. Los radios de dos esferas miden 4m y 6m. Halle los volúmenes y las áreas
3. 8cm y 10cm son los diámetros de dos esferas. ¿En qué proporción están los volúmenes
y las áreas?
4. Halle el volumen y el área de una semiesfera de 9m de diámetro.
5. Encuentre el espesor de una esfera hueca, si la superficie exterior mide 4m2 y la
interior 3,8m2. Ayuda: Calcule los dos radios y establezca la diferencia.
6. El área de una esfera mide 40cm2. Halle el radio y el volumen de la esfera.
7. El volumen de una esfera es de 27m3. Halle el radio y el área.
8. ¿Por qué número debe multiplicarse el diámetro de una esfera para que: a). Su área se
duplique? b). Su volumen se triplique?
9. Si el diámetro de una esfera es el doble del radio de otra esfera, determine: a). La razón
entre los dos radios. b). La razón entre las dos áreas. c). La razón entre los dos
volúmenes.
RELACIÓN ENTRE EL VOLUMEN DE UN CILINDRO CIRCULAR CIRCUNSCRITO A UNA
ESFERA (LA ESFERA DENTRO DEL CILINDRO)
Como se puede observar, dentro del cilindro hay una esfera
cuyo diámetro es igual a la altura y al diámetro del cilindro
Hallemos los volúmenes y establezcamos la relación:
Cilindro
x
h  x.
x
 x3
2
2
x 2
V c   r h   r h   ( 2 ) ( x )  4 .....( 1)
r  2x .
Esfera
r  2x .
Ve 
4 r 3
3
x
4 ( ) 3
2


3
 x3
6
.....( 2)
11
Marcosapb – Matemática – Algebra -- 2012
Estableciendo la relación entre los dos volúm enes(1) y (2) :
 x3
6 x 3 6 3
 4 
 

3
4 2
Ve
 x3 4 x
Vc
Vc
3
2

Ve
3
2
 Vc  Ve o Ve  Vc
2
3
6
Lo anterior se interpreta a sí: El volumen del cilindro es 3/2 del volumen de la esfera o el volumen de
la esfera es 2/3 del volumen del cilindro
VOLÚMENES DE SÓLIDOS TRUNCADOS, SECCIONADOS Y EN DIFERENTES POSICIONES
VOLUMEN DE UN TRONCO DE PIRÁMIDE
B1  Área de la base 1. B2  Área de la base 2.
h1  Altura que va desde la base 2 hasta el vértice de la
h1
h
B2
pirámide
h2  Altura que separa las dos bases
h  Altura de la
pírámide.

h  h1  h2



B  B2  B1 B2 h2
1
B1  B2  B1 B2 h2  1
3
3
3
B2
V1 h1
 3.
V2 h 2
h
h2
V
B1
B1
EJERCICIOS
1. Para cada tronco de pirámide, halle el volumen:
8cm2
5cm
4m
10cm
7cm
8m
16cm2
12cm
Las bases son
triángulos equiláteros
10m
Las bases son
cuadrados
2. Los volúmenes de un tronco de pirámide y una pirámide miden 36m3 y 20m3. Si el tronco
sostiene la pirámide y las dos bases están separadas por una distancia de 10m, halle la altura de
la pirámide y la altura que alcanzan las dos figuras.
VOLUMEN DE UN TRONCO DE CONO
R  Radio círculo mayor. r  Radio círculo menor.
h1
r
h
h2
R
h  h1  h2 .
D  2 R.
D R
 .
d
r
h2 R
 .
h1 r
d  2r.

 h2 R 2  r 2  Rr
1
V   h2 R 2  r 2  Rr 
3
3



AL   g ( R  r )
AT  AL   ( R 2  r 2 )
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Marcosapb – Matemática – Algebra -- 2012
EJERCICIOS
Para cada tronco de cono, halle el volumen:
8cm
3cm
h
H
6cm
4cm
5cm
10cm
5cm
12cm
9cm
Además, halle el volumen
del cono superior y de todo
el cono
VOLUMEN OTROS POLIEDROS
CILINDRO OBLICUO
CILINDRO TRUNCADO
CILINDRO HUECO
h
R
h
h2
h1
V  R 2 h
R
R
V  R 2 (h1  h2 )
CONO OBLICUO
r
V  h( R 2  r 2 )
SECTOR ESFÉRICO
ELIPSOIDE
k
d
h
D
R
R
V 
h
V
R h
2
2R 2 h
3
V 
3
4Ddk
3
CUÑA
SEGMENTO ESFÉRICO
R
B
n
h
b
 
3
V  B2b  h  6h
B y b, son áreas
V
4R 3 n

3 360
n  Ánguloen grados
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PRINCIPALES POLIEDROS
Poliedro: Sólido que tiene varias caras.
Poliedro regular: Cuando las caras son polígonos regulares iguales.
Figura
Nombre
Características
Tetraedro regular
Tiene 4 caras iguales. Las caras son triángulos
equiláteros
Cubo o hexaedro
Tiene 6 caras iguales. Las caras son cuadrados
Prisma recto
Poliedro limitado por varios paralelogramos y
dos polígonos iguales cuyos planos son
paralelos(bases)
Paralelepípedo
Pirámide
Prisma cuyas bases so paralelogramos
Poliedro que tiene una cara llamada base, que
es un polígono cualquiera y las otras , llamadas
caras laterales son triángulos que tienen un
vértice común.
Cilindro
Sólido formado por dos curvas cerradas
paralelas.
Cilindro
Sólido formado por dos curvas cerradas
paralelas.
Esfera
Sólido o espacio limitado por una superficie
curva cuyos puntos equidistan todos de otro
interior llamado centro.
VOLUMEN TOTAL
El volumen total de un cuerpo sólido que está formado por varios poliedros regulares, se
halla sumando los volúmenes.
VT  Volumen total.
V1  Volumen primer sólido.
V2  Volumen segundo sólido.
V3  Volumen tercer sólido.
     Volumen sólido cuatro, cinco, seis, siete, ocho, …
VT  V1  V2  V3    
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EJERCICIO
Para cada figura, halle el volumen total:
8cm
Análisis:
Halle por separado el volumen de cada
uno de los sólidos involucrados en la
figura, luego, sume los volúmenes
1
Halle el área total de las figuras 2 y 3
3cm
3cm
12m
5cm
4cm
2
11cm
9m
10m
3
10m
10m
8m
14,78m
10m
7,96m
16m
9,8m
5m
K 3.
abh.
Bh
nlah
Pah
Bh
.
2
2
3
2
r h
4 r 3
.
 r 2 h.
3
3
11,6m
VOLUMEN LIMITADO POR DOS SÓLIDOS
El volumen limitado por dos sólidos, se halla estableciendo la diferencia (resta) entre el
volumen del sólido mayor y el sólido menor.
VL  Vma  Vme .
Vma  Volumen sólido mayor.
VL  Volumen limitado por los dos sólidos.
Vme  Volumen sólido menor.
EJERCICIO
Para cada figura, halle el volumen limitado:
1
9cm
Análisis:
 Calcule el volumen del sólido mayor.
 Calcule el volumen del sólido menor.
 Halle la diferencia (resta) entre los dos volúmenes
7cm
19cm
15
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4cm
3cm
18cm
2
14,6m
3
6cm
18cm
4
5
19m
14m
8,2m
10,5m
17m
6
8
7
15,79cm
8
ALGEBRA Y GEOMETRÍA -- VOLUMEN
En este capítulo estableceremos una relación entre la aritmética, el álgebra y la geometría.
Expresaremos algebraicamente los cálculos que sobre los principales poliedros (sólidos)
realizamos aritméticamente. Es importante recalcar, que la conexión se establece con los
mismos conceptos que sobre volumen y áreas conocemos de cada poliedro.
EJEMPLO
Dada la siguiente figura, hallemos la expresión algebraica que representa el volumen y el
área de la región sombreada. Además, el valor numérico para x = 2.
Solución:
El poliedro
dimensiones
d
involucrado
es
un ortoedro
. Entonces:
de
,
esta es la expresión algebarica que representa el
volumen
, valor numérico
16
Marcosapb – Matemática – Algebra -- 2012
Para la región sombreada:
La misma es un rectángulo cuyos lados miden
. Pero
es la diagonal de la cara
frontal del poliedro, aplicando el teorema de Pitágoras para esta diagonal:
d  ( x  2) 2  ( x  1) 2 
lado
x 2  4 x  4  x 2  2 x  1  2 x 2  2 x  5 , este es el valor del
del rectángulo, calculando el área del rectángulo ( región sombreada):
A  d  ( x  1)  ( x  1) 2 x 2  2 x  5  2 x 4  6 x 3  11x 2  12x  5
A  2(2) 4  6(2) 3  11(2) 2  12(2)  5  32  48  44  24  5  153  12,36u 2
EJERCICIOS
1.
Aplicando el concepto y la fórmula para cada sólido, halle la expresión algebraica
que representa el volumen y el área total de cada figura. Si en alguna figura hace
falta información, no realice el cálculo exigido
RECUERDE:

El volumen se expresa en unidades cúbicas…………….u3 = unidad cúbica.

Después de reemplazar las letras por su valor numérico, y realizadas la operaciones
indicadas, al número que resulta se agrega u3.
3
1
Halle el área
lateral y total
de las figuras:
1, 3, 4 y 8
x
3y + 1
2
3x + 2
3x
6x  2
5y  2
x = 2, y = 3, z =
4
6
5
4
2z + 2
2y +4
z+1
2x  1
2x + 1
9
2x + 1
7
x
2x + 3
x+4
y +4
8
y
2y + 3
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Marcosapb – Matemática – Algebra -- 2012
2.
Para cada figura, halle el volumen limitado.
3
2y + 6
2
1
2y
5x
3z + 1
2x + 2
2y + 1
4x + 3
z
z+4
4
z
5
5z  3
5x  4
3x + 2
FÓRMULAS DE ÁREA DE LOS PRINCIPALES POLÍGONOS
Cuadrado
Re ctángulo
Paralelog ramo
A  bh
h
b
h
A  bb  b
A  bh
2
b
b
Triángulo
h
Triángulo
Equilátero
A  bh
2
Trapecio
A
L
L
A
b
h
3 L2
4
Polígonos
Re gulares
D
a
A  Dd
2
Elipse
círculo
d
A  nLa
2
d
( Bb)h
2
B
L
Rombo
b
b
D
r
L
A   r2
A  Dd
L
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