LECCION 11. LA MINIMIZACIÓN DEL GASTO. José L. Calvo LA FUNCIÓN DE DEMANDA COMPENSADA. Cantidades que, dados unos precios de los bienes y un determinado nivel de utilidad que se desea alcanzar, minimizan el gasto. Min. p1X1 + p2X2 s.a. U = U(X1,X2) = XX11(p (p11,p ,p22,U) ,U) XX11 = = XX22(p (p11,p ,p22,U) ,U) XX22 = LA FUNCIÓN DE DEMANDA COMPENSADA. Propiedades (I). ADITIVIDAD.- La La suma suma de de las las funciones funciones de de demanda demanda compensadas compensadas ADITIVIDAD.multiplicadaspor porsu suprecio precioes esla lafunción funciónde degasto, gasto,que quees esigual igualaala la multiplicadas capacidadde decompra compradel delindividuo individuo(renta (rentamonetaria). monetaria). capacidad (U,pp1,p ,p ))++pp2hh2(U, (U,pp1,p ,p ))==m m pp11hh11(U, 1 22 2 2 1 22 HOMOGENEIDAD HOMOGENEIDAD.-.- Las Las funciones funciones de de demanda demanda compensadas compensadas son son homogéneas homogéneasde degrado grado00en enlos losprecios. precios. hhi(U, (U,θp θp1,,θp θp2))==hhi(U,p (U,p1,p ,p2)) i 1 2 i 1 2 LA FUNCIÓN DE DEMANDA COMPENSADA Propiedades (II). TEOREMA DE DE YOUNG YOUNG.-.- Las Las derivadas derivadas cruzadas cruzadas de de las las funciones funciones de de TEOREMA demandacompensadas compensadasson sonsimétricas. simétricas. demanda (U,p1,p ,p2)/ )/∂∂pp2==∂∂hh2(U,p (U,p1,p ,p2)/ )/∂∂pp1 ∂∂hh1(U,p 1 1 2 2 2 1 2 1 NEGATIVIDAD NEGATIVIDAD.-.- La La matriz matriz nxn nxn formada formada por por los los elementos elementos ,p )/ ∂p i,j = 1,2 es semidefinida negativa, lo que obliga a ∂h ∂hi(U,p i(U,p11,p22)/ ∂pj j i,j = 1,2 es semidefinida negativa, lo que obliga a que que su su determinante determinante sea sea no no positivo. positivo. Esta Esta matriz matriz es es conocida conocida como matriz de de sustitución sustitución oo matriz matriz de de Slutsky Slutsky de de respuestas respuestas como la la matriz compensadas a los precios . compensadas a los precios. ECUACIÓN DE SLUTSKY. (Una reinterpretación) La La variación variación en en la la cantidad cantidad demandada demandada de de un un bien bien ante ante una una variación variación de de su su propio propioprecio preciopuede puededescomponerse descomponerseen endos dosefectos: efectos: •• 1. Un efecto efecto sustitución sustitución, , que que varía varía la la cantidad cantidad demandada demandada del del bien bien 1. Un manteniendo constante el nivel de utilidad, aproximado a través manteniendo constante el nivel de utilidad, aproximado a través del del cambio Esteefecto efectosustitución sustituciónes esno no cambioen enla lafunción funciónde dedemanda demandahicksiana. hicksiana.Este positivo. positivo. 2. 2. 2. Un efecto efecto renta renta, , igual igual al al producto producto de de la la cantidad cantidad inicialmente inicialmente 2. Un demandada por la variación en la cantidad asociada a un cambio demandada por la variación en la cantidad asociada a un cambio en en la la renta renta del del individuo. individuo. Este Este efecto efecto será será positivo positivo sisi es es un un bien bien inferior inferior yy negativo negativosisies esun unbien biennormal. normal. ∂g1(m,p (m,p1,p ,p )/∂ p = ∂h (U,p ,p )/ ∂ p - X (∂g /∂m) ∂g 1 1 22)/∂ p11 = ∂h11(U,p11,p22)/ ∂ p11 - X11(∂g11/∂m) ECUACIÓN DE SLUTSKY (II). X2 p1 > p0 m/p2 ES = E0A A E1 X11 ER = AE1 E0 X1ES m/p11 X10 ET = E0E1 m/p10 X1 LA FUNCIÓN DE GASTO. El mínimo gasto de alcanzar un determinado nivel de utilidad dados los precios de los bienes. Se obtiene sustituyendo las funciones de demanda compensadas en el elemento minimizador. G(p1,p ,p ,U) = p h (p ,p ,U) + p h (p ,p ,U) G(p 1 22,U) = p11 h11 (p11,p22,U) + p22 h22 (p11,p22,U) LA FUNCIÓN DE GASTO. Propiedades (I). HOMOGENEIDAD.-.-La Lafunción funciónde degasto gastoes eshomogénea homogéneade degrado grado11 HOMOGENEIDAD enlos losprecios. precios. en G(U,λp λp1,,λp λp2))==λλG(U, G(U,pp1,,pp2)) G(U, 1 2 1 2 CRECIMIENTO.-.- La La función función de de gasto gasto es es creciente creciente con con la la Utilidad, Utilidad, CRECIMIENTO no decreciente decreciente con con los los precios, precios, yy creciente creciente al al menos menos con con un un no precio. precio. CONCAVIDAD.-.-La Lafunción funciónde degasto gastoes escóncava cóncavaen enlos losprecios, precios,de de CONCAVIDAD forma que que cuando cuando éstos éstos crecen, crecen, el el gasto gasto crece crece no no menos menos que que forma linealmente. linealmente. LA FUNCIÓN DE GASTO. Propiedades (II). CONTINUIDAD.-.-La Lafunción funciónde degasto gastoes escontinua continuaen enlos losprecios, precios,yy CONTINUIDAD existen tanto tanto la la primera primera como como la la segunda segunda derivada derivada de de éstos, éstos, existen salvopara paraprecios preciosiguales igualesaacero cero.. salvo LEMMA DE DE SHEPHARD SHEPHARD.-.- Cuando Cuando existen, existen, las las derivadas derivadas parciales parciales LEMMA de la la función función de de gasto gasto con con respecto respecto aa los los precios precios son son las las de funcionesde dedemanda demandacompensadas. compensadas. funciones 1 (U,pp111,p ,p211))== ∂G(U, ∂G(U,pp111,p ,p211)/ )/∂∂pp1 XX111 ==hh11(U, 1 2 1 2 1 1 (U,pp111,p ,p211))== ∂G(U, ∂G(U,pp111,p ,p211)/ )/∂∂pp2 XX221 ==hh22(U, 1 2 1 2 2 LA FUNCIÓN INDIRECTA DE UTILIDAD. Máximo nivel de utilidad que se puede alcanzar dada una forma específica de la función de utilidad, una renta monetaria, y los precios de los bienes. Se obtiene sustituyendo las funciones de demanda marshallianas en la función directa de utilidad. U(X1,X ,X2))= =U{g U{g1(p (p1,p ,p ,m), g (p ,p ,m)} = ψ (p ,p ,m) U(X 1 2 1 1 22,m), g22(p11,p22,m)} = ψ (p11,p22,m) RELACIONES ENTRE LAS FUNCIONES DE GASTO Y UTILIDAD. Función Funciónde deGasto: Gasto: FunciónIndirecta Indirectade de Función Utilidad: Utilidad: ,p2,m) ,m)==UU (p1,p ψψ(p INVERSION G(p G(p11,p ,p22,U) ,U)==m m 1 F.demanda F.demandaHicksianas: Hicksianas: XXi ==hhi (p (p1,p ,p2,U) ,U) i i 1 2 2 F.demandaMarshallianas: Marshallianas: F.demanda (p1,p ,p2,m) ,m) XXi==ggi(p SUSTITUCION i i 1 2 DUALIDAD. Máx. Máx.UU==U(X U(X1,1,XX2)2) DUALIDAD MinppX 1X1+ p 2X2 Min 1 1+ p 2X2 s.a.UU==U(X U(X,1,XX)2) s.a. s.s.aapp1XX1++pp2XX2 ==m m 1 1 2 2 1 F.F.demanda demandaMarshallianas: Marshallianas: XXi ==ggi (p (p1,p ,p2,m) ,m) i i 1 demandaHicksianas: Hicksianas: F.F.demanda i (p,p 1,p,U) 2,U) XXi==hh(p 2 i F.Indirecta F.Indirectade deUtilidad: Utilidad: ψψ(p (p1,p ,p2,m) ,m)==UU 1 2 i 1 2 Funciónde deGasto: Gasto: Función G(p,p =m m 1,p,U) 2,U)= G(p 2 SUSTITUCION 1 2 FUNCIÓN COBB-DOUGLAS. F. de demanda Hicksianas y F. De Gasto. Min.pp1XX1++pp2XX2 Min. 1 1 2 2 sujetoaaXX1ααXX2ββ==UU sujeto 1 2 FUNCIONESDE DEDEMANDA DEMANDAHICKSIANAS: HICKSIANAS: FUNCIONES 1/(α+β) (αp /βp )ββ/(α+β) /(α+β) =(U) (U)1/(α+β) XX11= (αp22/βp11) 1/(α+β) (βp / αp )α/(α+β) α/(α+β) =(U) (U)1/(α+β) XX22= (βp11/ αp22) FUNCIÓNDE DEGASTO: GASTO: FUNCIÓN 1/(α+β) {p (αp /βp )ββ/(α+β) /(α+β) + p (βp / αp )α/(α+β) α/(α+β)} G=(U) (U)1/(α+β) G= {p11(αp22/βp11) + p22(βp11/ αp22) } BIENES COMPLEMENTARIOS PERFECTOS. F. de demanda Hicksianas y F. De Gasto. Min.pp1XX1++pp2XX2 Min. 1 1 2 2 sujetoaamin{aX min{aX1,bX ,bX2}}==UU sujeto 1 2 FUNCIONESDE DEDEMANDA DEMANDA FUNCIONES HICKSIANAS: HICKSIANAS: =U/a U/a XX11= =U/B U/B XX22= FUNCIÓNDE DEGASTO: GASTO: FUNCIÓN /a+p +p2/b) /b) =U(p U(p1/a GG= 1 2 BIENES SUSTITUTOS PERFECTOS. F. de demanda Hicksianas y F. De Gasto. Min.pp1XX1++pp2XX2 Min. 1 1 2 2 sujetoa: a:aX aX1+bX +bX2==UU sujeto 1 2 FUNCIONESDE DEDEMANDA DEMANDA FUNCIONES HICKSIANAS: HICKSIANAS: >(a/b)p2⇒ ⇒XX1=0; =0;XX2==U/b U/b pp11>(a/b)p 2 1 2 =(a/b)p2⇒X ⇒X1∈(0,U/a); ∈(0,U/a);XX2∈(0,U/b) ∈(0,U/b) pp11=(a/b)p 2 1 2 <(a/b)p2⇒ ⇒XX1=U/a; =U/a;XX2=0 =0 pp11<(a/b)p 2 1 2 FUNCIÓNDE DEGASTO: GASTO: FUNCIÓN >(a/b)p2⇒ ⇒GG==pp2U/b U/b pp11>(a/b)p 2 2 =(a/b)p2⇒ ⇒GG∈(p ∈(p1U/a, U/a,pp2U/b) U/b) pp11=(a/b)p 2 1 2 <(a/b)p2⇒ ⇒G= G=pp1U/a U/a pp11 <(a/b)p 2 1 PREFERENCIAS CUASILINEALES. F. de demanda Hicksianas y F. De Gasto. Min.pp1XX1++pp2XX2 Min. 1 1 2 2 sujetoa: a:lnX lnX1+X +X2==UU sujeto 1 2 FUNCIONESDE DEDEMANDA DEMANDA FUNCIONES HICKSIANAS: HICKSIANAS: =pp2/p /p1 XX11= 2 1 =UU––ln( ln(pp2/p /p1)) XX22= 2 1 FUNCIÓNDE DEGASTO: GASTO: FUNCIÓN 1+UU--ln lnpp2/p /p1)) =pp2((1+ GG= 2 2 1 SISTEMA LINEAL DE GASTO. F. de demanda Hicksianas y F. De Gasto. Min.∑∑ippXiXi Min. i i i sujetoa: a:U= U= ∏ ∏i(X (Xi--γγ)i)βiβi sujeto i i i FUNCIONESDE DEDEMANDA DEMANDA FUNCIONES HICKSIANAS: HICKSIANAS: =ppγiγi+ +βββiβ0U∏ U∏i ppβiiβi ppiX iXi i= i i i 0 i i 1..n, ∑∑ββi==11 i i==1..n, i FUNCIÓNDE DEGASTO: GASTO: FUNCIÓN =∑∑ippγiγi+ +ββ0U∏ U∏i ppβiiβi GG= i i i 0 i i