matemáticas grado decimo.

INSTITUCIÓN EDUCATIVA CENTRO FORMATIVO DE ANTIOQUIA. CEFA
MATEMÁTICAS GRADO DECIMO.
APLICACIONES DE LA TRIGONOMETRÍA
Aplicaciones que originan triángulos rectángulos
EN UN TRIANGULO ABC, EL ÁNGULO C ES
RECTO. RESUELVE CADA TRIANGULO SI:
1. < B = 35 º b = 30 cm.
2. < A = 25 º b = 15 cm.
3. < A = 30 º a= 40 m.
4. < B = 42 º 25 ‘ 30 ‘’ a = 100 cm.
5. b = 20 m
c = 30 m.
6. a = 15 pulg. b = 20 pulg.
7. <A=30
c = 24 m.
8. Al nivel del mar se lanza un cohete espacial y sube
con un ángulo constante de 68º 20’, recorriendo
15.000 m. Determinar la altura del cohete en ese
momento.
9. Los organizadores de una prueba ciclística
ordenan construir una rampa de 10 m de larga y
que se levante del suelo 3m. Calcular el ángulo de
elevación de la rampa.
10. Un avión de reconocimiento localizó a un barco
enemigo con un ángulo de depresión de 28º . Si el
avión vuela a 3.200 m de altura, calcular la
distancia a la que se encuentra el barco enemigo
del avión.
11. Un rectángulo tiene de base 8 m y de altura 5 m.
Hallar el ángulo que forma la diagonal con la
base.
12. La altura de un triangulo isósceles es de 10 cm y
uno de los ángulos iguales mide 30º 20’ 10``.
Calcular la medida de los tres lados del triángulo.
13. Desde un punto situado a 2 m sobre el nivel del
piso, un hombre de 1.7 m observa la torre de un
edificio situado a 20 m sobre la horizontal. Si el
ángulo que forma la visual con la horizontal es de
45º, calcular la altura del edificio.
14. Determinar la altura de un edificio sabiendo que
cuando el ángulo de elevación del sol es de 60º ,
proyecta una sombra de 60 m de longitud.
15. Una antena de TV está sujeta desde su extremo
superior por un cable fijo a 2 m de la base y forma
con la horizontal un ángulo de 70º . Que altura
alcanza la antena?
16. Una persona se encuentra en la ventana de su
apartamento situada a 8 m del suelo y observa el
edificio del frente de la siguiente manera: la parte
superior con un ángulo de elevación de 30º y la
parte inferior con un ángulo de depresión de 45º .
Determinar la altura del edificio de frente y el
ancho de la calle.
17. Un ingeniero va en un avión que vuela a 800 m de
altura y observa los barcos B1 y B2, uno hacia el
sur y otro hacia el norte, con ángulos de depresión
de 34º y 62º respectivamente. Determinar la
distancia entre los dos barcos.
18. Al moverse un péndulo de 150 cm de longitud
forma un ángulo de 42º con la vertical. Que
distancia sube al extremo superior del péndulo?
19. Un aeroplano se encuentra volando a 1200 m de
altura cuando le fallan los motores. Calcular el
ángulo de deslizamiento necesario para que el
avión pueda llegar a una pista que se encuentra a
6.000 m de distancia.
20. Un avión de reconocimiento se encuentra volando
a 3.000 m de altura cuando pasa sobre su
portaviones. En ese instante el piloto detecta un
submarino, si el ángulo de depresión es de 32º 40’
50”, determinar la distancia entre el submarino y
el portaviones.
21. Dos postes de energía se encuentran separados
entre si por una distancia de 25 cm. Las alturas de
los postes son de 8.5 m y 12.5 m. Que longitud de
cable se necesita para unir la parte superior de
ambos postes?
22. El cordel de una cometa se encuentra tenso y
forma un ángulo de 60º con la horizontal.
Determinar la altura de la cometa si la cuerda
mide 70 m y se sostiene a 1.20 del piso.
23. Desde un punto A sobre el suelo el ángulo de
elevación a una torre es de 30º . Desde otro
punto B, son más cercano a la torre y en línea
recta con A, el ángulo de elevación es de 60º .
Calcular la altura de la torre.
24. Los lados iguales de un triángulo isósceles mide
cada uno 20 cm y os ángulos iguales 30º cada
uno. Cuánto mide la base del triángulo? Cuánto
mide su altura? Calcular su perímetro.
25. El vigilante de un bosque se encuentra en una
torre a 90m de altura, cuando se da cuenta que
hay dos incendios. El primero sucede en dirección
sur con un ángulo de depresión de 34º y el otro
hacia el norte con un ángulo de depresión de 20º .
Que distancia hay entre los dos incendios?
26. Una escalera se coloca en el muro de una casa, de
tal manera que sobresale 1.5 m arriba del borde
del muro, que tiene una altura de 4.8 m si la
escalera forma un ángulo de 70º con el piso, ¿Cuál
es la longitud de la escalera? Que distancia hay
entre la base del muro y la base de la escalera?
27. Un camino se eleva 14º con respecto a la
horizontal. ¿Cuáles metros debe recorrer un
hombre para alcanzar una altura de 800m.
28. El piloto de un avión que vuela a 8000 m de
altura descubre una isla. Cual es el ancho de la
isla si observa las costas con ángulos de depresión
de 77º al este y 69º al oeste?
29. Calcular el ancho de una calle, si un observador
sobre un edificio de 60m de altura, ve el otro lado
de la misma bajo un ángulo de 60º con respecto a
la calle?
30. En un cierto instante la sombra proyectada por
un edificio en el plano horizontal es de 80m. Si el
ángulo de elevación del sol es de 35°. Hallar la
altura del mismo.
31. El ángulo de elevación a la azotea de un edificio,
medido desde un punto A situado a 100m de la
base, es de 60°. ¿Cuál es la altura del edificio?
32. Un trabajador de las empresas publicas recuesta
su escalera de 4 m de longitud contra un poste de
energía. Si el pie de la escalera esta a 1m del pie
del poste. ¿Cuál es el ángulo de elevación de la
escalera?
33. En un momento dado, una persona tendida en el
suelo observa un avión con un ángulo de
elevación de 37°. Si el avión vuela a una altura de
3000 m ¿Cuál es la distancia que separa el
observador del avión en ese momento?
34. Que tan lejos de una pared vertical esta la parte
inferior de una escalera cuya longitud es de 12 m
y forma con la horizontal (suelo) un ángulo de
75°.
35. Determina el ángulo de elevación del sol si una
persona de 1.70 m de estatura, produce una
sombra de 1.50m de longitud en el suelo.
36. Una escalera de 10 m de longitud esta recostada
sobre una pared vertical, si el ángulo entre la
escalera y la pared es de 25°. ¿a que distancia de
la pared, se encontrara la parte inferior de la
escalera?
37. Supongamos que la distancia gallada se
incrementa en 1,20m ¿Qué longitud o distancia
desciende la parte superior de la escalera.
38. Un hombre recorre 500 m a lo largo de una
montaña, que tiene una inclinación de 20°
respecto de la horizontal. ¿Qué altura alcanza
respecto al punto de partida?
39. Dos caminos rectos que se cortan, forman u
ángulo de 75° en uno de los caminos y a 100m del
cruce hay una estación de gasolina. Encontrar la
menor distancia desde la estación hasta el otro
camino.
40. Un edificio de 100m de altura proyecta una
sombra de 120m encontrar el ángulo de elevación
del sol.
41. Una escalera de mano apoyada contra una pared
forma un ángulo de depresión de 78° si la altura a
la cual pega la parte superior es de 20m calcular
la distancia que hay del pie de la escalera a la
pared.
42. si un alambre de sostén de un poste tiene un
ángulo de elevación de 55° y esta fijo a la tierra a
8m del pie del poste y el punto de apoyo en el
poste esta a 2/3 de su longitud a partir de su base.
¿Cuál es la altura del poste?
43. En la cima de una colina hay un asta de la
bandera. Desde un punto A, en el terreno llano, los
ángulos de elevación de los extremos D y B
del asta miden respectivamente
25º Y 47º. Hallar la altura de la
colina si el asta
mide 15 m.
44. Dos edificios están
ubicados en el mismo
plano horizontal y
separado s por una
calle de 40 m de
ancho. Una persona
ubicada en la azotea del edificio mas alto observa
una persona ubicada en la azotea del edificio mas
bajo con un ángulo de depresión de 50° si el
edificio mas bajo tiene 40m de altura. ¿Cuánto
mide el edificio más alto?
45. Un
guardacostas
observa dos barcos
que se acercan con
ángulos de depresión
de 50 º y 60º
respectivamente. Si la
torre de control tiene
una altura de 80 m.
¿Qué distancia separa las dos embarcaciones?
46. Un rectángulo tiene de base 8m y de altura 5m.
Hallar el ángulo que forma la diagonal con la
base.
47. Desde un punto situado a 2m sobre el nivel del
piso, un hombre de 1.7m observa la torre de un
edificio situado a 20m del punto de observación.
Si el ángulo que forma la visual con la horizontal
es de 45°, calcular la altura del edificio.
48. Una antena de TV esta sujeta desde un extremo
superior por un cable fijo a 2m de la base. Y forma
con la horizontal un ángulo de 70°. Que altura
alcanza la antena?
49. Un ingeniero va en un avión que vuela a 800m de
altura y observa los arcos B1 y B2, uno hacia el
sur y otro hacia el norte, con ángulos de depresión
de 34° y 62° respectivamente. Determinar la
distancia entre los 2 barcos.
50. Un aeroplano se encuentra volando a 1200m de
altura cuando le fallan los motores. Justo en ese
momento pasa sobre un cerro que está a 6 000 m
de la pista. Calcular el ángulo de deslizamiento
necesario para que el avión pueda hacer su
aterrizaje sin problemas.
51. Dos postes de energía se encuentran separados
entre si por una distancia de 25m. Las alturas de
los postes son de 8.5m y 12.5m. ¿Qué longitud de
cable se necesita para unir la parte superior de
ambos postes?
52. Desde un punto A sobre el suelo el ángulo de
elevación a una torre es de 30° desde otro punto
B, 20m mas cercano a la torre y en línea recta con
A, el ángulo de elevación es de 60° calcular la
altura de la torre.
ALGUNAS RESPUESTAS
2. c = 16.5
22. a = 61, 82 m.
a = 6.99
24. altura: 15 cm.
< B = 65º
Base: 34,64 cm.
4. <A = 47º 34` 30``
Perímetro 74, 64 cm.
b = 91.39 m
26. longitud; 6, 6 m.
c = 135.47 m
28. ancho: 4 917, 86 m
6. c = 25
30. altura: 56 m.
< B = 53º 7 ` 48 ``
32.  = 75, 52 º
< A = 36º 52 ` 11 ``
34. a = 3, 1 m.
8. a = 13 940.21 m
36. d = 4, 23 m.
10. d = 6 816.17 m
38. a = 171 m
12. 19, 79 cm
40. = 39, 8 º
19, 79 cm y
42. L = 17, 14 m.
34, 17 cm
44. altura: 87, 67 m.
14. a = 103, 92 m
46. 32º
16. altura:12,61 m
48. 5, 49 m.
Ancho: 8 m
50. 11, 31º
18. Sube 38, 52 cm.
52. altura: 17, 32 m
20. 4 676, 47 m.
12. De acuerdo con la figura, el valor de x es:
incrementa en 1 m, ¿ que longitud o distancia
desciende la parte superior de la escalera.
a. 2
b. √2
c. √3
d. 1
30º
X
π/4
π/2
1/2
43. un topógrafo que se encuentra en el fondo de una
zanja determina que el ángulo de elevación de uno
de los bordes de dicha zanja es de 25° 30’ si el
topógrafo esta a 4 m del borde de la zanja ¿Cuál es la
profundidad de la misma?.
53. El vigilante de un bosque se encuentra en una
torre a 90m de altura, cuando se da cuenta que
hay dos incendios. El primero sucede en dirección
sur con un ángulo de depresión de 34° y el otro
hacia el norte con un ángulo de depresión de 20°,
Que distancia hay entre los dos incendios?
54. Una escalera se coloca en el muro de una casa, de
tal manera que sobresale 1.5m arriba del borde
del muro, que tiene una altura de 4.8m. Si la
escalera forma un ángulo de 70° con el piso, ¿Cuál
es la longitud de la escalera? ¿Qué distancia hay
entre la base Delmiro y la base de la escalera?
38. Un camino se eleva 14° con respecto a la
horizontal. ¿Cuántos metros debe recorrer un hombre
para alcanzar una altura de 800m?
(25º30’) 4M
44. una antena de TV. Esta instalada en el techo de
una casa que tiene 5 m de altura. Desde un punto P en
el suelo, situado a 40 m del punto que se encuentra
directamente debajo de la antena, esta subtiende un
ángulo de 15° calcula la altura de la antena.
39. el piloto de un avión que vuela a 8000m de altura
descubre una isla. Cual es el ancho de la isla si
observa las costas con ángulos de 27° y 39°?
5m
P )15º
40. Calcular el ancho de una calle, si un observador
sobre un edificio de 60m de altura, ve el otro lado de
la misma bajo un ángulo de 60° con respecto
41. desde un punto P del suelo, el ángulo de elevación
a la cúspide de una torre-punto más alto es de 30°25’
desde otro punto cercano a la torre y en línea recta
con el punto P y con la base de la torre, el ángulo de
elevación a la cúspide es 60°50’. Calcula la altura de
la torre.
45. desde un punto p a 9 m del suelo, el ángulo de elevación
al punto mas alto de un edificio es de 30°25’ y el ángulo de
depresión a la base del mismo es de 15° 45’ calcula la altura
del edificio.
p
9m
30º25’
15º 45’
9m
P
30º 25’
60º) 50º
42. una escalera de 15 m de longitud esta recostada
sobre la pared vertical de un edificio. Si el ángulo
entre la escalera y la pared es de 30° ¿a que distancia
de la pared se encontrara la parte inferior de la
escalera?. Supongamos que la distancia hallada se
46. un tipógrafo desea medir la altura de una torre situada
en la rivera opuesta de un río sin necesidad de atravesarlo.
Para tal fin, coloca un teodolito en cierto punto P, de tal
manera que la horizontal coincide con el pie de la torre, y
mide un ángulo de elevación de 20°. Camina 65 m en línea
recta hacia el pie de la torre y haciendo coincidir nuevamente
la horizontal con dicho pie mide un ángulo de elevación de
30° ¿Cuál es la altura de la torre?.
P 20º
30º
47. calcular la altura de una torre de iglesia, sabiendo que
una persona que se separa 50m de su base, observa el
punto extremo superior con un ángulo de elevación de 20°.
48. calcular la inclinación (ángulo de elevación) de una
montaña, si un camino recto que la recorre desde su base
hasta su cúspide mide 300 m, y la altura que alcanza este
respecto a la horizontal es de 50 m.
49. el piloto de un avión que vuela a 2000 m de altura divisa
la ciudad destino con un ángulo de depresión de 15° ¿a que
distancia horizontal (X) esta la ciudad?
15º
2000
_____________________________________
50. desde un faro colocado a 40 m sobre el nivel del mar se
observa un barco con un ángulo de depresión de 55° ¿a que
distancia se halla el faro del barco?
55º
51. calcular la altura de una torre de iglesia sabiendo que
una persona que se separa 50 m de su base, observa el
punto extremo superior con un ángulo de elevación de 20°.
5. A 2 m del borde de una
carretera hay un escarpado vertical AC de 14 m de
altura. Como se producen desprendimientos, Se va a
quitar la parte más alta del escarpado. Para ello, se
retirará la parte del terreno situada por encima de una
cierta recta BD.
Con el presupuesto de que se dispone sólo se puede
quitar terraplén hasta que el área de su sección se
reduzca en 25 m2 ¿Cuánto debe valer el ángulo señalado
en la figura?
Un avión que se
encuentra en el punto
A de la figura, es
observado por dos
estaciones terrestres
ubicadas en Palma
Seca y B. Aragón. El
avión se encuentra de
Palma Seca a:
A. 35,42 Km
B. 17,8 Km
C. 26,68 Km
D. 28,17 Km
10. El golfista Camilo Villegas golpea la pelota desde el
punto de saque (tee) y la envía hasta el punto P (ver
figura). La pelota del hoyo se encuentra a una distancia
de:
A. 204,8 yardas
B. 212,87 yardas
C. 158,06 yardas
D. 145 yardas
52. calcular la inclinación (ángulo de elevación) de una
montaña, si un camino recto que la recorre desde su base
hasta su cúspide mide 300 m y la altura que alcanza este
respecto a la horizontal es de 50 m.
53. formule un problema y realícelo.
54. un guardacostas que se encuentra en la parte superior
de una torre de control, observa dos embarcaciones que se
aproximan con ángulos de depresión de 30° y 45°
respectivamente. Si se conoce que la torre de control tiene
50 m de altura ¿ que distancia separa las dos
embarcaciones?
30º
45º
ALGUNAS RESPUESTAS
43)1.9 m
41)17.46m.
45))27.73m
47)18.20 m.
49)7464.1
m.
2) 173.2 m
6) 3.1 m
10) 4.2 m, desciende 0.64
m
14) 4.2 m
18) 13.87 m
4) 4984.7
m
8) altura:
11.5 m,
lado: 15.4
m
12) 96.6 m
16) 349.27
m