Guía N°2: Ecuación Cuadrática

COLEGIO SANTA CRUZ
CLAUDIA BARRIENTOS-RICARDO CARRILLO
SUBSECTOR: MATEMATICA
TERCERO MEDIO,
UNIDAD N°2, 2011
GUÍA N°2
Guía N°2: Ecuación Cuadrática
La función cuadrática en la historia de las matemáticas
Los matemáticos árabes hicieron importantes contribuciones a la Matemática en
la época llamada "La Edad de Oro" del mundo musulmán, entre el año 700 y el 1.200 d.C.
aproximadamente.
Lograron preservar el legado matemático de los griegos, tradujeron y divulgaron
los conocimientos matemáticos de la India y asimilando ambas corrientes, aportaron
mucho al Álgebra y la Trigonometría.
El más recordado de los matemáticos árabes de esa época es Mohammed ibn Musa
al-Khwarizmi, quien escribió varios libros de Geografía, Astronomía y Matemáticas.
En su tratado sobre Álgebra, al-Khwarizmi explica la manera de resolver
ecuaciones cuadráticas de varios tipos. Tanto el planteamiento, como la solución de las
ecuaciones era dado en palabras, pues no se utilizaban aún símbolos algebraicos como hoy
en día.
Fue mucho después, en el siglo XVI, cuando comenzaron a introducirse los símbolos
que hoy se utilizan en el planteamiento de ecuaciones. Uno de los matemáticos que mayor
influencia tuvo en este cambio favorable para el desarrollo del Álgebra, fue François
Viète (1540-1603). Con el uso de símbolos para expresar la incógnita y los coeficientes
de una ecuación, se impulsó enormemente el desarrollo del Álgebra, pues se facilitó el
estudio de ecuaciones de grado 2, 3 y 4.
Actividad: Busco el significado o sinónimos de las palabra subrayadas y hago dos
oraciones con cada una de ellas.
I. Resuelvo las siguientes ecuaciones incompletas.
a) x2 – 16 = 0
b) x2 –1 = 0
c) x2 – 36 = 0
d) 3x2=0
e) 5/2x2 = 0
f) x2- 4 =0
g) 2x2 -50 =0
h) 3x2 -12 =0
i) x2- 100 = 0
j) 49x2 -1 = 0
k) 5 – 5x2=0
l) x2 +16 =0
m) x2+4 = 0
n) x2 -3 =0
0) 4x2 – 1 =0
II. Resuelvo por factorización las siguientes ecuaciones cuadráticas incompletas.
a) x2 + 8x = 0
b) -10x2 + 0,1x = 0
c) 5x2 –25x = 0
d) -3x2 + 15x = 0
e) 2x2 +4x = 0
f) 3x2-27 =0
g) -x2-x =0
h) 11x2 – x =0
i) -9x2 +x =0
j) x2+ 19=0
k) 7x2 -5x =0
l) -x2 + 6x =0
n) 13x2 + 2x=0
m) 20x2 -4x =0
o) x2 – 7x = 0
I. Encuentro las soluciones de cada una de las siguientes ecuaciones cuadráticas.
a) x2+ 9x + 20=0
b) x2- 9x + 20=0
c) x2 - 9x + 14=0
d) x2 + 9x + 14=0
e) x2 + 5x – 14=0
f) x2+ 4x – 45=0
g) x2 + 6x + 8=0
h) x2 – 16x + 63=0
i) 5x2 + 10x – 56=0
j) -3x2 –13x – 48 =0
k) -2y2 – 7y – 30=0
l) x2 – 12x + 36=0
m) 3x2 – 5x – 84=0
n) 9a 2 x 2  12ax  12  0
2
p) x  2 x  1  3  3x  x  1
x 2 x  1
q) x  x  1  1  5  
5
5
5
6
3x a x 2
 
0
s) 4 2 2a
t)
o) 3x  2 
3  4 x  3
4  3x
r)
3x2 + 2x – 3 = 2x2 + 7 – x
u)
a  x a  2x

4
ax ax
3
x2
a2

x  1 2(a  2)
II. Determino las ecuación cuadrática sabiendo que las soluciones o raíces son:
a) x1=5 y x2=-2
d) x1= 5
y
x2=
10
b) x1=0 y x2=10
c) x1=-3/4 y x2= ¾
e) x1= 1- 2 y x2= 1+ 2
f) x1=
3 7
= 37
y
x2
III. Resuelvo los siguientes problemas.
1. Determino K de modo que las dos raíces de la ecuación x 2 − kx + 36 = 0 sean
iguales.
2. La suma de dos números es 5 y su producto es -84. Encuentro dichos
números.
3. Un jardín rectangular de 50 m de largo por 34 m de ancho está rodeado por
un camino de arena uniforme. Encuentro la anchura de dicho camino si se
sabe que su área es 540 m².
4. Calculo las dimensiones de un rectángulo cuya diagonal mide 75 m,
sabiendo que es semejante a otro rectángulo cuyos lados miden 36 m y 48
m respectivamente.
5. Una caja mide 5 cm de altura y de ancho, 5 cm. más que de largo. Su volumen es
1500cm3. Calculo la longitud y la anchura.
6. Busco dos números sabiendo que su suma es 7 y su producto es 10.
7. Calculo el valor de k para que las siguientes ecuaciones tengan una raíz (solución)
doble:
a) x2+6x+k=0
b) 2x2+kx+8=0
8. Encuentro dos números naturales consecutivos cuyo producto es 506
9. Encuentro dos múltiplos de cuatro consecutivos cuya suma de sus cuadrados es 400
10. Encuentro dos números sabiendo que su diferencia es 3 y que la diferencia de sus
cuadrados es 117
11. Si al doble de un número se suma la mitad de su cuadrado obtengo 16. ¿De qué
número se trata?
12. Encuentro los lados de un triángulo rectángulo sabiendo que la hipotenusa mide 20 cm
y su perímetro mide 48 cm.
13. Calculo la base y la altura de un rectángulo sabiendo que su altura es 12 cm menos
que su base y que su área es de 160 cm2
14. Se quiere aprovechar un antiguo estanque circular de 10 metros de diámetro para
convertirlo en una piscina rectangular, de forma que un lado mida 2 metros más que el
otro y que la diagonal del rectángulo coincida con el diámetro del estanque. ¿Cuáles
serán las dimensiones de la piscina?
IV. Aplico las propiedades de las raíces de la ecuación cuadrática:
1. ¿Qué valor debe tener k en la ecuación x2 – kx + 4 = 0, para que las dos raíces sean
iguales.
2. ¿Qué valor debe tener k en la ecuación x2 – (k+2)x + 3k = 0, para que el producto de las
raíces sea 24?
3. ¿Qué valor debe tener k en la ecuación 4x2 – 5x + 4k – (6+k) = 0, para que una de las
raíces sea cero?
4. ¿Qué valor debe tener k en la ecuación 7x2 – 9x + k = 0, para que las raíces sean
recíprocas una de la otra?
5. ¿Qué valor debe tener k en la ecuación 2x2 + kx + 5 = 0, para que una de las raíces sea 1?
6. ¿Qué valor debe tener k en la ecuación x2 – (k-2)x – (k+6) = 0, para que la suma de las
raíces sea 2?
7. ¿Para qué valor de m, la ecuación mx2 - 6x + 5 = 0, tiene sus raíces reales?
8. Determino k en la ecuación x2 + kx + 12 = 0, de modo que una de las soluciones sea el
triple de la otra?
IV.- Resuelvo los siguientes sistemas:
(x + 5)2 = y + 2
a)
y=3x+13
y = x 2 + 4x
b)
3x+2=y
c)
x 2  3 xy  8
xy  y 2  4
V.- Resuelvo las siguientes ecuaciones bicuadráticas:
1) x4 - 5x2 + 4 = 0
4) 4x4 +15x2 – 4 = 0
7) 9x4 - 10x2 + 1 = 0
2) x4 - 13x2 + 36 = 0
5) x4 - 8x2 + 7 = 0
8) 4x4 - 37x2 + 9 = 0
3) 9x4 - 46x2 + 5 = 0
6) 16x4 + 7x2 – 9 = 0
2
9) (x + x)2 – 8(x2 + x) + 12 = 0
11. Encuentro el o los valores de K tales que a ecuación x4 + kx2 + 1 = 0 tenga:
a. Dos soluciones reales.
b. Una solución real
c. No tenga solución
NOTA: comparo mi respuesta con la de mis compañeros. En general, una ecuación
bicuadrática ¿Puede tener solo una solución?
COLEGIO SANTA CRUZ
CLAUDIA BARRIENTOS-RICARDO CARRILLO
SUBSECTOR: MATEMATICA
III°MEDIO, 2011
UNIDAD 2: “FUNCIÓN CUADRATICA”
ACTIVIDAD COMPLEMENTARIA
Resuelvo las siguientes ecuaciones de segundo grado
1. x 2  18x  80  0
4. x 2  7x  12  0
2. x 2  4x  96  0
5. 4x 2  5x  6  0
3. x 2  17x  52  0
6. 6x 2  5x  1  0
7. 3x 2  10x  25  0
8. 7x 2  16x  9  0
9. (2x  6)(2x  6)  (2x  9)(3x  4)
10. (8x  3)(2x  5)  (3x  5)(3x  5)  22x  10 11. (x  3) 2  8x  9  0
12. (x  4) 2  (x  3) 2  (x  5) 2
13. (x  13) 2  (x  12) 2  (x  5) 2
14. x 2  3x  0
15. 6x 2  42x  0
16. x 2  ax  0
19 x 2  100
17. ( x  2)(x  3)  6
20. x 2  225  0
18. (x  2)(x  5)  9x  10
21. x 2  1225
22. x 2  50
23. x 2  3c 2  0
24. x 2  10  71
25. (2x  3)(3x  4)  (x  13)(x  4)  40
26. x(2x  3)  3(5  x)  83
27. 8(2  x) 2  2(8  x) 2
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CLAUDIA BARRIENTOS-RICARDO CARRILLO
SUBSECTOR: MATEMATICA
III°MEDIO, 2011
UNIDAD 2: “FUNCIÓN CUADRATICA”
ACTIVIDAD COMPLEMENTARIA
Resuelvo las siguientes ecuaciones de segundo grado
1. x 2  18x  80  0
4. x 2  7x  12  0
2. x 2  4x  96  0
5. 4x 2  5x  6  0
3. x 2  17x  52  0
6. 6x 2  5x  1  0
7. 3x 2  10x  25  0
8. 7x 2  16x  9  0
9. (2x  6)(2x  6)  (2x  9)(3x  4)
10. (8x  3)(2x  5)  (3x  5)(3x  5)  22x  10 11. (x  3) 2  8x  9  0
12. (x  4) 2  (x  3) 2  (x  5) 2
13. (x  13) 2  (x  12) 2  (x  5) 2
14. x 2  3x  0
15. 6x 2  42x  0
16. x 2  ax  0
19 x 2  100
17. ( x  2)(x  3)  6
20. x 2  225  0
18. (x  2)(x  5)  9x  10
21. x 2  1225
22. x 2  50
23. x 2  3c 2  0
24. x 2  10  71
25. (2x  3)(3x  4)  (x  13)(x  4)  40
26. x(2x  3)  3(5  x)  83
27. 8(2  x) 2  2(8  x) 2