Trabajo Práctico Nº 5 - Facultad de Ciencias Exactas y

MATEMATICA l (Algebra)
Trabajo Práctico Nº 5 - Polinomios
TRABAJO PRACTICO Nº 5 - Polinomios
1) Efectuar P  Q ;
posible
a) P = x2 - 2
b) P = x + 2
3P+Q;
P2 - Q e indicar su grado cuando esto sea
Q = - 3 x2 + 6
Q = x2 + 4 x + 4
2) Si el grado de P es 4 y el grado de Q es 3 ; ¿qué puede decirse del grado de los
siguientes polinomios ?
b) P3
c) P + Q
d) P3 + Q3
a) P  Q
3) Determinar a  R :
a) P = a  x3 - a  x + 2
b) P = x2 + 2  x + a
c) P = a  x2 - a  x + 6
es tal que P(2) = - 1
es tal que 0 es una de sus raíces
satisface que P(-1) = 6 y gr(P) = 2
4) Hallar el cociente y el resto de la división de P por Q en cada uno de los
siguientes casos :
a) P = 2 x3 + 7 x2 - a
Q = 2 x2 + 2
Q=x-2
1 4
b) P =
x +1
4
5) Determinar el valor de k tal que P = 2 x3 + k x2 + 5 x + 3 sea divisible por
Q = x2 - x + 3.
6) ¿ Para qué valores de a y b el polinomio P = x4 + a x3 -
1 2
x + b es divisible por
2
(x + 4) ; y tiene resto -18 al dividirlo por (x - 2) ?
7) Determinar a, b, c  R para que :
a) P = a x2 + b x + c
tenga a 1 y a 0 como raíces
b) P = x2 - b x + a
tengan a 2 como raíz común
y
Q = a x3 - b
8) Hallar todas las raíces de los siguientes polinomios :
7
a) P( x)  2 x 3  x 2  2 x  1
d) P( x )  x 4  3x 2 
4
4
3
1
11
e) P( x)  x  5x  7 x 2  5x  6
b) P( x )  x 3  3x 2  x  3
2
2
4
3
2
sabiendo que i es raíz
c) P( x)  x  x  4 x  4 x
Licenciatura en Sistemas de Información – Año 2009
Facultad de Ciencias Exactas y Naturales y Agrimensura - UNNE
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Trabajo Práctico Nº 5 - Polinomios
9) Factorear el polinomio x4 - 4 x3 + 6 x2 - 8 x + 8 sabiendo que x = 2 es una raíz
doble.
10) Determinar en cada caso la multiplicidad de  como raíz de P :
a) P = (x - 1)2  (x2 - 1)  (x3 - 1)
b) P = x8 - x6 + 6 x3
11)
=1
=0
a) Sea P = 2 x3 - 11 x2 + 17 x - 6 ; hallar todas sus raíces sabiendo que el
producto de dos de ellas es 1.
b) Dado P(x) = 8 m x2 + 7 (m - 1) x + 1 con m  0, determinar m en los
siguientes casos :
i) las raíces son opuestas
ii) las raíces son recíprocas
iii) las raíces son reales e iguales.
c) Hallar las raíces de los siguientes polinomios reales :
i) P(x) = 2 x3 - x2 - 18 x + 19
ii) P(x) =
x3 +
2
x2 +
3x+2
si
1 + 2 = 0
si
1 = 2 + 3
EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS
1) Dados los polinomios P = x2 - 2 x + 4 ; Q = x3 - 1 ; R = x3 + 2 x ; calcular :
a) P  Q + R
b) (P - Q)  R
c) Q - R + P
d) P - Q  R
e) (Q + R) : P
2) Encontrar un polinomio de grado 3 cuyo coeficiente principal no sea un número
entero ; y que sea divisible por (x - 3) y por (2 x - 1).
3) Completar de ser posible los siguientes polinomios para que sean cuatrinomios
cubos perfectos.
1 3
a) x9 + 27 x3 + 9 x6 + . . .
b)
x -1+x+....
27
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4) Al rewalizar la división del polinomio P por (2x - 1) se obtienen un cociente C y un
resto R.
a) Expresar P en función de (2x - 1) ; C y R. ¿ Qué grado tiene R ?
b) ¿ Cuáles son las raíces del polinomio (2x - 1) ?
c) ¿ Para qué valores de a, P(a) es el resto de dividir P por (2x - 1) ?
5) Dado el polinomio P = x4 - x3 + 2 x2 - x +1, determinar  para que P sea divisible
por x2 +  x +1.
6) Dadas las funciones :
a) f(x) = 2 x3 + 2 x2 - 10 x + 6
b) g(x) = 4 x3 + 12 x2 - 4 x - 12
a) Verificar que x = -3 es un cero de ambas.
b) ¿ Cuáles son los ceros de f y g ?
c) ¿ Cuál es el dominio de la función h = f / g ?
d) Expresar h en la forma mas sencilla posible.
e) ¿ Se puede calcular h(-3) ? Justificar.
7) Hallar todas las raíces de los siguientes polinomios :
a) P = x3 - 3 x + 2
b) P = x3 - 4 x2 + x + 6
8) Dadas las funciones :
a) f(x) = 2 x3 + x2 - 2 x + 1
c) P = 3 x6 - 3
d) P = x4 + x3 - x2 + x - 2
b) g(x) = x3 + 2 x2 + x - 2
9) Sean a, b, c las raíces del polinomio 5 x3 + 2 x2 - x + 4 calcular :
a) a + b +c
b) a2 + b2 + c2
c) a-1 + b-1 + c-1
10) Determinar el polinomio P, con coeficientes reales, de grado mínimo que
satisface simultáneamente (2 + i) es raíz doble y P(-1) = 2.
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