MTM_NM3_U1_GPA Nº3_Raíces

SISTEMA EDUCACIONAL LIAHONA
GERENCIA TECNICA
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
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NM3-TERCERO MEDIO-2010
UNIDAD Nº1: POTENCIAS Y RAÍCES
GUIA PARA EL APRENDIZAJE Nº 3: CONCEPTO DE RAÍCES Y SUS PROPIEDADES
NOMBRE:
CURSO:
RADICALES
Se llama raíz n-ésima de un número a, y se escribe
n
a , a un número b que elevado a n de a.
Ejemplos:
196  14, porque142  196
n
8  2, porque 2 3  8
3
 27  3, porque (3) 3  27
3
81  3, porque33  81
5
1.024  4, porque 4 5  1.024
a se llama radical; a, cantidad subradical; y n, índice de la raíz.
 EXISTENCIA DE RADICALES.
Primera: si a es positivo,
n
3
a existe, cualquiera que sea n.
5, 4 7 , 5 0,85 existen
Segunda: si a es negativo, sólo
existen sus raíces de índice
impar.
3
 8 existe
6
- 0,85 no existe
 FORMA EXPONENCIAL DE LOS RADICALES
La raíz n-ésima de un número puede ponerse en
forma de potencia:
Esta nomenclatura es coherente con la definición.
Es importante familiarizarse con la forma
exponencial de los radicales, pues nos permitirá
expresarlos y operar cómodamente con ellos.
Tercera: salvo que a sea una
potencia n-ésima de un número
entero o fraccionario, n
a es un
número irracional. Sólo podremos
obtener su expresión decimal
aproximada.
n
a  a1/ n
(n a )n  (a1/ n )n  a(1/ n)n  a1  a
1
5
2  25
4
a a a
2
4
2
1
2
Ejercicios:
1. Determina el valor de:
a)
b)
121
3
 125
c)
4
625
d)
3
1
27
2. Expresa las siguientes potencias como raíces:
a.
1
2
m = ______
2
4
5
 
 a 5
2
b. 3 = ______ c.   = ______ d. 5a
b
3
4
= ______
3. Exprese las siguientes raíces como potencias de exponente fraccionario:
2
a.
a 3 = ______
b.
6
5a 7 = ____ c.
n
81 = ______ d.
p
 2a 
  =______
 5 
4. Señale qué condición se debe cumplir en cada caso para que las expresiones representes números reales:
3
a.
b.
1 2 x
 2a 2
1
x 1
c.
d.
1 a  1 a
PROPIEDADES DE LOS RADICALES
Los radicales tienen una serie de propiedades, que debemos conocer y utilizar con soltura. Todas ellas son
consecuencia inmediata de conocidas propiedades de las potencias. Veámoslas una a una, estudiando su
significado en algunos ejemplos.
Primera:
np
Segunda: n
a p  a p / np  a1/ n  n a
Ejemplos:
Ejemplos:
4
9 3  3
6
4  6 22  3 2
4
3x 2 y  3 x 2 y
2
5
Esta propiedad tiene dos importantes aplicaciones:
- simplificar radicales tal y como se ha visto en los
ejemplos anteriores;
- conseguir que dos o más radicales tengan el mismo
índice (reducir a índice común).
3
103  6 1032  6 10609
32x  5 32  5 x  25 x
Esta propiedad tiene dos aplicaciones importantes:
-sacar un factor de la raíz;
3
-de modo contrario, juntar varios radicales en uno
solo.
15  20  300
Tercera:
( a )  (a )  a
p
1/ n p
Ejemplos: (  5 ) 
4
(1/ n ) p
32  3 8  4  3 8  3 4  2  3 4
18  9  2  3  2
22  6 223  6 10648
n
a  b  (a  b)1/ n  a1/ n  b1/ n  n a  n b
 (a )
p 1/ n
 a
n
Cuarta:
p
m n
a  (a1/ n )1/ m  a (1/ n )(1/ m )  a1/ mn  mn a
Ejemplos:
(5)  25
4
3
3 6 3
5 8 5
Quinta:
n
a na

b nb
Ejemplos:
3

x3
3
x5

8
3
x3
x5 3 x5

3
2
8
3
Esta propiedad, junto con la primera y segunda, sirve para poner productos y cocientes de radicales bajo
una sola raíz.
3  3 4 6 33  6 42 6 33  24 6


 2  32  6 18
3
6
6
3
2 3
24
2 3
Ejercicios
1. Resuelve:
a.
3a  2a  6
b.
26a : 2a

c. 2  3 3

2
d.
2 x 3 : 2 x
4
2. Expresa las siguientes raíces con un índice común:
a.
3
a
y
b.
a
a
9
y
b
5
c.
2a
c.
6
a2
3n ,
3m
a
y
mn
3. Expresa en forma de una sola raíz los siguientes términos.
a.
3
b.
2
5 4
3 2
3 2 3
4
4
RADICALES SEMEJANTES
Dos radicales son semejantes cuando tienen el mismo índice y cantidad subradical. Los radicales
3 y
5 3 son semejantes. Tienen el mismo índice, 2, y la misma cantidad subradical, 3.
8 y
2 son semejantes. Esto se comprueba sacando factores del radical.
8  23  22  2  22  2  2 2
12 y 75 son semejantes. Esto se comprueba sacando factores del radical.
12  22  3  22  3  2 3
75  3  52  3  5  5 3
Más ejemplos de radicales semejantes
2 y 5 2
7 3 y 27 ya que 27  33  3 3
53 16 y 128
ya que : 53 16 y 53 2 4  103 2
3
128  3 27  43 2
EJEMPLOS DE OPERACIONES CON RADICALES
SUMA DE RADICALES
POTENCIA DE RADICALES
Ejemplo:
2 3 5 3  7 3
Si los radicales no son semejantes, la suma se
deja indicada.
Ejemplo:
2 7 3 8
Ejemplo:
3
(2 5)3  (2  5 2 )3  23  (5 2 )3  23  5 2  23  (53 ) 2 
1
1
1
23  53  8 125
Es importante observar que al elevar al cuadrado un
radical de índice 2, se obtiene el radicando.
( a )2  a 2  a
Ejemplo: (
CUOCIENTE DE RADICALES
Ejemplo:
8 3:7 5 
8 3
7 5
1
2
5)2  (52 )2  52  5
PRODUCTO DE RADICALES
Ejemplo:
3 5 2
3
15
6
2
2
5
Ejercicios:
1. Resuelve
a)
p  53 p  23 p
3
b)
4 2  3 12  3 75  6 8
c)
a

b  b a : ab
Ejercicios tipo PSU.
0,09 
1.
3
8  4 
2.
a)
5
4
4
a) 0,003
b) 0,018
c) 0,03
d) 0,18
e) 0,3
b)
c) 0
d) -4
e) 4
6
7  6 7 , es equivalente a:
3.
a)
6
b)
6
c)
6
4. Determina el valor de
7
49
15  5
5
3 1
b) 5  1
c) 3
a)
4
7
d) 7
e) 12 49
12
d) 2
75  5
e)

5. ¿Cuál es el resultadote 2 
a) -7
b) -5
c) -1
d) 1
e) 13
9

2
25 5
 es igual a
3
3
6. La expresión
a) 3
b) 0
20
3
20
d)
3
c)
e) Ninguna de las anteriores
7. El valor de
2 8  3 50 es:
8. El valor de
a)
a) 3
b) 9
c) 27.
d) 42
e) Ninguna de las anteriores
d)
6 2
b) 15 2
c) 21 2
9. El valor de
2 27  4 12 es:
a)
2 3
b) 14 13
c)  2 3
d)  2 15
e) Ninguna de las anteriores
3
3
2 3  11  3 2 3  11 es:
5
e)1.
10. La expresión

2 8

2
es equivalente a:
a) 2
b) 10
c) -6
d) -2
e)
10 2 10
6
x  3 , entonces 16  x es:
11. Si
12. El producto
a) 12
b) 18
c) 20
d) 24
e) 36
c)
 
2
8
 ¿?
c) x2
d) x4
e) x16
17. La suma de
a)
19. Si a = 3, b = 4, entonces el valor de
b) 3u
c)
54u
d) 9u
e) 18u
x  16 entonces
x  xx
2 6
igual(es) a ax 2 ?
1
Ix
a
x
II
a x
III
1
ax 3
x
a) Solo I
b) Solo II
c) Solo I Y II
d) Solo I y III
e) I, II y III
b2  a 2
20.
a)
d) 7
e) -7
33 2u
18. ¿Cuál(es) de las siguientes expresiones es(son)
1
2
7  16 es igual a:
0
1
2
7
x y
d) xy
e) Ninguna de las anteriores
14. Si el volumen de un cubo se calcula como a3
siendo a la arista, determina la longitud de la arista
de un cubo cuyo volumen es 54u3.
e)
a) 15
b) 17
c) 11
d) 5
c)
es:
a) 6
b) 8
c) 10
d) 22
x3 2
10
b) x
es:
a) 1
b) 5
y
xyxy
16. Si
a)
5
y
x y
xy
xy
a) Solo I
b) Solo II
c) Solo III
d) Solo I Y II
e) Solo II y III
e)
x
x
 xy 
b)  xy 
a)
13. Determine cuál(es) de las siguientes
afirmaciones es(son) siempre VERDADERA(S):
I Toda raíz inexacta de un número real es
irracional.
II Todo número real elevado a un exponente par
resulta siempre un número positivo.
III Toda raíz de índice par y subradical negativo
no pertenece a los reales.
15. x
 x  y
b)
c)
d)
e)
a 2b3c 4 =
abc2 b
a 2bc2 b
abc c
abc2
abc2 c
7