Raíces de un número complejos: representación

Trabajo Práctico Nº 1- Grupo 7- COMISIóN E
TEMA: Números Complejos- Potencia y raíces
Observando los números complejos de la figura indicada...

¿Cuál es el cubo del número complejo r1?
La potencia n-ésima de número complejo es otro número complejo tal que su
módulo es la potencia n-ésima del módulo y su argumento es n veces el
argumento dado.
Sea r1= (2; 40º) = 2 40º → (240°)3 = 23 3. 40° = 8 120º = (8; 120º)

¿Y los otros dos complejos determinados por los vectores rojos? ¿Qué tienen en
común y qué les diferencia?
Se observa que los tres vectores rojos se encuentran inscriptos en una circunferencia
de radio 2 por lo que, teniendo en cuenta que el módulo de un número complejo (z)
se interpreta como la distancia al origen del número z, podemos decir que los
números complejos r1, r2 y r3 presentan el mismo módulo.
Dichos vectores se encuentran ubicados en diferentes cuadrantes, separados por 120º
y tienen distinta dirección.

¿Qué relación hay entre sus argumentos?
Sea el argumento de un número complejo el ángulo que forma el vector con el
eje real, la relación que existe entre sus argumentos es que se diferencian en 120º
uno de otro.
r1= (2; 40º)
r2= (2; 160º)
r3= (2; 280º)

¿Cuál es el cubo de cada uno de ellos?
r1= (2; 40º) → r13= (8; 120º)
r2= (2; 160º) → r23= (8; 480º) = (8; 120º) – una giro de 360º y 120 º
r3= (2; 280º) → r33= (8; 840º) = (8; 120º) – dos giros de 360º y 120º
1

¿Cuántas raíces cúbicas tiene pues z=8120º y cuál es el valor de cada una de ellas?
Teniendo en cuenta que la raíz n-ésima de número complejo es otro número
complejo tal que su módulo es la en raíz enésima del módulo.
Y que su argumento es
con k = 0,1, 2, 3,… (n-1)
→ z = 8 120º = (8; 120º)
√ z = z 1/3 = / z /1/3 cis 120º + 2kπ
3
3
= 3√ 8 cis
120º + 2kπ
3
k= 0 → z0 = 2 . cis 40º = 2 40º = (2; 40º)
k= 1 → z1 = 2 . cis 160º = 2 160º = (2; 160º)
k= 2 → z2 = 2 . cis 280º = 2 280º = (2; 280º)

Las raíces cúbicas de 8i, -5, y de las unidades real (1) e imaginaria (i) :
8i
→ z0 = (2; 30º)
→ z1 = (2; 150º)
→ z2 = (2; 270º)
-5
→ z0 = (2; 30º)
→ z1 = (2; 150º)
→ z2 = (2; 270º)
1
→ z0 = (1; 0º)
→ z1 = (1; 120º)
→ z2 = (1; 240º)
2
i
→ z0 = (1; 30º)
→ z1 = (1; 150º)
→ z2 = (1; 270º)

Las raíces cuadradas de -4, 8i y 9:
-4
→ z0 = (2; 90º)
→ z1 = (1; 270º)
8i
→ z0 = (2,83; 45º)
→ z1 = (2,83; 225º)
9
→ z0 = (3; 0º)
→ z1 = (3; 180º)

Las raíces cuartas de z=5240º :
→ z0 = (1,5; 60º)
→ z1 = (1,5; 150º)
→ z2 = (1,5; 240º)
→ z3 = (1,5;330º)

Las raíces sextas de 8:
→ z0 = (1,41; 0º)
→ z1 = (1,41; 60º)
→ z2 = (1,41; 120º)
→ z3 = (1,41; 180º)
→ z4 = (1,41; 240º)
→ z5 = (1,41; 300º)
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