Asesoría Semana 1 (5to secundaria) Tema Multiplicación y división 1.- Halla n número de tres cifras si se sabe que al ser multiplicado por 999 su producto termina en 456. Da como respuesta la suma de sus cifras. Resolución Utilizando el método práctico --------….. 456 Reconociendo valores: c=4; b=4; a=5 2.- La suma de dos números es 339, su cociente es 15 y el resto de su división es el mayor posible. Halla la diferencia de los números. Resolución Dato a + b = 339 Del problema tenemos que: a b (b-1) 15 a = 15b + b -1 a = 16b – 1 Reemplazando en 16b – 1 + b = 339 17b = 340 b = 20 => a = 319 Por lo tanto a – b =319 – 20 a – b = 299 3.-Halla la suma de todos los números de tres cifras que al dividirse entre 33, dan un residuo igual al triple del cociente. Resolución Del problema tenemos que: N 33 3q q N = 36q 3q < 33 q < 11 q: 1; 2; …; 10 Valores de N: N: 36; 72; … ; 360 4.- ¿Cuánto se debe sumar al dividendo de una división cuyo divisor y residuo son 15 y 6, para que el cociente aumente en 3 y el resto sea máximo? Resolución Caso I D 15 6 q Caso II D+m 14 15 (q+3) De 5.- En la siguiente operación: 33 74 Encuentra: Resolución Dando forma: 79 Por lo tanto Por teoría N = 33q + 3q 6.- ¿Cuántos números existen tales que al dividirlos entre 45, su residuo es el doble del cociente? Resolución D 45 2q q Caso II A - 170 B 1 (q-3) Reemplazando Además 2q < 45 q < 22.5 q: 1; 2; …; 22 Observamos que hay: 22 números 7.- En una división entera el divisor es 27 y su residuo 11. ¿En cuánto aumenta el cociente cuando el dividendo se incremente en 156 unidades? Resolución 8.- Aumentando 7 a cada uno de los factores de una multiplicación, el producto aumenta en 364. Halla el producto original, si la diferencia de sus factores es 5. Resolución Sea el producto original: ab Según el problema: (a+7)(b+7) = ab + 364 ab + 7a +7b +49 = ab + 364 Reduciendo 7a +7b = 315 a + b = 45 a-b=5 Dato del problema Resolviendo a = 25; b = 20 Piden: ab = 500 9.- Al dividir A entre B se obtiene residuo máximo. Si al dividendo se disminuyera en 170, el cociente disminuiría en 3 unidades y el residuo se volvería mínimo. Halla B Resolución Caso I A B B-1 q B = 43 10.-La suma de los 4 términos de una división entera inexacta es 600. Halla el dividendo si el cociente es 12 y el resto la mitad del divisor. Resolución D d 12 Dato del problema Reemplazando el valor de “D” Resolviendo d = 42 Por lo tanto: D = 12(42)+ D = 525 11.- El producto de dos números impares es 165. Este producto aumenta en 56 unidades; si ambos números son reemplazados por sus respectivos números impares consecutivos. Halla la diferencia de ambos impares. Resolución Sean los números impares “a” y “b” Dato: Según el problema: Por lo tanto de Finalmente 12.- En una división el dividendo es 465, el residuo y el cociente son iguales entre sí y el divisor es el doble del cociente. ¿Cuál es el divisor? Resolución Del problema tenemos que: 465 2q q q 14.- Si M 17 3q q Se tiene que M y q son números enteros positivos. La suma del mayor y menor valor posible de M es: Resolución Nos piden: De a cuerdo al algoritmo de la división * Hallando el mayor valor de M El residuo sería: Reemplazando el valor de q: Por lo tanto: *Hallando el menor valor de M El residuo sería: Reemplazando el valor de q: 15 x 31 q = 15 Otra manera de resolver (algebraicamente) Por lo tanto nos piden (Factorizando) 2q q -15 +31 (q-15)(q+31)=0 q = -31 (no puede ser solución) q = 15 15.-La suma de los 4 términos de una división es 202. Si al dividendo y divisor se les multiplica por 5, entonces la suma de los 4 términos de esta nueva divisi´on es 770. Calcula el primer cociente. 13.- Si se aumenta 10 a los dos factores de un producto, este quedara aumentado en 1100. ¿Cuál será dicho producto si la diferencia de sus factores es 20? Resolución Sea el producto de los dos números: Dato: Del problema: Resolución D d r q Dato: D+d+q+r=202 De Multiplicamos por 5x 5(D+d+q+r)=5(202 ) 5D+5d+5q+5r=1010 Por teoría, si al dividendo y al divisor se multiplica por 5 entonces el residuo queda multiplicado por 5, entonces: 5D 5d 5r t Por lo tanto t=q Dato: 5D+5d+q+5r=770 División en base “n” Restamos 5D+5d+5q+5r – (5D+5d+q+5r)=1010-770 4q = 240 q = 60 16.- En Base “n” se cumple que . Entonces, el valor mínimo de “n” para que se cumpla, la condición anterior es: Resolución B < n ; H < n; 2 < n Descomposición polinómica --Por lo tanto: Podemos escribir de la siguiente manera: 2 2 3 2 3 5 3 2 5 2 4 7 4 2 7 ... Non Piden “n” mínimo n=3 Otra forma de resolver: Dividimos algebraicamente ------------Podemos escribir de la siguiente manera: Por lo tanto: Podemos escribir de la siguiente manera: 2 2 3 2 4 ... 2 3 2 4 2 3 5 5 7 7 Non Piden “n” mínimo n=3 Otra forma de resolver: 2 2 3 2 3 5 3 2 5 2 4 7 4 2 7 ... Non Piden “n” mínimo n=3 17-.Sean los números “m”,” n” y ”r” enteros. Al dividir (m+n) entre “n”, se obtiene como cociente 3r y como resto r. Si m>16r y “n” es primo menor que a 10. Entonces “n” es igual a: Resolución Dato: n<10 ; n es un número primo m+n r n 3r Entonces: m+n = 3nr+r Además por dato del problema: m > 16r n>r Sumando las inecuaciones m+ n > 16r+r Reemplazando la ecuación 3nr+r > 17r 3nr > 16r 3n > 16 n > 5,33 Por lo tanto: 5,33 < n < 10 n=7 18.-Halla x+y si: Resolución Descomposición polinomica por bloques: Reconociendo valores Por lo tanto: 19.- En una división le falta 15 unidades al residuo para ser máximo, pero, sería mínimo al restarle 18 unidades. Determina el dividendo de la división si el cociente es el doble del residuo. Resolución Dato: q=2r Sabemos que: D d r q Caso I Caso II Reemplazando en Por lo tanto: q=2(19) q=38 Finalmente: 20.- En una división inexacta, el dividendo es 508 y el cociente es 13, ¿cuántos valores puede tomar el divisor? Resolución Sabemos que: 508 d r 13 Además observamos que: d < 40 ¿por que? Por que, si fuera d=40 tendríamos 508 = 40(13)+r 508 =520 + r “ observamos que 520 > 508” Por teoría r < d Luego 508=13d+r 508-13d = r Reemplazando en 508 - 13d < d 508 < 14d 36,2 < d Por lo tanto de De 36,2 < d < 40 Valores que puede tomar d: 37; 38; 39 Rta: 3 valores puede tomar “d”