Valores máximos y mínimos de una función

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MATEMÁTICAS 1
Unidad 4. APLICACIONES DE LA DERIVADA
VALORES MÁXIMOS Y MINIMOS DE UNA FUNCION.
Considérese la función :
Y
P
Q
punto máximo (relativo o local)
Punto mínimo (relativo o local)
X
DEFINICIONES:

La función f tiene un máximo en x=c si existe un intervalo abierto (a ,b) sobre el
cual f está definida y c pertenece a (a, b) tal que f(c)  f(x) para toda x perteneciente
a (a, b).

La función f tiene un mínimo en x=c si existe un intervalo abierto (a, b) sobre el cual
f está definida y c pertenece a (a, b) tal que f(c)  f(x) para toda x perteneciente a (a,
b) .

Sea f una función diferenciable en cada punto de (a, b) y sea c un punto del intervalo
(a, b). Si f tiene en c un máximo o un mínimo f ’ (c) = 0.

Si f tiene en c un máximo o un mínimo y f es diferenciable en c entonces la recta
tangente en el punto (c, f(c)) es horizontal.

Una función puede tener valores extremos ( máximos y mínimos ) relativos
únicamente en los puntos donde la derivada es igual a cero o en algunos puntos donde
la derivada no existe.

Se les llama números, puntos o raíces criticas a los números del dominio de una
función en los que la derivada es igual a cero o donde esta no existe.

El valor mayor de una determinada función en un intervalo recibe el nombre de valor
máximo absoluto y el valor menor de la función en el intervalo se llama valor
mínimo absoluto.
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Ejemplo: Determine los puntos donde existe algún valor máximo o mínimo en la
siguiente función:
f (x) = x3 – 9x2 + 15x + 3
f ’ (x)= 3x2 – 18x + 15
f ’ (x) = 3x2 - 18x + 15 = 0
f ’ (x) = 3( x2 -6x +5) = 0
f ’ (x) = 3 ( x – 1) (x – 5) = 0
a) se obtiene primera derivada de la función
b) se iguala a cero y se factoriza para sacar
raíces críticas
x1 =1 y x2 = 5
x1 = c =1, x2 = c = 5
estas son las raíces criticas
Los valores de las raíces criticas se sustituyen en la función para sacar los máximos y
mínimos.
f (x1) = f(1) = (1)2-9(1)2+15(1)+3= 10
f (x2) = f(5) = (5)2 –9(5)2 +15(5)+3= -22
como f (1) > f (5)
como f (5) < f (1)
es un máximo
es un mínimo
Gráfica de la función f (x) = x3 – 9x2 + 15x + 3
EJERCICIOS:
1. f (x) = x3 – 3x
f ’(x) = 3x2 – 3
f ’(x) = 3(x2 – 1) = 0
f ’(x) = 3(x –1)(x+1) = 0
x1 = 1, x2 = -1
c1 = 1, c2 = -1
f (x1) = f(1) = (1)3 – 3 = -2
f (x2) = f(-1)= (-1)3 – 3(-1) = 2
f(1)<0 es un mínimo con coordenadas (1,-2).
f(-1)>0 es un máximo con coordenadas (-1,2).
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Gráfica de la función f (x) = x3 – 3x
2. f (x) = -x3 + 6x2 –9x + 1
f ’ (x) = -3x2 + 12x – 9
f ’(x) = -3(x2 – 4x + 3 ) = 0
f ’(x) = -3(x - 1) (x - 3) = 0
x1 =1, x2 = 3
C1 =1, C2 = 3
f(1) = -(1)3 + 6(1)2 – 9(1) + 1 = -3
f(1) <0
es un mínimo con coordenadas (1,-3).
f(3) = -(3)3 + 6(3)2 – 9(3) + 1 = 1
f(3 )>0
es un máximo con coordenadas (3,1).
Gráfica de la función f (x) = -x3 + 6x2 –9x + 1
3. f(x) = x4 – 8x2 + 16
f’(x) = 4x3 – 16x
f’(x) = 4x3 – 16x = 0
f’(x) = 4x(x2 – 4) = 0
f’(x) = 4x(x – 2)(x + 2) = 0
x1 = 0, x2 = -2, x3 = 2
C1 = 0, c2 = -2, c3 = 2
f(0) = (0)3 – 8(0)2 + 16 = 16
f (0) >0
es un máximo con coordenadas (0,16).
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f(-2) = (-2)4 – 8(-2)2 + 16 = 0
f(-2) = 0
con coordenadas (-2,0).
f(2) = (2)4 – 8(2)2 + 16 = 0
f(2) = 0
con coordenadas (2,0).
Gráfica de la función f(x) = x4 – 8x2 + 16
Como f(-2) (C2) y f(2) (C3) son iguales a 0 ( cero), para saber si son máximos o
mínimos se sustituyen C2 en la primera derivada de la función tomando un número antes
y un número después de C2 ; lo mismo se hace para C3.
Para f’(C2)
f’(-3 ) = 4(-3)3 - 16 (-3) = - 60
∴ f(-2) es un mínimo.
f’(-1) = 4( -1)3 – 16 (-1) = 44
Para f’(C3)
f’(1) = 4(1)3 – 16 (1) = -12
∴ f’(2) es un mínimo .
f’(3) = 4(3)3 – 16 (3) = 60
-3
-2
-1
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2
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4. f(x) = 3x4 – 4x3 – 12x2 + 2
f’(x) = 12x3 – 12x2 –24x
f’(x) = 12x3 – 12x2 –24x = 0
f’(x) = 12x (x – 2) (x + 1) = 0
x1 = 0, x2 = 2, x3 = -1
C1 = 0, C2 = 2, C3 = -1
f(0) = 3(0)4 – 4(0)3 – 12(0) + 2 = 2
f(0) > 0
es un máximo con coordenadas (0,2).
f(2) = 3(2)4 – 4(2)3 - 12(2)2 + 2 = -30
f(2) = -30 coordenadas (2,-30).
f(-1) = 3(-1)4 – 4(-1)3 – 12(-1)2 + 2 = -3
f(-1) = -3 coordenadas (-1,-3).
sustituir en la derivada de la función para f(C2):
f’(1) = 12(1)3 – 12(1)2 – 24(1) = -24
f’(3) = 12(3)3 – 12(3)2 – 24(3) = -72
∴ ƒ(2) es un mínimo.
sustituir en la derivada de la función para f(C3):
f’(-2) = 12(-2)3 – 12(-2)2 –24(-2) = -96
f’(0) = 12(0)3 - 12(0)2 – 24(0) = 0
∴ f(-1) es un mínimo.
Gráfica de la función f(x) = 3x4 – 4x3 – 12x2 + 2
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Determinar los puntos críticos donde existe algún valor máximo o mínimo en las
siguientes funciones:
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