Módulo 15

SEMEJANZA DE FIGURAS PLANAS
Dos figuras son semejantes si tienen la misma forma, de manera que una de ellas se puede
considerar como ampliación o reducción de la otra.
CRITERIO DE SEMEJANZA ENTRE DOS POLÍGONOS: Para que dos polígonos (con el mismo
número de lados) sean semejantes se han de cumplir las dos condiciones siguientes:
D
E
A
C
A

A

B
A


A
1. Los ángulos respectivos han de ser iguales:
A = A´ ; B = B´ ; C = C´ ; ...
2. Los lados respectivos han de ser proporcionales:
AB / A´B´ = BC / B´C´ = CD / C´D´ = ... = constante
Los vértices, lados y ángulos correspondientes a dos polígonos semejantes se llaman homólogos;
y a la constante de proporcionalidad, que es la razón entre las longitudes de dos lados homólogos,
se llama razón de semejanza.
Es importante recordar que:
1. La razón de los perímetros de dos polígonos semejantes es igual a su razón de semejanza.
2. La razón de las áreas de dos polígonos es igual al cuadrado de su razón de semejanza.
Semejanza de triángulos
Dos triángulos son semejantes si sus ángulos son iguales uno a uno, respectivamente; los lados
opuestos a dichos ángulos son proporcionales
Para determinar la semejanza entre dos triángulos existen tres criterios que son los siguientes:
Primer Criterio: Ángulo – Ángulo (AA)
Dos triángulos son semejantes si tienen dos de sus ángulos respectivamente iguales.
Ejemplo:
Si se dice que A = D y que el C = F, entonces el ABC  DEF
Segundo Criterio: Lado - Ángulo- Lado ( LAL)
Dos triángulos son semejantes si dos de sus lados son proporcionales respectivamente y
congruente el ángulo que forman.
Ejemplo:
Si se dice que
AB BC
y que B = E, entonces el ABC  DEF

DE EF
Tercer Criterio: Lado - Lado - Lado (LLL)
Dos triángulos son semejantes si sus tres lados son respectivamente proporcionales.
Ejemplo:
F
C
A
A
Si se dice que
B
D
AB BC CA
entonces el ABC  DEF


DE EF FD
E
EJERCICIOS
1. Dos cuadriláteros A y B son semejantes. los lados del cuadrilátero A son 10, 15, 18 y 12 cm. Si
la constante de proporcionalidad es 3, ¿cuánto mide el menor de los lados de B?
a) 0, 3 cm.
c) 5 cm.
b) 3, 3 cm.
d) 6 cm.
e) 30 cm.
2. Los perímetros de dos polígonos semejantes P y Q son 45 y 54. El lado mayor de P es 15,
¿cuál es el lado mayor de Q?
a) 5
b) 6
c) 15
d) 18
e) 24
3. En un triángulo las medidas de los ángulos interiores están en la razón 4 : 9 : 5. El triángulo es:
I)
II)
III)
Isósceles
Rectángulo
Acutángulo
a) Sólo I
b) Sólo II
c) Sólo III
d) Sólo I y II
e) Sólo I y III
4. Los triángulos ABC y DEF son semejantes. AB = 6 cm., BC = 12 cm., DE = 10 cm. y DF = 7,5
cm. Determinar AC + EF.
F
C
A
B
E
D
a) 7,2 cm.
b) 12,5 cm.
c) 19,5 cm.
d) 19,7 cm.
e) 24,5 cm.
5. Calcular la altura de un árbol que proyecta una sombra de 4,2 metros, si se sabe que un poste
de 2,5 metros de altura proyecta, en el mismo momento, una sombra de 1,4 metros.
a) 2,35 m.
b) 4,2 m.
c) 5,3 m.
d) 7,5 m.
e) 15 m.
6. Tres árboles se encuentran alineados. El más pequeño mide 2 metros, el mediano mide 3,5
metros. Si la distancia entre cada árbol es de 15 metros, ¿cuánto mide el árbol más alto?
a) 3,5 m.
b) 5 m.
c) 5,5 m.
d) 7 m.
e) 15 m.
7. Los lados de un polígono miden 6, 9, 12 y 15 cm. ¿Cuál es el perímetro del polígono semejante
al anterior si su lado mayor mide 20 cm?
a) 42 cm.
b) 47 cm.
c) 56 cm.
d) 62 cm.
e) Ninguna de
las anteriores
8. La sombra de un edificio es de 50 metros y a esa misma hora la sombra de una casa de 5
metros de altura, es de 10 metros. ¿Cuál es la altura del edificio?
a) 10 m.
b) 25 m.
c) 45 m.
d) 50 m.
e) 100 m.
9. En un triángulo isósceles las medidas del ángulo de la base y del vértice están en la razón 1:3;
el ángulo mayor mide:
a) 36º
b) 45º
c) 90º
d) 108º
e) 135º
10. En un triángulo rectángulo los segmentos que la altura determina sobre la hipotenusa miden
16 y 36. El área del triángulo es:
a) 39
b) 78
c) 108
d) 216
e) Falta
Información
ALTERNATIVAS
1.
Alternativa A: Incorrecta. Aplicación equivocada de la proporcionalidad lleva al cuociente 3/10.
Alternativa B. CORRECTA. Como la constante de proporcionalidad es 3, o sea 3 : 1. Los lados del
cuadrilátero B son 3, 3 ; 4; 5; y 6; siendo 3, 3 el menor de ellos.
Alternativa C. Incorrecta. Se aplica correctamente la proporcionalidad, pero 4 no corresponde al
lado menor.
Alternativa D: Incorrecta. Aunque la aplicación de la proporcionalidad está correcta, el lado menor
no mide 6.
Alternativa E: Incorrecta. Se aplica mal la proporcionalidad considerándose 1:3 en vez de 3:1.
2.
Alternativa A: Incorrecta. Se simplifica la razón 45 : 54, obteniéndose 5 : 6, pero se opta por 5
como la respuesta pedida.
Alternativa B. Incorrecta. Como 45 : 54 = 5 : 6, entonces se piensa, en forma errada, que 6
corresponde al lado mayor de Q.
Alternativa C. Incorrecta. No hay dominio del concepto de semejanza, se confunde con el de
congruencia. Se opta por 15 para Q ya que el lado mayor de P es 15.
Alternativa D: CORRECTA. Se plantea la proporción 45 : 54 = 15 : x de donde x = 18, siendo éste
el lado mayor de Q. También está la posibilidad de simplificar por 3 la razón 45 : 54, obteniéndose
de inmediato la solución.
Alternativa E: Incorrecta. Error en la aplicación de proporciones lleva a obtener 24 como la
respuesta pedida.
3.
Alternativa A: Incorrecta. Los ángulos miden 40º, 90º y 50º por lo que no corresponde a un
triángulo isósceles, ya que para que eso ocurra deben haber dos ángulos de igual medida.
Alternativa B. CORRECTA. Como los ángulos interiores están en la razón 4 : 9 : 5 se debe dividir
los 180º en 4 + 9 + 5 partes, o sea 180 : 18 = 10. Por lo tanto los ángulos son 40º, 90º y 50º, lo que
implica que el triángulo es rectángulo.
Alternativa C. Incorrecta. Para que sea acutángulo los ángulos deben ser agudos, o sea menores
de 90º, lo que no corresponde.
Alternativa D: Incorrecta. El triángulo es rectángulo, pero no isósceles.
Alternativa E: Incorrecta. No se cumple ninguna de las afirmaciones dadas, el triángulo no es
isósceles ni acutángulo.
4.
Alternativa A: Incorrecta. Se plantea que 6 : 10 = y : 12, obteniéndose el valor de y, pero no de x +
y.
Alternativa B. Incorrecta. Se resuelve la proporción 6 : 10 = 7,5 : x, obteniéndose el valor de x, pero
no el de x + y.
Alternativa C. Incorrecta. Se considera que cada lado aumenta en 4, tomándose como base que el
lado AB mide 6 cm. y que DE mide 10 cm.
Alternativa D: Incorrecta. Error al plantear las proporciones como 6 : 10 = 7,5 : AC y 6 : 10 = EF :
12.
Alternativa E: CORRECTA. Se resuelven las proporciones 6 : 10 = AC : 7,5 y 12 : EF, de donde
se obtienen que AC = 4,5 y EF = 20. Luego AC + EF = 24,5
5.
Alternativa A: Incorrecta. Se plantea la proporción h : 4,2 = 1,4 : 2,5 la cual no corresponde al
enunciado.
Alternativa B. Incorrecta. Se considera la altura del árbol igual a su sombra.
Alternativa C. Incorrecta. Como la diferencia entre 4,2 y 1,4 es 2,8, se piensa erradamente que
debería ser la misma entre h y 2,5.
Alternativa D: CORRECTA. La altura se determina planteando y resolviendo h : 4,2 = 2,5 : 1,4
Alternativa E: Incorrecta. Problemas con la operatoria llevan a esta alternativa.
6.
Alternativa A: Incorrecta. Se establece la proporción 15 : 35 = 15 : x, que es incorrecta para
determinar la medida del árbol más alto.
Alternativa B. CORRECTA. Se determina “d”, correspondiente a la distancia desde un punto en el
suelo, al primer árbol, o sea, a : 2 = (a + 15) : 3,5; obteniéndose que d = 20. Luego se plantea que
20 : 2 = 50 : x, siendo x la altura del árbol más alto.
Alternativa C. Incorrecta. Se suman, sin sentido, los valores 2 y 3,5, creyéndose que la medida
obtenida corresponde a lo pedido en el enunciado.
Alternativa D: Incorrecta. Se plantea en forma errada que 15 : 3,5 = 30 : x, siendo x la altura del
árbol más alto.
Alternativa E: Incorrecta. Se iguala la altura del árbol más alto con la distancia entre cada árbol.
7.
Alternativa A: Incorrecta. Se suma el perímetro del polígono dado, suponiéndose que los
perímetros de polígonos semejantes son iguales, lo que es un error.
Alternativa B. Incorrecta. Se obtiene el perímetro sumando el lado mayor, 20 cm., con los lados del
polígono dado, o sea, con 6, 9 y 15 cm.
Alternativa C. CORRECTA. Los lados mayores de los polígonos están en la razón 15 : 20, o sea, 3
: 4. Por lo tanto la medida de los lados del segundo polígono son 9, 12, 15 y 20 cm.
Alternativa D: Incorrecta. Se agrega 5 cm a cada lado del segundo polígono, basados en que el
lado mayor del primer polígono es 15 cm y el segundo, 20 cm.
Alternativa E: Incorrecta. Diversos razonamientos, pero errados, llevan a esta alternativa.
8.
Alternativa A: Incorrecta.
Alternativa B. CORRECTA. Se resuelve la proporción h : 50 = 5 : 10, de donde h, la altura del
edificio, es 25 metros.
Alternativa C. Incorrecta. Como entre la altura de la casa y su sombra hay 5 metros de diferencia
se piensa que igual ocurre con el edificio, lo que no es cierto.
Alternativa D: Incorrecta. Se iguala la sombra con la altura del edificio no estableciéndose
proporcionalidad alguna.
Alternativa E: Incorrecta. Se plantea la proporción x : 50 = 10 : 5, que no corresponde al enunciado
del problema.
9.
Alternativa A: Incorrecta. Se resuelve correctamente al dividir 180º en 5 partes, pero luego no se
responde lo solicitado.
Alternativa B. Incorrecta. Como se enuncia la razón 1 : 3, se dividen los 180º en 4 partes, lo que
resulta incorrecto.
Alternativa C. Incorrecta. Al dividir 180º en 4 partes, al no entenderse el enunciado, se obtiene que
los ángulos de la base miden 45º cada uno por lo que el del vértice resulta de 90º.
Alternativa D: CORRECTA. Al dividir los 180º en 5 partes, se determina que los ángulos basales
del triángulo miden 36º cada uno. El ángulo mayor es, por lo tanto, 108º.
Alternativa E: Incorrecta. Se obtiene que uno de los ángulos de la base mide 45º y se calcula lo
que resta para completar los 180º.
10.
Alternativa A: CORRECTA. Por semejanza se obtiene que el cuadrado de la altura es igual al
producto de las proyecciones (Teorema de Euclides). Luego h = 6 y aplicando la fórmula para
obtener el área de un triángulo, se llega a 39 cm2.
Alternativa B. Incorrecta. Se determina la altura correctamente, pero luego se aplica mal la fórmula
del área de un triángulo.
Alternativa C. Incorrecta. Por semejanza de triángulos, se calcula la altura, pero luego en vez de
sumar los trazos de medidas 4 y 9, se multiplican.
Alternativa D: Incorrecta. Doble error ya que se multiplican los trazos 4 y 9 y luego se aplica mal la
fórmula del área del triángulo.
Alternativa E: Incorrecta. El desconocimiento de semejanza lleva a optar por esta alternativa.