Problemas del libro de texto de Anaya 2008 con soluciones

TEMA 2. SUCESIONES
EJERCICIOS
Criterios para formar sucesiones
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1.- Describe el criterio con el que se forman estas
sucesiones y añade tres términos a cada una.
1 1 1 1
1,
a) 2 , 3 , 4 , 5 ,
Los inversos de los números naturales.
1 1 1 1 1 1 1
1, , , , , , , ,
2 3 4 5 6 7 8
b) 1, 2, 3,2, 5,
Raíces cuadradas de los números naturales.
1, 2, 3, 2, 5, 6, 7, 8,
c) 2,5,10,17,26,…
Cuadrados de los números naturales más una
unidad.
2,5,10,17,26,37,50,65,…
d) 0,3,8,15,24,…
Se van sumando los números impares
0,3,8,15,24,35,48,63,…
e) 1,3,6,10,15,…
Se van sumando los números naturales
1,3,6,10,15,21,28,36,…
2.- Escribe los cinco primeros términos de las
sucesiones cuyos términos generales son estos:
a) an  3 
2
3.2; 3.02; 3.002; 3.0002; 3.00002;
10n 
3 8 15 24
n2  1
0,
, , , ,
b

b) n

2
3 4 5
n
3n  1
5 11 7
c

1,
c) n n  1  3 , 2, 5 , 3 ,
n
d) dn  2
1 1 1 1 1
 2 , 4 , 8 , 16 , 32
e) en  1.2.3....n  1, 2, 6, 24,120,
f) f n
 1

nn
 1,0, 3,0, 5,
2
n
3.- Escribe el término general de estas sucesiones:
1 2 3 4
a) 2 , 3 , 4 , 5 ,
n
a

 n n 1
1 1 1
1,
b) 3 , 9 , 27 ,
 El denominador es una progresión
1
b

geométrica de razón 3  n 3n 1
3 8 15 24
0,
c) 5 , 10 , 17 , 26
 El numerador son los
cuadrados de los números naturales restando 1, y el
n2  1
denominador es dos unidades mayor  cn  n 2  1
1
d

5

d) 5.1; 5.01; 5.001; 5.0001; …  n
10n
4.- Construye dos sucesiones cuyas leyes de
recurrencias sean las siguientes:
an 1  an  2
a

0;
a

2;
a

2
n
a) 1

2
3 5 11
0, 2,1, , , ,
2 4 8
an 1.an  2
1 1 1
a

1;
a

2;
a

1,
2,1,1,
, , ,
2
n
b) 1

2
2 4 16
5.- Busca una ley de recurrencia para definir las
siguientes sucesiones:
a) 4, 7, 3, -4, -7, …  a1  4; a2  7; an  an 1  an  2
3 1 1
2,3,
, , ,
b)
2 2 3

a1  2; a2  3; an 
an 1
an  2
Progresiones aritméticas
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6.- De las siguientes sucesiones, di cuáles son
progresiones aritméticas y escribe su término general:
a) 1.2; 2.4; 3.6; 4.8; 6; …  Es progresión aritmética
con d=1.2; Término general
an  1.2   n 11.2  1.2n
b) 5; 4.6; 4.2; 3.8; 3.4; …  Es progresión aritmética
con d=-0.4; Término general
an  5   n  1 0.4  5.4  0.4n
c) 1, 2, 4, 7, 11, …  No es progresión aritmética
pues 2  1  4  2
d) 14, 13, 11, 8, 4, …  No es progresión aritmética
pues 13  14  11  13
7.- De las sucesiones siguientes, indica cuáles son
progresiones aritméticas:
a) an  3n  3, 6, 9, 12, 15, … Si es progresión
aritmética de diferencia d=3
b) bn  5n  4  1, 6, 11, 16, … Si es progresión
aritmética de diferencia d=5
1
1 1 1
1,
, , ,

n
2 3 4
1
1 1

1


pues 2
3 2
c) cn 
No es progresión aritmética
8  3n
5 1 1
, ,  , 1, Si es progresión
4  4 2 4
1 5 2 5
3





aritmética, pues 2 4 4 4
4;
1 1
1 2
3
1
4 1
3
       ; 1       ; por
4 2
4 4
4
4
4 4
4
3
d


tanto la diferencia es
4
d) d n 
n
11 13
, 6, , 7, Si es progresión
2  2
2
11 1 13
1
13 1
6



6

7


aritmética pues
2 2; 2
2;
2 2;
1
d

por tanto la diferencia es
2
e) en  5 
2
f) fn  n 1;  0, 3, 8, 15, … No es progresión
aritmética, pues 3  0  8  3
8.- Calcula a10 y a100 de las siguientes progresiones
aritméticas:
a) -4, -2, 0, 2, 4, …  a1  4 ; d  2 ;
a10  4  10 1 .2  14 ; a100  4  100 1.2  194
b) 2, -3, -8, -13, -18, …  a1  2 ; d  5 ;
a10  2  10 1 . 5  43 ;
a100  2  100 1 . 5  493
1
3 5 3 7
3
d

,1,
,
,
,
a

c) 4 4 2 4
 1 4;
4;
3
1
a10   10  1 .  3 ;
4
4
3
1 102 51
a100   100  1 . 

4
4
4
2
9.- Calcula la suma de los 25 primeros términos de las
siguientes progresiones aritméticas:
a) 3, 6, 9, 12, 15, …  a1  3 ; d  3 ;
a25  3  24.3  75 ; S 25 
3  75
.25  975
2
b) 5; 4.9; 4.8; 4.7; 4.6; …  b1  5 ; d  0.1 ;
b25  5  24. 0.1  2.6 ; S 25 
5  2.6
.25  95
2
c) cn  4n  2 ;  c1  2 ; c25  98 ;
S 25 
2  98
.25  1250
2
1  2n
1
1  50
49
d


d



1
25
2 ;
2;
2
2 ;
1 49
 
625
S25  2 2 .25  
2
2
d) d n 
Progresiones geométricas
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10.- De las siguientes sucesiones, ¿cuáles son
progresiones geométricas? Escribe tres términos más
en cada una y también su término general.
a) 32, 16, 8, 4, 2, …  Progresión geométrica de
1
1 1
r

32,16,8,
4,
2
,
1,
, ,
razón
2;
2 4
1
an  32.  
2
n 1
b) 1;0.1;0.01;0.001;...  Progresión geométrica de
1
r

razón
10 ;
1;0.1;0.01; 0.001; 0.0001;0.00001;0.000001;...
1
bn   
 10 
n 1
c) 1; 4;9;16; 25;...  No es progresión geométrica
4 9
porque 1  4
d)
2;2;2 2;4;4 2;...  Progresión geométrica de
razón r  2 ; 2;2;2 2;4;4 2;8;8 2;16;...
dn  2
 2
n 1

 2
n
11.- Calcula la suma de los 25 primeros términos de las
siguientes progresiones geométricas y halla la suma
de los infinitos términos en los casos que sea posible:
a) a1  32 ; r 
1
2;
24
a  a .r
1
a25  32.    0.000001907 ; S25  1 25 ;
1 r
2
1
32  32.  
2
S 25 
1
2
25
 63.99999809
infinitos términos
S
; Suma de los
a1
32

 64
1
1 r 1
2
24
1
1
23
b

10.

10
r

b

10
25


b) 1
;
;
10 ; 
 10 
 1
10  10.  
 10 
S 25 
9
10
25
infinitos términos
100  1023

9
; Suma de los
S
b1
10
100


1 r 1 1
9
10
10 24
14
10
c) c1  2 ; r  2 ;  c25  2 .2  2 ;
210  215
S25 
 210  215 ; No se puede hallar la
1
suma de los infinitos términos.
24
1
 1
14
d


5.


1,77.10
r


d


5
25


d) 1
;
;
4; 
 4
 1
5  5.   
 4
S 25 
5
4
25
infinitos términos
 4  3,55.1015
S
; Suma de los
d1
5
5


 4
1
5
1 r 1
4 4
Límite de una sucesión
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14.- Calcula los términos a10 , a100 y a1000 en cada
sucesión e indica cuál es su límite:
1
1
a

a

a) n n  1 ; 10 9  0.1111111 ;
1
1
a100 
 0.01010101 ; a1000 
 0.001001001 ;
99
999
an  0
b) an 
a1000
2n  5
25
205
a


2.5
a

 2.05 ;
10
100
;
;
n
10
100
2005

 2.005 ; an  2
1000
5
a

c) n n  1 ; a10  0.5 ; a100  0.95 ; a1000  0.995 ;
an  1
d) an  3  7 n ; a10  67 ; a100  697 ; a1000  6997 ;
an  
15.- Halla algunos términos muy avanzados de las
siguientes sucesiones e indica cuál es su límite:
a) an  5n  10 ; a10  40 ; a100  490 ; a1000  4990 ;
an  
b) bn  100  n ; b100  0 ; b1000  900 ; b10000  9900 ;
bn  
n3
7
c

c

c) n n  1 ; 10 11  0.6363... ;
97
997
c100 
 0.96039603... ; c1000 
 0.996... ;
101
1001
cn  1
n
10
d

d

d) n 2n  1 ; 10 21  0.476... ;
100
1000
d100 
 0.4975... ; d1000 
 0.49975... ;
201
2001
1
dn 
2
Para resolver
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19.- Halla el cuarto término de una progresión
aritmética en la que d=3 y a20  100 ; 
a20  a1  19.3 ; a1  a20 19.3  100  57  43 ;
a4  a1  3.3  43  9  52
20.- Calcula la suma de todos los números impares de
tres cifras.  a1  101 ; an  999 ; d  2 ; 
an  a1   n 1 d ; 999  101   n 1 2 ; n  450 ;
Sn 
101  999
a1  an
.450  247500
.n ; Sn 
2
2
23.- Los lados de un hexágono están en progresión
aritmética. Calcúlalos sabiendo que el mayor mide 13
cm y que el perímetro vale 48 cm.  Datos: a1  101 ;
S6  48 ;  48 
13  a6
.6 ; a6  3 ; 3=13+5d; d  2 ;
2
Los lados del hexágono miden: 13, 11, 9, 7, 5, 3 cm
29.- La maquinaria de una fábrica pierde cada año un
20% de su valor. Si costó 4 millones de euros, ¿en
cuánto se valorará después de 10 años de
funcionamiento?
6
Datos: a1  4.10 ; n = 10; r = 80% = 0.8; Pues cada
año hay que hallar el 80% del valor que tenía el año
anterior, o sea que se multiplica por 0.8.
a10  4.106.  0,8   536.870,9 euros
9
30.- El 1 de enero depositamos 5 000 € en una cuenta
bancaria a un interés anual del 6% con pago mensual
de intereses. ¿Cuál es el valor de nuestro dinero un
año después?
6
Datos: 6% anual = 12  0.5% mensual . Cada mes hay
que sumarle a la cantidad inicial 0.005xC, o sea que si
teníamos una cantidad C, tendremos C + 0.005C
=1.005C
Luego se trata de una progresión geométrica de razón
1.005.
a12  5000 x1.00511  5281.98 € valor al cabo de un año
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36.- Durante 5 años depositamos en un banco 2 000 € al
4% con pago anual de intereses.
a) ¿En cuánto se convierte cada depósito al final del
quinto año?
b) ¿Qué cantidad de dinero hemos acumulado durante
esos 5 años?
Final del primer año  2000.1,04
2
Final del 2º año  2000.1,04 y así sucesivamente.
5
Final del 5º año  2000.1,04
Durante los 5 años hemos acumulado:
2000.1,04  2000.1,046
S5 
 11265,65 €
1  1,04
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48.- Dibuja un cuadrado de lado 2 cm y sobre cada
lado un triángulo rectángulo isósceles; después dos,
luego cuatro, como indican las figuras:
a) Forma la sucesión de los perímetros de las figuras
obtenidas. ¿Cuál es su límite?
b) Forma también la sucesión de las áreas. ¿Cuál es su
límite?