TEMA 11: SEMEJANZA Y TALES PROBLEMAS Ejercicio 1.

TEMA 11: SEMEJANZA Y TALES
PROBLEMAS
Ejercicio 1.En un mapa a escala 1 : 10 000 000, la distancia entre dos ciudades es 12 cm. ¿Cuál es la
distancia real entre ambas ciudades?
Ejercicio 2.Se ha hecho un plano de una finca a escala 1 : 750. ¿Qué longitud tiene la tapia que en el
dibujo mide 25 cm?
Ejercicio 3.Construye un plano a escala 1 : 100 de un círculo de 3 m de radio.
Ejercicio 4.¿Cuál es la altura de una torre sabiendo que proyecta una sombra de 32 m si al mismo
tiempo un bastón de 1,2 m proyecta una sombra de 1,5 m?
Ejercicio 5.Quiero comprar una cama y en el plano, la habitación dispone de un hueco de 2 x 4 cm.
Si la escala es de 1 : 45, ¿podré meter una cama de 135 x 180 cm?
Ejercicio 6.¿A qué escala está dibujado un campo si en el plano un segmento de 12 cm representa
60 m en el terreno?
Ejercicio 7.La distancia real entre dos ciudades es 70 km. Si en el mapa distan 2,5 cm,
a) ¿cuál es la escala del mapa?
b) Si otras dos ciudades distan 350 km, ¿cuántos centímetros les separa en el
mapa?
c) Si dos ciudades están separadas 1,5 cm en el mapa, ¿cuál es su distancia en la
realidad?
Ejercicio 8.El collar de la figura está fabricado con cinco discos del mismo grosor. Los discos
menores tienen un radio R, los medianos 2R y el grande 3R. Si uno de los discos
pequeños pesa 10 g, ¿cuánto pesa todo el collar?
Ejercicio 9.Componemos una figura por medio de dos fotocopias consecutivas. La figura original
era un triángulo que tenía por lados 3 cm, 4 cm y 5 cm. La primera transformación es
aplicar una ampliación del 125%, en la segunda se realiza una ampliación del 95%.
¿Seremos capaces de saber las dimensiones del triángulo final?
Ejercicio 10.Si una parcela con forma de pentágono tiene un precio de 2 000 €, calcula el precio que
tendría otra parcela con la misma forma pero el doble de longitud de sus lados.
Ejercicio 11.He ido a la pizzería y me he comprado una pizza de 20 cm de diámetro por la que he
pagado 6 €. Había una pizza de 30 cm de diámetro que valía 12 €. Pensé que no me
convenía porque para lo poco que incrementa el diámetro, sube mucho el precio.
¿Estaré en lo cierto o, por el contrario, valdría la pena la pizza mayor?
Ejercicio 12.El área en el dibujo de mi casa es 90 cm2. Si la escala del plano es 1 : 100, ¿cuál es la
superficie de mi casa? Si el largo mide 10 m, ¿cuál es el ancho de mi casa si tiene planta
rectangular?
Ejercicio 13.Tenemos un plano de una casa rodeada por un jardín de las siguientes medidas:
¿Cuáles son las medidas reales sabiendo que la escala es 1 : 100? ¿Cuál es el área del
jardín?
Ejercicio 14.Para calcular la altura de un edificio, puedes utilizar un espejo. ¿Cómo lo harías?
SOLUCIONES
Ejercicio 1.La distancia real será:
12 · 10 000 000 = 120 000 000 cm = 1 200 km.
Ejercicio 2.La tapia medirá:
25 · 750 = 18750 cm = 187,5 m.
Ejercicio 3.-
Ejercicio 4.x 1,2
32 · 1,2

x
 25,6 m
32 1,5
1,5
Ejercicio 5.En el hueco cabe una cama de dimensiones:
2 · 45 = 90 cm x 4 · 45 = 180 cm, con lo que no puedo meter la cama que yo quiero
Ejercicio 6.12
1

 La escala es: 1 : 500.
6000 500
Ejercicio 7.2,5
1
a)

 La escala es 1 : 2 800 000.
7 000 000 2 800 000
b) 350 km = 35 000 000 cm, por tanto, en el mapa distarán
35 000 000
 12,5cm
2 800 000
c) En la realidad distarán 1,5 · 2 800 000 = 4 200 000 cm = 42 km.
Ejercicio 8.Puesto que todos los discos tienen el mismo grosor, la masa dependerá de la superficie de
cada disco.
Ya que la relación entre superficies de figuras proporcionales es el cuadrado de la razón de
semejanza, si llamamos S1 a la superficie del disco pequeño, S2 a la del mediano y S3 a la
superficie del mayor, tendremos:
2
2
2
2
S1  R 
1
 1

      S 2  4 S1
S2  2R 
4
2
S1  R 
1
 1

      S 3  9 S1
S2  3 R 
9
3
Las masas de cada disco serán:
M1  10 g
M2  4M1  40 g
M3  9M1  90 g
El peso total del collar será:
Mt  2 M1 2 M2  M3  2  10  2  40  90  190 g
Ejercicio 9.El resultado de la transformación es:
125 95

 1,25  0,95  1,1875  118,75%
100 100
Las medidas son :
3  1,1875  3,5625 cm
4  1,1875  4,75 cm
5  1,1875  5,9375 cm
Ejercicio 10.Sabemos que:
2
2
S1 l12
S  l   1
1
 2  1   1       S2  4 S1


S2 l2
S2  l2   2 
4
Luego el precio será:
P2  4 P1  4  2000  8000 €
Ejercicio 11.Suponiendo que el grosor de las pizzas es igual, el precio debería ser proporcional a su
superficie y la relación entre superficies es igual al cuadrado de la relación entre las longitudes
(de radios o diámetros).
La relación entre radios es:
15
 1,5
10
La relación entre superficies será:
15 2
 2,25
10 2
El precio de la segunda pizza debería ser:
2,25 · 6 = 13,50 €
La oferta valía la pena, pues pedían 12 € por una pizza que debería valer 13,50 €.
Ejercicio 12.La superficie de mi casa es: 90 · 1002 = 900 000 cm 2 = 90 m2
El ancho es: 90 : 10 = 9 m.
Ejercicio 13.Las medidas reales son:
1 · 100 = 100 m de largo el jardín.
50 · 100 = 5000 cm = 50 m de largo la casa.
El área del jardín se obtiene restando el área total menos el área de la casa, es decir:
1002 - 502 = 7500 m2 de jardín.
Ejercicio 14.-
Coloca un espejo en el suelo a una distancia D del edificio, sepárate del espejo hasta que veas
la parte más alta del edificio reflejada en el espejo. Puesto que según las leyes de la óptica el
ángulo que forma el rayo incidente es igual al que forma el rayo reflejado, los dos ángulos
serán iguales. Ahora sólo te queda saber cuál es la altura desde el suelo hasta tus ojos y
utilizar la propiedad de semejanza:
h H
D·h
 H
d D
d