Profesor: Renzo Mere Donayre

CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL (ADM) – MA43
Misión
Ciclo 2007-1
Profesor: Renzo Mere Donayre
Correo: [email protected]
CASO 1: Dietas
Introducción:
En la actualidad existe un gran interés sobre las dietas y la perdida de peso. Algunas
personas quieren perder peso para “verse bien”. Otras por razones de salud o condición
física. De hecho, algunas lo hacen por presunción de las amistades. Con frecuencia
aparecen anuncios publicitarios en televisión, periódicos y revistas sobre programas para el
control de peso. En muchas librerías, secciones enteras se dedican a las dietas y al control
de peso.
Es conocido que el peso de una persona depende tanto de la cantidad diaria de calorías
ingeridas, digamos x calorías diarias, como de la cantidad diaria de calorías consumidas
por el cuerpo, que típicamente tiene un valor entre 15 y 20 calorías por día y por cada libra
de peso del cuerpo. El consumo de calorías depende de la edad, sexo, razón metabólica,
etc. Para un valor promedio de 17.5 calorías por libra y por día, una persona que pese w
libras consume 17,5w calorías por día. Si el número de calorías ingeridas es igual al
número de calorías consumidas, entonces su peso permanece constante; de otra manera,
se tiene una ganancia o perdida de peso según si la cantidad de calorías ingeridas es
mayor o menor que las calorías consumidas.
Uno de los modelos surgidos a partir de todos estos estudios y que permite determinar el
peso de una persona sometida a una dieta baja en calorías dice que: la taza de variación
del peso w de una persona respecto del tiempo es proporcional a la diferencia entre el
cantidad diaria de calorías ingeridas y la cantidad de calorías consumidas por el
cuerpo. Además el factor de conversión dietética (constante de proporcionalidad) mas
apropiado para este modelo es que 3500 calorías equivalen a 1 libra, es decir que
k  1 / 3500 .
PARTE I
Pedrito que tiene problemas de sobrepeso desea iniciar una dieta, para lo cual quiere
reducir la cantidad de calorías ingeridas a 2500 por día. Asumiendo que el modelo
anterior es el que mejor se ajusta para predecir la evolución del peso de Pedrito, elabore un
informe que lo ayude a tomar la mejor decisión, para ello:
1. Plantear la ecuación diferencial que permitirá predecir la evolución del peso de una
persona que ingiere 2500 calorías como es el caso de Pedrito.
2. Resolver el modelo anterior para w .
3. Si el peso actual de Pedrito es de 260 libras, hallar el modelo particular que regirá el
peso de Pedrito en el tiempo si iniciara hoy la dieta.
4. Mostrar en un grafico la evolución que sufrirá el peso de Pedrito.
5. Si el peso ideal que debe tener Pedrito es de 150 libras, ¿En que tiempo alcanzara este
peso?
CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL (ADM) – MA43
Misión
Ciclo 2007-1
Profesor: Lic. Eduardo Ortiz Ch.
Correo: [email protected]
CASO 2: Analisis de un modelo temporal en una economía inflacionaria en situación
de equilibrio
Introducción
Suponga que tenemos un bien en donde p es su precio de equilibrio en un mercado de
competencia perfecta en cualquier instante de tiempo t.
Suponga también que se esta en un mercado de competencia perfecta y no tomamos en
cuenta el precio de otros bienes, además las funciones de demanda y oferta en el equilibrio
son continuas y dependen del tiempo (en años).
Suponga también que se cumple siempre el principio económico del comportamiento en el
equilibrio de la oferta y la demanda en un mercado de competencia perfecta: “El precio de
un bien en cualquier tiempo t, esto es, p(t), está determinado por la condición que la
ecuación de demanda es igual a la ecuación de oferta en el punto de equilibrio”.
Considerando esta introducción tenemos el siguiente caso:
La Oferta y la Demanda de un cierto bien en un país, donde la política económica permite
que el mercado del bien este en equilibrio en cualquier tiempo “t”, se pueden
determinar a partir de las siguientes ecuaciones diferenciales de oferta O(p) y demanda
D(p) que responden a modelos temporales:
O (p) = 600 - 5 p (t) - p’ (t) de unidades
D (p) = 120 + 3 p(t) + 3p’ (t) de unidades
( p’(t) =
dp
)
dt
donde “t” está en meses, además se sabe que inicialmente el precio del bien al cual se
venden en el mercado es po = $5
PARTE I
a) Determine la función precio en términos del tiempo e indique si el modelo es
inflacionario o deflacionario.
b) Determine la ecuación de demanda en términos del precio.
c) Determine la ecuación de demanda en término del tiempo e indique que ocurre con la
cantidad demandada en el largo plazo.
d) Determine la razón de cambio de la demanda respecto al tiempo en el cuarto año e
interprete su resultado.
e) Determine la ecuación de Ingreso en función del precio I(p) e indique si es posible
alcanzar el nivel de máximo ingreso (justifique su respuesta).
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL PARA ADMINISTRADORES
Misión
Ciclo 2007-1
Profesor: Dante Yván Chavil Montenegro
Correo: [email protected]
CASO 3: Análisis económico de oferta y demanda
Al hacer el estudio cuantitativo nuestra empresa productora de cierto bien, se obtuvieron
los siguientes datos:
Tabla 1:
Comportamiento de la Demanda:
D(q)  a  q 2  b
q
Demanda
(Unidades) (Dólares la unidad)
0
90
30
0
PARTE I
a) Use la tabla 1 para hallar la función demanda.
b) Encuentre la función oferta si se conoce que esta es solución de la ecuación diferencial
dp  (0, 4q  1)dq; p(0)  50
c) Se requiere hacer un estudio de la elasticidad de la demanda, y para ello se desea:
i. Conocer la expresión de la elasticidad de la demanda como una función de p
(donde p representa el precio del artículo).
ii. Calcule e interprete la elasticidad puntual de la demanda cuando p = 85 dólares la
unidad y cuando p = 5 dólares la unidad.
iii. Usando la definición de elasticidad, halle en que valor de q el ingreso es máximo.
iv. Grafique la función ingreso.
d) En el equilibrio, determine:
i. La disponibilidad para gastar por parte de los consumidores.
ii. El excedente de los consumidores.
iii. El excedente de los productores.
iv. Lo que los productores están dispuestos a recibir.
v. Gráficamente la función demanda y la función oferta en el mismo plano y sombree
las regiones que cumplan con los ítems anteriores.
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Misión
Ciclo 2007-1
Profesor: Dante Yván Chavil Montenegro
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CASO 4: Modelado de epidemias
El brote de una enfermedad que afecta a un gran número de personas se denomina
epidemia. Las matemáticas desempeñan un importante papel en el estudio de las
epidemias, disciplina conocida como epidemiología. Se han desarrollado modelos
matemáticos para epidemias de gripe, peste bubónica, HIV, SIDA, viruela, gonorrea y
otras enfermedades. Haciendo unas cuentas suposiciones para simplificar, podemos
construir un modelo basado en ecuaciones diferenciales, llamado modelo S-I-R, que es útil
para hacer predicciones acerca del curso de una epidemia. Nuestro modelo será más bien
sencillo, con suficientes suposiciones de simplificación para hacer accesibles las
matemáticas.
Para construir nuestro modelo, considere una epidemia que afecta a una población de N
personas, cada una de las cuales cae en exactamente uno de los siguientes grupos en el
momento t
Susceptibles, S (t ) , son personas que todavía no se enferman, pero que se pueden enfermar
después. Cuando una persona susceptible enferma, se supone que no es con retraso.
Infecciosos, I (t ) , son personas que tienen la enfermedad y pueden infectar a otros. Los
infecciosos no se hospitalizan y continúan interactuando de forma normal con otras
personas.
Removidos, R(t ) , son personas que ya no pueden infectar a otros. En particular, una
persona removida no puede contraer la enfermedad otra vez ni infectar a otros.
Se supone que ninguna persona entra ni sale de la población (incluyendo nacimientos y
fallecimientos) y que, en el momento t  0 , hay algunos susceptibles e infecciosos pero no
removidos, es decir
N  S (t )  I (t )  R(t ) para t  0
I (0)  0 ,
R(0)  0 , de modo que S (0)  I (0)  N .
Donde S (0)  0 ,
La clave para modelar una epidemia u otra situación dinámica se encuentra en las
suposiciones hechas sobre las razones de cambio.
PARTE I
Halle la ecuación diferencial que modele los siguientes enunciados:
a) La razón a la que las personas susceptibles se están infectando en cualquier momento
es proporcional al número de contactos entre susceptibles e infecciosos, es decir, al
producto de SI. [Nota: la población susceptible S (t ) es decreciente y; además
considere, para nuestro caso, que la constante de proporcionalidad es igual a 0,018]
b) La razón con la que las personas están siendo removidas de la población infectada es
proporcional al número de personas que son infecciosas. [Nota: considere, para nuestro
caso, que la constante de proporcionalidad es igual a 2,72]
c) Use los resultados obtenidos en a) y b) para hallar la razón a la que cambia el número
de infectados con respecto al tiempo.
d) Escriba el modelo S-I-R si se sabe que este esta formado por las tres ecuaciones
diferenciales simultáneas que hemos construido en los incisos a), b) y c). [Sugerencia:
considere en su respuesta las condiciones dadas anteriormente antes del iniciar con la
resolución de los incisos]
dI
dy 1

e) Encuentre una fórmula para
. [Sugerencia: recordemos que
]
dS
dx dx
dy
f) Use su respuesta del inciso e) para hallar el número de susceptibles cuando el número
de infectados es máximo.