I.E.S. “LEOPOLDO CANO” MATEMÁTICAS I Septiembre 2001

I.E.S. “LEOPOLDO CANO”
MATEMÁTICAS I Septiembre 2001
1.- Dos de los lados de un paralelogramo miden 6cm y 8 cm y forman un ángulo de 30º.
¿Cuánto miden las diagonales? Razona la respuesta.
2.- Se tienen los números 5874 y 12369.¿Cuántos números enteros pueden formarse que
contengan dos cifras no repetidas del primero y tres cifras no repetidas del segundo?. La
misma cuestión pudiendo repetirse las cifras. La misma cuestión no repitiendo las cifras del
primero pero sí las del segundo. Razona las respuestas.
3.- En una bodega hay dos enormes depósitos de vino A y B. Todos los dias se sacan ciertas
cantidades de vino de cada uno de ellos. Del depósito Ase extrajeron 5 litros el primer día , 10
el segundo, 20 el tercero y así sucesivamente. Del depósito B se extrajeron 2 litros el primer
día, 4 el segundo, 8 el tercero y así sucesivamente. El último día se extrajeron del depósito A
96 litros más que del B. ¿Cuántos litros se extrajeron en total de cada depósito y durante
cuántos días? Razona la respuesta.
4.-Dada la función f(x) =
x
x  6 x  16
2
a)Determina su dominio y los puntos de corte con los ejes.
b)Determina sus asíntotas.
c) Determina sus intervalos de monotonía y extremos relativos.
d)Haz una gráfica de la función.
5.- Dadas las rectas r1 :y-3x=0, s1:y+3x =0 y el punto P(3,4)
a)halla la ecuación de la recta r2 paralela a r1 que pasa por P
b)halla la ecuación de la recta s2 perpendicular a s1 que pasa por P.
c)Calcula las coordenadas de los vértices del triángulo determinado por el eje de abscisas y las
rectas r2 y s2
d) Calcula el área de dicho triángulo.
6.- Resolver las ecuaciones:
a) 8  4 x  3  2 x  1  2001 ; b)log(3x+2) – log(x-1) = 1; c) sen3x = sen4x
7.- Calcula el valor de los siguientes números complejos por el procedimiento que consideres
más oportuno:
5
 3 1 
w = 
 i ,
2
2 

1
w
, w
8.- Calcula las derivadas de las siguientes funciones, simplificando el resultado todo lo
posible:
a) f ( x ) 
(1  2 x )
( x  3)
3
4
; b) g ( x )
1  tgx
1  tgx
2
; c) h ( x ) e  x ; d) t ( x )  ln( 1  senx ) 2
1
SOLUCIONES
1.- Sea ABCD el paralelogramo con A=30º, AB=8cm y AD=6cm.En el triángulo ABD se
puede aplicar el Teorema del coseno para calcular la diagonal BD y, análogamente en el
triángulo ABC para calcular la diagonal AC, puesto que B=150º.
Por tanto :
2
2
2
2 2
2
2
D
C BD =6 +8 -2 ·6·8cos30º=2 (3 +4 -12 3 )= 2 (25-12 3 ) 
BD =2 25  12 3 cm
A
B
AC
2
= 62+82- 2·6·8cos150º = 22(25+12 3 )  AC=2 25  12 3 cm
2.- Pongamos A= 5 ,8 , 7 , 4  y B= 1, 2 ,3 , 6 , 9  . Tenemos que elegir un par de elementos del
conjunto A y una terna de B y con ellos formar un número de 5 cifras.
Primer caso: Supongamos elegidas las cifras 58 y 123, en ese orden. Para formar el nuevo
nº ponemos a1b2c3d, dos de los lugares señalados con letras los debemos ocupar con las
cifras pero se pueden elegir repetidos dichos lugares. Así “aa” representará el nº 58123,
“ac” el nº51283, etc. Por tanto con las cifras elegidas , y en ese orden podemos
formar C 4' , 2 . Esto se puede repetir para cualquier otro par de grupos de cifras. Así que el
nº total de números naturales que pueden escribirse con las condiciones dadas es
N1= V4,2 · V5,3 · C’4,2 =(4·3)·(5·4·3)·C5,2 = 12·60·10 = 7 200
Como en el enunciado dice “números enteros” el total será P1 = 2N1=2·7200=14 400
Segundo caso: N2 = V 4' , 2 V 5', 3  C 4' , 2 = 42·53·10 = 2·104 y P2 = 2N2 = 4·104
Tercer caso: N3 = V 4 , 2  V 5', 3  C 4' , 2 = (4·3)·53·10 = 15·103 y P3= 2N3 =3·104
3.- Llamemos a1, a2, a3,... y b1, b2, b3, ... , a las cantidades extraídas de los depósitos A y B,
respectivamente , el primer día, el segundo, etc.
Tenemos:
a1 = 5, a2 = 5 · 2, a3 = 5·22, ... es decir, una progresión geométrica de primer término 5 y
razón 2.
b1= 2 , b2 = 22 , b3 = 23, … , es decir una progresión geométrica de primer término 2 y
razón 2.
El n-ésimo día an – bn = 96  5·2n-1 – 2n = 96  2n-1·3 = 96  2n-1=25  n=6
Las extracciones se hacen durante 6 días y el total de litros es:
2 1
6
LA= 5(1+2+22+...+25) = 5·
2 1
= 5·63= 3 15 l
LB = 2+22+ ...+ 26 = 2·63 = 1 26 l
4.- f(x) =
x
x  6 x  16
2
(a) El dominio de f es el conjunto de números para el que tiene sentido el cálculo de f(x).
Luego serán todos los números para los que el denominador es distinto de cero:
x2 -6x -16 = 0  x=8, x=-2
2
D (f)={xR / x-2  x8 }=(-, -2)(-2,8)(8,)
(b) Asíntotas:

  
x  2
x  2
( x  2) ( x  8)

  r1  x   2
x
Lim f ( x )  Lim
  



x  2
x  2
( x  2) ( x  8)
Lim f ( x )  Lim

x


  
x8
x8
( x  2) ( x  8)

  r2  x  8
x
Lim f ( x )  Lim
  



x8
x8
( x  2) ( x  8)
x
Lim f ( x )  Lim

es una asíntota (vertical).

Lim f ( x )  Lim
x 
x  2
1
x

1
6
x

16
x
0
es otra asíntota (vertical).
el eje de abscisas y=0 es asíntota (horizontal).
2
No puede tener asíntotas oblicuas.
(c)
f ' ( x) 
(x
2
 6 x  16 )  x ( 2 x  6 )
(x
2
 6 x  16 )
2
 x

(x
2
2
 16
 6 x  16 )
2
 f '(x)<0 para todo xD (f), luego f
es constantemente decreciente y no tiene extremos.
1
Debe tener un punto de inflexión entre -2 y 8.
1
La segunda derivada es f''(x)=2(x3+48x-96)/(x2-6x-16)3; resolviendo la ecuación x3+48x-96=0 con el derive puedes
comprobar que la única solución real es x= 4 3 2  2 3 4  1,86488
3
s1
5.- (a) r2  y-4=3(x-3)  y-3x+5=0
.
s2
(c) P= r2 s2 , P(3,4)
A= r2 OX, A 53 ,0 
A
·
·B
B= s2 OX, B(-9,0)
6.- (a)
1

 AB  PP ' 
2
1 5
32
64

  9 4  2 

2 3
3
3

s2
8  4  3  2  1  2001  8  ( 2 )  3  2  1  2001  2
x
r2
P
(b) s2  y-4=(x-3)  3y-x-9=0
S  ( APB )
s2
x
x 2
x
x

3
9  32  2000

3
( 250  3 )
16
2
3  253

16
16
250

x
 
no da solución pues 2  0 para todo x real


16

8
256
2
4
X

 4  2  2  x 4

2
 16
(b) lg(3x+2) – lg(x-1) = 1
3x  2
 lg
 lg 10  3 x  2  10 x  10 
x 1
 x  2k π ,

 3 x  4 x  2 k
 
3 x  (  4 x )  2 k   x  π  2k π ,

7
7

(c) sen3x = sen4x
3x  2
x  17
 10  7 x  12  x 
7
kZ
kZ
5
 3 1 
7.- w = 
 i ,
2
2 

1
w
, w
2
3
z 

1
2
2
 3 

   1  
 2 
2


z 
i
2

5

w=z5=  1

6

5
5
  15    1 5  1 cos 6
6

6

1
1
w  1  1 5  1 7   1 cos
6
6
5
7

6

3

4
i sen
i sen
1
7
6
1
4
5
6


; arg z
3


2
3

2
1

1/ 2
1 

 arc tg 


3
/
2
3
=

 arc sen  1 / 2  1



1
2
arg z = 
6
i
2
1
i
2
6
w 1
 5
6

3
1

2
i
2
Como |w|=1 resulta
8.- a)
f ( x) 
(1  2 x )
( x  3)
1
w w
3
4
3  (1  2 x )  (  2 )  ( x  3 )  (1  2 x )  4  ( x  3 )
2
f '( x) 
3
( x  3)
b) g ( x )
3
( x  3)  ( x  3)
3
1  tgx
1  tgx
5
 g ' ( x )
3
2 (1  2 x )  ( x  3 )   3  ( x  3 )  (1  2 x )  2 
2

8
2 (1  2 x )  ( x  3 )   3 x  9  2  4 x 
2

4
3
( x  3)
8
2 (1  2 x )  ( x  7 )
2

1
1  tg x
2
1  tg x
( x  3)

5
(1  tg x )  (1 / cos
2
x )  (1  tg x )  (  1 / cos
(1  tg x )
4
2
2
x)
12



1
1  tg x
2
1  tg x
2

(cos
2
x ) (1  tg x )
c) h ( x ) e  x  h `' ( x )   2 x e  x
2
d) t ( x )  ln( 1  senx ) 2 
2

1  tg x
1  tg x

1
(cos x  sen x )
2
2
t '( x) 
1
(1  sen x )
2
 2 (1  sen x )  cos x 
5
1
(1  sen x )
 2  cos x 
2 cos x
1  sen x