Se tienen dos depósitos térmicamente aislados, uno de 1 m3 y el

53.
a)
b)
c)
d)
e)
Se tienen dos depósitos térmicamente aislados, uno de 2 m3 y el otro de 1 m3, conteniendo aire
inicialmente a 15 ºC y 100 kPa, comunicados entre sí a través de una válvula que permanece
cerrada si la diferencia de presión desde el depósito mayor al menor es menor que 10 kPa, y
mantiene esta diferencia si no es así. En un cierto instante se conecta una resistencia eléctrica en el
interior del depósito mayor, que disipa constantemente 500 W. Se va a considerar una única
temperatura media representativa en cada depósito. Se pide:
Hacer un diagrama esquemático de la evolución temporal esperada de la presión, temperatura y
densidad en cada depósito.
Calcular el tiempo que tardaría en abrirse la válvula, y las pendientes de las evoluciones anteriores,
instantes antes de abrirse la válvula.
Calcular la producción de entropía por unidad de tiempo y su valor global hasta que se abre la
válvula.
Calcular las pendientes de las evoluciones anteriores, instantes después de abrirse la válvula.
Calcular el gasto másico de aire que empezaría a salir.
Solución.
a) Hacer un diagrama esquemático de la evolución temporal esperada de la presión, temperatura y
densidad en cada depósito.
Al ir calentando el gas encerrado, a volumen constante, aumentarán la temperatura (por
E=Q=mcvT) y la presión (por pV=mRT), pero no la densidad (por ser V=cte. y m=cte.). Una vez
que se alcance la sobrepresión de descarga, la densidad del que da irá disminuyendo (V=cte. y m) y
la del que toma irá aumentando; además, ambas temperaturas y presiones irán en aumento, con la
diferencia de presiones fijada por la válvula.
Fig. 1. Esquema de la instalación, nomenclatura, y evolución esperada.
b)
Calcular el tiempo que tardaría en abrirse la válvula, y las pendientes de las evoluciones anteriores,
instantes antes de abrirse la válvula.
Con el modelo de gas ideal, vemos que un aporte de energía constante produce un incremento lineal
de temperatura, dT dt  Q  mcv  , y un aumentoi lineal de presión, dp dt   mR V  dT dt , por lo
que el tiempo que tardará en alcanzarse una sobrepresión de 10 kPa será:
p
p
p
V p
2 10·103




 100 s
dp mR dT mR Q
  1 Q 1, 4  1·500
dt
V dt
V mcv
donde se ha tomado para el aire =1,4.
t
La masa de aire que se va calentando es m1=p10V1/(RT10)=105·2/(287·288)=2,42 kg. Se ha tomado
para el aire R=8,314/0.029=287 J/(kg·K) y cv=cpR=1000287=713 J/(kg·K), a partir de los datos
básicos de M y cp disponibles en las tablas de propiedades de gases.
Para el depósito con la resistencia:
dT1
Q
500


 0, 29 K/s
dt m1cv 2, 42·713
dp1 m1R dT1 2, 42·287


0, 29  100 Pa/s
dt
V1 dt
2
d1 d  m1 V1 

0
dt
dt
El otro depósito, hasta que no se abre la válvula no sufre variación alguna.
c)
Calcular la producción de entropía por unidad de tiempo y su valor global hasta que se abre la
válvula.
La producción o generación de entropía, Sgen, en un sistema aislado es la diferencia entre su
aumento de entropía S y la entropía que entra por la frontera, Q/T, i.e. Sgen=SQ/T. En nuestro
caso, se genera entropía en la resistencia eléctrica por efecto Joule y en el aire en contacto con ella
por transmisión de calor, aunque, sin saber la temperatura de funcionamiento de la resistencia, sólo
se puede evaluar la generación global (resistencia+gas), que será Sgen=S ya que el conjunto es
adiabático. Despreciando la masa de la resistencia (o considerando que está en régimen estacionario
todo el tiempo), con el modelo de gas ideal tendremos que la generación de entropía desde el estado
inicial T10 hasta un estado genérico (a válvula cerrada) será:
Sgen  S1  m1cv ln
T1
T10
y por tanto la producción de entropía por unidad de tiempo:
Sgen 
dSgen
dt
 m1cv
1 dT1
 m1cv
T1 dt
1
Q
1

Qt m1cv T10  t
T10 
Q m1cv
m1cv
y su valor global hasta que se abre la válvula:
Sgen   Sgen dt  S1  m1cv ln
d)
T11
317
J
 2, 42·713ln
 166
T10
288
K
Calcular las pendientes de las evoluciones anteriores, instantes después de abrirse la válvula.
Una vez que se abre la válvula, el conjunto de ambos depósitos sigue siendo cerrado y por tanto el
balance energético sigue siendo E=Q+W, siendo como antes W=0 (el aire no recibe trabajo), Q
dato, y E=E1+E2. Tomando como referencia la energía interna del gas nula a T=0 K, relacionando la
energía interna con la presión a través de la ecuación de estado, y teniendo en cuenta que ambas
presiones varían igualmente por ser su diferencia constante, se obtiene:
Q

d  m1cvT1  m2 cvT2 
dt
V1  V2 dp
  1 dt

cv d  m1 RT1  m2 RT2 
1 d  p1V1  p2V2 


R
dt
 1
dt
dp    1 Q 1, 4  1·500


 66, 7 Pa/s
dt
V1  V2
2 1

i.e., ambas presiones varían por igual y linealmente (pendiente constante). Pero para las variaciones
de masa y energía de cada depósito es necesario el planteamiento general (cada depósito es un
sistema abierto):
d  dW  dQ 
aberturas


d  m1cvT1   0  dQ  c pT1dme , dm1  dme
ht ,edme 

d  m2cvT2   0  0  c pT1dme , dm2  dme
donde se ha tenido en cuenta que no hay variación de energías mecánicas (i.e. E=U), se ha tomado
como referencia la energía interna del gas a T=0 K (U0=0), lo que para gases ideales hace que
también sea nula la entalpía a 0 K, H0=U0+p0V0=U0+mRT0=0. Nótese que la entalpía en la abertura,
he, es la misma para ambos depósitos, he=h1 (lo que entra al 2 es lo que sale del 1), y el detalle de los
balances másicos (la masa sale del 1 y entra en el 2). Como las variaciones de masa y temperatura
están acopladas, d(mcvT)=(cv/R)d(mRT)=(1/(1))d(pV)=(V/(1))dp, las ecuaciones anteriores se
reducen a:
 V1
   1 dp1  0  dQ  c pT1dm1


 V2 dp  0  0  c T dm
p 1
2
   1 2
Nótese que sumando ambas y sabiendo que dp1=dp2=dp, se obtiene este último valor en función del
calor aportado, como se obtuvo antes. Sustituyendo dm1=dm2 y T1=p1V1/(m1R) en el balance
energético del depósito 2:
V2
pV
V2 dp1
dm
 p1V1
dp1  c pT1dm1  c p 1 1 dm1  
dm1 
 1
 1
m1 R
  1 m1
 V1 p1
m1
V2

m1  p11 


m11  p1 
V2
 V1

  V1


p11


 p11  dp1  t  t1  
dt


donde dp1/dt=dp/dt=66,7 Pa/s. Una vez obtenidas las p1(t) y m1(t), T1(t)=p1V1/(m1R), y para el 2,
p2(t)=p0+(dp1/dt)t, m2(t)=m10+m20m1(t), T2(t)=p2V2/(m2R). Las pendientes de las temperaturas y las
densidades justo tras abrirse la válvula se obtienen a continuación.
e)
Calcular el gasto másico de aire que empezaría a salir.
El gasto másico que fluye es m  dme dt  dm2 dt   dm1 dt , y, del desarrollo anterior:
m
dm1 V2 m1 dp1

dt  V1 p1 dt
 m1 
V2 m11 dp
1
2, 42
g

66, 7  0,52
5
 V1 p11 dt 1, 4  2 1,110
s
donde m1 es el valor del gasto másico m en el instante en que se abre la válvula, t=t1=100 s. Las
pendientes de las evoluciones de las densidades serán:
d1
dt
d2
dt

t t1

t t1
dm1
V1dt
dm2
V2dt

t t1

t t1
m1
0,52 103
kg/m3

 0, 26 103
V1
2
s
m1 0,52 103
kg/m3

 0,52 103
V2
1
s
y las pendientes de las temperaturas se obtienen finalmente derivando pV=mRT,
V1
V2
dp1 dm1
dT

RT1  m1 R 1
dt
dt
dt
dp2 dm2
dT

RT2  m2 R 2
dt
dt
dt


dT1
dt

V1
t t1
dT2
dt

t t1
dp
 RT11m1
2  66, 7  287  317  0,52 103
K
dt

 0, 26
m11R
2, 42  287
s
V2
dp
 RT21m1
1 66, 7  287  288  0,52 103
K
dt

 0, 068
m21R
1, 21 287
s