Febrero 08

Desarrollar las siguientes cuestiones
1
Calcular la circulación del campo vectorial (coordenadas cilíndricas):

v  (z  2)  sen  r̂  r / z  ˆ  r  cos  ẑ
como suma de las circulaciones a lo largo de la curva de la figura:de las tres



funciones: v1  (z  2)  sen  r̂ ; v 2  r / z  ˆ ; v3  r  cos  ẑ
z
2
2
y
2
2
x
(0,5 ptos.)
2
Demostrar la fórmula de la capacidad de un condensador cilíndrico formado
por dos cilindros conductores infinitos y concéntricos. Explicar los efectos de
borde en cilindros finitos, y cómo afectan al valor de la capacidad. (0,75 ptos)
3
Estimar una cota superior e inferior para la resistencia entre las caras
rayadas del siguiente conductor:
b

a
a
a
b
(0,5 ptos.)
4
Explicar la continuidad de la inducción magnética y las fórmulas que la
resumen. (0,5 ptos.)
5
Enunciar la forma diferencial de la Ley de Faraday. Explicar de forma
cualitativa por qué aparece cada término. ¿Tiene sentido entonces el
concepto de potencial electrico V? Justificar la respuesta. (0,75 ptos.)
ELEGIR UNO DE LOS DOS PROBLEMAS
1.
Se dispone de una superficie semicilíndrica infinita de radio R, cargada
con una densidad de carga superficial uniforme  . Se coloca en el eje de la
superficie semicilíndrica un segmento de longitud L cargado uniformemente en
toda su longitud con una carga total Q. Calcular la fuerza electrostática que
existe entre las dos distribuciones de carga siguiendo esta metodología:
A)
Calcular el campo eléctrico que crea en un punto del eje del semicilindro
un elemento diferencial de la superficie semicilíndrica como el
representado en la Figura. (0,5 ptos.)
B)
A partir del resultado anterior, calcular el campo que crea todo el
semicilindro. (1,25 ptos.)
C)
Calcular la fuerza que sufre un elemento diferencial del segmento
cargado. (0,75 ptos.).
D)
Calcular la fuerza total que sufre el segmento. (0,5 ptos.)
semicilindro
segmento
Q
R

2.- Se tiene un sistema formado por tres conductores esféricos. El conductor 1 es
una esfera maciza de radio a y se encuentra en el interior del conductor 2, que es
una esfera hueca de radio interior b y radio exterior c. Por su parte, el conductor
3 es una esfera maciza idéntica al conductor 1.
La distancia que separa el centro de los conductores 1 y 3 es desconocida, y su
valor se representa por D, siendo D >> c.
Se sabe que cuando las esferas 2 y 3 están descargadas y la esfera 1 está a
potencial Va, el potencial de la esfera 3 es Vb. Calcular:
A)
La distancia de separación D entre los centros de las esferas 1 y 3.( 1,25
ptos.)
B)
La carga inducida en la esfera 3 cuando se carga la esfera 1 con una carga
q y se conecta la esfera 3 a potencial cero. .(1,25 ptos.)
C)
La carga inducida en la esfera 3 cuando se carga la esfera 1 con una carga
q y se conectan las esferas 2 y 3 a potencial cero. .(1,25 ptos.)
2
a
D
b
1
c
a
3
3.A)
Calcular la inducción que crea un hilo conductor de longitud L recorrido
por una corriente I a una distancia d del centro del hilo. (0,5pto.)
B)
Basándose en el resultado anterior, calcular la inducción que crea una
espira poligonal de N lados recorrida por una corriente I e inscrita en una
circunferencia de radio R justo en el centro de la circunferencia. (1,0 pto.)
C)
Comprobar que para N tendiendo a infinito se obtiene la inducción de
una espira circular.(0,5 ptos.)
NOTA: Para valores muy pequeños de ángulos, se pueden utilizar las siguientes
aproximaciones: sen  =  ; cos  = 1 – 2/2 ; tg  = 
4.-
Se dispone de un condensador de placas planas paralelas circulares de
radio a, espesor despreciable y separación entre placas d. Entre las placas
se encuentra el vacío. Despreciando efectos de borde, trabajando en
coordenadas cilíndricas y sabiendo que en t = 0 todos los campos eran
nulos:
x
z
a
d
A)
Calcular el campo eléctrico generado en todo el espacio cuando se cargan
las placas con una distribución superficial de carga variable en el tiempo
 = K t. (0,4 ptos.)
B)
A través de la cuarta ecuación de Maxwell, calcular la inducción
magnética B (z) generada por esta carga variable en el espacio entre las
dos placas. (1,2 ptos.)
C)
Demostrar que estos campos satisfacen la segunda ecuación de Maxwell.
(0,4 ptos.)
r̂
 1
Nota: en cilíndricas,   E   
r
r
Er
rˆ
ẑ



z
rE E z
 1  rEr  1 E  Ez
E 
 

r
r
r 
z