Contenidos y ejercicios psu: áreas

PERÍMETROS, ÁREAS Y VOLÚMENES
Llamamos área o superficie a la medida de la región interior de un polígono. El perímetro es la
medida que corresponde a la suma de los lados del polígono. Volumen es la medida que ocupa un
cuerpo en el espacio
Figura Geométrica
Triángulo Cualquiera
Perímetro y Área
p=a+b+c
á
base ·altura c·h

2
2
Triángulo Rectángulo
p=a+b+c
á
cateto ·cateto a·b

2
2
Triángulo Equilátero
p = 3a
á
a2 3
4
Cuadrado
p = 4a
á = a2
á
d2
2
Rectángulo
p = 2a + 2b
á = lado · lado = a·b
Rombo
p = 4a
á = base · altura = b · h
á
diagonal ·diagonal e· f

2
2
Romboide
p = 2a + 2b
á=a·h
Trapecio
p=a+b+c+d
á
(base1  base 2)·altura (a  c)·h

2
2
á = Mediana · altura = M · h
Trapezoide
p=a+b+c+d
á=á1+á2+á3+á4
Circunferencia
p = 2·r
Círculo
á = ·r2
Sector Circular
p  2r  AB  2r 
á
2r
360
r 2 ·
360
Áreas Sombreadas (achuradas)
Son una forma de aplicación del cálculo de áreas de diferentes figuras que están relacionadas
entre sí. Para distinguir la parte que se debe calcular como resultado final se procede a
sombrearla, es decir, se pinta o raya imitando texturas.
Suma de áreas:
Algunas veces, la parte achurada está formada por la unión de áreas de figuras, por lo tanto, hay
que descomponerla, luego hacer el cálculo de cada parte, y finalmente, sumarlas para encontrar el
área total.
Veamos el siguiente ejemplo: ABCD cuadrado de lado 4 cm.
Esta figura se descompone en medio círculo y un cuadrado. Primero, tendremos que calcular el
área del círculo. Como AB = 4 cm, entonces OC, radio del semi círculo mide 2 cm. y su área es
r2/2 = 2. Determinemos ahora el área del cuadrado, á = a2 = 42 = 16 cm2. Sumando ambas áreas
nos dará el área total sombreada, o sea 2 + 16 = 2( + 8)
Resta de áreas:
Este tipo de ejercicios es el más común y son las que tienen unas figuras “dentro” de otras. En
estos casos, la solución se encuentra buscando la diferencia entre las figuras que forman el sector
sombreado. Por ejemplo: ABCD rectángulo de lado AB = 12 cm.
El área del rectángulo es AB · BC, BC mide lo mismo que el radio de la semi circunferencia, por lo
tanto el producto debe ser 12 cm · 6 cm = 72 cm 2. Ahora calculemos el área del semi círculo, o sea
r2 / 2, lo cual resulta 18.
El área sombreada queda determinada por la resta entre el área mayor, que es la del rectángulo, y
el área menor, que es el del semi círculo, o sea 72 - 18 = 18(4 - ).
VOLUMEN
Cubo: Tiene 12 aristas.
Área = 6a2
V = a3
Paralelepípedo:
Área: 2(ab + ac + bc)
Volumen: a·b·c
c
a
Pirámide
V=
base·altura
3
b
Cono: Se forma por la rotación de un triángulo rectángulo como lo indica la figura
V = r2/3
Cilindro Se forma por la rotación de un rectángulo como lo indica la figura
V = r2 · h
Esfera Se forma por la rotación de una semicircunferencia como lo indica la figura
V=
4
rr 3
3
Ejemplos: Los ejercicios que contendrá la PSU con respecto a este tema se basarán
principalmente en el cálculo de perímetros y áreas que se obtendrán al variarse alguno de los
elementos de la figura.
1. Si el lado de un cuadrado aumenta al doble. ¿Qué ocurre con el área y su perímetro?
Consideremos un cuadrado de lado a, donde su perímetro es 4a y su área a2.
Si su lado aumenta al doble, ahora medirá 2a.
Aplicando las fórmulas de perímetro y área de este nuevo cuadrado obtenemos que su perímetro
es 8a y que su área es 4a2.
Por lo tanto, al comparar los perímetros, vemos que aumentó el doble (de 4a a 8a) y que el área
aumentó 4 veces, o sea se cuadruplicó (de a2 a 4a2 )
2. ¿En cuánto aumenta el área de un rectángulo de lados 12 m. y 4 m. si se aumentan ambos
lados en un 25%?
Lo primero es determinar el 25% de cada lado.
El 25% de 12 es 3. Por lo tanto uno de los lados del nuevo rectángulo medirá 15 cm.
El 25% de 4 es 1. Por lo tanto el otro lado del nuevo rectángulo medirá 5 cm.
El área de este rectángulo será 15 cm · 5 cm., o sea 75 cm 2.
Como el rectángulo original tenía área 12 cm · 4 cm = 48 cm 2, significa que el área aumentó en 7548 = 27 cm2.
3. Si la arista de un cubo mide 2 cm. y se aumenta en 1 cm. más, ¿en cuánto aumenta su área?,
y ¿en cuánto aumenta su volumen?
El área de un cubo de arista a es 6a2 (6 caras cuadradas), entonces el área original del cubo es 6 ·
22 = 24 cm2. Al aumentar en 1 cm. la arista obtenemos 6 · 32 = 54 cm2, por lo que se produjo un
aumento de 54 – 24 = 30 cm 2.
El volumen de un cubo a3, entonces el volumen original del cubo es 23 = 8 cm3. Al aumentar en 1
cm la arista, obtenemos 33 = 27 cm3, por lo que se produjo un aumento de 27 – 8 = 19 cm3.
EJERCICIOS
1. En un rectángulo, el largo excede en 2 cm. al ancho. Si el perímetro mide 60 cm., su superficie
es:
a) 60 cm2
b) 200 cm2
c) 224 cm2
d) 800 cm2
e) 870 cm2
2. Los lados de un rectángulo están en la razón de 3:8. Si su área es 600 cm2., entonces su lado
mayor mide:
a) 15
b) 30
c) 40
d) 80
e) 200
3. El área de un cuadrado es 4 cm 2. ¿Cuál es el perímetro del triángulo equilátero construido sobre
su diagonal?
a) 8 cm.
b) 2V2 cm.
c) 6V2 cm.
d) 6V8 cm.
e) 4 + 2V2 cm.
4. Con la quinta parte del perímetro de una circunferencia se construye una circunferencia de 16
cm. de longitud. ¿Cuál es el radio de la circunferencia mayor?
a) 8 cm.
b) 16 cm.
c) 20 cm.
d) 40 cm.
e) 80 cm.
5. El área de un cuadrado es 64 cm 2. Si cada lado disminuye a la cuarta parte, ¿cuánto mide la
mitad del área del cuadrado resultante?
a) 32 cm2
b) 16 cm2
c) 8 cm2
d) 4 cm2
e) 2 cm2
6. Si en un triángulo equilátero la longitud de cada lado aumenta en una unidad, entonces ¿cuál de
las siguientes afirmaciones es verdadera?
a) su perímetro aumenta en 3 unidades
b) su área aumenta en 3 unidades cuadradas
c) su perímetro permanece constante
d) su área permanece constante
e) su altura aumenta en 1 unidad
7. Cada arista del cubo de la figura, mide 2 cm. ¿Cuánto mide la superficie del cuadrilátero
sombreado?
a) 4 cm2
b) 8 cm2
c) 16 cm2
d) 2 V2 cm2
e) 4 V2 cm2
8. La superficie de un cuadrado es 4x2 + 4x + 1. si el lado aumenta en 2 unidades, su área
aumenta en:
a) 2 cm2
b) 4 cm2
c) (8x + 8) cm2
d) 8 cm2
e) 8x cm2
9. La superficie de un cubo es 6x2 – 12x + 6, si la arista disminuye en 1 unidad, el área de una de
sus caras es:
a) x2
b) 6x2 – 12x + 5
c) x2 – 2x + 1
d) x2 + 4
e) x2 – 4x + 4
10. El área de un rectángulo es x2 – 1. Si uno de sus lados es x - 1, el otro lado es:
a) (x – 1) cm2
b) x cm2
c) (x + 1) cm2
d)
x 2  1 cm2
e)
x  1 cm2
ALTERNATIVAS
1.
Alternativa A: Incorrecta. Se señala el largo como 2x y el ancho como x, al no interpretar
correctamente el concepto excede. Luego se plantea que 2x 2 = 60 lo que lleva a obtener como
área del rectángulo, 30 cm 2.
Alternativa B. Incorrecta. Se considera al perímetro como 6x, considerando en forma incorrecta que
los lados del rectángulo miden 2x y x.
Alternativa C. CORRECTA. Si se considera el ancho como x, entonces el largo, al exceder en 2 cm
al ancho, mide (x + 2) cm. Luego 4x + 4 = 60 de donde x = 14 y el área queda determinado con el
producto de 16 por 14.
Alternativa D: Incorrecta. Doble error al considerar los lados del rectángulo como x y 2x, y luego
considerar el perímetro como 3x.
Alternativa E: Incorrecta. Se plantea en forma equivocada que x + 2 + x = 60, considerando sólo la
mitad del perímetro.
2.
Alternativa A: Incorrecta. Se plantea correctamente que 24x2 = 600, pero luego se determina el
lado menor.
Alternativa B. Incorrecta. Al obtener el lado considerado mayor estos se suman al interpretar mal la
pregunta.
Alternativa C. CORRECTA. Al estar los lados en la razón 3:8, se puede plantear que 3x · 8x = 600,
de donde se obtiene que x = 5. entonces el lado mayor mide 8 · 5 = 40 cm.
Alternativa D: Incorrecta. Se obtiene correctamente el lado mayor, pero luego se suman los dos
lados mayores del rectángulo interpretando mal la pregunta.
Alternativa E: Incorrecta. Al efectuar el producto 8x·3x se obtiene erradamente 24x. Entonces x
resulta igual a 25 cm. y el lado mayor 200 cm 2
3.
Alternativa A: Incorrecta. Se determina el área del cuadrado, cuando lo solicitado es el del
triángulo.
Alternativa B. Incorrecta. Se obtiene el lado del cuadrado y luego la diagonal de él. No se responde
lo solicitado.
Alternativa C. CORRECTA. Como el área del cuadrado es 4 cm 2, entonces su lado mide 2 cm. Por
Pitágoras obtenemos que la diagonal del cuadrado es 2V2 cm. Luego el perímetro del triángulo
construido sobre la diagonal es 3 · 2V2 = 6V2 cm.
Alternativa D: Incorrecta. Se efectúa todo el procedimiento correctamente, pero al sumar los lados
del triángulo para obtener el perímetro, se procede incorrectamente con las raíces.
Alternativa E: Incorrecta. Se obtiene la diagonal del cuadrado y luego se suma con dos de los lados
del cuadrado para obtener el perímetro del triángulo, sin darse cuenta que el triángulo considerado
no es equilátero.
4.
Alternativa A: Incorrecta. Corresponde al radio de la circunferencia menor.
Alternativa B. Incorrecta. El valor corresponde al diámetro de la circunferencia menor.
Alternativa C. Incorrecta. Al obtenerse el valor 40, se piensa en la mitad para determinar el radio.
Alternativa D: CORRECTA. Se plantea que 2r / 5 = 16, de donde r = 40 cm.
Alternativa E: Incorrecta. Corresponde al diámetro de la circunferencia mayor.
5.
Alternativa A: Incorrecta. Se omite información y con el área dada se obtiene el lado del cuadrado,
luego se determina la mitad del área, obteniéndose 32 cm 2.
Alternativa B. Incorrecta. Se determina la cuarta parte del área del cuadrado. Luego no se obtiene
la mitad del área solicitada.
Alternativa C. Incorrecta. En vez de disminuir el lado a la cuarta parte, se realiza con el área,
resultando 16 cm2, lo que determinar que cada lado del cuadrado mide 4 y su área 16 cm 2, siendo
su mitad, 8 cm2.
Alternativa D: Incorrecta. El procedimiento corresponde a lo solicitado, pero se responde sobre el
área obtenida del cuadrado resultante y no de la mitad como se solicitaba.
Alternativa E: CORRECTA. Del área se obtiene que el lado del cuadrado mide 8 cm. Luego el lado
disminuye a 2 cm. y su área es 4 cm 2. Entonces la mitad del área del cuadrado resultante es 2 cm 2.
6.
Alternativa A: CORRECTA. Si el lado del triángulo equilátero original es x, al aumentar cada lado
en una unidad, su lado mide ahora x + 1. El perímetro del original es 3x y el del nuevo triángulo 3x
+ 3, o sea, aumenta en 3 unidades.
Alternativa B. Incorrecta. Al considerar el lado del triángulo como x las áreas que se obtienen son
x2V3 / 4 y (x+1)V3 / 4, donde se ve claramente que no aumenta en 3 unidades cuadradas.
Alternativa C. Incorrecta. Los perímetros son 3x y 3x+3, o sea, hay variación.
Alternativa D: Incorrecta. Las áreas varían como se indica en la alternativa B.
Alternativa E: Incorrecta. La altura aumenta en V3/2 unidades.
7.
Alternativa A: Incorrecta. Se supone la figura sombreada como cuadrado de lado 2 cm.
Alternativa B. Incorrecta. Se determina la diagonal del cuadrado de la base del cubo, que es 2V2
cm. para luego considerar la figura sombreada como un cuadrado y obteniendo para su área 8
cm2.
Alternativa C. Incorrecta. Una mala aplicación del teorema de Pitágoras lleva a obtener que la
diagonal mide 4 cm. y luego se determina el área, suponiendo que corresponde a un cuadrado.
Alternativa D: Incorrecta. Corresponde al valor de la diagonal del cuadrado basal y no del área
sombreada.
Alternativa E: CORRECTA. Se determina la diagonal del cuadrado de la base del cubo con el
Teorema de Pitágoras, resultando 2V2 cm. El área sombreada resulta de multiplicar los lados que
son 2V2 y 2, o sea, 4V2.
8.
Alternativa A: Incorrecta. Al aumentar el lado del cuadrado, el área no aumenta en la misma
cantidad.
Alternativa B. Incorrecta. Si el lado aumenta en dos unidades, es incorrecto pensar que como se
trata de área el área va a aumentar en 22 cm2.
Alternativa C. CORRECTA. Como la superficie del cuadrado es 4x2 + 4x + 1 = (2x + 1)2, el lado
mide 2x + 1. Al aumentarlo en 2 unidades el lado mide ahora 2x + 3, siendo su área (2x + 3) 2 = 4x2
+ 12x + 9.
Alternativa D: Incorrecta. Se efectúa todo el procedimiento correctamente, pero al responder, como
se habla de unidades, sólo se considera el aumento de 1 a 9.
Alternativa E: Incorrecta. Considera el aumento de 12x con respecto a 4x.
9.
Alternativa A: Incorrecta. Al disminuir la arista x - 1 en 1 unidad, resulta x – 2 y no como se supone
en esta respuesta, o sea x.
Alternativa B. Incorrecta. Se supone en forma equivocada que al disminuir la arista en 1, también el
área disminuye en 1.
Alternativa C. Incorrecta. Se determina la arista y luego el área de una cara del cuadrado, no
considerando la disminución de una unidad.
Alternativa D: Incorrecta. Desarrollo incorrecto del cuadrado de un binomio lleva a esta alternativa.
Alternativa E: CORRECTA. La superficie del cubo es 6x2 – 12x + 6, que al factorizarlo corresponde
a 6(x – 1), o sea la arista mide x – 1. Como la arista disminuye en 1 unidad, resulta x – 2, entonces
el área de una de las caras del cubo es (x – 2)2 = x2 – 4x + 4.
10.
Alternativa A: Incorrecta. Se comete el error de obtener x2 – 1 del producto (x – 1)(x – 1).
Alternativa B. Incorrecta. Al determinar el área se resuelve x·x+1 y no x(x + 1) como corresponde.
Alternativa C. CORRECTA. El área x2 – 1, corresponde al producto de (x + 1)(x – 1), o sea una
suma por su diferencia. Luego el lado a determinar es x + 1.
Alternativa D: Incorrecta. Se intenta determinar el lado, extrayendo raíz del área, como si la figura
fuese un cuadrado.
Alternativa E: Incorrecta. Se trabaja como si la figura fuese un cuadrado, además se extrae
incorrectamente la raíz.