Esfera

Esfera
Una esfera, en geometría, es un cuerpo sólido limitado por una superficie curva cuyos
puntos equidistan de otro interior llamado centro de la esfera. También se denomina
esfera, o superficie esférica, a la conformada por los puntos del espacio tales que la
distancia (llamada radio) a un punto denominado centro, es siempre la misma.
La esfera, como sólido de revolución, se genera haciendo girar una superficie
semicircular alrededor de su diámetro
Área y volumen
El área de una superficie esférica de radio r, es:
El volumen de una esfera de radio r, es:
Ecuación cartesiana
En un sistema de coordenadas cartesianas en un espacio euclídeo tridimiensional, la
ecuación de la esfera unitaria (de radio 1), con centro en el origen, es:
Esta ecuación se obtiene considerando que en el punto M (x, y, z) de la esfera, el vector
normal OM es igual a 1.
Generalizando, la esfera de radio r, de centro Ω (a, b, c) tiene como ecuación:
La ecuación del plano tangente en el punto M (x', y', z') se obtiene mediante el
desdoblamiento de las variables: en el caso de la esfera unitaria:
y en el segundo ejemplo:
Un plano tangente a una esfera es siempre normal al radio de la esfera en el punto de
tangencia.
Secciones
Intersección de una esfera por un plano.Secciones obtenidas
Un plano y una esfera se cortan en el caso de que la distancia existente entre el
primero y el centro de la segunda sea inferior a su radio.
La intersección de un plano y una esfera (en el caso de que exista) siempre es un
círculo. La esfera es el único volumen que tiene esta propiedad. Lógicamente, si el
plano es tangente, el área de contacto queda reducido a un punto (puede considerarse el
caso límite de la intersección).
Si el plano pasa por el centro de la esfera, el radio del círculo es el mismo que el de la
esfera, r. En este caso, la circunferencia puede llamarse ecuador o círculo máximo.
Si la distancia d, entre el plano y el centro, es inferior al radio r de la esfera, aplicando
el teorema de Pitágoras, el radio de la sección es:
Intersección de esferas.Secciones obtenidas
Por otra parte, dos esferas se intersectan si:
y
(son las desigualdades triangulares, y equivalen a que ningún lado es superior a la suma
de los otros dos), es decir, si existe un triángulo con lados que midan r, r' y d, donde d
es la distancia entre los centros de las esferas, r y r' sus radios.
En tal caso, la intersección es también una circunferencia. Cuando una de las
desigualdades anteriores es una igualdad, la intersección será un punto, que equivale a
una circunferencia de radio cero.
En general, el radio es:
el medio perímetro.
Posición relativa de punto y esfera.
Un punto P con respecto a la esfera S de centro O y radio R puede localizarse :
- En su interior : Si d(O,P)<R.
- En su superficie: Si d(O,P)=R
- En su exterior: Si d(O,P)>R.
Las distancias entre los puntos O y P se determinan como ya conoces.
Posición relativa de recta y esfera.
Una recta r y una esfera S de centro O y radio R pueden tener las siguientes posiciones
relativas.
-La recta corta a la esfera en dos puntos: d(O,r)<R.
-La recta corta a la esfera en un punto: d(O,r)=R.
-La recta no corta a la esfera: d(O,r)>R.
En los dos primeros casos pueden determinarse los puntos de corte de la recta y la esfera
reemplazando en la ecuación de la esfera las variables x, y, z por su correspondientes
valores en la ecuación paramétrica de r.
¿Qué hay que saber hacer con La esfera?
1.-Obtener la ecuación general a partir de centro y radio.
2.-Obtener centro y radio a partir de la ecuación general.
3.-Obtener la ecuación general de una esfera conocidos 4 puntos.
4.-Calcular el plano tangente a una esfera en un punto dado.
5.-Determinar posiciones relativas:
De un punto respecto a una esfera.
De una recta respecto a una esfera.
De un plano respecto a una esfera.
De una esfera con otra esfera.
6.-Calcular centro y radio de la circunferencia obtenida como intersección entre
una esfera y un plano.
EJERCICIOS
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