Fórmula de suma de cuadrados

Fórmula de suma de cuadrados
En nuestro estudio “ Suma de cuadrados ”, ya publicado por Vds. en el apartado b) citábamos como
condición , que el número , N , fuese igual a la suma de dos cuadrados consecutivos , más dos veces el
producto de dos números consecutivos . Por otra parte decÃ−amos que “ N “ es un número entero, positivo,
impar, primo o compuesto no múltiplo de tres, ni múltiplo de cuadrado. Sobre estos dos casos tratamos al
final de este trabajo.
N = C(1)² + C(2)² + ( 2 a ² + 2 a )
Pues bien, esta fórmula no solo nos da a conocer nuevos números que son suma de dos cuadrados , sino que
todos deben estar representados en ella.
Si partimos de dos cuadrados consecutivos , tomados al azar , y para cualquier valor entero ,positivo de “a” , a > 0 , nos proporcionará siempre números que son
suma de dos cuadrados.
Ejemplo :
C(1) = 13 ; C(2) = 14
N = 13² + 14² + ( 2 a² + 2 a ) a > 0
da lugar a la sucesión ,
N = 369 ; 377 ; 389 ; 405 ; 425 ; 449………..785…..
en la cual podemos comprobar que todos los valores de “ N ” , son suma de dos cuadra- dos. Pero
lógicamente , no está todos , 373 , 397 etc..
Si comenzamos la sucesión para todo valor de C(1) , a partir de “cero” ,tendremos la relación completa de números que son suma de dos cuadrados.
N = 0² + 1 ² + ( 2 a² + 2 a) = 5 ; 13 ; 25 : 41 : 61 : 85……………
N = 1² + 2 ² + ( 2 a ² + 2a) = (9); 17 ; 29 ; (45): 65 ; 89……………
N = 2² + 3 ² + ( 2 a ² + 2ª ) = 17 ; 25 ; 37 ; 53 ; 73 ; 97……………
- - - - - - - - - - - - - -- - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - N = 85 ² + 86 ² + ( 2 a² + 2a) = 14625; 14633 ; 14645 ; 14661 ; 14681………
14625 = 85 ² + 86 ² + 4 = 87 ² + 84 ² = 67 ² + 68 ² + 2( 52 x 53 ) = 120 ² + 15 ²
1
14633 = 85 ² + 86 ² +12= 88 ² + 83 ² = Número primo
14645 = 85 ² + 86 ² +24= 89 ² + 82 ² = 61 ² + 62 ² + 2( 59 x 60 ) = 121 ² + 2 ²
14681 = 85 ² + 86 ²+60 = 91 ² + 80² = 75 ² + 76 ² + 2( 40 x 41 ) = 116 ² + 35 ²
Podemos observar :
• Que 85 + 86 = 171 = 87 + 84 = 88+ 83 = 89 + 82 = 91 + 80
• Que [67 + 68 = 135 = 120 + 15 ] ; [ 61+62 = 123 = 121 + 12 ]
• Que [ 75 + 76 = 151 = 116 + 35 ]
• Que los números primos solo se representan con una pareja de cuadrados.
Números que son múltiplos de cuadrados
En este caso se trata de números de la forma :
N = x . y . d ²
lo que procederÃ−a en este caso , es dividir “N” por d ² . Con el cociente se seguirÃ−a el
mismo proceso.
Números que son múltiplo de tres.
Hemos de distinguir :
a).- “N” es múltiplo de 3 , pero no de 9.
b).- “N” es múltiplo de 3 elevado a potencia par.
c).- “N” es múltiplo de 3 elevado a potencia impar.
En el primer caso “ N “ no puede ser suma de dos cuadrados , porque la suma de dos cuadrados no puede ser divisible por 3 y no divisible por 9.
En el segundo caso dividirÃ−amos “N” por 3 elevado a la potencia par , Con
el cociente se seguirÃ−a el proceso general .
En el tercer caso aunque dividamos “N” por 3 elevado a potencia par , el cociente serÃ−a múltiplo de 3 , coincidente con el primer caso.
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