Markov 110KB Dec 10 2014 05:28:57 PM

EJERCICIOS CADENAS DE MARKOV
1.- Realice una planeación para 5 años por programación dinámica.
0.2 0.5 0.3
r   0 0.5 0.5
 0
0
1 
7 6 3 
R  0 5 1 
0 0  1
 0 .3 0 .6 0 .1 
r   0.1 0.6 0.3 
0.05 0.4 0.55
6 5  1
R  7 4 0 
6 3 2 
1
2
1
2
PROGRAMACIÓN DINÁMICA.
vi =  Pij Rij
1
v1 = 0.2 * 7 + 0.5 * 6 + 0.3 * 3 = 5.3
v2 = 0 * 0 + 0.5 * 5 + 0.5 * 1 = 3
v3 = 0 * 0 + 0 * 0 + 1 * ( -1) = -1
2
v1 = 0.3 * 6 + 0.6 * 5 + 0.1 * ( -1) = 4.7
v2 = 0.1 * 7 + 0.6 * 4 + 0.3 * 0 = 3.1
v3 = 0.05 * 6 + 0.4 * 3 + 0.55 * ( -2) = 0.4
f(i)=max{vi}
f(1) = 5.3
f(2) = 3.1
f(3) = 0.4
f(i) = max{vi +  Pij fn+i(j)}
En este primer año se debe fertilizar sólo si el sistema se
encuentra en los estados 2 o 3 de terreno regular o deficiente.
Para el 2º año de producción:
1
S1 = 5.3 + 0.2 * 5.3 + 0.5 * 3.1 + 0 .3 * 0.4 = 8.03
S2 = 3 + 0 * 5.3 + 0.5 * 3.1 + 0.5 * 0.4 = 4.75
S3 = -1 + 0 * 5.3 + 0 * 3.1 + 1 * 0.4 = -0.6
2
S1 = 4.7 + 0.3 * 5.3 + 0.6 * 3.1 + 0.1 * 0.4 = 8.19
S2 = 3.1 + 0.1 * 5.3 + 0.6 * 3.1 + 0.3 * 0.4 = 5.61
S3 = 0.4 + 0.05 * 5.3 + 0.4 * 3. 1 + 0.55 * 0.4 = 2.13
f(i)=max{vi}
f(1) = 8.19
f(2) = 5.61
f(3) = 2.13
En el segundo año se debe fertilizar sin importar el estado del
sistema.
Para el 3º año de producción:
1
S1 = 5.3 + 0.2 * 8.19 + 0.5 * 5.61 + 0.3 * 2.13 = 10.382
S2 = 3 + 0 * 8.19 + 0.5 * 5.61 + 0.5 * 2.13 = 6.87
S3 = (-1) + 0 * 8.19 + 0 * 5.61 + 1 * 2.13 = 1.13
2
S1 = 4.7 + 0.3 * 8.19 + 0.6 * 5.61 + 0.1 * 2.13 = 10.736
S2 = 3.1 + 0.1 * 8.19 + 0.6 * 5.61 + 0.3 * 2.13 = 7.924
S3 = 0.4 + 0.05 * 8.19 + 0.4 * 5.61 + 0.55 * 2.13 = 4.225
f(i)=max{vi}
f(1) = 10.736
f(2) = 7.924
f(3) = 4.225
Para el tercer año, se debe fertilizar sin importar el estado del
sistema.
Para el 4º año de producción:
1
S1 = 5.3 + 0.2 * 10.736 + 0.5 * 7.924 + 0.3 * 4.225 = 12.677
S2 = 3 + 0 * 10.736 + 0.5 * 7.924 + 0.5 * 4.225 = 9.075
S3 = (-1) + 0 * 10.736 + 0 * 7.924 + 1 * 4.225 = 3.225
2
S1 = 4.7 + 0.3 * 10.736 + 0.6 * 7.924 + 0.1 * 4.225 = 13.098
S2 = 3.1 + 0.1 * 10.736 + 0.6 * 7.924 + 0.3 * 4.225 = 10.196
S3 = 0.4 + 0.05 * 10.736 + 0.4 * 7.9 24 + 0.55 * 4.225 = 6.430
f(i)=max{vi}
f(1) = 13.098
f(2) = 10.196
f(3) = 6.430
Para el cuarto año, se debe fertilizar sin importar el estado del
sistema.
Para el 5º año de producción:
1
S1 = 5.3 + 0.2 * 13.098 + 0.5 * 10.196 + 0.3 * 6.430 = 14.947
S2 = 3 + 0 * 13.098 + 0.5 * 10.196 + 0.5 * 6.430 = 11.313
S3 = (-1) + 0 * 13.098 + 0 * 10.196 + 1 * 6.430 = 5.43
2
S1 = 4.7 + 0.3 * 13.098 + 0.6 * 10.196 + 0.1 * 6.430 = 15.39
S2 = 3.1 + 0.1 * 13.098 + 0.6 * 10.196 + 0.3 * 6.430 = 12.456
S3 = 0.4 + 0 .05 * 13.098 + 0.4 * 10.196 + 0.55 * 6.430 = 8.670
f(i)=max{vi}
f(1) = 15.39
f(2) = 12.456
f(3) = 8.670
En el quinto año, se debe fertilizar sin importar el estado del
sistema.
b) Realice el cálculo de solución óptima si el descuento  = 0.6 .
Cuales serán las soluciones óptimas para el terreno: Fertilizar o no
fertilizar.
0.2 0.5 0.3
r   0 0.5 0.5
 0
0
1 
7 6 3 
R  0 5 1 
0 0  1
 0 .3 0 .6 0 .1 
r   0.1 0.6 0.3 
0.05 0.4 0.55
6 5  1
R  7 4 0 
6 3 2 
1
1
2
 = 0.6
PROGRAMACIÓN DINÁMICA.
vi =  Pij Rij
1
v1 = 0.2 * 7 + 0.5 * 6 + 0. 3 * 3 = 5.3
2
v2 = 0 * 0 + 0.5 * 5 + 0.5 * 1 = 3
v3 = 0 * 0 + 0 * 0 + 1 * ( -1) = -1
2
v1 = 0.3 * 6 + 0.6 * 5 + 0.1 * ( -1) = 4.7
v2 = 0.1 * 7 + 0.6 * 4 + 0.3 * 0 = 3.1
v3 = 0.05 * 6 + 0.4 * 3 + 0.55 * ( -2) = 0.4
f(i)=max{vi}
f(1) = 5.3
f(2) = 3.1
f(3) = 0.4
En este primer año se debe fertilizar sólo si el sistema se
encuentra en los estados 2 o 3 de terreno regular o deficiente.
f(i) = max{vi +  Pij fn+i(j)}
Para el 2º año de producción:
1
S1 = 5.3 + 0.6*(0.2 * 5.3 + 0.5 * 3.1 + 0.3 * 0.4) = 6.938
S2 = 3 + 0.6*(0 * 5.3 + 0.5 * 3.1 + 0.5 * 0.4) = 4.05
S3 = (-1) + 0.6*(0 * 5.3 + 0 * 3.1 + 1 * 0.4) = -0.76
2
S1 = 4.7 + 0.6*(0.3 * 5.3 + 0.6 * 3.1 + 0.1 * 0.4) = 6.794
S2 = 3.1 + 0.6*(0.1 * 5.3 + 0.6 * 3.1 + 0.3 * 0.4) = 4.606
S3 = 0.4 + 0 .6*(0.05 * 5.3 + 0.4 * 3.1 + 0.55 * 0.4) = 1.435
f(i)=max{vi}
f(1) = 6.938
f(2) = 4.606
f(3) = 1.435
En el segundo año se debe fertilizar sólo si el sistema se encuentra
en los estados 2 o 3 de terreno regular o deficiente.
Para el 3º año de producción:
1
S1 = 5.3 + 0.6*(0.2 * 6.938 + 0.5 * 4.606 + 0.3 * 1.435) = 7.773
S2 = 3 + 0.6*(0 * 6.938 + 0.5 * 4.606 + 0.5 * 1.435) = 4.812
S3 = (-1) + 0.6*(0 * 6.938 + 0 * 4.606 + 1 * 1.435) = -0.139
2
S1 = 4.7 + 0.6*(0.3 * 6.938 + 0.6 * 4.606 + 0.1 * 1.4 35) = 7.693
S2 = 3.1 + 0.6*(0.1 * 6.938 + 0.6 * 4.606 + 0.3 * 1.435) = 5.433
S3 = 0.4 + 0.6*(0.05 * 6.938 + 0.4 * 4.606 + 0.55 * 1.435) = 2.187
f(i)=max{vi}
f(1) = 7.773
f(2) = 5.433
f(3) = 2.187
Para el tercer año, se debe fertilizar sólo si el sistema se encuentra
en los estados 2 o 3 de terreno regular o deficiente.
Para el 4º año de producción:
1
S1 = 5.3 + 0.6*(0.2 * 7.773 + 0.5 * 5.433 + 0.3 * 2.187) = 8.256
S2 = 3 + 0.6*(0 * 7.773 + 0.5 * 5.433 + 0.5 * 2.187) = 5.286
S3 = (-1) + 0.6*(0 * 7.77 3 + 0 * 5.433 + 1 * 2.187) = 0.312
2
S1 = 4.7 + 0.6*(0.3 * 7.773 + 0.6 * 5.433 + 0.1 * 2.187) = 8.186
S2 = 3.1 + 0.6*(0.1 * 7.773 + 0.6 * 5.433 + 0.3 * 2.187) = 5.916
S3 = 0.4 + 0.6*(0.05 * 7.773 + 0.4 * 5.433 + 0.55 * 2.187) = 2.659
f(i)=max{vi}
f(1) = 8.256
f(2) = 5.916
f(3) = 2.659
Para el cuarto año, se debe fertilizar sólo si el sistema se encuentra
en los estados 2 o 3 de terreno regular o deficiente.
Para el 5º año de producción:
1
S1 = 5.3 + 0.6*(0.2 * 8.256 + 0.5 * 5.916 + 0.3 * 2.659 ) = 8.544
S2 = 3 + 0.6*(0 * 8.256 + 0.5 * 5.916 + 0.5 * 2.659) = 5.573
S3 = (-1) + 0.6*(0 * 8.256 + 0 * 5.916 + 1 * 2.659) = 0.595
2
S1 = 4.7 + 0.6*(0.3 * 8.256 + 0.6 * 5.916 + 0.1 * 2.659) = 8.475
S2 = 3.1 + 0.6*(0.1 * 8.256 + 0.6 * 5.916 + 0.3 * 2.659) = 6.204
S3 = 0.4 + 0.6*(0.05 * 8.256 + 0.4 * 5.916 + 0.55 * 2.659) = 2.945
f(i)=max{vi}
f(1) = 8.544
f(2) = 6.204
f(3) = 2.945
En el quinto año, se debe fertilizar en caso sólo si el sistema se
encuentra en los estados 2 o 3 de terreno regular o d eficiente.
1.
S1 =
S2 =
S3 =
Para
S1 =
S2 =
S3 =
S1 : Oferta de 6 millones de pesos.
S2 : Oferta de 6 1 4 millones de pesos.
S3 : Oferta de 7 millones de pesos.
f(i)=max{vi}
f(1) = 6
P(f1) = 6/10 = 0.6
f(2) = 6.25
P(f2) = 3/10 = 0.3
f(3) = 7
P(f3) = 1/10 = 0 .1
 = 0.85
f(i) = max{vi +  Pij fn+i(j)}
6 + 0.85*(0.6 * 6 + 0 * 6.25 + 0 * 7) = 9.06
6.25 + 0.85*(0 * 6 + 0.3 * 6.25 + 0 * 7) = 7.84
7 + 0.85*(0 * 6 + 0 * 6.25 + 0.1 * 7) = 7.60
el Segundo mes de rechazo de la oferta o espera.
6 + 0.85*(0.6 * 9.06 + 0 * 7.84 + 0 * 7.60) = 10.62
6.25 + 0.85*(0 * 9.06 + 0.3 * 7.84 + 0 * 7.60) = 8.25
7 + 0.85*(0 * 9.06 + 0 * 7.84 + 0.1 * 7.60) = 7.65
La política óptima que minimizan el costo total esperado es
aceptar la oferta de 7 millones por vender su negocio en el primer mes,
posteriormente se incrementan los costos totales.
2.
S1
S2
S3
En
S1 : Costo de 3 millones de pesos.
S2 : Costo de 4 millones de pesos.
S3 : Costo de 5 millones de pesos.
f(i)=max{vi}
f(1) = 3
P(f1) = 1/6 = 0.17
f(2) = 4
P(f2) = 2/6 = 0.33
f(3) = 5
P(f3) = 3/6 = 0.50
 = 0.9
R = $ 350
D = $ 200
f(i) = max{vi +  Pij fn+i(j)}
= 3 + 200 + 350 + 0.9*(0.17 * 3 + 0.33 * 4 + 0.5 * 5) = 556.897
= 4 + 200 + 350 + 0.9*(0.17 * 3 + 0.33 * 4 + 0.5 * 5) = 557.897
= 5 + 200 + 350 + 0.9*(0.17 * 3 + 0.33 * 4 + 0.5 * 5) = 558.897
el Segundo día de espera o de no compra los costos serán.
S1 = 3 + 200 + 350 + 0.9*(0.17 * 556.897 + 0.33 * 557.897 + 0.5 *
558.897) = 1055.4043
S2 = 4 + 200 + 350 + 0.9*(0.17 * 556.897 + 0.33 * 557.897 + 0.5 *
558.897) = 1056.4043
S3 = 5 + 200 + 350 + 0.9*(0.17 * 556.897 + 0.33 * 557.897 + 0.5 *
558.897) = 1057.4043
A la persona se conviene comprar una casa lo más antes posible
pues sus costos se incrementan enormemente día a día a los costos
originales, por tanto la política óptima es comprar el primer día cuando
la casa cuesta 3 millones.
3. Una investigación recientemente realizada con suscriptora de
una revista de viajes, muestra que el 65% de ellos tienen al
menos una tarjeta de crédito de alguna línea aérea. Comparando
estos resultados con una investigación similar efectuada hace 5
años, los datos indican que 40% de aquellos individuos que no
tenían una tarjeta de crédito de alguna línea aérea, obtuvieron
posteriormente una, mientras que el 10% de aquellas que poseían
alguna de estas tarjetas, hace 5 años, ya no lo hacen.
Considerando que estas tendencias continúen en el futuro,
determínese la proporción de suscriptores que poseerán tarjetas
de crédito de líneas aéreas:
a) dentro de 10 años.
b) A largo plazo
SOLUCIÓN
Sean los estados:
S1 : Suscriptores con tarjeta de crédito.
S2 : Suscriptores sin tarjeta de crédito.
a)
x 0  x 1
x2
x 0  0.65 0.35
S1 S2
S1 0.90 0.10
S2 0.40 0.60
Para n = 10 años
x 10  P 0 P 10
0 .90 0 .10
b
2
b 
0 .40 0 .60
0 .85 0 .15
0 .6
0 .4
0 .82 5 0 .17 5
3
b 
0 .7
0 .3
0 .81 3 0 .18 8
4
b 
0 .75 0 .25
0 .80 6 0 .19 4
5
b 
0 .80 6 0 .19 4
5
b  0 .77 5 0 .22 5
0 .77 5 0 .22 5
0 .80 3 0 .19 7
6
b 
0 .78 8 0 .21 3
0 .80 2 0 .19 8
7
b 
0 .79 4 0 .20 6
8
0 .80 1 0 .19 9
9
0 .79 7 0 .20 3
0 .8
0 .2
10
0 .79 8 0 .20 2
0 .8
0 .2
b 
b 
b

0 .79 9 0 .20 1
a b
10

0 .8 0 .2
10
0.90 0.10 
x  P P = 0.65 0.35 
 = [0.8 , 0.2]
0.40 0.60 
Dentro de 10 años el 80 % de las personas tendrán tarjeta de
crédito y el 20 % de las personas carecerán de ellas.
b)
0.90 0.10
x 1 x 2 
  x 1 x 2 
0.40 0.60
10
0
10
 0.90x 1  0.40x 2  x 1

0.10x 1  0.60x 2  x 2
 0.10x 1  0.40x 2  0

 0.10x 1  0.40x 2  0
x1  x 2  1
x 2  1  x1
 0.10x 1  0.40(1  x 1 )  0
 0.10x 1  0.40  0.40x 1  0
 0.50x 1  0.40
x1 
0.40
0.50
x 1  0.8
x 2  1  x 1  1  0.8
x 2  0.2
A largo plazo se espera que el 80 % tenga la tarjeta de crédito y
por ende el 20 % no la tenga.
7. Las uvas del valle de Sonoma, se clasifican como superiores,
regulares o malas. Después de una cosecha superior, las
probabilidades de tener durante el siguiente año, una cosecha
superior, regular y mala son de 0, 0.8 y 0.2 respecti vamente.
Después de una cosecha regular, las probabilidades de que la
siguiente cosecha sea superior, regular y mala son: 0.2, 0.6 0.2.
después de una mala cosecha, las probabilidades de una cosecha
superior, regular y mala son de 0.1, 0.8 y 0.1. Determíne se las
probabilidades de una cosecha superior para cada uno de los
siguientes años, si la cosecha más reciente fue regular.
SOLUCIÓN
S1 : Cosecha Superior.
S2 : Cosecha Regular.
S2 : Cosecha Mala.
Para la cosecha más reciente regular tenemos la p robabilidad 1
inicialmente.
x 0  x 1 x 2 x 3 
x 0  0
S1
S1 0.0
S2 0.2
S3  0.1
1 0
S2 S3
0 . 8 0 .2 
0.6 0.2
0.8 0.1
Para n = 5 años
x 5  P0P5
a
( 0 .2 0 .6 0 .2 )
0 .0 0 .8 0 .2
b
0 .2 0 .6 0 .2
0 .1 0 .8 0 .1
a b 
0 .14 0 .68 0 .18
0 .18 0 .64 0 .18
2
b 
0 .14 0 .68 0 .18
0 .17 0 .64 0 .19
a b 
2
0 .15 4 0 .66 4 0 .18 2
0 .14 6 0 .67 2 0 .18 2
3
b 
0 .15 4 0 .66 4 0 .18 2
0 .14 7 0 .67 2 0 .18 1
a b 
3
0 .15 1 0 .66 7 0 .18 2
0 .15 3 0 .66 6 0 .18 2
4
b 
0 .15 1 0 .66 7 0 .18 2
0 .15 3 0 .66 6 0 .18 2
a b 
4
0 .15 2 0 .66 7 0 .18 2
0 .15 1 0 .66 7 0 .18 2
5
b 
0 .15 2 0 .66 7 0 .18 2
0 .15 1 0 .66 7 0 .18 2
a b 
5
0 .15 1 0 .66 7 0 .18 2
Para el primer año la cosecha superior será de 0.14 = 14 %
Para el segundo año la cosecha superior será de 0.154 = 15.4 %
Para el tercer año la cosecha superior será de 0.151 = 15.1 %
Para el cuarto año la cosecha superior será de 0.152 = 15.2 %
Para el quinto año la cosecha superior será de 0.151 = 15.1 %