Conceptos Básicos de Probabilidad La probabilidad es la rama de la matemática que estudia aquellos experimentos cuyos resultados son aleatorios. Por esto entendemos experimentos en los cuales los resultados pueden variar entre una y otra ejecución. Para que un experimento sea aleatorio debe presentar dos características importantes, la primera de ellas tiene que ver con la posibilidad de determinar un conjunto, espacio muestral, que reúna todos los posibles resultados que puede tener; la segunda tiene que ver con la imposibilidad de que los resultados de repeticiones tengan un comportamiento igual o predecible. Cuando se tiene un experimento probabilístico, cualquier subconjunto del espacio muestral recibe el nombre de evento. Es común encontrar en la literatura dos conceptos algo diferentes acerca de lo que es la probabilidad. Uno de estos conceptos, la probabilidad estadística, tiende a ver la probabilidad como la frecuencia relativa con que ocurre un evento si un experimento se repite una cantidad grande de veces. En el otro enfoque, probabilidad inductiva, la probabilidad tiende a verse como el grado de credibilidad que es razonable asignarle a una proposición que describe a un evento, de acuerdo a una evidencia dada. La probabilidad estadística se fundamenta fuertemente en la estabilidad del cociente entre las ocurrencias del evento y el total de ejecuciones del experimento cuando este total de ejecuciones es grande, de hecho es un valor límite de ese cociente. Es importante recalcar que éste es esencialmente un concepto empírico, mediante el cual se hacen aseveraciones de qué ocurre en el mundo real basadas en la observación y en la experimentación. También, en este tipo de probabilidad nunca se podrá conocer con exactitud el valor de la probabilidad de un evento, pues en la práctica ningún experimento puede repetirse indefinidamente. Dada esta deficiencia insinuada de este tipo de probabilidad podría pensarse que es inválida o carente de importancia; no obstante esta dificultad de definir adecuadamente la probabilidad estadística no difiere de la dificultad de definir otros conceptos importantes como el tiempo y no es una limitación de peso para usar el concepto cuyo significado es intuitivamente claro. La probabilidad inductiva tiene un carácter que no es empírico, pues en ésta se busca conocer el grado de certidumbre que uno puede asignarle a una hipótesis acorde a una evidencia; para hacer esto uno debe pensar en el problema a la luz de las evidencias; si éstas cambian, también podría hacerlo la probabilidad asignada. La diferencia esencial entre ambos conceptos es que la probabilidad estadística es un concepto empírico mientras que la probabilidad inductiva es un concepto lógico. Al margen de estas distinciones es difícil establecer fronteras acerca de dónde usar una y dónde la otra. Por ejemplo si uno quiere saber si una moneda no está cargada, podría lanzarla al aire una gran cantidad de veces y verificar que la razón de escudos es 1/2; en este caso estamos usando el sentido estadístico de la probabilidad. Sin embargo si se lanza la moneda 100 veces y cae 48 veces escudo, uno podría preguntarse si hay una buena evidencia de que la moneda no está cargada. En ese caso estaríamos entrando en el sentido inductivo de la probabilidad; y una respuesta aceptable puede ser que: hay una alta probabilidad (en sentido inductivo), de que la probabilidad de escudo (en el sentido estadístico) es de 1/2. Aunque el estudio de las probabilidades se asocia usualmente con juegos de azar, este pensamiento está bastante lejos de ser real, pues si bien muchas de las aplicaciones iniciales de la probabilidad estuvieron ligadas con el estudio organizado y sistemático de resultados de juegos de azar [6], lo cierto es que hoy día el estudio de las probabilidades invade prácticamente todos los ámbitos de la ciencias. La probabilidad se utiliza en el planteo y solución de diversos problemas que tienen que ver con industria, administración, computación, y otras áreas del desarrollo científico. En general los resultados obtenidos en experimentos aleatorios no son determinísticos pero el estudio probabilístico de fenómenos aleatorios permiten planteamientos más científicos y organizados para la solución de problemas. De hecho muchas de las mediciones sobre las que se fundamenta la ciencia no son exactas. Por ejemplo el tiempo que transcurre entre la llegada de un cliente a la cola de la caja de un banco y el momento en que se inicia su atención, o la medida que obtiene una persona al utilizar una cinta métrica para determinar la longitud de un trozo de metal, la longitud de un tornillo que se produce por una máquina, la resistencia de una viga etc. Mas aún, muchos problemas aunque se planteen y resuelvan como determinísticos no lo son, en realidad son probabilísticos. Si un componente debe programarse para controlar el llenado de botellas de refresco, de manera tal que cada botella lleve 500 ml de líquido, usualmente no es posible la exactitud en el proceso de llenado, sólo se logra que en promedio cada botella contenga 500 ml pero algunas tendrán más y otras menos. En este curso nos dedicaremos al estudio básico de las probabilidades, será la práctica discutir los resultados y brindar justificaciones, formales en unos casos e intuitivas en otros. El lector interesado en profundizar alguno de los temas puede consultar la bibliografía. Teoría básica de conjuntos El estudio formal de la teoría de conjuntos no es el interés en estas notas, los resultados que se presentan son básicos y en la mayoría de los casos su demostración o justificación se dejará al lector. Si los temas le parecen conocidos pero no los recuerda bien, se recomienda al menos una lectura rápida. El estudio de la probabilidad está estrechamente ligado con el estudio particular de algunos conceptos sobre conjuntos que se discutirán en esta corta sección. En teoría de conjuntos los términos elemento, conjunto y pertenencia no se definen, se asume que de una u otra manera el lector tiene una idea al respecto. De hecho, cualquier intento por definir alguno de estos conceptos nos llevaría a definiciones circulares, es decir definiciones que reducen el concepto a un término que no es más que un sinónimo del mismo. Por ejemplo en [7] se define un conjunto como una colección de elementos distintos. Esta definición usa dos conceptos que no son claros: elemento y colección. Es usual que los conjuntos se representen por letras mayúsculas A, B, C,... y los elementos por letras minúsculas, a, b, c.... Se usa la notación x A para indicar que el elemento xpertenece al conjunto A, es decir x es uno de los elementos de A. Si bien no existe un conjunto universal [7], usaremos el concepto de conjunto universal o universo restringiéndolo a dominios específicos. Por ejemplo, si hablamos de conjuntos de números enteros entonces el conjunto universo es el conjunto de los enteros. Esta simple aclaración nos facilitará la discusión de algunos de las conceptos que abordaremos posteriormente. Iniciaremos recordando el Principio de comprensión, sumamente importante en el estudio de los conjuntos. Si tenemos un conjunto universo, podemos pensar que cada uno de los elementos de este conjunto debe cumplir o satisfacer alguna condición para estar en ese conjunto y es usual que a los elementos que cumplan con esta condición que los caracteriza les digamos que son de cierto tipo. Por ejemplo si se tiran dos dados, uno azul y uno rojo y se anotan las caras que caen en cada uno de ellos, el conjunto de posibles resultados esta formado por 36 pares ordenados; ese conjunto, el universo para el experimento de tirar dos dados y registrar las caras que caen, tiene un tipo especial, digamos tipo resultado. Este principio nos permite garantizar que para todo tipo de elemento y para todo predicado siempre hay un subconjunto que cumple el predicado, este conjunto puede ser vacío. Otro principio importante es el Principio de extensión que permite establecer la igualdad entre conjuntos. Algunas definiciones y propiedades Note que acorde con esta definición se cumple que un conjunto sin elementos, subconjunto de todo conjunto. Si es un conjunto y A por es se define el conjunto complemento de A respecto a A= A. Las siguientes propiedades se enuncian sin demostración y resumen algunas de las más importantes acerca de la operaciones definidas previamente. Propiedades de la Unión conmutatividad A Asociatividad (A Identidad A Medio Excluido Otras B=B A. B) C=A (B C). (B C). = A. =A A A. A B. Propiedades de la Intersección Conmutatividad A Asociatividad (A Identidad A Contradicción Otras B=B A. B) C=A = A. A A A= B . A. Propiedades Conjuntas Distributividad o A (B o A (B C) = (A C) = (A Leyes de De Morgan o (A B) = o (A B) = B) B) A A (A (A C). C). B. B Otras o A (B C) = (A B) (A C). o A (B C) = (A B) (A C). Conjunto Potencia Un conjunto importante asociado con todo conjunto es el conjunto potencia o partes de. Así P( ) es un conjunto cuyos elementos son todos los subconjuntos de . Cardinalidad Un concepto de vital importancia al estudiar probabilidad radica en la posibilidad de que dado un conjunto A, dentro de un universo , se pueda asignar a este conjunto alguna medida relativa al universo en el cual está inmerso. Existen teorías completas al respecto y si bien podrían ser bastante útiles en el desarrollo que haremos no profundizaremos en ninguna de ellas. Los conjuntos con los que trataremos se dividen en dos grandes grupos: discretos y continuos. En términos simples un conjunto contable (discreto) es aquel en el cual exista una manera de contar sus elementos, puede tener una cantidad finita o infinita de elementos, pero de alguna manera puede encontrarse una estrategia para contarlos. Por ejemplo los naturales son un conjunto discreto, de hecho son el conjunto que se utiliza para poder contar otros. Todo conjunto finito es contable, los enteros son un conjunto contable y los racionales también. Invitamos al lector a encontrar estrategias para contar los enteros y los racionales [8]. Para conjuntos discretos finitos la cardinalidad es una manera de asignarles una medida. A continuación listamos un conjunto de propiedades de la cardinalidad. Propiedades de Cardinalidad Si A Si A B= |A B| = | A| + | B| n Si | A| = n | P(A)| = 2 Si | A| = n, | B| = m | A×B| = mn B | A| | B| (1.1) Cuando los conjuntos no son discretos el concepto de cardinalidad carece de sentido y se sustituye por el término de medibilidad, un concepto fuera de los objetivos de estas notas, no obstante hablaremos levemente de algunos términos necesarios en probabilidades. Medidas de Probabilidad Los siguientes resultados son sumamente importantes al tratar de formalizar lo que entenderemos por probabilidades. De alguna forma podríamos prescindir de algunas de estas definiciones y a pesar de ello aprender a resolver problemas que tienen que ver con la probabilidad, pero hemos decidido hacer esta sección suficientemente completa, pues muchos de los estudiantes a los cuales están dirigidas estas notas aprecian el formalismo como una excelente alternativa para luchar contra la imprecisión que puede venir del exceso de informalidad. Espacios Muestrales Discretos Las siguientes definiciones constituyen un punto de partida importante para iniciar el estudio de la materia que nos interesa. De hecho constituyen caracterizaciones operacionales de los tipos de probabilidad discutidos, en la sección introductoria. Ejemplo 1 Se lanza un par de dados que no están cargados y se registra la suma de las caras. Determine la probabilidad del evento T : la suma de los números en ambas caras es 6. Solución En este caso, por (1.1) hay 36 posibles resultados, de los cuales (3, 3),(1, 5),(5, 1),(2, 4) y (4, 2) suman 6 así: P[T] = . Ejemplo 2 En una caja hay 4 libros de Inglés y 3 de Ruso. Se escoge al azar un libro de la caja. ¿Cuál es la probabilidad de que el libro escogido sea de Ruso? Solución Sea R el evento se escoge un libro de Ruso. Hay 3 casos en los cuales al escoger el libro resulta ser de Ruso y un total de 7 escogencias por lo tanto: P[R] = . Funciones de Probabilidad Las definiciones (10) y (11), caracterizan la probabilidad de un evento en términos de la frecuencia relativa. La primera permite la asignación de una medida de probabilidad a un evento mediante la experimentación. La segunda es mucho más clara y en el sentido operacional es aceptable, pero requieren que el espacio muestral sea finito. Por otro lado la afirmaciones de que "los resultados pueden ocurrir igualmente, y son mutuamente excluyentes", difícilmente pueden ser demostradas, y es usual que no se cumplan. Esa no es una limitación importante pues esta última definición puede generalizarse para que permita caracterizar cualquier probabilidad. No obstante se hace necesario establecer algunas condiciones a la colección de todos los eventos del espacio muestral. Dado un espacio muestral las siguientes propiedades: , se asume que la familia Se tiene que Si A Si A1, A2, A3,... son elementos de y , entonces de todos los eventos cumple . A . , también lo es Ai. Cualquier conjunto que cumpla con las propiedades anteriores se llama una -álgebra. Con estas propiedades se puede demostrar con alguna facilidad los siguientes hechos, referimos al lector interesado a [2]: Si los eventos A1, A2, A3,... son elementos de La unión finita de eventos de está en . Si A y B están es también lo está A , también lo es Ai. B. Una función de probabilidad definida sobre la -álgebra de todos los eventos de un espacio muestral , debe cumplir las siguientes propiedades: 0 P[A] para todo evento A. P[ Si A y B son eventos mutuamente excluyentes entonces ] = 1. P[A B] = P[A] + P[B]. Si los eventos A1, A2, A3,... son eventos mutuamente excluyentes ( Ai , i Aj = j), entonces P[ An] = P[An]. El concepto de medida de probabilidad o función de probabilidad juega un rol básico al momento de estudiar las probabilidades, de hecho cuando tenemos un experimento aleatorio y queremos estudiarlo probabilísticamente lo que necesitamos es definir una de tales medidas. Buena parte de lo que haremos en secciones posteriores es definir medidas de probabilidad sobre espacios muestrales. En las siguientes páginas discutiremos los principios básicos de la probabilidad. Reglas para el Cálculo de Probabilidades Cuando en un experimento aleatorio se conocen las probabilidades de los eventos simples, es decir las probabilidades de cada uno de los elementos del espacio muestral, se pueden calcular las probabilidades de eventos compuestos y de algunos eventos relacionados utilizando una serie de reglas básicas. El cálculo de probabilidades se basa principalmente en la aplicación de estas reglas básicas. El siguiente teorema, [2], define una serie de propiedades que cumple una medida de probabilidad. 1. P[ ] = 0. 2. P[A] = 1 - P[ A]. 3. Para cualesquiera eventos A, B P[A B] = P[A] + P[B] - P[A 4. Para cualesquiera eventos A, B. Si A B implica P[A] < P[B]. B]. Demostración y discusión de algunos casos. 1. Esta propiedad se obtiene en forma inmediata pues si P[ ] = r > 0 se tiene que P[ ] = P[ ] = P[ ] + P[ ] = 1 + r > 1, lo cual contradice la propiedad 2 del axioma 2. En otras palabras P[ ] = 0. 2. Esta propiedad también se obtiene en forma sencilla de: 1 = P[ ] = P[A A] = P[A] + P[ Si A es un evento sobre un espacio muestral denota por A. A]. entonces el evento no ocurre A se 3. Esta propiedad se demuestra usando propiedades de conjuntos. Lo primero es notar que A B es una unión de eventos excluyentes: A B = (A B) ( A B) (A B), por lo tanto, P[A B] = P[(A B)] + P[( por otro lado los eventos A así: A ByA P[A] = P[(A B)] + P[(A P[B] = P[(A B)] + P[( B)] + P[(A B)], (1.2) B son excluyentes y su unión es A, (1.3 ) B)], similarmente: A (1.4) B)], sumando término a término (1.3) y (1.4) se obtiene: P[A] + P[B] = 2P[(A B)] + P[(A B)] + P[( A B)]. (1.5) Restando (1.5) y (1.2) se obtiene el resultado. 4. Esta propiedad se deja como ejercicio para el lector. Regla de Producto El evento que indica la ocurrencia conjunta de los eventos A y B se denota por A B. Dos eventos se dicen independientes si la ocurrencia de uno de ellos no influye ni se ve influida por la ocurrencia del otro. Por inducción se puede demostrar que si A1, A2,..., An son eventos independientes con probabilidades P[A1], P[A2], ..., P[An] respectivamente, entonces la probabilidad de la ocurrencia del evento compuesto A1 y A2 y ... y An, es decir todos los eventos, cumple: P[A1 A2 ... An] = P[A1]P[A2]...P[An]. (1.6) Ejemplo 3 Suponga que una máquina fabrica un tipo específico de componente, y que la probabilidad de que un componente salga defectuoso es constante p e independiente de los resultados en los componentes tanto anteriores como posteriores. Estime la probabilidad de que el primer componente defectuoso salga inmediatamente después de los primeros N componentes. ¿Cuántos componentes deben producirse para tener una probabilidad del 90% de obtener al menos un componente defectuoso? Solución Sea Di el componente i defectuoso y pedida es: P[( ... el complemento de Di. La probabilidad ) DN + 1] = (1 - p)Np. La probabilidad de ningún componente defectuoso en los primeros k componentes es (1 - p)k entonces la probabilidad de al menos un componente defectuoso se 1 - (1 -p)k. El valor k buscado debe cumplir con 1 - (1 - p)k > 0.9 (1 - p)k < 0.1 k> . Por ejemplo si la probabilidad de que un componente sea defectuoso es de 0.02 deberían producirse alrededor de 114 componentes para tener una probabilidad del 90% de que haya al menos uno defectuoso. Probabilidad Condicional Cuando los eventos no son independientes y ocurren en forma sucesiva la ocurrencia de uno de ellos puede influir en la del otro. Este tipo de probabilidad se llama probabilidad condicional. Por ejemplo hay tres cajas c1, c2 y c3 tales que la caja c1 contiene 2 esferas azules y 2 rojas, la caja c2 contiene 3 esferas azules y 1 roja y la caja c3 contiene 2 esferas azules y 3 rojas. Si se va a extraer una esfera de una caja, esta esfera puede ser azul o roja; no obstante la probabilidad de que sea de uno u otro color depende de cual de las cajas se extrae esa esfera. De hecho los eventos B elegir una de las cajas y A extraer una bola azul de la caja seleccionada no son independientes. La probabilidad de que un evento A ocurra dado que un evento B ha ocurrido se llamará probabilidad condicional de A dado B. Se denotará por P[A puede calcular recurriendo a la regla: B]. Esta probabilidad se (1.7 ) P[B A] = Dos eventos A y B son independientes si se cumple: P[B A] = P[B] y P[A B] = P[A]. Una manera informal de darle alguna justificación a esta regla es la siguiente. Si en un espacio muestral conocemos de previo que ha ocurrido un evento, B, y queremos calcular la probabilidad de que ocurra otro evento A entonces, simplificando el cálculo de la probabilidad a la razón: total de casos que verifican el evento entre el total de casos, se tiene que como ya ha ocurrido B el espacio muestral ahora puede reducirse a B y los casos que verifican el evento ya no son los elementos de A sino los elementos de A B es decir: (1.8 ) P[A B] = . Si A y B son eventos no necesariamente independientes se tiene: (1.9) P[A B] = P[A]P[A B]. Esta regla se generaliza en el siguiente sentido. Si A1, A2,..., An son eventos entonces la probabilidad de la ocurrencia del evento compuesto A1 y A2 y ... y An, es decir todos los eventos, cumple : P[A1 P[A1]P[A2 A1]P[A3 A2 ... (A1 An - 1 An] = A2)]...P[An (A1 A2 ... An - 1)]. Ejemplo 4 Suponga que se lanzan un par de dados. Calcule la probabilidad de que ocurran cualquiera de los siguiente eventos. A : el primero de los dados cae impar, B : el segundo cae impar y C : la suma de ambas caras es impar. Solución No es difícil comprobar las siguientes probabilidades: P[A] = P[A P[C P[B] = B] = P[B A] = P[C] = P[C A] = B] = P[A B C] = 0 P[A]P[B]P[C] = Se tiene que los pares de eventos A, C y B, C son independientes, pero A, B y C no lo son. Ejemplo 5 Un carpintero tiene tornillos en dos cajas una azul y otra roja. Él toma al azar tonillos de cualquiera de las dos cajas, pero la caja azul está un poco más cerca por lo que toma tornillos de ella dos de cada tres veces. La caja azul contiene cuatro tornillos de 15 mm y cinco de 20 mm y la caja roja contiene seis de 15 mm y dos de 20 mm. 1. Si en las dos siguientes búsquedas de tornillo el carpintero toma un tornillo de cada caja cuál es la probabilidad de que ambos sean del mismo tipo. 2. Si el carpintero necesita dos tornillos y los toma en forma sucesiva de alguna de la cajas cuál es la probabilidad de que los dos sean del mismo tipo Solución 1. Sea A el evento: toma un tornillo de 15 mm de cada caja y B el evento: toma un tornillo de 20 mm de cada caja. El evento A no es simple de hecho, es el evento compuesto A1 A2 donde A1 es toma un tornillo de 15 mm de la caja 1 y A2 es toma un tornillo de 15 mm de la caja 2, eventos independientes. P[A] = P[A1 A2] = P[A1]P[A2] = Similarmente. P[B] = = = . Como A y B son excluyentes la probabilidad pedida es: P[A B] = P[A] + P[B] = + = . 2. En este caso el evento pedido puede descomponerse como sigue. Sea M el evento toma los tornillos de la caja azul y N toma los tornillos de la caja roja. Sean P1 el primer tornillo es de 15 mm, P2 el segundo tornillo es de 15 mm, Q1 el primer tornillo es de 20 mm y Q2 el segundo tornillo es de 20 mm. La probabilidad buscada es: elegir de la caja azul y tomar 2 tornillos iguales o elegir de la caja roja y tomar 2 tornillos iguales P[{(P1 P2) (Q1 Q2)} M} = P[M]P[{(P1 P2) Q1 = P[N]P[{(P1 = + (Q1 Q2)} N}] Q2} M] + P[N]P[{(P1 P2) Q1 Q2} N] P2) + {(P1 Q1 P2) Q2} + N] = . Ejemplo 6 El siguiente ejemplo resulta interesante porque además de ser un problema en cierta forma clásico de las probabilidades nos muestra que eventualmente nuestra intuición en probabilidades debe ser mucho más cautelosa. Nos referiremos al mismo como el problema de los cumpleaños y aparece en buena parte de los libros de probabilidad. Suponga que hay n estudiantes en un salón de clase, ninguno nacido en 29 de febrero, y que el año en el que estamos no es bisiesto. Por el principio del palomar cualquiera sabe que si n > 365, entonces al menos dos personas tienen la misma fecha de cumpleaños; en el sentido que cumplen el mismo día del mismo mes. Supongamos que 2 siguientes: n < 365, y demos respuesta a las preguntas Cuál es la probabilidad, C, de que al menos dos personas tengan la misma fecha de cumpleaños. Cuál es el mínimo valor de n para que esta probabilidad sea mayor que 0.5. Solución Hay en total 365n posibilidades para que ocurran los cumpleaños de los n estudiantes. La probabilidad de que dos personas cumplan en la misma fecha es el complemento de que todos cumplan en días diferentes del año. Tomando 1 para el primero de enero y 365 para el 31 de diciembre se tiene que la probabilidad del evento E: ningún par de personas cumplan el mismo día es: P[E] = = 1- 1- ... 1- . La probabilidad solicitada es P[C] = 1 - 1- 1- ... 1- La segunda pregunta se responde resolviendo la desigualdad . 1- 1- 1- ... 1- 0.5, por ejemplo se pueden tabular algunos valores y obtener la respuesta. n P[C] 15 0.253 25 0.568 30 0.706 40 0.891 Probabilidad Total y Regla de Bayes Si revisamos de nuevo el ejemplo del carpintero y los tornillos podemos notar como característica importante en ese experimento que está constituido de dos estados: Primero se debe elegir una caja y una vez hecho esto se debe sacar un tornillo de la misma. Hay algunas preguntas que plantearse respecto a este experimento que podrían resultar diferentes a lo que hemos explorado hasta ahora. Por ejemplo ¿Cuál es la probabilidad S de sacar un tornillo de 20 mm.? Si se sacó un tornillo de 20 mm., ¿cuál es la probabilidad de que se haya escogido de la caja azul? El esquema para abordar este par de preguntas nos permitirán iniciar el estudio de los temas probabilidad total y Teorema de Bayes, que son los últimos temas de este capítulo. Para resolver el primero de los dos problemas propuestos es importante tener en cuenta que hay dos alternativas para obtener un tornillo de 20 mm. A saber elegir en el primer estado la caja azul y sacar un tornillo de 20 mm o bien elegir en el primer estado la caja roja y sacar un tornillo de 20 mm. Si M es el evento toma el tornillo de la caja azul y N toma el tornillo de la caja roja. Y S es el tornillo es de 20 mm se tiene P[S] = P[(M = P[M = = = S) (N S] + P[N P[M]P[S S)] S] M] + P[N]P[S N] + . Para resolver este tipo de problemas necesitamos establecer algunas definiciones y resultados importantes. Si A1, A2,..., An son eventos tales que: Ai Aj = siempre que i P[Ai] > 0, i = 1, 2,..., n. Ai = j. . Se dice que A1, A2,..., An forman una partición del espacio . Cuando un experimento consiste de la realización de dos etapas y es tal que la primera puede descomponerse en A1, A2,..., An eventos, entonces la ocurrencia de cualquier eventoB en la segunda etapa sólo puede darse en forma conjunta con alguno de los eventos de la primera etapa. Es decir el evento B se descompone en la forma B = (B A1 ) (B A2) ...(B An). Si se tiene además que A1, A2,..., An forman una partición del espacio muestral en la primera etapa entonces los eventos en la descomposición anterior son independientes y obtenemos el siguiente teorema: P[B] = P[(B = P[B = A1 ) (B A1] + P[B P[A1]P[B A2 ) ...(B A2] + ... + P[B A1] + P[A2]P[B An)] An] A2] + ... + P[An]P[B An] = P[Ai]P[B Ai]. El segundo de los problemas planteados se resuelve haciendo uso de probabilidades condicionales, interesa conocer la probabilidad condicional siguiente: Si el resultado final de la elección es un tornillo de 20 mm., ¿cuál es la probabilidad de que se haya extraído de la caja azul? Utilizando la representación de eventos del primer ejemplo y utilizando la fórmula 1.7 y el teorema 3 obtenemos: P[M S] = = = . Este tipo de deducciones propias de experimentos con dos estados y que implica el cálculo de la probabilidad de que ocurra algún conjunto de condiciones o circunstancias del primer estado dado que ocurre un evento del segundo estado se resuelven recurriendo al siguiente teorema, conocido como fórmula de Bayes: Ejemplo 7 Una caja A contiene tres bolas blancas y cuatro negras. Otra caja, B, contiene dos bolas blancas y tres negras. Se extraen bolas, una a una, en forma aleatoria y sin reemplazo. Si las dos bolas son elegidas de A, ¿cuál es la probabilidad de que ambas sean negras? Si se eligen dos bolas, una de cada caja, ¿cuál es la probabilidad de que no sean del mismo color? Si se elige una caja al azar y se extraen dos bolas al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sean del mismo color? Si se elige una de las cajas al azar se extraen dos bolas y son de colores distintos, ¿cuál es la probabilidad de que se hayan extraído de la caja B? Solución Si se saca la primer bola de la caja A y la segunda de la misma caja la probabilidad de que ambas sean negras es: . Una manera de hacerlo es por complemento, extraer dos bolas de distinto color es el complemento de extraerlas del mismo color. La probabilidad de extraerlas del mismo color es sacar la primera negra y la segunda negra o la primera blanca y la segunda blanca, por lo tanto la probabilidad pedida es: 1- + . El evento se descompone en elegir la caja A y extraer dos blancas o dos negras o bien elegir caja B y extraer dos blancas o dos negras. = + + + . = + + + = La probabilidad C de extraer las dos bolas de igual color esta calculada para el caso anterior. P[B C] = = = . Una aplicación interesante de la fórmula de Bayes tiene que ver con el análisis de confiabilidad de ciertos test realizados para detectar la presencia de enfermedades. El problema es básicamente el siguiente: Una persona puede sufrir de una enfermedad y se practica un test para saber si tiene o no la enfermedad. La exactitud del test se mide a través de dos valores probabilísticos. El primero de ellos se llama la sensibilidad, que es la probabilidad de que una persona que este enferma de positivo en el test. = P[TestPositivo EstaEnfermo]. El otro valor se llama especificidad y es la probabilidad de que una persona no enferma tenga un diagnóstico correcto. = P[TestNegativo NoEstaEnfermo]. Lo normal es que ambos valores sean muy cercanos a la unidad. Conociendo la incidencia de la enfermedad, sobre alguna población, se puede calcular la probabilidad de que una persona que haya dado positivo en el diagnóstico no sufra de la enfermedad. Si se sabe que en la población la probabilidad de que una persona elegida al azar este enferma es P[NoEstaEnfermo entonces usando las fórmulas de Bayes se tiene TestPositivo] = = . Por ejemplo, [2], existe un test llamado ELISA que se utiliza para verificar sangre donada en una problación en la cual la probabilidad de que un individuo tenga los anticuerpos de SIDA es de 0.0001. Suponga que este test tiene una sensibilidad 0.977 y una especificidad = 0.926. = Por ejemplo la probabilidad de que una muestra que contenga los anticuerpos de un diagnóstico de que sí tiene los anticuerpos es: = 0.001319 Este test resulta deficiente, de hecho clasifica como positivos muchos casos que no tienen los anticuerpos.