Método de las deformaciones

2) METODO DE LAS DEFORMACIONES, o DE LAS INCOGNITAS ELASTICAS o
GEOMETRICAS o METODO DE LAS RIGIDECES
En este caso aplicaremos un criterio similar pero opuesto al método anterior. Dada
una estructura de barras la cual en el caso más general será cinemáticamente
indeterminada (es decir que no conocemos los desplazamientos y giros de sus nudos),
buscaremos como fundamental una estructura cinemáticamente determinada a partir del
agregado de vínculos al sistema original que pretendemos resolver.
El procedimiento se puede resumir en los siguientes pasos:
a) Se elige un sistema fundamental cinematicamente determinado, mediante
el agregado de tantos vínculos como grado de indeterminación cinemática
(o incógnitas elásticas) tenga el sistema.
b) Cada vinculo restringe una magnitud elástica debido a las cargas ( C j ), que
son justamente las incógnitas del problema. Pero, por superposición de
efectos, vamos agregando estas magnitudes elásticas incógnitas con valor
unitario multiplicadas por la verdadera magnitud de las mismas.
c) Para cualquier valor de las incógnitas, la suma por superposición nos dará
una estructura geométricamente congruente, pero solo habrá un grupo de
valores que garanticen que la suma de las magnitudes estáticas generadas
en los vínculos agregados, se anulen. Para asegurar esta condición
plantemos una ecuación de equilibrio en correspondencia con cada
incógnita
x j , o sea, en cada vinculo.
Es decir que en este caso el grado de indeterminación cinemática depende de la
cantidad de desplazamientos que tengamos que restringir hasta obtener una estructura
cinematicamente determinada. La restricción a estos desplazamientos la efectuamos
mediante vínculos nodales, y agregaremos tantos vínculos como incógnitas tenga el
problema.
Dado que sabemos resolver una barra empotrada–empotrada, o empotrada–
articulada para cualquier magnitud geométrica o estática de sus extremos, o para
cualquier estado estático a lo largo de la misma, ya que hemos justificado por el método
de las fuerzas (además, de tener estos valores tabulados en cualquier manual),
1
buscaremos que nuestro fundamental quede conformado por barras de resolución
conocida.
Como cada barra puede tener 3 magnitudes elásticas distintas e independientes en
cada extremo (1 giro y 2 desplazamientos), cada nudo, en donde converge un grupo de
barras nos plantea 3 incógnitas de igual naturaleza.
Esto cambia cuando el nudo esta totalmente articulado, donde no es necesario
plantear el giro del nudo como incógnita del problema.
3 grados de
indeterminación
geométrica
2 grados de
indeterminación
geométrica
3 grados de
indeterminación
geométrica
Ejemplo:
Pb
b
Pa
a
=
x3
Pb
b
Pa
=
x2
x1
+
a
+
x1
C
0
e1
k11
0
e3
Pb
x2
k12
k 31
k 21
0
e2
+
x3
k13
k 32
k 22
k 33
k 23
Pa
x1
x2
x3
C
2
3 Pb l b
16
4 Na
-
Pa l a
8
-
+
+
Pa l a
8
Pa l a
8
+
+
3 Nb
3 Nb
-
5 Pb l b
32
M1
+
11 Pb
16
6 Na
la
lb
M
-
+
M2
2 Na
6 Na
la
M3
-
12 Na
-
l a2
+
+
+
5 Pb
16
Pa
2
+
3 Nb
3 Nb
l
l b2
-
+
-
Q
Pa
2
6 Na
Q1
Q2
l
Q3
E b Ab
lb
-
-
N
N1
N2
N3
E a Aa
l
Siendo la rigidez directa la magnitud estática generada en correspondencia con una
incógnita con su propia deformada, la que llamamos [ kii ].
La magnitud estática en correspondencia con la incógnita x i pero debido a la
incógnita
x j , la hemos definido oportunamente llamándola rigidez cruzada [ kij ].
Si llamamos e
0
i
a la magnitud estática en correspondencia con las incógnitas
0
elásticas pero debido al estado de cargas C , podemos plantear la siguiente ecuación de
equilibrio en correspondencia con cada incógnita:
n

 e
i 1

0
i
n

  k ij  x j   0
j 1

En nuestro caso de 3 incógnitas:
 k11  x1  k12  x2  k13  x3  e 01  0

0
k 21  x1  k 22  x2  k 23  x3  e 2  0
k  x  k  x  k  x  e03  0
 31 1 32 2 33 3
3
La primera ecuación nos dice que el par generado en el empotramiento libre debido
a la acción de x1 ( k11 ), multiplicado por el verdadero valor de
x1 (lo que da el verdadero
valor del par), más el par generado en el mismo lugar (correspondiente con x1 ), pero
debido a la acción de x 2 , por el verdadero valor de
x2 , más el par debido a la acción de
x 3 , multiplicado por el verdadero valor de x3 , más el par debido a las cargas, es igual a
cero pues en la estructura original no hay un par aplicado en dicho nudo.
En el caso de existir fuerzas o un par aplicado, será igual al valor de los mismos.
Similar análisis vale para las fuerzas correspondientes con
x2 y con x3
Matricialmente:
 k11
k
 21
k 31
k12
k 22
k 32
k13   x1   e 01  0
M 1 
 0   



k 23    x2   e 2   0 o bien =  F2 
k 33   x3  e 0 3  0
 F3 
ya que, si existen fuerzas o pares en correspondencia con las incógnitas, el vector
que conforma el 2º miembro, ya no será un vector nulo:
K  x  C   0
Donde K es la matriz rigidez.
La matriz rigidez es independiente del estado de cargas, dependiendo solo del
fundamental elegido:
 x  C  K 1
A su vez:
K 1  F
donde F
es la matriz flexibilidad obtenida a partir de un sistema de fuerzas
unitarias correspondientes con las incógnitas
x
4
Puesta en evidencia de las rigideces
a)
Por equilibrio de nudos
Al actuar las cargas y las incógnitas unitarias en el fundamental, aparecen valores
sobre el nudo debido a estas acciones. Para que haya equilibrio entonces se generarán
en los apoyos las reacciones necesarias.
Así, el empotramiento libre generará un par igual y de sentido contrario a la suma
algebraica de los pares que actuarán en los nudos y, por lo tanto, la suma algebraica de
los pares extremos de la barras que concurren al nudo.
Lo dicho anteriormente es análogo para las reacciones fuerza. En consecuencia,
podemos entonces decir:
k1 j
Es el par que aparece en el empotramiento correspondiente. (o sea, en
correspondencia con x1 ) debido a la causa j
k2 j
Es la fuerza vertical que aparece en el apoyo (o sea, en correspondencia
con x 2 ) debido a la causa j
k3 j
Es la fuerza horizontal que aparece en el apoyo (o sea, en correspondencia
con x 3 ) debido a la causa j .
Donde j varía de 1 a
n . En nuestro ejemplo, n
es igual a 3.
El análisis anterior es análogo para los términos de carga.
5
En nuestro ejemplo:
e 01
0
e1
3 Pb l b
16
Pa l a
8
e 01 
3  Pb   b Pa   a

0
16
8

e 01 
Pa   a 3  Pb   b

8
16
e02
0
e2
11 Pb
16
e0 2 
11  Pb
0
16

e0 2  
11  Pb
16
e03
0
e3
Pa
2
e03 
Pa
0
2

e03  
Pa
2
6
k11
k 11
3 Nb
4 Na
k11  3  Nb  4  N a  0

k11  3  Nb  4  N a
k12
3 Nb
k 12
k12 
3  Nb
0
b

k12 
lb
3  Nb
b
k13
k 13
6 Na
la
k13 
6  Na
0
a

k13  
6  Na
a
7
k 21
k 21
3 Nb
lb
k 21 
3  Nb
0
b

k 21 
3  Nb
b
k 22
k 22
3 Nb
l b2
E a Aa
la
k 22 
3  N b Ea  Aa

0 
2
a
b
k 22 
3  N b Ea  Aa

2
a
b
k 23
k 23
k 23  0  0

k 23  0
8
k31
k 31
6 Na
la
k31 
6  Na
0
a

k31  
6  Na
a
k32
k 32
k32  0  0

k32  0
k33
E b Ab
lb
k 33
12 Na
2
a
k33 
Eb  Ab 12 N a

0
2
b
a

k33 
Eb  Ab 12 N a

2
b
a
9
Sistema de ecuaciones de equilibrio

3  N b  4  N a

3 Nb


b

  6  Na

a

b)
3 Nb
b
3  N b Ea  Aa

2
a
b
0

 Pa   a 3  Pb   b 


16  0
  x1   8


11 Pb
  

  0 
0

x


2
  
16
  
  x3  
Pa

 0
Eb  Ab 12  N a 




2
2
b
 a 

6  Na
a
Por aplicación del P.T.V.
Habíamos visto, cuando establecimos el concepto de rigidez que las rigideces eran
causas estáticas debidas a efectos elásticos. En el caso más general un
kij , es el trabajo
que producen los efectos estáticos correspondientes con la causa [ Ci ] (S.E.), en el S.D.
debido a [ C j ]. Como en este caso las causas deformantes son elásticas y unitarias, un
kij es directamente la magnitud estática correspondiente con [ C i ], debido a [ C j ].
Así el
k13 de nuestro ejemplo es el par que se produce en correspondencia con x1 ,
cuando actúa x 3 . Por Betty, es igual, en magnitud, a la fuerza que se produce en
correspondencia con x 3 cuando actúa x1 ( k13 ).
0
En el caso de los términos de carga ( e i ), son las magnitudes en correspondencia
0
con x i debido al estado de cargas [ C ], que en este caso es estático.
10
ACLARACIÓN y RECORDATORIO
Tengamos en cuenta, que una vez que conocemos cuatro condiciones de borde y la
de variación de la carga, estamos en condiciones de conocer todos los parámetros
elásticos y estáticos que definen un tramo entre puntos singulares. Recordemos que
estos cuatro parámetros nacen de la ecuación de la elástica y sus sucesivas
integraciones.
q(x)
d4y
q

 y IV
4
EJ
dx
x
y
Q 
y III 
qx
 C1
EJ
M 
y II 
q  x2
 C1  x  C2
2 E  J
 
yI 
C  x2
q  x3
 1
 C 2  x  C3
6 E  J
2
 
y
C  x 3 C2  x 2
q  x4
 1

 C3  x  C 4
24  E  J
6
2
Es decir que siempre tenemos que tener definidas cuatro condiciones de borde, ya
sean elásticas o estáticas o sus combinaciones.
Nosotros podemos trazar los diagramas M y Q entre puntos singulares (A y B)
cuando por ejemplo conocemos
M A , M B , Q A y QB .
q(x)
MA
MB
QB
QA
Pero si también conocemos
 A , B ,  A
y
B ,
que son las incógnitas elásticas que
se obtienen por el método de las deformaciones, se pueden conocer las cuatro
constantes de integración, plantear la ecuación de la elástica y derivar sucesivamente
para así determinar los demás parámetros.
11
Gráficamente y a modo de ejemplo conceptual:

(4º)
A
B
+
i
I

(3º)
+
+
A
 II
M
B
(2º)
MB
+
MA
 III
Q
(1º)
QA
+
QB
12
 IV
(0º)
q
q(constante)
La barra en equilibrio:
q (x)
MA
MB
QB
QA
Veamos distintos casos de condiciones de borde:
A
B
A
0
B
A
B
A
A
B
0
0
0
0
0
0
0
0
0
B
0
MA
MB
B
A
0
0
0
0
QA
QB
0
Pero nosotros hemos seguido otro camino.
Hemos hallado, por ejemplo, las fuerzas extremas de barra para desplazamientos
unitarios (rigideces), aplicando el Método de las Fuerzas, mediante el P.T.V., que es otro
camino que conduce al mismo fin.
Volviendo a nuestro Método de las Deformaciones, conocidas las incógnitas
geométricas extremas de barras, podemos plantear, en forma similar al Método de las
Fuerzas, mediante el Principio de Superposición de Efectos:
13
n
a CI i  a 0 i   a ij  x j
j 1
Por lo tanto:
n
M CI i  M 0 i   M ij  x j
j 1
n
Q CI i  Q 0 i   Q ij  x j
j 1
n
N CI i  N 0 i   N ij  x j
j 1
Como en el caso del Método de las Fuerzas, podemos hallar el corte por equilibrio
de barras y el esfuerzo axil por equilibrio de nudos.
14
DISTINTOS SISTEMAS FUNDAMENTALES
Analizamos primero una estructura exteriormente hiperestática.
3
3
3
3
3
2
3
2
Cantidad de desplazamientos totales:
3 6  2  2
=
22
Cantidad de restricciones cinemáticas:
3 2
=
5
Grado de indeterminación cinemática:
22  5
=
17

Colocamos en cada nudo rígido libre un vínculo de tercera especie,
desacoplados.

Colocamos en cada nudo articulado libre un vínculo de segunda especie
que permita el libre giro, pero desacoplados.
Con lo que la estructura original se transforma en:
En cada vínculo agregado existe una incógnita elástica siendo estas, para este caso,
17 en total.
15
Analizamos ahora una estructura exteriormente isostática.
3
3
3
3
2
3
3
3
3
3
2
2
Cantidad de desplazamientos totales:
39  2 3
=
33
Cantidad de restricciones cinemáticas:
3
=
3
Grado de indeterminación cinemática:
33  3
=
30
Si considero que las barras que forman la estructura tienen una rigidez axil infinita
(“barras rígidas”):
Cantidad de barras:
Grado de indeterminación cinemática:
30  14
Cantidad de giros a restringir:
Cantidad de desplazamientos a restringir:
16  9
=
14
=
16
=
9
=
7
Con lo que resulta:
En cada vínculo agregado existe una incógnita elástica siendo estas, para este caso,
16 en total.
16
CRITERIO PARA LOCALIZACIÓN DE VÍNCULOS QUE IMPIDEN DESPLAZAMIENTO
(considerando rigidez axil infinita)
Cuando a un nudo convergen dos barras no colineales, que tienen sus extremos no
concurrentes al nudo, fijos, el nudo esta fijo.
En la siguiente estructura:
C
B
A
El nudo A, en virtud de las vinculaciones que posee, está fijo.
El nudo B también lo está, porque tiene impedida la traslación en la dirección del
vínculo simple y como suponemos a las barras axilmente rígidas, tiene impedida la
traslación en la dirección de la barra AB.
Como los nudos A y B están fijos, manteniendo la hipótesis de rigides axil infinita
de las barras, el nudo C lo está.
Analizando la siguiente variación de la estructura anterior:
C
B
D
A
Cantidad de desplazamientos totales:
3 4
=
12
Cantidad de restricciones cinemáticas:
3
=
3
Grado de indeterminación cinemática:
12  3
=
9
17
Si considero que las barras que forman la estructura tienen una rigidez axil infinita
(“barras rígidas”):
Cantidad de barras:
Grado de indeterminación cinemática:
94
Cantidad de giros a restringir:
Cantidad de desplazamientos a restringir:
16  9
=
4
=
5
=
4
=
1
El nudo B o C tiene un grado de indeterminación cinemática.
18
CRITERIO DE NUMERADOR DE LAS INCÓGNITAS
Análogamente al caso de resolución por el método de las flexibilidades, se intentará
una numeración que permita obtener una matriz banda:
x8
x9
x7
x5
x2
x1
x2
x3
x6
x4
x5
x1
x4
x7
x8
x3
x6
x9
Efectuando las deformadas correspondientes a cada caso, podemos ver fácilmente
como influyen entre sí las rigideces cruzadas.
1 2 3 4 5 6 7 8 9
x x
x
x
1 x
2
3 x
x
x x
x
4 x
x x
2 x x x x x x
x x x x x
3 x x x x x x
x
5
x x
6
x x x
1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 x x x x
x x
4 x x x x x x x
x x
5
x x x x x x x x
x x x x
6
x x x x x x x x
x x
x
7
x x x x x x
x x
8
x x x x x
9 x x x x x x x x x
9
x x x x x
7 x
8
x x
x x
x
x
x x
La cantidad de términos es el misma pero está mejor distribuida en el segundo
caso.
19
CALCULO DE LAS RÍGIDECES DE BARRA
1) Rigidez axil
l

l=1
 
P
 

E A E
Como:
  1
Resulta:
P
A E

20
2) Viga empotrada articulada
a) Desplazamiento transversal
l
=1
x 1=1
+
f11
x 1=1
Fundamental
con las cargas
=1
e01
Como:
f11  
1
1


=
EJ
3 E  J
Y siendo:
e 01 


Resulta:


 x1   0
3 E  J


x1  
3 E  J

2
Adoptando:
N
EJ

3N
l
3N
l2

3N
l
2

3N
l
21
b) Giro del borde empotrado
=1
e01
f11  x1  e01  0
Como:
e 01  
f11   M 1  dx
2
;

Resulta:
f11  x1   0
x1 
f11  x1    1

3 E  J
 3 N

3N
3N
l
3N
l
3N
+
22
3) Viga biempotrada
a) Desplazamiento transversal
l
x2=1
-
x1=1
M1
M2
+
e01
=1
e
0
2
Siendo:
e 01 


 e0 2
,
f11  f 22 

3 E  J
,
f12  f 21  

6 E  J
Analizando:




 3  E  J  x1  6  E  J  x2    0





 x1 
 x2   0
3 E  J

 6 E  J
Se llega a:
x1  x2  
6 E  J
6 N
  

2


6N
l
l2
12 N 
l2
6N 
l
12 N 
6N
l
+
6N 
l
23
b) Giro de un borde
=1
e01
Siendo:
e 01    1
Analizando:

 

x

 x2    1
1
3  E  J
6 E  J




 x1 
 x2  0
3 E  J
 6 E  J
Resulta:
x1 
4 E  J
 4 N

x2 
,
2 E  J
 2 N

6N
l
2N
4N
6N
l
-
4N
2N
+
24