Ejercicio del Dual y Sensibilidad

Ejercicios de Análisis de Sensibilidad
Ejercicio 1
Una compañía fabrica 4 modelos de escritorios, cada escritorio es primero construido en el taller de
carpintería y entonces es enviado al departamento de acabados, donde este es barnizado, encerado y pulido, se
proporciona a continuación la siguiente información:
1. Los insumos (materia prima y accesorios) están disponibles en cantidades suficientes y todos
los escritorios pueden ser vendidos.
2. La compañía desea determinar la mezcla óptima de productos tal que se maximice la ganancia.
3. Las limitaciones de capacidad por departamento par el próximo periodo de planeación son:
6000 hh en el taller de carpintería y 4000 hh en el de acabados.
4. Las horas hombre requeridas pr tipo de escritorio y sus ganancias se dan a continuación
1
4
1
12
Taller de carpintería (H.H)
Depto. de acabados (H.H)
Ganancias (en miles)
TABLA INICIAL:
XB X1 X2 X3
Zj-Cj -12 -20 -18
X5
4
9 7
X6
1
1 3
X4
-40
10
40
X5
0
1
0
2
9
1
20
ESCRITORIO
3
4
7
10
3
40
18
40
X6 LD
0 0
0 6000
1 4000
PREGUNTAS A CONTESTAR:
1.- UN NUEVO ESCRITORIO CON REQUERIMIENTOS DE LOS DEPARTAMENTOS DE
CARPINTERIA Y ACABADOS DE 5Y 8 HH RESPECTIVAMENTE Y UNA GAMNANCIA DE 2800
PESOS ES CONTEMPLADA, ES RENTABLE PRODUCIR ESTE ESCRITTORIO?. DE SERLO CUAL ES
LA MEZCLA DE PRODUCTOS?
C7=2800
5
a7=
8
Z7-C7=CB B-1 a7
4/5
-1/15
5
(12,40)
= 84/15
-1/50 4/150 8
POR LO TANTO LA SOLUCION OPTIMA NO CAMBIA Y EL PRODUCTO X7 NO ES RENTABLE.
LA MEZCLA DE PRODUCTOS ES:
ESCRITORIO TIPO 1: 1333
ESCRITORIO TIPO 2:
66
2.- CUANTO TIENE QUE SER INCREMENTADO EL PRECIO DE LOS ESCRITOTIOS TIPO 2 Y 3 PARA
HACERLOS RENTABLES Y SER PRODUCIDOS.
C’2= C2+2
El escritorio tipo 2 convendrá producirlo si Z2-C2 o -2 +20/3 o 2+20/3
C’2= 20+2
C’2=20+20/3=80/3 El precio del escritorio tipo 2 debe incrementarse en más de 20/3
C´3=C3+3
El escritorio tipo 3 convendrá producirlo en Z3-C3 o –3+10/3 o 3+20/3
C’3=18+3
C’3=18+10/3=64/3 El precio del escritorio tipo 3 debe incrementarse en más de 10/3
3.- A QUE VALORES DE REQUERIMIENTOS DE HORA AMBOS DEPARTAMENTOS HARAN EL
ESCRITORIO 2 SER RENTABLE PARA PRODUCIRSE? (A 12 Y/O 22)
9
12
a2=
a’’2=
1
12
12/5
B(a’’2)=
6/25
12/5
(12,40)
-20
=18.4
6/25
9
a2=
22
a’’2=
1
22
22/15
B (a’’29)
=50.4
11/25
Ni a12 ni a22 horas el escritorio tipo2 es rentable para producirse.
4.- MUESTRE QUE HASTA 571.34 ESCRITORIOS DEL TIPO 2 PUEDEN SER PRODUCIDOS SI C2 ES
INCREMENTADO EN 20/3. ¿CUAL ES LA MEZCLA RESULTANTE DE PRODUCTOS Y SU GANANCIA?
C’2=20/3
Z2-C’2=20/3+(20-80/3)=0
Z2-C’2=20
Cj
CB XB b
80/3 X2 4000/7
40
X4 600/7
Z=56000/3
Zj-Cj
Cj 12
C B XB
b
X1
12 X1 4000/3
1
40 X4 200/3
0
Z=56000/3
0
12 80/3 18 40
0
X1 X2 X3
X4 X5
3/7
1
5/7
0
4/35
1/70 0
2/35 1 -1/35
0
0
3.3
0
2.9
80/3
X2
7/3
-1/30
0
18
40
X3
X4
5/3
0
1/30 1
10/3
0
0
0
X5
X6
4/35
-1/15
-1/150 4/150
44/15 4/15 Zj-Cj
0
X6
-1/35
9/350
.26
5.- SI LA CAPACIDAD DEL DEPARTAMENTO DE ACABADOS ES INCREMENTAD EN 20000 HORAS
POR PERIODO DE TIEMPO, CUAL ES LA MEZCLA RESULTANTE DEL PRODUCTO Y LA NUEVA
GANANCIA?. CUAL VARIABLE BASICA SALE DE SOLUCION?
6000
b=
6000
b’=
4000
20000
4/5
-1/15
6000
-1/150
4/150
20000
B-1 b’=
=
Cj
CB XB
b
12 X1 266.666
40 X4 493.333
Z=22933
Zj-Cj
12 20
X1 X2
1 7/3
0 -1/30
0
6.6
266.666
493.333
18 40
0
0
X3 X4 X5
X6
5/3
0 4/15 -1/15
1/30 1 -1/150 4/150
3.3
0
2.93
.2666
La mezcla de productos resultante es:
Escritorios tipo 1: 267
Escritorios tipo 4: 493
La ganancia es de: 29333 y la base no cambia.
6.-SUPONGA QUE LA CAPACIDAD DEL TALLER DE CARPINTERIA HA REDUCIDO SU CAPACIDAD
A 900 HH, CUAL ES LA MEZCLA RESULTANTE DE PRODUCTOS Y SUS GANANCIAS OPTIMAS; Y
QUE VARIABLE SALE DE SOLUCION?
6000
900
b=
b’=
4000
4000
4/15
-1/15
900
-800/3
-1/150
4/150
4000
302/3
B-1 b’=
TABLA ÓPTIMA:
CB XB
40
X4
0
X6
Z=3600
Zj-Cj
Cj 12
b
X1
90
.4
400 -15
4
20 18
X2 X3
.9
.7
-35 -25
16 10
40
0
0
X4 X5 X6
1
.1
0
0 .94
1
0
4
0
La mezcla del producto es 90 del tipo 4 y la ganancia es de 3600 pesos y la variable que sale de solución es x1
7.- PARA QUE RANGO DE CAPACIDAD EN EL TALLER DE CARPINTERIA LA SOLUCION (XI,X4)
SIGUE SIENDO OPTIMA.
6000
b=
4000
4000/3+4/15
200/3-1/50
b1
b1
0
0
b1
b1
-5000
10000
-3000
b1
10000
Rango de capacidades del departamento de carpintería
(1000
b1
16000)
8.- SI UNA UNIDAD DEL ESCRITORIO 2 ES PRODUCIDA QUE CAMBIOS OCURRIRIAN EN LA TABLA
SIGUIENTE.
VARIABLE
CANT. DE CAMBIO
X2
X1
X4
+1
?
?
4/15
-1/15
-1/150
4/150
(12,20)
-20
-12
-40
COSTO DE CAMBIO
-20
?
?
= (44/15, 4/15)
VARIABLE
X2
X1
X4
COSTO-UNIDAD
CANT. DE CAMBIO
+1
44/15
4/5
COSTO-UNIDAD
-20
-12
-40
COSTO DE CAMBIO
-20
35.2
10.66
Ejercicio 2
Una fabrica produce tres productos, tres recursos (servicios técnicos, mano de obra y administración), y
son requeridos para producir estos productos. La siguiente tabla muestra los requerimientos de cada
uno de los recursos para los tres productos:
PRODUCTO
1
SERVICIOS
TECNICOS
1
2
1
3
HORAS
DISPONIBLES
MANO DE
OBRA
10
ADMINISTRACION
2
GANANCIA POR
UNIDAD
10
4
2
6
1
5
6
4
100
600
300
Para determinar la mezcla óptima de productos que maximice la mezcla la ganancia total, el siguiente
problema de programación lineal fue resuelto.
Max Z= 10 x1 + 6 x2 + 4 x3
sujeto a:
x1 + x2 + x3 <= 100
10x1 + 4x2 + 5x3 <= 600
2x1 + 2x2 + 6x3 <= 300
x1, x2, x3 >= 0
Donde x1, x2 y x3, es la cantidad de productos 1, 2 y 3 respectivamente producida.
La solución óptima está dada por la siguiente tabla donde x4, x5 y x6 son variables de holgura.
Cj
XB CB
b
x2
6
400/6
x1 10
200/6
x6
0 100
Z=4400/6
10
x1
0
1
0
0
6
x2
1
0
0
0
4
0
x3
x4
5/6 10/6
1/6 -4/6
4
-2
16/6 20/6
0
x5
-1/6
1/6
0
4/6
0
x6
0
0
0
zj-cj
Utilice dualidad y análisis de sensibilidad para contestar las preguntas
Siguientes:
a) Plantee el dual, e interprete de la tabla las w’s y ejemplifique con ellas.
b) Obtenga las w´s no directamente de la tabla y obtenga z optima por distintas
Formas.
c) Cual será la ganancia del producto 3 para que sea rentable producirlo? Encuentre la mezcla de
productos que arroje la mayor ganancia, si la ganancia del producto 3 se incrementa a $50/6.
d) Cual es el rango de las ganancias del producto 1 tal que la presente
Solución sea optima?
e) Se cree que las estimaciones de las horas disponibles en los servicios
Técnicos puede estar incorrecta. La estimación correcta es de 100+10l, donde l es un parámetro
desconocido. Encuentre el rango de valores l dentro del cual la mezcla de productos es aun optima.
f) El departamento de manufactura decide producir un nuevo producto que
Requiere 1 hora de servicios técnicos, 4 horas de mano de obra y 3 horas de administración. El
departamento de mercadotecnia y ventas predice que el producto puede ser vendido con una
ganancia por unidad de $8 ; será correcta la decisión tomada por este departamento?
g) Suponga que la compañía decide producir al menos 10 unidades del producto
3, determine la mezcla optima de los productos.
Ejercicio 3
Una compañía fabrica 2 tipos de alfombras: alfombras de lujo y la alfombra dentro-fuera. Ambos tipos son de
demanda popular y la cia. Puede vender todas las alfombras que el produce. Ambos tipos van primero al
departamento de hilados, es de 320 hrs/semana. En el departamento de ondulado para la alfombra de lujo es de 400
hrs/semana, y para la alfombra dentro-fuera. A continuación se muestra una tabla, hacerla de la capacidad de hrs.
Requeridas por metro.
PRODUCTO
3
4
1
2
.5
1.2
.8
.7
1 .2
DENTRO-FUERA
0
CONTRIBUCION
(METROS)
GANANCIA
6
DEPTO. DE HILADO
LUJO
5
6
1
.5
.5
.5
1
0
0
0
0
0
1
1
7
7
10
20
30
Max Z= 6 X1 + 7 X2 + 7 X3 + 10 X4 + 20 X5 + 30 X6
Sujeto a:
.5x1 + 1.2x2 + .8x3 + x4 + .5x5 + .5x6 < = 320
.7x1 + 1.2x2 + .5x3 + x4
< = 400
x5 + x6
< = 180
TABLA OPTIMA:
CB
6
0
30
CJ
XB b
X1 480
X8 64
X6 160
Zj
Zj-Cj
6
7
7
10
20
X1 X2 X3 X4 X5
1 2.4
1.6
2
0
0 -.48
-.62 -.4
0
0
0
0
0
1
6 14.4 9.6 12
0 7.4
2.6 2
30
10
30
X6
0
0
1
30
0
0 0
0
X7 X8 X9
2
0 -1
-1.4 1
.7
0
0 1
12
12
0 24
0 24
Como todos los Zj-Cj son > = 0 se tiene solución óptima
x*1=480; x*8= 64; x*6= 160; Z*=7680;
¿Cuál sería la solución óptima?
1.- SUPONGA QUE LA GANANCIA POR VENTA DEL PRODUCTO 2 CAMBIA DE 7 A 10.
2.- SI C4=10 CAMBIA A C´4=15.
3.- SUPONGA QUE LAS GANANCIAS DEL PRODUCTO 1 SE REDUCE DE 6 A 3.
Conteste las preguntas siguientes:
4.- SI LAS PERSONAS QUE FABRICAN EL PRODUCTO DENTRO-FUERA PERMANECIERA 1 HORA
EXTRA COMO CAMBIARIA LA SOLUCION OPTIMA.
5.- SI EL DEPARTAMENTO DE HILADOS ACUERDA TRABAJAR HORAS EXTRAS ¿CUÁNTAS HORAS
EXTRAS SIN QUE SE AFECTE LA SOLUCION OPTIMA DEL PROBLEMA? QUE RANGOS CORRE b?
6.- QUE CONTRIBUCION EXTRA SE OBTIENE SI LAS PERSONAS QUE PRODUCEN EL PRODUCTO
DENTRO-FUERA TRABAJARAN 60 HRS. EXTRAS A UN COSTO DE $5.00 POR HORA.
7.- SI UN CLIENTE IMPORTANTE DEMANDA 50 METROS DEL PRODUCTO 2; CUANTA
CONTRIBUCION SERIA PRODUCIDA PARA SATISFACER LA DEMANDA: