Derivadas de orden superior

Instituto Profesional de Chile
Ingeniería en Industrias
Cálculo
Modulo Nº 8
Derivadas
1. Objetivo del modulo
 Reconozca la interpretación geométrica de la derivada.
 Calcular derivadas utilizando las propiedades de éstas.
 Calcular derivadas de orden superior.
2. Desarrollo de Contenidos
Introducción:
“El conjunto de todas las funciones presenta una diversidad tal que es casi imposible
descubrir propiedades generales interesantes que convengan a todas ellas. Puesto que las
funciones continuas constituyen una clase restringida, cabría esperar que se hallaran
algunos teoremas no triviales para ellas... Pero los resultados más interesantes y más
penetrantes acerca de funciones sólo se obtendrán cuando limitemos aún más nuestra
atención a funciones que tienen mayor derecho aún a recibir el nombre de 'razonables', con
un comportamiento aún más regular que la mayor parte de las funciones continuas”
(Spivak, 181-2)
Incrementos: El incremento x de una variable x es el aumento o disminución que
experimenta, desde un valor x = x0 a otro x = x1 de su campo de variación. Así, pues,
x = x1 – x0
o bien
x1 = x0 + x
Si se da un incremento x a la variable x, (es decir, si x pasa de x = x0 a x = x0 + x), la
función y = f (x) se verá incrementada en y = f (x0 + x) - f (x0) a partir del valor y = f
(x0). El cociente:
y increm ento de y

x increm ento de x
recibe el nombre de cociente medio de incrementos de la función en el intervalo
comprendido entre x = x0 a x = x0 + x.
Pendiente
Si h  0 , entonces los dos puntos distintos (a,f(a)) y (a + h, f(a+h))) determinan,
como en la figura, una recta cuya pendiente es
f (a  h)  f ( a )
h
Como indica la figura , la 'tangente' en (a , f(a)) parece ser el límite, en algún sentido, de
estas 'secantes', cuando h se aproxima a 0. Hasta aquí no hemos hablado nunca del límite de
rectas, pero podemos hablar del límite de sus pendientes: La pendiente de la tangente (a
f(a)) debería ser
lim
h 0
f ( a  h)  f ( a )
h
Definición: Sea la función f diremos que f es derivable en a si existe:
y
f ( a  h)  f ( a )
 lim
x 0 x
h 0
h
lim
En este caso el límite se designa por f' (a) y recibe el nombre de derivada de f en a.
(Decimos también que f es derivable si f es derivable en a para todo a del dominio de f.)
Propiedades de derivación:
En las fórmulas siguientes u, v y w son funciones derivables de x, y c es una constante
1.
d (c )
 0 o bien si f(x) = c ==> f ’(x) = (c)’ = 0
dx
2.
d ( x)
 1 o bien si f(x)=x ==> f ’(x) = (x)’ = 1
dx
3.
d (xn )
 nxn1 o bien si f(x) = xn ==> f ’(x) = (xn)’ = n x n-1
dx
4.
d (u  v  w  ...) d (u ) d (v) d ( w)



 ...
dx
dx
dx
dx
o bien si f(x) = u(x)  v(x)  w(x)
==> f ’(x) = (u(x)  v(x)  w(x))’ = u’(x)  v’(x)  w’(x)
5.
d (cv )
d (v )
c
o bien si f(x)=c v(x) ==> f ’(x) = c v’(x)
dx
dx
6.
d (u  v)
d (v )
d (u )
u
v
o bien si f(x)= u(x) v(x) ==> f ’(x) = u(x) v’(x) + v(x) u’(x)
dx
dx
dx
v
d 
1 d (v )
c
7.   
dx
c dx
c  0 o bien si f(x)=[v(x)/c] ==> f ’(x) = [1/c] v’(x)
c
d 
c d (v )
v
8.    2
dx
v dx
v  0 o bien si f(x)=[c /v(x)] ==> f ’(x) = [c / v2(x)] v’(x) v  0
u
d   u dv  v du
v
9.    dx 2 dx
dx
v
v0
o bien si f(x)=[u(x) /v(x)] ==> f ’(x) = [u v’(x)-v u’(x)] / v2(x) v  0
10.
d (u (v( x)) d (u ) d (v)


dx
dx
dx
regla de la cadena
o bien si f(x) = u(v(x)) ==> f ’(x) = (u o v)’(x) = u’(v(x)) v’(x)
Ejemplo:
1) Determine la derivada de f ( x)  5
df ( x) d (5)

0
dx
dx
como es un función constante su derivada es cero
2) La derivada de f(x) = 3x2 – x
df ( x) d (3x 2  x) d (3x 2 ) d ( x)



dx
dx
dx
dx
3
d (x2 )
1
dx
pues la función es continua
por propiedad (5) y (1)
 3(2 x 21 )  1
por propiedad (3)
 6x 1
operamos y obtenemos la solución
Derivadas de orden superior
Como la derivada de una función es otra función, entonces podemos a esta
función derivada tratar de hallar su derivada. Si hacemos tal cosa, el resultado es de
nuevo una función que pudiera ser a su vez derivable. Si continuamos así una y otra vez,
tenemos lo que se conoce por derivadas de orden superior.
Ejemplo:
1) Si f(x) = 6x3 - 5x2, entonces la:
primera derivada es : f’(x) = 18x2 - 10x
segunda derivada es: f"(x) = 36x - 10
tercera derivada es : f’’’(x) = 36
cuarta derivada es : f(4)(x) = 0
n-ésima derivada es : f(n) (x) = 0
Nota: Si f’(x) representa la pendiente de la gráfica de f, entonces f"(x) representa la
pendiente de la gráfica de f’. Así también, f’’’(x) representa la pendiente de la gráfica de f".
3. Evaluación
1) La derivada de f(x) = x2 (x – 2)4
2) La derivada de f(x) = x4 (1 – 2 /(x+1))
3) Encuentre la derivada de f(x) = (2x+1)3
4) Encuentre la derivada de f(x) = (x2 +4x – 5)4
5) Encuentre la derivada de f(x) = (x2 +4) -3
6) Encuentre la derivada de f(x) = (10x4 + 8x3) (5x4 + 2x)
7) Encuentre la derivada de f(x) = 3x -5 / (8x2 + 5x)
8) Si f(x) = -x4 + 2x3 + x + 4, halla f’’’(-1).
9) Halla las primeras cuatro derivadas de f(x) = 2/x
Solución a los ejercicios propuestos:
1) La derivada de f(x) = x2 (x – 2)4
df ( x) d ( x 2 ( x  2) 4 )

dx
dx
vemos que existe el producto de 2 funciones x2 y (x-2)2
 x2
d ( x  2) 4
d (x2 )
 ( x  2) 4
se aplicando propiedad (6)
dx
dx
 x2
d ( x  2) 4
d (x2 )
d ( x  2) 2
 ( x  2) 4
aplicando propiedad (10) a x 2
queda
dx
dx
dx
 x 2 [4( x  2) 41 ]
d ( x  2)
d ( x  2)
d (x2 )
 ( x  2) 4
operando en
dx
dx
dx
2
d (x2 )
 d ( x) d (2) 
4 d (x )
aplicando
(3)
en
queda
 x [4( x  2) ]  

 ( x  2)
dx
dx 
dx
 dx
2
3
 x 2 [4( x  2)3 ] [1  0]  ( x  2) 4 [2x 21 ]
 4 x 2 ( x  2)3  2x( x  2) 4
luego el resultado es
factorizando por 2x(x – 2)3
 2 x ( x  2) 3 ( 2 x  ( x  2) )
 2 x ( x  2) 3 (3 x  2)
2) La derivada de f(x) = x4 (1 – 2 /(x+1))
Haciendo u(x) = x4 y v(x) = (1 – 2 /(x+1))
Aplicando la propiedad (6) f(x) = u(x) v(x) ==> f ’(x) = u(x) v’(x) + v(x) u’(x)
Por lo tanto f ’(x) = x4 (1 – 2 /(x+1))’ + (1 – 2 /(x+1)) (x4)’
Luego f ’(x) = x4 [(1)’ – (2 /(x+1))’] + (1 – 2 /(x+1)) 4x4-1
Como (2 /(x+1))’ = [2/(x+1)2] (x+1)’ = [2/(x+1)2] [x’+1’] =
= [2/(x+1)2] [1+0] = 2/(x+1)2
Luego f ’(x) = x4 [0 – 2 /(x + 1)2] + (1 – 2 /(x + 1)) 4x3
Entonces f ’(x) = 2x4 /( x + 1)2 + (1 – 2 /(x+1)) 4x3
3) Encuentre la derivada de f(x) = (2x+1)3
Aplicando la regla de la cadena f ’ (x) = ((2x + 1)3)’
Luego
f ’(x) = 3(2x+1)3-1 [(2x+1)’]
Así
f ’(x) = 3(2x+1)2 [(2x)’+(1)’]
Entonces
f ’(x) = 3(2x+1)2 [2 + 0]
Por lo tanto
f ’(x) = 6( 2x + 1)2
4) Encuentre la derivada de f(x) = (x2 +4x – 5)4
Aplicando la regla de la cadena f ’ (x) = ((x2 +4x – 5)4)’
Luego
f ’(x) = 4(x2 +4x – 5)4-1 [(x2 +4x – 5)’]
Así
f ’(x) = 4(x2 +4x – 5)3 [(x2)’ +(4x)’ – (5)’]
Entonces
f ’(x) = 4(x2 +4x – 5)3 [2x + 4 – 0]
Por lo tanto
f ’(x) = 4(x2 +4x – 5)3 (2x + 4)
5) Encuentre la derivada de f(x) = (x2 +4) -3
Aplicando la regla de la cadena f ’ (x) = ((x2 +4) -3)’
Luego
f ’(x) = -3(x2 +4) -3-1 [(x2 +4)’]
Así
f ’(x) = -3 (x2 +4)-4 [(x2)’ +(4)’]
Entonces
f ’(x) = -3(x2 +4)-4 [2x + 0]
Por lo tanto
f ’(x) = -3(x2 +4)-4 (2x) = -6x(x2 +4)-4
6) Encuentre la derivada de f(x) = (10x4 + 8x3) (5x4 + 2x)
Aplicando la derivada de un producto f ’(x) = [(10x4 + 8x3) (5x4 + 2x)]’
==> f ’(x) = (10x4 + 8x3)’ (5x4 + 2x) + (10x4 + 8x3) [(5x4 + 2x)]’
==> f ’(x) = [(10x4)’ + (8x3)’] (5x4 + 2x) + (10x4 + 8x3) [(5x4)’ + (2x)’]
==> f ’(x) = [40x3 + 24x2] (5x4 + 2x) + (10x4 + 8x3) [(20x3 + 2]
==> f ’(x) = [40x3 + 24x2] (5x4 + 2x) + (10x4 + 8x3) [(20x3 + 2]
7) Encuentre la derivada de f(x) = 3x -5 / (8x2 + 5x)
aplicando a propiedad (9) f ' ( x) 
(3x 5 )(8x 2  5x)'(8x 2  5x)(3x 5 )'
(8x 2  5x) 2
(3x 5 )[(8x 2 )'(5x)' ]  (8x 2  5x)3(5x 51 )
==> f ' ( x) 
(8x 2  5x) 2
==> f ' ( x) 
(3x 5 )[(8(2 x 21 ))  (5(1x11 ))]  (8x 2  5x)(5x 6 )
(8x 2  5x) 2
==> f ' ( x) 
(3x 5 )[16x  5]  (8x 2  5x)(5 x 6 )
(8x 2  5 x) 2
==> f ' ( x) 
(3x 5 )[16x  5]  5x 6 (8x 2  5x)
(8x 2  5x) 2
8) Si f(x) = -x4 + 2x3 + x + 4, halla f’’’(-1).
primera derivada es : f’(x) = (-x4 + 2x3 + x + 4)’ = -4x3 + 6x2 + 1
segunda derivada es: f"(x) = (-4x3 + 6x2 + 1)’ = -12x2 + 12x
tercera derivada es : f’’’(x) = (-12x2 + 12x)’ = -24x + 12
9) Halla las primeras cuatro derivadas de f(x) = 2/x
primera derivada es : f ’(x) = (2/x)’ = (2x-1)’ = 2(-1)x -1-1 = -2 x -2
Por lo tanto f ’(x) = -2 x -2 ; f ’’(x) = 4 x -3; f ’’’(x) = -12 x -4; f ’’’’ (x) = 48 x -5
4. Bibliografía
1. Larson, Roland. “Cálculo y Geometría Analítica”, McGraw Hill, Quinta edición,
España, 1997, Volúmenes uno y dos.
2. Leithold, Louis. “Cálculo con Geometría Analítica”, Harla, sexta edición, 1992.
3. Swokoswski, Earl. “Cálculo con Geometría Analítica”, Editorial Iberoamérica, segunda
edición, 1989.
4. Ayres, Frank. Mendelson, Elliott. “Cálculo”, Schaum McGraw Hill, cuarta edición,
Colombia, 2003.
5. Thomas, George. Finney, Ross. “Cálculo con geometría analítica”, Addison-wesley
iberoamericana, U.S.A., 1987.
6. Purcell, Edwin. Varberg, Dale. “Cálculo”, Pearson educación (Prentice Hall), sexta
edición, México, 1992.
7. Piskunov, N. “Cálculo diferencial e integral”, Limusa, 1997.