Analisis estructural

ANÁLISIS ESTRUCTURAL
El Análisis Estructural es la parte de la Mecánica que estudia las ESTRUCTURAS,
consistiendo este estudio en la determinación de los esfuerzos y deformaciones a que
quedan sometidas, por la acción de agentes externos (cargas gravitatorias, fuerzas
sísmicas, de vientos, variaciones térmicas, etc.)
Las estructuras se componen de una o más piezas ligadas entre sí y al medio exterior,
de modo de formar un conjunto estable. Esto es, un conjunto capaz de recibir cargas
externas, resistirlas internamente y transmitirlas a sus apoyos, donde esas fuerzas
externas encontrarán su sistema estático equilibrante.
Las piezas que componen una estructura poseen evidentemente tres dimensiones. En
general pueden ocurrir dos casos:
Dos dimensiones son pequeñas con relación a la tercera: le llamaremos barra y
estará representada por su eje (lugar geométrico del centro de gravedad de su
sección transversal), por ejemplo: vigas, columnas (figura MI-1a).
Una dimensión es pequeña con relación a las otras dos. Es el caso de las losas o
placas, cuyo espesor es pequeño respecto a su superficie (figura MI-1b).
En nuestro curso, en su primera parte, realizaremos el estudio de estructuras diseñadas
con material homogéneo (madera, hierro) y en la segunda parte, estructuras en
hormigón armado como material heterogéneo.
CONCEPTOS FUNDAMENTALES - Fuerza
El concepto de fuerza es un concepto primario, su definición no es sencilla. La noción
de fuerza es fundamentalmente intuitiva: podemos ejercer una fuerza sobre un
cuerpo por medio de un esfuerzo muscular; una locomotora ejerce fuerza sobre los
vagones que arrastra; un resorte estirado ejerce fuerza sobre las piezas que fijan sus
extremos etc. En todos los casos son fuerzas por contacto.
Hay también fuerzas de acción a distancia, es decir, sin
contacto, debidas a la existencia de campos
gravitatorios, eléctricos, magnéticos, etc.
De todas maneras la noción intuitiva sugiere que la
fuerza es una cantidad VECTORIAL, es decir, con
dirección, magnitud o intensidad y sentido (figura MI-2).
Momento de una fuerza
En general, una fuerza aplicada sobre un cuerpo produce una traslación, si está en
reposo y no impedido su movimiento.
En el caso de la figura MI-3, hay un punto
O impedido de trasladarse, entonces el
cuerpo girará alrededor del punto O por
acción de la fuerza P.
La rotación se mide por el MOMENTO que
es el producto de la intensidad de la fuerza
P por la mínima distancia que va desde el
punto O hasta la línea de acción de la
fuerza:
M = P x d (la mínima distancia desde un
punto hasta una recta se mide sobre la
perpendicular a dicha recta)
Fuerzas concurrentes coplanares: Resultante
Supongamos un muro de mampostería el cual está solicitado por las fuerzas P1, P2,
P3, y P4, las que están contenidas en su plano (figura MI-4).
Sea S el punto de concurrencia de sus rectas de acción. El efecto de estas fuerzas es
equivalente al de una fuerza resultante única R, cuya recta de acción debe pasar,
naturalmente, por S.
Para encontrar la magnitud, dirección y sentido de la resultante se procede de la
siguiente manera:
Partir de un polo M (figura 5), se lleva a escala de fuerzas, una a continuación de la
otra, las fuerzas P1, P2, P3, P4. La recta que une el origen de la primera con el extremo
de la última define la resultante del sistema (suma de vectores gráficamente).
Se comprende que el muro, con las fuerzas actuantes, no está en equilibrio, sino que
tiende a desplazarse en la dirección de la resultante, y podemos establecer que:
“Para que un sistema de fuerzas concurrentes esté en equilibrio, es decir, para que su
resultante sea nula, es necesario que el polígono de fuerzas construido a partir de un
origen M cualquiera, sea cerrado.”
En el ejemplo planteado, para lograr el equilibrio, el terreno deberá reaccionar con
una fuerza igual y de sentido contrario a R, y aplicada en su misma recta de acción.
Equilibrio de fuerzas: solución gráfica
Estudiaremos el tema planteándonos la
resolución del sistema que ilustra la figura MI6. Un peso de 1000 kg. está soportado por
dos cables, CA y CB.
Se pide encontrar los esfuerzos en los cables,
y la magnitud, dirección y sentido de cada
reacción de apoyo.
Para que el punto C esté en equilibrio, los
cables CA y CB tendrán que realizar
esfuerzos tales que la suma vectorial sea
igual a cero, es decir, un polígono cerrado.
Se dibuja la carga conocida (a escala de fuerzas)
y por sus extremos trazamos rectas paralelas a la
dirección de los cables (figura MI-7).
Así nos quedan definidos inmediatamente dos
segmentos que nos dan la magnitud, en la misma
escala, del esfuerzo de cada cable Sa y Sb. El
sentido se lo colocamos de manera que la suma
(P + Sa + Sb) sea igual a cero (polígono cerrado).
Sa y Sb (llevados a la figura MI-6) son los esfuerzos
que los cables realizan sobre el punto C para
mantenerlo en equilibrio.
Ahora aislemos uno de los cables, por
ejemplo el CB y veamos qué fuerzas
exteriores a él actúan (figura MI-8).
En el extremo C está el esfuerzo Sa del
otro cable y la carga de 1000 kg, que
sumados vectorialmente, es decir,
uniendo el origen del primero con el
extremo del último, da la resultante Rm,
en dirección, magnitud y sentido, que
actúan en el extremo C.
Para que el cable CB esté en equilibrio,
en el extremo B deberá aparecer una
fuerza igual y de sentido contrario a
Rm, que será precisamente, la
reacción en el apoyo B (RB).
Observando el cable CB en la figura MI-8 vemos
que está en equilibrio, y como las fuerzas
exteriores lo están tratando de alargar, decimos
que está traccionado.
Idéntico razonamiento se puede hacer con el
cable CA, en donde vemos que en el extremo C
actúan P y Sa (figura MI-9).
Sumados vectorialmente P y Sa, da la fuerza
resultante Rn. El equilibrio del cable CA se logra
por la fuerza reactiva RA del apoyo A.
Equilibrio de fuerzas: solución analítica
Veamos cómo se determinarían
analíticamente las incógnitas RA y RB en
el caso del problema que ilustró la
figura MI-6 y que se repite en la figura
MI-10, anotando los ángulos que forman
las fuerzas concurrentes (RA, RB y P).
Las ecuaciones que posibilitan la
solución analítica del problema surgen
de la misma exigencia de polígono
cerrado. Si el polígono formado por
cargas y reacciones (fuerzas
concurrentes) está cerrado, la suma de
las proyecciones de estas fuerzas sobre
cualquier sistema de ejes ortogonales x
e y, contenidas en su plano de acción,
vale cero.
Así se llega a las conocidas ecuaciones de equilibrio:
Fxi = 0
Fyi = 0
Donde Fxi y Fyi designan, las proyecciones de una cualquiera de las fuerzas exteriores
sobre los ejes x e y, respectivamente, y la sumatoria se debe extender a todas las
fuerzas del sistema.
Proyectando las fuerzas de la figura 10 sobre un par de ejes ortogonales x e y, y
fijando a priori el sentido de las reacciones, resultan las siguientes ecuaciones de
proyección, que hacemos igual a cero por tratarse de un sistema de fuerzas en
equilibrio:
Fx = 0
-RA + RB x cos 45 = 0
Fy = 0
- P + RB x sen 45 = 0
Desplazamiento de una fuerza a una dirección paralela a sí misma
En el gráfico central de la figura MI-11 podemos observar que si mantenemos la
fuerza P en su ubicación original y agregamos en otro punto cualquiera dos fuerzas P
opuestas entre sí (en este ejemplo ubicadas en el centro del plano), el sistema
resultante es equivalente al primero.
El nuevo sistema está constituido por la fuerza P dirigida hacia abajo en el punto
central, y por una cupla o par de fuerzas (formada por las otras dos), de Momento
igual a M = P x a y este nuevo sistema es equivalente al original.
No se altera el efecto cinemático de una fuerza P desplazándola paralelamente a su
línea de acción, a la distancia a, siempre que se agregue una cupla de momento P
x a.
Fuerzas coplanares no concurrentes
Para determinar la intensidad, dirección y sentido de la resultante aplicamos el
método gráfico o analítico visto anteriormente.
En cuanto a la posición de la línea de acción de la resultante, se determina
calculando su brazo de palanca r desde un punto cualquiera del plano, considerado
centro de momento, mediante el Teorema de Momentos de Varignon: “El momento
de la resultante de cualquier sistema de fuerzas respecto a un punto es igual a la
suma algebraica de los momentos de las componentes”.
Como ya conocemos el valor de la resultante, será suficiente despejar de la
ecuación anterior el valor del brazo de palanca r desde el punto T elegido como
centro de momentos, y por donde pasará la resultante:
Condiciones de equilibrio
Para un cuerpo, sometido a la acción de fuerzas exteriores, estar en equilibrio
significa que dichas fuerzas no provocan traslación alguna ni rotación del cuerpo.
Consideremos nuevamente la figura MI-12 (a) y agreguemos una sexta fuerza P6 de
valor igual y de sentido contrario a la resultante, pero que no coincida con la
posición de la misma, tal como indica la figura MI-13.
Es evidente que si se construyera un polígono con las fuerzas dadas, éste resultaría
cerrado, es decir, resultante nula. Sin embargo, el cuerpo no está en equilibrio.
El cuerpo está sometido a una cupla resultante que tiende a hacerlo girar en sentido
horario.
Vamos a establecer qué condición analítica debe cumplirse para asegurar que no
rote, es decir, que no exista cupla resultante.
Si en la figura MI-13 tomamos momentos de todas las fuerzas respecto al punto T,
llegaríamos a la conclusión que:
MT = R x r
Es decir, con el agregado de la fuerza P6 = 9,1t hemos logrado resultante nula (notraslación), pero no el equilibrio a la rotación.
Evidentemente el equilibrio, es decir, la inexistencia de una cupla resultante, exige
que R x r = 0, es decir, M = 0, cosa que se lograría si P6 tuviera la misma recta de
acción que R.
LAS CONDICIONES DE EQUILIBRIO DE UN SISTEMA DE FUERZAS SON:
POLÍGONO DE FUERZAS CERRADO Y CUPLA RESULTANTE NULA.
• De la condición de polígono de fuerzas cerrado se deduce: la suma algebraica de
las proyecciones de las fuerzas dadas, sobre un par cualquiera de ejes ortogonales,
debe ser cero.
• De la condición que establece cupla resultante nula se deduce: la suma
algebraica de los momentos de todas las fuerzas, respecto de cualquier punto del
plano, debe ser igualmente nula.
Estas condiciones se expresan analíticamente mediante las siguientes ecuaciones de
equilibrio:
Fx = 0
Fy = 0
M=0
En donde Fx y Fy son las proyecciones ortogonales de cada una de las fuerzas F, y M
el momento de cada una de las fuerzas respecto de un punto del plano.
La sumatoria se extiende a todas las fuerzas del sistema.
APOYOS
Grados de libertad - Estabilidad
Hemos visto que las fuerzas en un plano pueden producir traslaciones y rotaciones. La
traslación puede expresarse por sus dos componentes, según ejes ortogonales, y la
rotación alrededor de un eje perpendicular al plano que contiene a las fuerzas.
Diremos que una estructura plana posee tres grados de libertad (dos de traslación y
una de rotación).
Es evidente que estos grados de libertad deben ser restringidos para evitar toda
tendencia al movimiento de la estructura y lograr su equilibrio. Esta restricción está
dada por los apoyos, los que deben impedir las diversas posibilidades de movimiento;
aparecen las reacciones en estos apoyos formando este conjunto (de cargas y
reacciones) un sistema de fuerzas en equilibrio.
La función de estos apoyos es restringir los grados de libertad de la estructura,
apareciendo reacciones en la dirección de los movimientos impedidos.
a) Apoyo de primer género: impide desplazamiento en la dirección perpendicular al
plano de apoyo (figura MI-14).
b) Apoyo de segundo género o articulación: impide traslaciones en cualquier
dirección, permitiendo sólo rotaciones (figura MI-15).
La dirección de la reacción puede ser cualquiera pero siempre podrá ser
representada por sus dos componentes V y H. No es obligación descomponer la
reacción de apoyo en ejes ortogonales, se puede descomponer en dos direcciones
cualquiera.
c) Apoyo de tercer género o empotramiento: este tipo de apoyo impide todo tipo de
movimiento de la estructura (dos traslaciones y una rotación) (figura MI-16).
Para aprender cómo se realiza el Cálculo de Reacciones de Apoyo vea los ejercicios
Estaticidad, equilibrio y estabilidad
Hemos visto que la función de los apoyos es limitar los grados de libertad de una
estructura. Pueden ocurrir tres casos:
• Los apoyos son los estrictamente
necesarios para impedir todos los
movimientos posibles de la
estructura. En éste caso el número
de reacciones de apoyo es igual al
número de ecuaciones de equilibrio
disponibles (número de incógnitas =
número de ecuaciones).
Diremos así que se trata de una
estructura ISOSTÁTICA, ocurriendo
una situación de equilibrio estable;
ante cualquier deformación
impuesta a la estructura, ésta tiende
a volver a su situación inicial (figura
MI-17).
• Los apoyos son en número
inferior a lo necesario para
impedir todos los movimientos
posibles de la estructura.
En este caso tenemos más
ecuaciones que incógnitas. Se
trata de una estructura
HIPOSTÁTICA. Puede ocurrir una
situación de carga para la cual
se consigue equilibrio, pero se
trataría de equilibrio inestable,
pues cualquier deformación
impuesta a la estructura
tenderá a seguir hasta su ruina
(figura MI-18). Las estructuras
hipostáticas son inadmisibles
para las construcciones.
• En el tercer caso los apoyos son en número superior a lo necesario para impedir
todos los movimientos posibles de la estructura. En este caso el número de
ecuaciones es inferior al número de incógnitas, produciendo un sistema
indeterminado. Las ecuaciones de la estática no son suficientes para determinar las
reacciones de apoyo, siendo necesarias ecuaciones adicionales de compatibilidad
de las deformaciones, que se verán en otros cursos.
Estas estructuras son HIPERESTÁTICAS, siendo el equilibrio estable. Podríamos decir un
poco impropiamente, que el equilibrio es más que estable.
Observación
Existe también otro
tipo de equilibrio
inadmisible para las
construcciones y es
el equilibrio
indiferente. Es
cuando, al actuar
una pequeña
fuerza, la estructura
se traslada, y si deja
de actuar la fuerza,
se restablece el
equilibrio, pero en
otro lugar (figura MI19).