Prueba Final Tema N° 1 En un pueblo de Galilea, se pueden

Prueba Final
Tema N° 1
En un pueblo de Galilea, se pueden cambiar tres peces por dos panes y un pan por cuatro
libras de arroz, ¿Cuántas libras de arroz hay que dar por un pez?
a) 3
b) 1
8
2
c) 3
4
d) 2
2
3
e) 3
1
3
Resolución
Del problema sabemos que :
3 peces = 2 panes
1 pan = 4 libras de arroz
partiendo de 1 pez, tenemos:
1 pez x
8
2
2 panes
4 libras de arroz
  2 libras de arroz
x
3
3
1 pan
3 peces
Tema N° 2
En el tablero de la figura hay cuatro casillas ocupadas.
Escribir en cada una de las seis casillas
vacías un número ( no necesariamente
entero ) de modo que una vez completo el
tablero con los diez números, se verifique
que el número escrito en cada casilla sea
igual a la suma de los dos números
escritos en las dos casillas sobre las que
está apoyada
Resolución
Colocando una variable X a la carilla vacía de la base del tablero, tenemos
De ahí que se debe plantear la ecuación :
2x  3  x  6  14
3x  9  14
3x  5
x5
3
por lo tanto el tablero queda de la siguiente forma:
Tema N° 3
Mi amiga Jéssica, está muy contenta con su nuevo celular Portalegro South, según ella
quitando el 09 (que es común para todos los celulares), su número telefónico es el único que no
tiene ninguna cifra repetida, no contiene el cero, es par, empieza con su número favorito el 3 y
además las dos primeras cifras constituyen un múltiplo de 2, las tres primeras cifras
constituyen un múltiplo de 3, las 4 primeras un múltiplo de 4, y así sucesivamente hasta
completar el número total de 7 dígitos que es múltiplo de 7. Descubre el número de celular de
mi amiga Jéssica para poder enviarle un mensajito.
Resolución
Sabemos que todo número celular, tiene la forma : 09ABCDEFG
Al quitarle el 09, el número toma la forma:
ABCDEFG
Debido a que comienza en 3, entonces A = 3
Debido a que los cinco primeras cifras forman un número que es múltiplo de 5, entonces E
puedes ser 0 o 5, pero debido a que ninguna cifra puede ser 0, entonces la única alternativa
es que E = 5.
Por otro lado las posiciones B,D,F,G, van a ser ocupados por cantidades pares por los criterios
de divisibilidad para 2, 4, 6 y porque el número final es par. De ahí que la posición C puede ser
ocupada por los impares no utilizados ( 1, 7 o 9 )
Por ensayo y error podemos llegar a la respuesta:
3692584
Tema N° 4
El producto de 4 enteros positivos consecutivos es 3024 ¿ Cuáles son estos números?
Resolución
El número 3024 no termina ni en 0 ni en 5; de ahí que ninguno de los números es múltiplo de
5 o de 10. Si los números son mayores de 10, entonces el producto de ellos es mayor que 10000
por lo que esto descartamos esta posibilidad de lo anterior podemos considerar las siguientes
secuencias de números consecutivos
1–2–3–4 y
6–7–8–9
por lo tanto la solución es : 6 – 7 – 8 – 9
Tema N° 5
Dos Obreros que trabajan en la regeneración urbana de Guayaquil, se reparten un grupo de
100 adoquines en dos partes no exactamente iguales, pero en proporciones similares
(intentando repartir “al ojo” mitad - mitad). El primero transporta los adoquines en grupos de
5 y el segundo lo hace en grupos de 7. En el último viaje de cada uno para terminar su montón,
el primero transporta 2 adoquines y el segundo 4 ¿cuántos adoquines transportó cada uno?
Resolución
Llamemos “X” la cantidad de adoquines del primer obrero y “Y” la cantidad del segundo
“X” debe dejar residuo 2 al ser dividido para 5 ; por lo tanto “X” será un número terminado
en 2 o en 7. Como X + Y = 100 tenemos las siguientes posibilidades.
“Y” debe dejar residuo 4 al ser dividido para 7; de ahí que sólo quedan 3 pares que cumple
82 – 18 ; 47 – 53 ; 12 – 88 ;
por la distribución inicial casi similar sólo satisface 47 – 53.
Tema N° 6
Se ha acomodado los números del 1 al 9 (sin repetir) en un cuadrado 3 x 3 con las siguientes
condiciones:
El número de 3 cifras de la segunda fila es el doble del número de la primera. El número de 3
cifras de la tercera fila es el triple del de la primera fila.
Encuentra 2 distribuciones del cuadrado que cumplen con las condiciones. ( existen más )
Resolución
Considerando el siguiente cuadrado:
A
B
C
D
E
F
G
H
I
El número A puede ser 1 , 2 o 3 debido a que los números formados deben ser de 3 cifras,
caso contrario el número en la tercera fila bajo las condiciones del problema sería de cuatro
cifras, por otro lado el número D E F debe ser par y el número G H I debe ser múltiplo de 3
además hay que considerar la relación : A < D < G debido a las condiciones del problema.
De ahí que por ensayo por error, tenemos las siguientes distribuciones:
1
9
2
2
1
9
2
7
3
3
8
4
4
3
8
5
4
6
5
7
6
6
5
7
8
1
9
3
2
7
6
5
4
9
8
1
Tema N° 7
Los puntos M y N son puntos medios de los lados PA y PB del  PAB. Si el punto P se
mueve sobre una línea recta paralela al lado AB:
I)
La longitud del segmento MN no cambia
II)
III)
IV)
El perímetro del  PAB no cambia
El área del  P A B sí cambia
El área del trapecio A B N M no cambia
¿Cuáles de las anteriores afirmaciones respectivamente son verdaderas y falsas?
a) V F V F
b) V F F V
c) V V F F
d) F F V V
e) F V V F
Resolución
Del gráfico, tenemos que :
Debido a que M y N son los puntos medios de
los segmentos AP Y BP respectivamente
entonces el segmento MN es paralelo a AB
de ahí que tenemos que los ángulos
<PMN y < PAB son correspondientes, es
decir: < PMN = < PAB = 
Por otro lado, tenemos que:
Para el triangulo MPN ,aplicando la ley del seno:
sen  sen

PN
MN
sen  PN

sen  MN
Para el triángulo  A P B , aplicando la ley seno:
sen  sen 

PB
AB
sen  PB

sen  AB
Con estos resultados podemos decir que:
sen  PN PB


sen  MN AB
Debido a que N es el punto medio del segmento PB , entonces: PB  2 PN
Si usamos este resultado, tenemos :
PN 2 PN

MN
AB
MN 
AB . PN
2 . PN
MN 
AB
2
Debido a que AB es fijo ( constante )
 MN también lo es, decir no cambia por lo tanto ( I ) es verdadero
por otro lado: Per PAB = AB  AP  BP debido a que el punto P se mueve sobre la línea recta,
AP y BP cambiar y por ende Per. PAB también cambia , por lo tanto (II) es falso.
El área del triángulo PAB
no cambia debido a que AB es constante y la altura
también, por lo tanto ( III) es falso
Finalmente el área del trapecio A B N M, es :

A trapecio A B N M = AB  MN
 12
Debido a que AB , MN y h son constantes, entonces el área del trapecio también lo es; por lo
tanto IV es verdadera
De ahí que el literal a escoger es el ( B )
Tema N° 8
Empezando con 46 se forma una secuencia de dígitos colocando a cada paso, a continuación del
último número escrito , el producto de los dos últimos dígitos que se escribieron ( los primeros
5 dígitos son ; 4 6 2 4 8 .................)
Aclaración: 4 x 6 = 24; luego los dos últimos dígitos son 2 y 4, su producto es 8 y así se sigue.
Calcular el dígito que está en la posición 2004.
Resolución
Podemos continuar con la secuencia para observar su comportamiento:
4 6 2 4 8 3 2 6 1 2 2 4 8 3 2 6 1 2 2 4 8 3 2 6 1 2........................................................................
De ahí que nos damos cuenta que la secuencia 2 4 8 3 2 6 1 2 se repite consecutivamente, ésta
secuencia tiene 8 dígitos, or lo que podemos plantear la ecuación:
2 + 8x = 2004
8x = 2004
8x = 2002
8x =
2002
8
x = 250.25
donde 2 corresponde a los 2 primeros dígitos ( 46 ) y X es el número de secuencias con este
resultado, nos damos cuenta que han pasado 250 secuencias del número 2 4 8 3 2 6 1 2
de ahí que :
2 + 8 ( 250 ) = 2002 dígitos
por lo tanto para completar los 2004 dígitos, el número es el 4
Tema N° 9
En una carrera de 50 metros, si Julio le da 4 metros de ventaja a Lenín, o sea Lenín recorre 46
metros, llegan juntos a la meta. En una carrera de 200 metros, si Lenín le da 15 metros de
ventaja a Rubén, llegan juntos a la meta.
¿Cuántos metros de ventaja deberá darle Julio a Rubén para llegar juntos a la meta en la
carrera APOL Últimas Noticias, si la misma tiene un recorrido de 1000 metros?
Resolución
El problema se reduce a averiguar cuantos metros recorre Rubén cuando Julio recorre 1000m
Julio recorre 50m en el mismo tiempo en que Lenín recorre 46m, entonces en el tiempo que
Julio recorre 1000m, Lenín recorrerá
(46) (1000 )
 920 m
50
Lenín recorre 200m en el mismo tiempo que Rubén recorre 185m, entonces, en el tiempo en
que Lenín recorre 920m, Rubén recorrerá
(185 ) (920 )
 851m .
200
Así, en el tiempo en que Julio corre 1000m, Rubén corre 851m. Para llegar juntos a la meta.
Julio debe darle a Rubén 1000 – 851 = 149m. de ventaja
Tema N° 10
En ajedrez, la reina es la figura de más poder. Al fin
y al cabo, ella es quien puede moverse y atacar tanto
en línea recta como en diagonal, avanzando siempre
tantas casillas como quiera. En una reunión de cinco
reinas se calculó cuánto tenía que medir un tablero
para que juntas pudieran amenazar a cualquier otra
figura. La determinación fue que el tablero debería
tener 11 x 11 casillas.
¿ En qué posiciones deben situarse las cinco reinas
para cumplir este objetivo y representar una
amenaza para cualquier casilla blanca o negra?
Resolución