Algebra ICom-Guía 1A-Lenguaje Simbólico-1

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Universidad Diego Portales
Facultad de Economía y Empresa
Otoño 2010
Marcel Saintard Vera
Asignatura: Álgebra I
GUIA Nº1-A : LENGUAJE SIMBÓLICO
PARTE Nº1 : LOGICA
I.- LOGICA de PROPOSICIONES:
1.-
Sean los enunciados declarativos representados por las proposiciones p y q:
p: “4 es un número primo”
y
q: “4 es divisor de 32”
Exprese en español los enunciados representados por:
a) p  q
b) q  p
c) p  q
d) p  q
e) p  q
f) (q  p) 
q
2.-
Si se sabe que p es falsa, q es verdadera y que r es falsa, determine el valor de verdad de
las siguientes proposiciones :
a) (p  q)  r
b) (p  r )  q
c) ( p  r )  q
d) (p  r )  (r  p)
3.-
Indique, en cada caso, si la expresión simbólica que corresponde es A: p  q ó B: q  p,
escribiéndola a su lado.
“p sólo si q”
......................
“p es una condición suficiente para q”
......................
“p es una condición necesaria para q”
......................
“Una condición suficiente para p es q”
......................
“Una condición necesaria para p es q”
......................
“Para que ocurra p es suficiente que ocurra q”
......................
“Para que ocurra p es necesario que ocurra q”
......................
4.-
Considere las proposiciones lógicas, p: ‘Él es Ingeniero Civil’, q: ‘Él es Informático’, y,
r: ‘Él es empresario’. Escriba en forma simbólica los siguientes enunciados:
a) Él no es Ingeniero Civil ni Informático, pero si Empresario.
b) Él no es Ingeniero Civil y es Informático.
c) Ser Ingeniero Civil o Empresario es lo mismo que ser Informático.
d) Si él es Ingeniero Civil e Informático, entonces es Empresario.
e) Si no es Ingeniero Civil y es Informático, entonces es Empresario.
f) Es Ingeniero Civil sólo si es Informático y Empresario.
5.-
Defina proposiciones simples apropiadas y traduzca a metalenguaje los siguientes
enunciados :
a) “Si los limones son caros y el azúcar es barata, entonces es difícil encontrar limonada
amarga.“
b) “Una condición necesaria para que los limones sean baratos es que el azúcar sea cara.“
c) “Se encuentra fácilmente limonada amarga, a menos que el azúcar sea barata.“
d) “La limonada amarga se encuentra difícilmente si el azúcar es barata.“
2
6.-
A través de una matriz de valores veritativos, determine si los esquemas son Tautología,
Contradicción o Contingencia :
a)
[ ( p   q )  ( p  q )  (p  q )
b)
[ (q  p )  q   [ q  ( q  p ) 
c)
(pq)[(pr)(qr)
d)
[ ( p  q )  ( q  q )  ( p  q )
e)
[ a  ( b  c )   [ ( a  b  c )   ( b  c )  a  
f)
[ ( p  q )  q   p
g)
[ ( a  b )  ( a  b )   b
h)
[ ( p  q )  ( q  q )   ( p  q )
7.-
Verifique si las siguientes proposiciones compuestas tienen carácter de Tautología,
Contradicción o Contingencia, sin recurrir a tablas de verdad:
a)
{ [ ( a  b )  c ]  [ ( a  c )  b ] }
b)
( p  q )  [ ( p  q )  ( q  p ) ]
c)
{ [ a  ( b  c ) ]  b }  ( a  c )
d)
[ ( p  q )  ( p  q ) ]  ( p  q )
e)
[ (q  r )  p ]  [ ( p  r )  ( p  r ) ]
f)
{ a  [ c  ( a  b ) ] }  ( c  b )
g)
[ ( p  q )  ( r  p ) ]  ( p  r )
8.-
Sabiendo que p  q  C, demuestre que [ ( p  q )  ( p  q ) ]  p  T
9.-
Utilizando el álgebra lógica:
a)
Demuestre que: ( p  q )  p  p  q
b)
Si p  q  T, demuestre que: [ ( p  q )  ( p  q ) ]  q  T
c)
Simplifique al máximo: [ ( p  q )  ( q  p ) ]  ( q  p )
d)
Demuestre que: { [ p  ( q  p ) ]  q }  ( p  q )
e)
Simplifique al máximo: i) [p  ( q  p ) ]  p
ii) q  [ p  q ]
iii) ( p  q )  ( q  p )
10.- Demuestre que los esquemas p  ( q  r ) y ( p  q )  r son lógicamente
equivalentes.
11.- Determine el valor de verdad de p , q y r en cada uno de los siguientes casos, sabiendo que
el valor de verdad del esquema propuesto es el que se indica.
a)
[(pq)(rq):V
b)
{[(pq)(pr)(pr)} :F
c)
{ [ ( p  q )  ( p  r )    p  ( q  r )  } : V
d)
{[(pq) (pr)(pq)(qr)} :F
e)
{ [ p  ( q  r )    ( p  q )  ( p  r )  } : F. Comente su resultado.
12.- Demuestre que si q tiene v. de v. F, entonces la proposición compuesta
( p  q )  [ ( q  r )  ( p  q )  resulta ser Falsa.
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13.- Considere tres proposiciones p, q y r de las cuales se sabe que p  q es Verdadero, y que q
 r es Falso. Determine el valor veritativo del esquema ( r  p )  ( r  p ).
14.- Un funcionario bancario hizo tres declaraciones sucesivas. La primera fue: “Si el jefe no se
retira temprano, hoy llegaré tarde a casa y partiremos mañana a la playa”. Luego dijo: “El
jefe se retirará temprano o llegaré temprano a casa”. Por último, declaró: “Si el jefe se
retira temprano y partiremos mañana a la playa, entonces partiremos mañana a la playa o
llegaré temprano a casa”.
Si se supo que sus dos primeras afirmaciones son Falsas, ¿Qué valor de verdad tiene su
última declaración ?
15.- Usando el álgebra lógica, obtenga un esquema equivalente más sencillo para:
a) [ p  ( q  p )   q
b) (  q  p )    p   q )
c) ( p  q )   q
d)  ( p  q )  q
e)  p   q  ( p   q ) 
f)   (  p  q )    p  q )   p
g)    ( p  q )    p  q ) 
16.- Demuestre, usando álgebra lógica, las siguientes equivalencias entre esquemas.
a) q    p   p  q )    ( p   p )
b) p    ( p  q )    q  p )    ( p  p )
c) p   [ p  ( q   p )   T
d)  (  p   q )   p   q )   p
e)  ( p   q )    q   p )    q
f) q    ( p  q )    p   q )   p  q
17.- Considere los enunciados :
I.- “Si Juan termina de solucionar ese problema y el horario de trabajo terminó, entonces
se retira muy satisfecho.”
II.- “Juan no terminó de solucionar ese problema o el horario de trabajo no terminó, o Juan
se retira muy satisfecho.”
Traduzca cada enunciado a metalenguaje y demuestre, usando álgebra de proposiciones,
que los enunciados I y II son equivalentes.
18.- Demuestre que el valor de verdad de ( p  q )   ( p  r)  q   r )  es
independiente del valor de verdad de la proposición r.
19.- Se define el nuevo conectivo  mediante la tabla adjunta.
Exprese p  (q r) sólo entérminos de las conectivas  y .
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
p q
F
F
F
V
4
II.-
CUANTIFICADORES:
1.-
Dado A = { 1, 2, 3, 4, 5 }. Halle el valor de verdad de las siguientes proposiciones:
a)  ! xA / x + 3 = 10
b)  x A: x + 3  10
c)  x A / x + 3 < 5
d)  x A: x + 3  7
2.-
Dado el conjunto A = {1, 3, 5, 7}, determine el v. de v. de las siguientes proposiciones:
a) (  xA / 4x2 – 19x – 5 = 0 )  (  xA / x2 = x )
b) (  xA / 2x + 3y = 5x )  (  xA / 2x = x )
3.-
Dadas las siguientes proposiciones:
a)  x N: x es par o impar.
b) ( a R/ a2 = 1)  00 = 1.
c)
Si todo número primo es impar, entonces dos no es primo.
d)  a, b R:
ab  a b
e)
 n N: [(n0 = 1)  (0n = 0)]  ( n
f)
 x R:  n N/ x < n.
0n
= 1).
g) x A: y A / x2 + y2  25; donde A = {1, 2, 3, 4, 5}
h)  x N: (x2 = 2 )  (x es par).
i)
 x Z – {0}: x es positivo y negativo.
j)
Todo número impar es primo, entonces cinco no es primo.
Se pide: i)
ii)
Determine el valor de verdad (V ó F) de cada proposición.
Escriba la negación de las proposiciones que usted identificó como falsas.
4.-
Simplifique, obteniendo una proposición de tipo afirmativo.
a) { [ x en U/ p(x) ]  [ x en U/ q(x) ] }
b) { x en U/ [ p(x)  q(x) ] }
c) { [ x en U/ p(x) ]  [ x en U/ q(x) ] }
d) { [ x en U/ p(x) ]  [ x en U/ q(x) ] }
e) { [ x en U/ p(x) ]  [ x en U/ q(x) ] }
5.-
Dada las siguientes proposiciones;
a)
b)
c)
d)
e)
f)
6.-
i) tradúzcalas a lenguaje simbólico
ii) niéguelas o simplifíquelas.
iii) vuelva a traducirlas al español.
Todos los números son racionales y existen números que no son enteros.
Algunas leyes no son legítimas pero deben ser respetadas.
Algunos hombres cantan y no son felices.
Existe al menos una empresa que hace pernos pero no tuercas.
Existe por lo menos un hombre que es rico y no es feliz.
Es falso que todos los alumnos estudiosos aprobaron el ramo y/o se irán de vacaciones.
Cada una de los siguientes enunciados, a)
Tradúzcalo a lenguaje lógico.
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a)
b)
c)
d)
e)
b) Niéguelo y simplifíquelo.
c) Vuelva a escribirlo en español.
”Si todos los Ingenieros Civiles tuviesen una segunda fuente de ingreso podrían
proyectarse profesionalmente y/o aumentar sus rentas”.
”Si algunos de los libros de contabilidad de un monopolio de empresas son revisados,
entonces todos los contadores tendrán que justificar los gastos y/o no podrán salir de
vacaciones”.
”Todas las empresas si no pagan sus impuestos en la fecha correspondiente, deberán
pagar multa y/o solicitar una prórroga”.
”Si algunas empresas mayoristas reducen sus stocks, entonces todos los
supermercados estarán compitiendo y prolongarán sus horarios de cierre”.
”Si hoy no llueve, entonces todos los alumnos de álgebra podrán asistir a la “Softel” en
Cerrillos y/o al seminario de “Mercosur” en el Edificio Diego Portales”.
Algunas respuestas:
I.-
2.- a) V b) V c) F d) V
4.- a) (p  q)  r;
3.- A, A, B, B, A, B, A.
b) p  q;
e) (p  q)  r;
c) (p  r)  q;
d) (p  q)  r;
c) q  r;
d) q  r.
f) (q  r)  p
5.- a) (p  q)  r;
b) p   q;
6.- T;
C;
T;
K;
K;
T;
K;
7.- K;
K;
T;
K;
K;
K;
C.
9.- c) p
e) i) p
11.- a) p:V; q:F; r:V
ii) p  q
15.- a) q
iii) p
b) p:V; q:V; r:F
13.- El esquema resulta F
K.
c) p:V; q:V; r:F
14.- Su última declaración es V
b) (p  q)
c) (p  q)
d) p  q
e) T
19.-  [ p { (q r)}]
II.-
1.- a) F
b) V
2.- a) V
b) F
c) V
3.- a) V b) F c) V d) F
4.- a)
b)
c)
d)
e)
d) p:F; q:V; r:F
d) F.
e) V f) V g) F h) V i) F j) V
[  x en U/ p(x) ]  [  x en U/ q(x) ] }
 x en U/ [ p(x)  q(x) ] }
[ x en U/ p(x) ]  [  x en U/ q(x) ] }
[x en U/ p(x) ]  [ x en U/ q(x) ] }
[ x en U/ p(x) ]  [  x en U/ q(x) ] }
f) p
g) p
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