Instituto Profesional de Chile

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Ingeniería en Industrias
Álgebra y Trigonometría
Módulo de aprendizaje Nº 4
Razones trigonométricas de ángulos generales, ley del seno y del coseno
Objetivo específico del módulo
Al finalizar este módulo el alumno debe ser capaz de reconocer y aplicar los métodos para
calcular razones trigonométricas en cualquier tipo de ángulo y además conocer los teoremas
del seno y del coseno y tener la capacidad de aplicarlos a problemas de planteo.
Introducción
Hasta ahora hemos definido las funciones trigonométricas sólo para los ángulos agudos en
el triángulo rectángulo. Sin embargo, la mayoría de las aplicaciones de la trigonometría
incluyen ángulos que no son agudos. Entonces, es necesario hacer una extensión de la
definición de las razones trigonométricas explicadas en el módulo de aprendizaje Nº 3, para
que sean aplicables a cualquier tipo de ángulo.
Generalización de las razones trigonométricas
Comencemos tomando un ángulo agudo  llevándolo al plano cartesiano y escojamos un
punto P(x , y) cualquiera que se sitúe en el rayo Terminal del ángulo , como se muestra en
la figura 4.1. Si tomamos la distancia entre el origen y el punto P y le llamamos r, queda:
Figura 4.1
Y
P(x , y)
y
r

O
X
x
r  d (O, P) 
x2  y2
(1)
1
Donde y = cateto opuesto (CO)
x = cateto adyacente (CA)
r = Hipotenusa (Hip)
Entonces
y
x
sen   ,
cos  
r
r
y
tan  
y
x
(2)
Las expresiones en (2) nos dan una forma en la cual basarnos para hacer una extensión que
nos permita calcular las razones para cualquier ángulo  en posición normal en un plano
cartesiano, esto se ilustra en la figura 4.2
Figura 4.2
Y
P
Y
y


x
x
X
X
y
En general, se puede entonces definir las seis funciones trigonométricas, bajo este enfoque,
como se muestra en el cuadro 4.1.
Cuadro 4.1
y
,
r
r
csc  ,
y
sen 
x
y
,
tan  ,
r
x
r
x
sec 
y cot 
x
y
cos 
Se debe observar que si el punto P se sitúa sobre el eje Y, entonces se indefinen la tangente
y la cosecante, dado que en ese caso x = 0 y si el punto P se sitúa en el eje X, entonces
quedan indefinidas la cotangente y la cosecante, dado que en ese caso y = 0. el seno y el
coseno nunca quedan indefinidos.
2
El cuadro 4.2 nos muestra una tabla resumen de las funciones trigonométricas para los
ángulos más comunes.
Cuadro 4.2
Fuente: Libro matemática Cepech 2005
Signos algebraicos de las funciones trigonométricas
Dado que en un punto, de acuerdo al cuadrante en donde este se ubique, sus coordenadas x
o y pueden tener tanto signo positivo como negativo, entonces es bueno definir el signo de
las funciones trigonométricas de acuerdo al cuadrante al que corresponda el ángulo
evaluado. Los signos que toman las funciones quedan establecidos en el cuadro 4.3
Cuadro 4.3
3
Ley del seno
Existe una relación muy útil para la resolución de triángulos que relaciona los lados con los
ángulos. Esta relación es conocida como teorema del seno.
h
En el triángulo AC´C de la figura 4.3, se verifica Sen( A)  c de donde h c = b × sen(A)
b
Análogamente en el triángulo BC´C y obtenemos h c = a × sen(B)
Igualando ambas expresiones resulta la igualdad a × sen(B) = b × sen(A) expresión
equivalente a
Igualmente podemos considerar los triángulos rectángulos AA`C y ABA` al trazar la altura
relativa al vértice A. Mediante un razonamiento análogo al anterior obtendremos
Figura 4.3
De las expresiones obtenidas podemos deducir que
Expresión que es conocida como teorema del seno (o de los senos) y que demuestra que la
relación que existe entre los lados de un triángulo y los senos opuestos es siempre la
misma.
A partir del Teorema del Seno podemos relacionar fácilmente un triángulo con la
circunferencia circunscrita al mismo. Si consideramos en la figura 4.4 el triángulo ACB y
es BM = d el diámetro de la circunferencia circunscrita, el triángulo BMC es recto en C y
los ángulos A y M son iguales (pues abarcan el mismo arco BC). De todo ello resulta que
sen(A) = sen(M) y como sen(M) = a/d
Es decir, que en cualquier triángulo la relación entre un lado y el seno del ángulo opuesto es
igual al diámetro de la circunferencia circunscrita a dicho triángulo.
4
Figura 4.4
Ley del coseno
Si m y n son las proyecciones ortogonales de los lados b y a sobre el lado c y consideramos
el triángulo rectángulo BC´C de la figura 4.5, resulta:
a 2 = hc2 + n 2 = hc2 + (c - m) 2 = (hc2 + m 2) + c 2 - 2cm = b 2 + c 2 - 2cm
Expresión que proporciona el valor del cuadrado del lado opuesto a un ángulo agudo
Como en el triángulo rectángulo AC´C es m = b×cos(A), si sustituimos en la expresión
anterior
a 2 = b 2 + c 2 - 2bc cos(A)
Figura 4.5
En el triángulo rectángulo AC´C se
verifica
b 2 = m 2 + hc 2
Siendo m la proyección ortogonal del
lado b sobre c y hc la altura relativa al
vértice C.
Teorema del Coseno
El cuadrado del lado opuesto a un ángulo agudo es igual a la suma de los cuadrados de los
otros dos lados menos el doble producto de ellos por el coseno del ángulo comprendido.
Ejercicios resueltos
1.- Encuentre los valores exactos de las seis funciones trigonométricas del ángulo , si
dicho ángulo está en posición normal y el lado Terminal de  contiene al punto P(-2 , 5).
Desarrollo
Si el lado Terminal de  se encuentra en el punto donde x = -2 e y = 5, entonces se puede
determinar el valore de r, como:
r  (2) 2  5 2  29
5
Por lo tanto las seis funciones toman los valores
sen 
5
csc 
29
,
5
2
cos 
,
29
,
29
sec  
29
2
5
tan   ,
2
y cot  
2
5
1
y que  es un ángulo del cuadrante IV, encuentre los valores
3
exactos de las otras cinco funciones trigonométricas.
2.- dado que cos  
Desarrollo
Figura 4.6
Y
1
X
2 2
3
En la figura 4.6 se puede observar la gráfica de la situación descrita, por lo que dado que el
punto de referencia que podemos utilizar es del cuarto cuadrante, entonces diremos que el
punto 1,2 2 pertenece al lado terminal de , por lo tanto, x  1; y  2 2 y r  3 ,
entonces:


2 2
,
3
3
csc  
,
2 2
sen  
tan  2 2 ,
sec  3
y cot  
1
2 2
3.- Llamemos b al ángulo de 27° porque está opuesto al lado B; a al ángulo de 43° y A al
lado de 5.
Lo que tenemos entonces es lo siguiente:
A=5
c
B=?
B
A
C=?
a = 43°
a
b
C
6
b = 27°
c = ?
Desarrollo
El ángulo c es muy fácil de encontrar, porque la suma de los ángulos internos de un
triángulo siempre suma 180°.
c = 180° - a - b
c = 180° -43°- 27° = 180° - 70° = 110°
c= 110°
Ya tenemos entonces los tres ángulos a, b y c.
Para encontrar los lados faltantes usamos la ley de los senos:
sustituyendo queda:
Nos fijamos ahora sólo en los dos primeros términos:
5
B

sen43º sen27º
5·sen27º
B
sen43º
B  3,328
Para calcular C hacemos lo mismo
5
C

sen43º sen110º
5·sen110º
C
sen43º
C  6,89
4.- Resolver el triángulo siguiente:
llamemos a al ángulo de 25° porque está opuesto al lado A; C al lado que mide 12 porque
está opuesto al ángulo c. y B al lado de 9 porque está opuesto al ángulo b.
Lo que tenemos entonces es lo siguiente:
A=?
B=9
C = 12
a = 25°
b=?
c=?
c
B
A
a
b
C
Desarrollo
Por teorema del coseno, se tiene:
A 2  9 2  122  2·9·12·cos25º
A 2  81  144  216·cos25º
A  5,4
7
Para encontrar los demás ángulos se puede utilizar la ley de los senos, es decir:
5,407
9

sen25º senb
9·sen25º
senb 
5,407
senb  0,703
b  44,7º
Dado que los ángulos interiores en un triángulo suman 180º, entonces por diferencia se
obtiene que c = 180º - 25º - 44,7º = 110,3º.
Evaluación del módulo
1.- Encuentre el valor exacto de:
a ) cos(7 )
 7 
b) csc 

 6 
 
c) sec  
 6
 25 
d ) t an

 4 
e) cos(315º )
2.- en ciertas condiciones la altura máxima alcanzada por una pelota de basketball que se
lanza desde una altura h en un ángulo  medido desde la horizontal, con una velocidad
inicial v, está dada por:
v 2 ·sen 2
y h
2g
Donde g es la aceleración de gravedad calcule la máxima altura alcanzada por un tiro si :
h  2,25m
m
v  8,5
s
  65º30`
m
g  9,81 2
s
3.- Una persona se dirige desde un punto A en línea recta hacia un punto C. otra persona
hace lo mismo desde un punto B. si la distancia entre A y B es de 8 Km., el ángulo CAB es
de 75º y el ángulo CBA es de 45º, ¿Qué distancia tendrá que recorrer cada persona?
8
4.- Las boyas A, B y C marcan los vértices de una pista triangular en una laguna. La
distancia entre las boyas A y B es de 1.200 m, la distancia entre las boyas A y C es de 900
m y el ángulo CAB es de 110º. Si el bote ganados de la carrera recorrió la pista en 8,2
minutos, ¿cuál fue su velocidad promedio?
Respuestas
1
2
2
a) -1; b) 2; c)
; d) 1; e)
2
3
2 5,3 m
3 A camina 6,53 m
B camina 8,92 m
4
km
28
hr
Bibliografía
Zill, Dennis G; Dejar, Jacqueline M. Álgebra y Trigonometría segunda edición, Colombia.
McGraw Hill, 2000.
Alcides Astorga M., Julio Rodríguez S.; Trigonometría. Revista digital matemática
educación e Internet. www.cidse.itcr.ac.cr
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