Documento 339668

Ejercicios de Probabilidad 2º BACH CCSS
C. Rodríguez
1.-Sean A y B dos sucesos de un espacio de probabilidad, tales que:
p( A)  0,4
p(B)  0,5 y
p( A  B)  0,3
 B
Calcula razonadamente a) p( A  B) b) p( A  B) c) p( A  B) d ) p A
Son los sucesos A y B independientes? Razona la respuesta.
Sol.( A  B)  A  B y sabemos también, que la p( A  B)  1  p( A  B) por
tanto tenemos que p( A  B)  1  p( A  B)  1  0,3  0,7
Ahora ya podemos calcular la probabilidad de la intersección pues:
p( A  B)  p( A)  p(B)  p( A  B)  0,4  0,5  0,7  0,2
( A  B)  ( A  B) por tanto p( A  B)  1  p( A  B)  1  0,2  0,8
Los sucesos A y B son independientes pues se cumple que:
 B  p(pA(B)B)  00,,52  0,4  p( A)
pA
 A  p(pA(A)B)  00,,24  0,5  p(B)
pB
2.- Sean A y B dos sucesos de un espacio de probabilidad, tales que:
3
2
1
p( B) 
y p ( A  B) 
4
3
4

Calcula razonadamente a) p( B) b) p( A) c) p( A  B)
p ( A  B) 
Sol.-
p ( B)  1  p ( B)  1 
2 1

3 3
p ( A)  p ( A  B)  p ( B )  p ( A  B ) 
3 1 1 2
  
4 3 4 3
Como el suceso B es unión disjunta de los
sucesos (A∩B)y (A’∩B):
p ( A  B)  p ( B)  p ( A  B) 
1 1 1
 
3 4 12
-1-
Ejercicios de Probabilidad 2º BACH CCSS
C. Rodríguez
 A  0,25; p(B)  b
3.-Sean A y B dos sucesos tales que: p( A)  0,40; p B
Calcula:
a) p( A  B)
b) si b = 0,5 determina: p( A  B)
c) el menor valor posible de b d) el mayor valor posible de b.
Sol.-
 A  p(pA(A)B)  p( A  B)  pB A. p( A)  0,25.0,40  0,1
a) p B
b) p( A  B)  p( A)  p( B)  p( A  B)  0,40  0,5  0,1  0,8
c) ( A  B)  B  p( A  B)  p( B)  0,1  b el menor valor de b es 0,1.
d) p( B)  p( A  B)  p( A)  p( A  B) como el máximo valor de la
probabilidad es 1 si el conjunto ( A  B) tomase probabilidad 1 sería:
p(B)  p( A  B)  p( A)  p( A  B)  1  0,40  0,1  0,7
4.-Sea A un suceso que cumple: 0  p( A)  1.Razona las respuestas para:
a) Puede ser el suceso A independiente de su contrario A’?
b)Sea B otro suceso tal que B  A . Serán A y B independientes?
c)Sea C un suceso independiente de A. Serán A y C’ independientes?
Sol.a) p( A)  1  p( A) y como 0  p( A)  1entonces 0  p( A)  1.
Si llamamos b  p( A)  0 entonces p( A)  1  b  0 .
El suceso A  A    p( A  A)  0 tendremos pues que:
0  p( A  A)

  p( A  A)  p( A). p( A) en consecuencia
0  b.(1  b)  p( A). p( A)
los sucesos A y A’ son necesariamente dependientes.
b) B  A  ( A  B)  B entonces se cumple p( A  B)  p( B)
A y B son sucesos independientes si se cumple p( A  B)  p( A). p( B)
En este caso A y B son independientes si se cumple: p( B)  p( A). p( B)
Esta última igualdad sólamente se cumple si:
 p( A)  1 pero no es posible pues partimos de p( A)  1 .
 p( B)  0
En consecuencia A y B son independientes (con B  A ) si p( B)  0 .
c) C independiente del suceso A entonces p( A  C)  p( A). p(C)
Sabemos que el suceso A es unión disjunta de A  C  y A  C por tanto
p( A  C)  p( A)  p( A  C)  p( A)  p( A). p(C)  p( A).[1  p(C)]  p( A). p(C)
y por tanto los sucesos A y C’ son independientes
-2-
Ejercicios de Probabilidad 2º BACH CCSS
C. Rodríguez
5.-Razona la siguiente afirmación: “ si la probabilidad de que ocurran dos
1
, la suma de las probabilidades de ambos
2
3
(por separado) no puede exceder el valor .
2
sucesos a la vez es menor que
Sol.Efectivamente sabemos p( A  B)  p( A)  p( B)  p( A  B) (*)
1
, despejando en (*)
2
1 3
p( A)  p( B)  p( A  B)  p( A  B)  1  
2 2
p( A  B)  1 y si por hipótesis p( A  B) 
6.-Si la probabilidad de que ocurran dos sucesos a la vez es 0,25 ¿cual es la
probabilidad de que al menos uno de los dos no ocurra? Razona la respuesta.
Sol.El suceso A  B es el que tiene lugar cuando se verifican A y B a la vez.
El suceso “al menos uno de los dos no ocurra” =  A  B

Según sabemos (ley de Morgan)  A  B   A  B 

Por tanto será: p A  B  p A  B   1  p A  B   1  0,25  0,75
7.- Si la probabilidad de que ocurran dos sucesos a la vez es p y la
probabilidad (por separado) de cada uno de ellos es el doble de la anterior.
Cual es la probabilidad de que no ocurra ninguno de los dos?
Sol.Por hipótesis p( A  B)  p p( A)  2 p p( B)  2 p
El suceso, según la ley de Morgan, ( A  B)  ( A  B)
p( A  B)  p( A  B)  1  p( A  B)  1  [ p( A)  p(B)  p( A  B)]  1  3 p
2
1
3
8.-Sean A y B dos sucesos tales que p( A)  , p( B)  , p( A  B) 
5
5
10
es posible que p sea una probabilidad?
Sol.-
p( A  B)  p( A  B)  1  p( A  B)  p( A  B)  1  p( A  B)  1 
3 7

10 10
Por otra parte: p( A  B)  p( A)  p( B)  p( A  B) y por tanto despejando
p( A  B)  p( A)  p( B)  p( A  B) 
2 1 7 1
  
5 5 10 10
La probabilidad de un suceso nunca puede dar número negativo, por tanto p
no define una probabilidad.
-3-
Ejercicios de Probabilidad 2º BACH CCSS
C. Rodríguez
9.- En una baraja de 40 cartas, se toman tres cartas distintas. Calcula la
probabilidad de que las tres sean números distintos.
Sol.Este es un experimento compuesto de tres pruebas (tres extracciones
sucesivas) y sin reemplazamiento (las tres cartas extraídas son distintas).
Sabemos que en un experimento compuesto resulta enormemente ventajoso
pensar que las pruebas se suceden en el tiempo una tras otra, y calcular la
probabilidad de un suceso(compuesto) cualquiera como producto de las
probabilidades de los sucesos correspondientes a cada una de las pruebas.
En conclusión tenemos que la probabilidad pedida es:
p(obtener tres nº diferentes )  1.
36 32 192
. 
 0,77
39 38 247
10.- Escogidas cinco personas al azar, ¿cual es la probabilidad de que al
menos dos de ellas hayan nacido el mismo día de la semana (lunes, martes,..)?
Sol.Si calculamos previamente la probabilidad del suceso contrario, es decir, la
probabilidad de que no coincidan las cinco el mismo día de la semana
obtenemos la probabilidad pedida restando la anterior de 1.
6 5 4 3 360
p(las cinco no coinciden )  1. . . . 
 0,15
7 7 7 7 2401
p(a lg una coincidenc ia )  1  0,15  0,85
-4-
Ejercicios de Probabilidad 2º BACH CCSS
C. Rodríguez
11.-Una persona tiene tiempo para jugar a la ruleta 5 veces, como máximo.
Cada apuesta es de 1€. La persona empieza con 1€ y dejará de jugar cuando
pierda el euro o cuando gane 3€.
a) Calcula el espacio muestral de los posibles resultados.
b) Si la probabilidad da ganar o perder es la misma en cada apuesta,¿cual es
la probabilidad de que gane 3€?
Sol.-
a) E= {(GGG),(GGPGG),........................................................(GPGPP),(GPP),(P)}
En total consta de once sucesos elementales, según podemos ver en el
diagrama en árbol anterior.
b) Gana 3 € cuando se realizan los sucesos elementales:
{(G,G,G)(G,G,P,G,G)(G,P,G,G,G)}, por tanto la probabilidad pedida es:
3
5
5
3
1 1 1
p( ganar 3€)            0,1875
 2   2   2  16
-5-
Ejercicios de Probabilidad 2º BACH CCSS
C. Rodríguez
12 Una moneda se tira repetidamente hasta que salen dos veces
consecutivas la misma cara. Calcula la probabilidad de los siguientes sucesos
a) El experimento consta exactamente de 4 lanzamientos.
b) El experimento consta exactamente de “n” lanzamientos (2  n) .
c) El experimento consta , como máximo, de 10 lanzamientos.
Sol.a) El experimento tiene cuatro lanzamientos exactamente si ocurre:
(C,+,CC) (+,C,++) con probabilidades:
1
b) p   
2
n 1
1
1 1 1
por tanto: 2    
16
16 8  2 
3
generalizando el apartado a).
c) p(el exper.consta como máximo de 10 lanzamientos)=
p(exact. Dos lanzam.)+p(exact. Tres lanza)+.........+p(exact.diez lanza)=
9

1   1 


1


2
9
 2 
  0,499
2
1 1
1


 0,998
=     ...................................   
 0,5
1 
2 2
 2
  1
2 
Efectivamente pues se trata de una progresión geométrica de razón (1/2).
-6-